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Full text of "Bibliotheca mathematic"

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JLIOTHECA MATHEMATICi 



r] 
ZEITSCHfilFT Fun ÖESCHICHTE 
iMATHEMATISOHEN WISSENSCHAFTEN. 



TOS 

GUSTAF ENESTEÖJT 

tu SrDOKIlOLU. 



. tOiat. 7. BAND. 1. BE?T. 



AUAOBQESE.t AU TU. JÜLl IWO. 



LEIFZIO, 

DBUOE DSD VIRLAB VOR B. 6. TBVBHBE 
1906, 



I 




JLIOTHECA MATHEMATU 

ZEITSCHRIFT FttR ÖE 
MATHEMATISCHEN WIocc-.,.«. 



BCKAtiMiKomra vkh 



6ÜSTAP ENESTRÖM 



DIIITE FOLGL BIIBERTBa FA' 



T BILDNUSEK rnH LEOffQJUDl lltn.nr 
VtWtX » TUXTVlaDIIK.s 



LKli'ZH» 

DIIIUK r>tl> VKllLAH VON RH.TKI'BNKB 

190«— 1907. 



BIBLIOTHECA MATHEMATICA. 



ZEITSCHRIFT FUE GESCHICHTE 

DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



HERAUSGEGEBEN VON 



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GUSTAF ENESTROM 

IN STOCKHOLM. 



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DRITTE FOLGE. SIEBENTER BANtt 

MIT BILDNISSEN VON LEONHARD EULER ALS TITELBILD, 

SOWIE 38 TEXTFIGUREN : : . : 




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LKIPZRI 
DRUCK UND VERLAG VON B. (J. TEUBNKK 

1900—1907. 



9 9867 



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ALLE RECHTE, EINSCHLIESSUCH DES ÜBERSETZLNGSRECHTS, VORBEHALTEN. 



Inhaltsverzeichnis. 



Autoren-Register. 



Ahrens, 33. 
Bdtem&n, 26. 
Bocmans, 3, 2U. 
EDettrOm, 1—3, 11-16, IK, 19, 
21. 23. 27. 20, 30, 33-36. 
Favaro, 3. 
Orönblad, 3. 



Heath, 7. 
Heiberg, 5. 
Hanratb, 17. 
Landau, 28. 
Loria, 24, 25. 
Mikami, 23. 
MttU«r, FeUz, 31. 



Kudio, 3. 
Smith, 36. 
Sturm, 3. 
Suter, 6, 8—10. 
Vogt, 4. 
Zenthen, 5. 



Abddbaqi, 10. 

Ahtl, 34. 

Aktuelle Fragen. 35, 36. 

Algebra, 18-20, 23. 

Algorismns, 13. 

Anfragen, 11, 12, 15, 19, 21. 

AnÜumi<>$, 7. 

Antworten, 30. 

Arabische Mathematik, 8-11. 

Ardumed€8, 6. 

Arithmetik, 9, 11—13, 15. 

Bearbeitung von Bandregistern, 35. 

Bern<nüli, D., 27. 

BerttlumngBtranafonnationen, 25. 

Bibliographie, 35, 37. 

Biographien, 29, 80, 32-34. 

Brennspiegel, 7. 

Briefe, 26, 27. 

Bräche, 12. 

Cantor, 2, 3. 

Coignei, 21. 

rw Ferro, 18. 

lAackatimvis, 8. 

Dreüeilang des Kreisbogens, 17, 

Dürer, 17. 

Elementargeometrie, 31. 

el-Seuatri, 9. 

£mennangen, 38. 

EuJüeideü, 10. 

Kuler, 27-29. 

^Fragmentum Bobiense**, 7. 

Pranfain, 30. 

Fnnktionentheorie, 28. 

Geometrie, 4—7, 10, 17, 23- 25, 31. 

Geschichte der Wissenschaften, 1. 

(riovanni Antonio da Como, 14. 

Oleichongen, 18. 

(iostefin, 20. 

Griechische Mathematik, 5—7 



Sach-Begister. 



Heran, 6. 

Huygens, 24. 

Imagin&re Oröfien, 23. 

Indische Mathematik, 4. 

Irrationale Größen, 4. 

Jaco6t, 32, 33. 

Japanische Mathematik, 22. 

Jordanus, 13. 

Komplementare Multiplikation, 11. 

Konigaherger, 33. 

Kubische Gleichungen, 18. 

Kurven, 24. 

Literarische Notizen, 38. 

Lwxis de Tesloüan, 34. 

Mathematik im allgemeinen, 1—3, 16. 

Mathematiker-Versammlungen, 38. 

Mathematische Ausstellungen, 36. 

Mathematische Instrumente, 21. 

Mathematische Schulen, 11. 

Mathematische Zeichen, 12. 

Mathematisch-historische Vorlesungen, 38. 

Nähemngskonstruktionen, 17. 

Nairizi, 8. 

Neuerschienene Schriften, 37. 

Null, 19. 

Pantometer, 21. 

Preisfragen, 38. 

Freisschriften, 38. 

PytagoreiBcher Lehrsatz, 4. 

Rezensionen, 2, 6 16, 31, 33. 34. 

Riemannsche Zetafunktion, 28. 

Schöne, 6. 

Simon, 31. 

Smith, 16. 

Tartaglia, 18. 

Taylor, 26. 
': Todesfllle, 3H. 
, Waliis. 23. 
! Wissenschaftliche Chronik, 38. 



IV Inhalteverzeichnis. 

Allgemeines über Gesohichte der Mathematik. 

^^ Seit« 

!• Die Geschichte der Mathematik als Bestandteil der Geschichte der 

Wissenschaften. Von G. Eneström 1—5 

2« Cantor, Vorlesungen üher Geschichte der Mathematik P (1907). 

Rezension von G. Enestböm 398 — 406 

3* Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen 
über Geschichte der Mathematik". Von H. Bosmans, G. Eneström, 
A. Favaro, C. Grönblad, F. Rudio, A. Sturm. 

80-95, 203—215, 282-308, 378—396 

Geschichte des Altertums. 

4* Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das 

Irrationale gekannt? Von Heinrich Vogt 6—23 

5». Eine neue Schrifb des Archimedes. Von J. L. Heiberg und 

H. G. Zeüthen. Mit 12 Textfiguren 321—363 

6* Heronis Opera omnia. III: Rationes dimetiendi et commentatio dioptricä 
(Vermessnngslehre und Dioptra), griechisch und deutsch von H. Schöne 
(1903). Rezension von H. Suteb 98—104 

7« The fragment of Anthemius on buming mirrors and the „Fragmentum 

mathematicum Bobiense". By T. L. Heath. Mit 4 Textfiguren 225—233 

Geschichte des Mittelalters. 

8. Zur Frage des von Nairizi zitierten Mathematikers „Diachasimus^^ 

Von H. Sutbr 396 

9. Über das Rechenbuch des Ali ben Ahmed el-Nasaw!. Von 
Heinrich Sutbr 113—119 

10* Über den Kommentar des Muhammed ben 'Abdelbäqf zum zehnten 

Buche des Euklides. Von Heinrich Suter. Mit 7 Textfiguren 234—251 

11« Über Spuren der komplementären Multiplikation bei arabischen 

Mathematikern. [Anfrage 126.] Von G. Eneström 95—97 

12. Über die Bezeichnung gewöhnlicher Brüche im christlichen Mittel- 
alter nach der Einfuhrung arabischer Ziffern. [Anfrage 128.] 

Von G. Eneström 308—309 

13. Über die „Demonstratio Jordani de algorismo**. Von G. Eneström 24—37 

14. Über zwei angebliche mathematische Schulen im christlichen Mittel- 
alter. Von G. Eneström 252—262 

15# Über den italienischen Arithmetiker Giovanni Antonio da Como. 

[Anfrage 127.] Von G. Eneström 216 



^^^^^^^H Inhalts Ten eichnie. Y 

Gesohiobte der aeaeren Zeit. ^^1^, 

liSmitb, History of modeni msthematiuH. Foiirth editioii (1006). Be- 

HUiOD von G. EnK-irnÜJi 310—312 

IT, Albrsobt Dürers annähernde Dreiteiluag eines Kreisbogens. Von 

Karl Hunrath, Mit 1 Tertfigur 190-125 

IS, H>t TartagÜB seine LOsung der Inibischen Gleicliung von Del Ferro 

«ntiehnt? Von G. Enestköh ,,.,..... 38—48 

19, Ober die Anfänge der Beuutxnng von Ifn1l als eine wirkliche 

Größe. [Anfrage 129.] Von G. Embström 809 

30, Le „De arte magna" de Gaillaume Goaselin. Par H. Bosmans . 44— 6G 
'1. Ober den Pantometer von Miobel Coignet. [Anfrage 130.] Von 

ß, EnestkÖm 397 

ii, />ar Frage abendländischer Einflüsse auf die japanische Matbematik 

am Ende des siebzehnten ■lahrhunderts. Von YosHio Mikahi , . 364—366 
Ü3, Die geometrische Darätellung imaginUrer Größen bei Wallis. Von 

: Enemtröm. Mit 5 Textfiguren 263—269 

larve piane special! nell carteggio di C. Huygens. Di Giko Loria. 

Hit 1 TeitSgnr 270—281 

preistoria della teoria delle trasformasioni di contatto. 

' tA Gko Loria ... 67—68 

81. The correspondence of Brook Taylor. By H. Bateman, Mit 

2 Teitfiguren 367—371 

ST. Der Briefwechsel zwischen Leonhai'd Euler und Daniel BernouUi. 

Von G. Enkstböm. Mit 6 Teslfigoren 126—158 

iS, Euler und die Fonktionalgleicliung der HiemannscLen Zetafanktion. 

Von Edmund Landau 69-79 

39. Ober Bildnisse von Leonhard Euler. Von G. Ehgstrüm. Mit 

Bildnissen als Titelbild 372—374 

SO. Sur lee fr^res Fran5Bis. [Antwort auf die Anfrage HO.) Vr>n 

G. Eneström 218 

ll> .Siznoii, l)her die Entwicklung der Elementar- Geometrie im XIX. Jahr- 

hundert (1908). RexeiiBion von Felix Müller 406—418 

32« Ein Beilrag kui' Biographie C. G. J, Jaoobis. Von W. Ahueks 157—192 

S9. Künigtbetger, C. Q. J. Jacobi. FoBtE<<hrift (1904). Rezemiou von 

G. Ekbktböi. 217-213 

It,Dcai de reilonan, N. H. Abel. Sa vie et son (eavre (1906). He- 
HdwOh TOD Q. Ek»thOii 218-219 



VI InhAltsvenaiclmiB. 

AktueUe Fragen. g^,^^ 

35. Über Bearbeitung von Bandregistem zu mathematiscbeD Zeit- 

scbriften oder Sammelwerken. Von 6. Eneström 193—202 

36« A mathematical exhibit of interest to teachers. By David 

Eugene Smith 375—377 



37. Neuerscbienene Scbriften 105—109, 220-222. 313—316, 419—422 

Auicren-Register. — Zeiiscbriften. Allgemeines. — Gescbichte des 
Altertums. — Geschiebte des Mittelalters. — Geschichte der neueren 
Zeit. — Nekrologe. — Aktuelle Fragen. 



38. Wissenschaftliche Chronik .... 110—112. 223-224, 317—320, 423-425 
Ernennungen. — Todesfölle. — Demnächst erscheinende mathematisch- 
literarische Werke. — Mathematisch-historische Arbeiten in Vor- 
bereitung. — Vorlesungen über Geschichte der mathematischen 
Wissenschaften. — Gekrönte Preisschriften. — Preisfragen gelehrter 
Gesellschaften. — Mathematiker-Versammlungen im Jahre 1906. — 
Vermischtes. 

Namenregister 426-44^. 



Das 1. Heft dieses Bandes (S. 1 — 112) wnrde am 26. Juli 1 906 ausgegeben 
„ 2. „ „ „ (S. 113-224) „ „ 16. Oktober „ 

„ 3. „ „ „ (S. 225— 320) „ „ 26. Februar 1907 

„ 4. „ „ „ (S. 321— 442) „ „ 25. Juni 



Verbessemngen. 

Seite 118 Zeile 24 statt 3a« + 6ah + Sh^ lies 3a« + 3a6 + fc« 
„ 219 „ 15 „ (p{n) = n „ (p{n) = n^ 



. Kx>Brii''.u: Die GeauU. il. MAlbem. uIh lioataudldl i\. Lleacli, d. WiBEeiitich. X 



11 D ie Geschichte der Mathematik als Bestandteil der 
^^m (jeschichte der Wissenschaften. 

^^^f ^'^^ ^^- ^''sv.n'nii'm in Stockholm. 

r In mei&em Äofsatze Die Gesciiichte der Mathematik und der Üni- 

V€TsiftHswUerricht^) hatte icli, uater Verweisung auf einen Artikel von 

l Faul Tanskrv, hervorgehoben, daß man von einer aligemeinen (iCBchiehte 

r der WiHeenschaften ^) noch keine klare Vorstellung hat. Fnst gleichzeitig 

l" aiit dem Firscbeinen meines Aufsatzes veröffentlichte Tanneky eine kleine 

Arbeit,^) die ursprünglich dazu bestimmt war, die erste einer lleihe von 

Vorlesungen am „Coliege de France'' zu sein, worin er die ullgemeine 

Gew.faichte der WiBsenachaften zu behaudeln beabsichtigte. In dieser 

Arbeit versuchte er einen Beitrag zur Klärung der betreffenden Vorstellung 

zu bieten nnd dabei auch die Stellung der Geschichte der besonderen 

Wiseen Schäften, (in erster Linie der Mathematik] zu dieser allgemeineren 

GoBchichte zu bestinimen. 

Tannkky will zwei Arten der Geschiclite der Wissenschaften unter- 
scheiden, nämlich die allgeuieine und die spezielle Ueschichte. Die letztere 
besieht nach ihm nur aus einer Zusammenstellung der Geschichten der 
einzelnen Wissenschaften, und zwar soll die Behandlung jeder Wissenecliai't 
»oo der Art sein, die ich in einem früheren Aufsatze*) „rein fachmäßig" 
genannt habe Innerhalb der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften 
soll dagegen nach Tanneuy die Geschichte der Mathematik keine besondere 
Abteilung bilden, und eine rein fachmüBige Darstellung soll auch nicht 
vorkommen. Xicht nur solche Gegenstände sind darin zu vermeiden, die 
von untergeordnetem Interesse sind, sondern auch solche, die dem gebildeten 

i) 0. E!<khtk5ii, Dit Gfitthichte der MaihematUc und der Univtrtitälaunleirkht; 
Biblioth. Hatiism. Hg, 1904, it. 65. 

'J) loh braiiahe anoh in diesem Aitiket der Kürze balber d>ii Wort „WisBon- 
»cbkfton" ftU Ubflrtietxling des üntQxIIsiictaeii „sciences". 

3) I'. Tasjiiui-, Vc l'liistoire des näeneeej Boviie de dynlUi-se hiatoriqiio ». 
1B(M, R. 1-16. 

41 (i. E.*fcsTii(.w, Vber kulturhistorische and rein fachmäßii/e Jielmndluiig der Ot- 



i 



tfArMfr der 3f>i(AeiniUit; Biblioth, Mathe) 
KibUoUiMk Hatbanutii». lU. folg«. VII. 



, 1903, 8 1^0, 



1 



Publikum unverständlich sein würden. Folglich wird die a%emeine 1 
Bciiiclite der WiaseuBchaften in betreff der Matheuiatilf eigentlich die kultur- 
historiBchen und biographi seh -literarischen Best^dteile und noch dazu die 
Elementarmathematik berücksichtigen. Diese BeEtandteile, sowie die ähnlichen 
Bestandteile der Geschichte der anderen Wissenachftften. sollen in chrono- 
logischer Ordniingsfolge zusainineugearbeitet werden, und dadurch entsteht 
nach Tanserv die allgemeine Geschichte der Wissenschaften. 

Takxkuy ist also der Ansicht, daß die zwei Arten von Geschichte 
der Wissenschaften, nämlich die allgemeine und die spezielle, sowohl in 
betreff des Inhaltes als hinsichtlich der Darstell ungaw eise wesentlich ver- 
schieden sein sollen. Ziehe ich zuerst in Betracht die Frage über den 
Inhalt, so geht unmittelbar aus meinem soeben zi^erten Artikel Über 
kulturhistorische und rein fachntäßige flehandlung der Geschichte der Mathe- 
matik hervor, daß ich in botreff der speziellen Geschichte der Wissen- 
schaften mit TäNNEBv einig sein muß. Anders liegt dagegen die Sache, 
wenn es sich am den Inhalt der allgemeinen Geschichte der Wissen achaften 
handelt. Freilich sind diese Worte nicht so zu deuten, als ob TiüNEitYs 
Ausführungen meines Eraehtens unrichtig wären. Er hat selbst ausdrücklich 
darauf hingewiesen, daß es verschiedene Ansichten in betreff der allgemeinen 
Geschichte der Wissenschaften geben kann oder sogar geben muß, und in 
seiner Arbeit De Vhistoire des säences wollte er nur seine persönliche 
Ansicht darlegen. Er fügte hinzu, daß man augenblicklieh, bevor eine 
allgemeine Geschichte der Wissenschaften wirklich vorhanden ist, nicht 
sagen darf: so und so nmÜ die Geschichte beschaffen sein, sondern nur: 
so und so hinn sie beschaffen sein. Nun bin ich selbst der TANNEiivechen 
Meinung, und ich stelle mir also zunächst die vorliegende Frage unter 
der folgenden Form: Kann die allgemeine Geschichte der Wissenschaften 
einen anderen mathematischen Inhalt haben als den von Taxnery an- 
gegebenen? 

Zuerst will ich dann bemerken, daß ich sehr gut verstehe, nicht nur 
wie Taxsery zu seiner Auffassung kam, sondern auch daß er von seinem 
Gesichtspunkte aus fast notwendigerweise un dieser Auffassung kommen 
mußte. Wie schon erwähnt, beabsichtigte er als ordentlicher Professor 
der Geschichte der Wissenschaften am „College de France", wozu er allem 
Anschein nach als designiert betrachtet werden konnte, Vorlesungen zu 
halten, und seine kleine Arbeit De Vhistoire des sdcttces war ursprünglich 
dazu bestimmt, die Eintrittsvurleanng zu sein. Will man aber als Uni- 
vers itätsl ehr ei; das Studium der Geschichte der Wissenschaften befördern, 
80 ist es klar, daß man in erster Linie die allgemein verständlichen Be- 
standteile der Mathematik berücksichtigen muß, und dies um so mehr, 
wenn man der erste wirkliche Vertreter der Geschichte der Wissenschaften 



Die Getrhiobt« iler Hatheniatik aU Restacdtell der i'eschicht« dor WgBB0ti8Dlis.l'tea. 3 

Brin wird, Aaf der anderen Seite iat offenbar, daß die VerständlicUkeit; 
eines gewiesen mathematisclieu Begriffes oder 8atzea nicht ein Bolches 
Merkmal ist, das nnter allen Umständen entweder vorhanden ist oder 
durchaus fehlt, sondern daß es verschiedene Grade der Verständlichkeit 
gibt, und daß der Urad zuweilen nicht nur von den Kenntnissen, sondern 
auch von der Intelligenz des Schülers abhängig sein muß. 

Aus dem Gesagten dürfte unmittelbar hervorgehen, daß die von mir 
oben gestellte Frage in betreff des Inhaltes der allgemeinen Geschichte 
der W'iB Benschaften bejahend beantwortet werden kann, auch wenn man 
großes Gewicht auf die Gemeinveratäudlichkeit dieses Inhaltes legt. In 
der Tat gibt es eine ganze Menge von Begriffen und Sützen der höheren 
Mathematik, die fast ebenso leicht verständlich sind wie die der Elementar- 
mathematik. Beispielsweise sind viele Sätze der Zahlentheorie dieser Art, 
und aas der Theorie der Kurven kann man beliebig viele Begriffe und 
Sätze entnehmen, die allgemein verständlich sind. Nun liegt es ja nahe 
zu bemerken , daß die fraglichen Sälise freilich leicht verständlich 
sind, daß aber die lkweise der Sätze nur von denen verstanden 
werden können, die höhere mathematische Kenntnisse besitzen. Die Be- 
merkung ist ohne Zweifel richtig, aber in einer allgemeinen Geschichte 
der Wissenschaften ist es wegen des ungeheueren Materials nur ausnahms- 
weise möglich, Beweiee der Sätze zu bringen, und es ist wohl 'wen^ an- 
gebrtuiht, die verständlichen Sätze auszuschließen, nur weil die nicht mit- 
geteilten Beweise un verständlich wären. Übrigens gibt es gewisse mathe- 
matiscbe Sätze, deren Utchtigkeit mit einem sehr hohen Grade von Wahr- 
scheinlichkeit ohne besondere mathematische Kenntnisse festgeatellt werden 
kann, z. B. den Wii-soNschen Satz I . 2. ;-i . . . ■ (p — 1) 4- 1 ^:-: (mod;>). 

Wenn es also bewiesen ist, daß die mathematischen Bestandteile einer 
gemeinverständlichen allgemeinen Geschichte der Wissenschaften nicht nur 
uns der Elementarmathematik sondern auch aus der höheren Mathematik 
entnommen werden können, so hat man zu entscheiden, oh es zweckmäßig 
iKt, in dieser Geschichte nur den von TANNt:»)' angegebenen Inhalt zu 
herQcksichtigen. Wie ich schon bemerkt habe, kann ein solches Verfahren 
»line Zweifel berechtigt sein, wenn man zum erstenmal üniveraitäts- 
Tfirlesungen über allgemeine Geschichte der Wissenschaften halten soll, 
aber meiner Meinung nach ist es nur in diesem Falle zu empfehlen. 
Uffonhur verliert nämlich die Darstellung wesentlich an Interesse, wenn 
gerade die wichtigsten Errungenschaften der mathematischen Forschung 
stillschweigend übergangen werden müssen, und besonders muß der Zn- 
hürer (oder Leser) eine verkehrte Vorstellung von der Entwickelung der 
Mathematik im l'J. Jahrhundert bekommen, wenn alles, was sich auf die 
höhere Mathematik bezieht, ausgeschlossen wird, Ich bin also der Ansicht, 



0. EBKurnfiii. 



daß eine Univeraitäts Vorlesung über aUgenieme Geschichte der Wissen- 
sohaften sich nicht auf die Eleraentarniatbematik bescliränken, sondern so 
viel als müglich von den wichtigsten Begriffen und Sätzen der höheren 
Mathematik mitnehmen soll. 

Handelt es aich dagegen um eine Darstellung der allgemeinen Ge- 
schichte der Wisaenschaftenj die für das gebildete Publikum oder für die 
(ielehrtenwelt bearbeitet wird, möchte ich noch einen Schritt weiter gehen, 
Bo daß ich die Gemeinverständlichkeit der mathematischen Bestandteile 
als eine Nebensache betrachte. Gewiß wird dann der mathematische 
Inhalt vielen Lesern zum größten Teil unverständiich, aber auf der anderen 
Seite werden sehr viele Leser wenigatens eine allgemeine Voratellung von 
der Bedeutung der mathematischen ForBchungsarbeit unserer Zeit be- 
kommen, and Bchon dies ist meinea Erachtens ein großer Gewinn. 

Vielleicht wird man geneigt sein, gegen das soeben angeführte ein- 
zuwenden, daß es auf diese Weise unmöglich werden wird, eine allgemeine 
Geschichte der WisBenschaften mit Sachkunde zu bearbeiten. Die Ein- 
wendung wäre ohne Zweifel begründet, wenn man voraussetzte, daß eine 
einzige Person das ganze bearbeiten würde, aber anders liegt die Sache, 
wenn eine Anzahl von Gelehrten sich zasammeuBchlieUen um die Arbeit 
ausznftihren , und in unseren Tagen ist eine solche Anordnung gar nicht 
ungewöhnlich. 

Ich gehe jetzt zu der Frage dec DarsteUnngsweise über. In dieser 
Hinsicht bin ich mit Tanneuy darüber einig, daß die Bestandteile der 
allgemeinen Geschichte der WiBsenschaflen in chronologischer Ordnunga- 
folge zusammengearbeitet werden sollen, leb verstehe auch sehr gut, 
warum TannEHV nicht wagte, dieselbe Darstellungsweiae für die gpezielle 
Geschichte der Wissenschaften vorzuschlagen, sondern sich damit begnügte, 
eine Sammlung von Einzeldarstellungen zu empfehlen. (offenbar hat 
Tanneky an das ungeheure Material gedacht, daa eine Gesamtdarstellung 
umfassen würde, und noch dazu die überaus großen Schwierigkeiten in 
Betracht gezogen, die die Bearbeitung dieses Materials von rein technischem 
Gesichtspunkte aus darbieten würde; vielleicht bemerkte er auch, daß eine 
solche Gesamtdarstellung eigentlich auf keinen großen Leserkreis rechnen 
konnte. Aus genau denselben Gründen bin ich damit einverstanden, daß 
man zur Zeit von einer speziellen Gesanitgeschichte der Wiasensebaften 
absieht. Dagegen wäre es wohl nicht ganz unmöglich, dieselbe schon 
jetzt bis zu einem gewissen Grade vorzubereiten, und zwar dadurch, daß 
man entweder für einzelne Völker oder för gewisse Zettabsclmitte ähnliche 
Arbeiten in Angriff nimmt. 

Das Kestiltat der vorangehenden Ausführungen ist also: 

1. Die Darstellung der allgemeinen Geschichte der Wiaaenachaften 



Die Geschichte der Mathematik als Bestandteil der Geschichte der Wissenschafteu. 5 

soll die wichtigsten Errungenschaften der mathematischen Forschung 
berücksichtigen. Hat die Darstellung irgend einen sehr speziellen Zweck^ 
z. B. für den Uniyersitätsunterricht benutzt zu werden^ so soll in jedem 
einzelnen Falle entschieden werden^ in wie weit die Darstellung auf die 
allgemein verständlichen mathematischen Begriffe und Sätze zu be- 
schränken ist. 

2. Es ist zur Zeit angebracht^ von der Bearbeitung einer speziellen 
Gesamtgeschichte der Wissenschaften abzusehen^ aber um dieselbe vor- 
zubereiten^ könnte man versuchen, für gewisse Völker oder Zeitabschnitte 
solche Arbeiten herzustellen. 



Heinrich Voot. 



Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz 

und das Irrationale gekannt? 

Von Heinrich Vogt in Breslau. 

Die in den Jahren 1901 und 1902 erfolgte Veröflfentlichung und Er- 
läuterung des ApASTAMBA-SuUta-Sutray ^) einer der drei Aufzeiclinungen der 
ältesten geometrischen ^ kultischen Zwecken dienenden Eonstruktions- 
methoden der Inder, hat einen Umschwung in der Wertung der ältesten 
indischen Geometrie herbeigeführt, dem M. Gantor im Archiv der 
Mathematik und Physik (83, 1905, S. 63 — 72) Ausdruck gegeben hat. 

Gerade Cantor hatte 30 Jahre lang durch sein großes Ansehen den 
Glauben an die Abhängigkeit der indischen Geometrie von der griechischen 
aufrecht erhalten. Er hatte sich seine Ansicht gebildet im Gegensatz 
gegen die von Thibaut aufgestellte Schätzung der indischen Geometrie 
als eines selbständigen und uralten Ausflusses indischer Geistesart. Thibaut 
hatte das BAiDHAYANA-Sulvasutra mit Lbersetzung und Kommentar heraus- 
gegeben^) und aus allen drei Stdbasutren^ deren Verfasser Baüdüayana, 
Apastampa, KATi'AYANA heißen, einen vergleichenden, sehr eingehenden 
Auszug höchst planvoll und durchsichtig zusammengestellt,^ mit fort- 
laufendem Kommentar versehen und sein Urteil über das Alter und die 
Selbständigkeit der Geometrie der Inder aus inneren Gründen hergeleitet. 

Weder Thihaut noch der viel weiter gehende VON Schroeder*) 
drangen mit ihren Ansichten durch: den Umschwung herbeizuführen war 
erst BÜKK beschieden. 

BÜRK veröffentlicht das A^PASTAMBA-Sulha-Siära vollständig in Über- 
setzung/) führt die innerlichen Gründe Thibauts weiter ans und fügt 



1) Albeut Bürk, Das Ai'JUTjMnA- Sulba- Sutra ; Zeitschrift der Deutschen 
Morgenl&ndischen Gesellschaft 55, 1901, S. 543—591; 56, 1902, S. 327— 391. 

2) The Pandit, a moutlily Journal of the Benares College devoted to 
Sanskrit literature (Benares), 9—10, 1875. 

3) Journal of the asiatic eociety of Bengal (Calcutta), 44 : 1, 1875. 

4) VON SciiROEDKit, Vyiiiacouas ufid (Uc Imlev (Leipzig 1884). 

5) a. a. 0., 50. 



Haben die alten Inder den Pythagoreisclien Lehrsatz und das Irrationale gekannt? 7 

ihnen neue, philologische Argumente hinzu. ^) Er bestätigt" und stützt 
seine Schlüsse, geht aber auch in wesentlichen Punkten über ihn hinaus 
in dem, was er den alten Indem zu- und den Griechen abspricht. 

Die altindische Geometrie ist jetzt ihrer Art nach als selbständig, an 
.Alter der griechischen überlegen erkannt. Die Blütezeit des Opferkults, 
an den sie geknüpft ist, schließt das 12. vorchristliche Jahrhundert ein; 
ein Beispiel eines Pythagoreischen Dreiecks (15, 36, i\9) ist aus dem 
8. Jahrhundert überliefert; die Sulbasutren werden nicht später als in das 
5. oder 4. vorchristliche Jahrhundert gesetzt. ^) Also die Griechen sind 
bestimmt nicht, wie man bisher angenommen hatte, die Lehrmeister der 
Inder gewesen. 

Können nun umgekehrt, was zeitlich nicht unmöglich wäre, die 
Griechen von den Indem gelernt haben? Können sie speziell den Pytha- 
goreischen Lehrsatz und das Irrationale aus indischen Quellen geschöpft 
haben? 

Diese Frage will ich im folgenden durch Untersuchung der Grenzen 
des altindischen geometrischen Wissens zu beantworten suchen. 

I. 

Hixben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz gekannt? 
ApASTAMBA-Sidba-Sutra cap. I, 4 und 5 lauten: 

1. „Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides hervor, was die 
längere und die kürzere Seite desselben, jede für sich, hervor- 
bringen." 

2. „Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche 
hervor." 

Wer diese beiden Sätze liest, wird nicht anstehen, die obige Frage 
zu bejahen. 

Aber vertiefen wir die Frage: Welchen Grad von Einsicht in die 
Gültigkeit dieser Sätze haben die Inder besessen? Waren es empirische 
Regeln, von deren Gründen und deren Gültigkeitsbereich man keine 
Kenntnis besitzt, oder offenbart sich in ihnen ein auf Gründen der An- 
schauung oder des Denkens beruhendes, den Umfang der Gültigkeit nach 
dem Umfange der Erkenntnisgründe abgrenzendes Wissen? 

Satz 2 ist selbst ein Einzelfall. Er ist vollständig erkennbar aus 
einer Figur wie der bekannten aus dem Platon ischen Dialog Menon, wo 
4 Quadrate zu einem großen Quadrate zusammengeschoben sind und in 
jedem Einzelquadrat diejenige Diagonale gezogen ist, welche nicht nach 



1) a. a. 0., 55. — 2) Bürk, a. a. 0., 55, S. 544, 553, 556, 551. 



Hmmmdh Voot. 

Mittp der ganzen Figur läuft. Brim macht es durchaus wahrschei 
daß auch für die Inder die Anschauung dieser Figur uhne logische De- 
duktion die Tolle Einsicht in die Beziehung zwischen Quadrat über der 
Seite und Quadrat über d^i Diagonale geliefert hat. 

Gedenkt man, was Hankel, THiiiArT und Birk überzeugend betonen, 
und was ein Blick in die Siilbasiilren bestätigt, „das Yorwi^en der un- 
mittelbaren Anschauung in der Entwickelung der Geometrie der Inder, 
welches einen so merkwürdigen Gegensatz bildet gegen die durch Begrift'e 
vermittelte Konstruktion der Sätze bei den Griechen";') nimmt man hinzu, 
daB die Sulbasutren und die ihnen dienende (ieometrie rein praktische 
Zwecke verfolgen, so wird man die Gedankengänge, die zur Auffindung 
des Satzes vom Quadrat über der Rechtecks diagonale geführt haben, sieb 
ganz empirisch und anschaulich denken müssen. Es dürfte deshalb der 
BirRKsche Rekonstruktionsversnch, welcher in ausgiebiger Weise das Um- 
legen von Gnomonen um ein vorhandenes Quadrat mit ganzzahliger Seite 
benutzt, auf allgemeine Zustimmung rechnen.^) So können die Inder in 
Verbindung mit der vorher erkannten Eigenschaft der Quadratdiagonaie 
und der vielleicht schon vorher bekannten Uecht winkligkeit des Dreiecks 
3, 4, 5 empirisch auf einen Zusammenhang zwischen der Recbtwilikligkeit 
gewisser ganzzabliger Dreiecke und iler Tatsache gekommen sein, daß 
gerade in diesen Dreiecken das Quadrat über einer Seite gleich der Summe 
der Quadrate über den beiden andern ist. In deu Sutbusiitren finden sich 
im ganzen 8 solche Dreiecks- resp. Kechteckszahlen angeführt, nämlich 
3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17j 12, 16, 20; 7. 24, 25; 15, 20, 25; 12, 35, 
37; 15, 36. 39. 

Wie wenig systematisch das Auffinden dieser Rechtecke erfolgt ist, 
läßt sich auch daraus ersehen, daB, wenn man bis zur größten benutzten 
Diagonale 39 geben will, ein eystematisches Verfahren im ganzen nicht 8, 
sondern 15 ganzzahlige Rechtecke liefern würde, nämlich außer den an- 
gegebenen noch 6, 8, 10; 9, 12, 15; lU, 1*4, 26; 20, 21, 29; 18. 24, 30; 
lli, SO, 34; 21, 28, 35. Gerade nach der von Birk rekonstruierten geo- 
metrischen und abzäJilenden Methode ist Vollständigkeit keineswegs ver- 
bürgt und ("bersehen mancher Fälle wohl möglich. Auch ist sehr ein- 
leuchend, daß die alten Inder Gnomonen von der Breite 6 {für 18, 24, 
30), von der Breite 7 (für 21, 28, 35), von der Breite 8 (für 20, 21, 29) 
nicht erkannten, da sie eben nur bis zur Breite 5 (für 15, 20, 25) fort- 
echritten. AuiFäUig dagegen und nur durch unsystematisches Verfahren 
und das rein praktische, nicht auf theoretische Vollständigkeit gerichtet« 

1) HANKB^ Xur Gceekii^U der Matkrmatäc im AUtTthuia und JUiittUiUer, R. 220. 

2) BDuK, a ft. 0. SS, S. 560—575. — Cawtok, a. «. O. S. 67-69 



Swbe 



ben die alten Inder deu PythagoreiBcbeu Lolirsate uod dae Iirotionale gokanct? !l 

(Bse ZU erklären ist, daB sie die Bchmiileren Gnonomen für Ö, 8, 10; 
24, 25; 9, 12, 15, 10, 30, 34 übersahen. 

die Inder nicht noch andere, tiefer gehende Begründungen 
flir ihren Rechteckesatz besaßen, scheint mir zweifelloB aus liArnitArA.yA- 
Sulba-Sutra^) hervorzugehen Baliduayana. der von den drei Sutra- 
fassem am meisten Sinn für Begründung hat, der ungenaue, von den 
überlieferte Methoden nicht hat und genaue Methoden bevorzugt, 
Bomit wohl am meisten mathematisch von den Dreien denkt, und den 
BAliT^) nennt „entitled to the first place by a clearer and more ex- 
tensive treatment of the topics in question", fügt allein von ihnen an den 
UecbteckBEatz die Bemerkung: „This is seen in those oblongs the sides 
hieb are three and four, twelve and tive, fifteen and eight, seven and 
ity-four, twelve and tbirty-five, fifteen and thirty-six." 
C'antou*) nennt dies „den Pythagoreischen Lehrsatz, erläutert an 
len hei spielen". Dem Wortlaut nach ist es mehr als eine „Erläuterung"; 
l^wt, wenn man auch nach Birk in den Snliasutren einen Beweis nicht 
len darf,*) eben das, was Baudiiavana als „Beweis" für den vorauf- 
iden Lehrsatz zu geben hat. 

Das ist auch die Auffassung Tiiiualits. Im Anschluß an die Pamllel- 
le Apastambas: „So many cogni^able raeaBurements of the vedi (Altar) 
exist",*) sagt er;") „In this manner Apastampa tuma the Pythagorean 
trionijies known to him to a practical use, but after aU Bauuhavama's 
way of mentioning theee trianglea aa proving bis proposition about the 
diagonal of an oblong is more judicious. It was no practical want which 
eould have given the impulse to such a research — for right angles could 
be drawn as soon as one of the „vijneya"') oblongs (for instance that 
of 3, 4, 5) was known — but the want of some proof which migbt 
ostabliah a firm conviction of the truth of the proposition." 

Wir sehen; Über gewisse Einzelfälle von ganzzahligen Rechtecken 
(aof pinige mehr oder weniger kommt eo nicht an) hat die indische Be- 
traclitung nicht hinausgeführt und hat ihrer Natur nach nicht darüber 
hinani- führen können. 

Auch der Umstand, daß die Sutren den Quadratsatz stets von dem 
Itj^chtveJcBsatz trennen, in dem er hei allgemeiner Auffassung doch enthalten 
ist, hat wohl seine Ursache darin, daß die Erkenntuiagründe für beide 
äätKe ganz verschieden waren, daß abo für den Rechteckssatz kein all- 
Anschauungsbeweis vorlag wie für den Quadratsatz. 

l) TniBit-T, Jonrnal 8. 235- — 2> .Tonrnal 8. 228. 
1 8) Caicto«, Qadiichtt der Mathem. V, Ü. 598 (= 1', S. 544). 
4) BliR«, ■. B. 0. 55, 1901, 8. ÜjB. — G) Tergl. Bii«, a, a, 0. 5«, 1902, 8. 341. 
«) Jonrnkl, S. 23S. — 7) „eikeunbaie". 



^^m 10 HEiimirn Vogt. H 

^^^H Nuu könnte man meinen, die Inder haben den Hechteckesate zwiir 

^^^H forinell allgemein aiiegeBprocIien, inhaltlich aber liarnnter cur die bekannt«u 
^^^H gtinzzahlijren Fälle begriffen. 

^^^H D»s aber igt beetitumt nicht der Fall. Zwar werden zur Eonstriiktit 

^^^H des reehten Winkels nur die ganzzahligen R«chtecke benutzt, aber Al 
^^^H RTAMi'A fügt an die Aufzählung dieser Möglichkeiten die schon 
^^^1 zitierte Bemerkung (cap. V, t>) „so viele erkennbare Konstruktiünen dw 
^^^H vedi (Altäre) gibt es", d. h. so viele ganzzahlige Uechtecke sind vorhanden 
1^^^ nnd können zur Konstruktion rechtwinkliger Altäre benutzt werden. Es 

r liegt hierin eretene das Eingeständnia, daß der Verfasser mehr ganzzahlige 

[ Rechtecke nicht kennt, und zweitens setzt die Einschränkung der Brauchbar- 

^^^H keit des Rechteckssatzes zu Konstruktionen auf die „erkennbaren" Keeht- 
^^^H ecke die jVnnahme voraus, daß der Hatz auüh für .^nicht erkennbare" Recht- 
^^^H ecke", d. h. Reclitecke mit nicht giinzzahligen Seiten und Diagonalen gilt. 
^^^H Dies findet seine Unterstützung darin, daß der Rechteckssatz ganz 

^^^B geläufig zur Addition und Subtraktion von Quadraten ohne Rücksicht auf 
^^^H ihre SeitengröBen benutzt wird, und daB speziell die trikarani, d. h. die 
^^^H Seite eines Quadrats, welches 3 Flächeneinheiten enthält, hergestellt wird 
^^^^k als Diagonale eines Rechtecks, dessen kürzere Seite die Einheit und dessen 
^^^H längere Seite die Diagonale des Einheit« quadrates ist. 
^^^H Also die alten Inder haben den Keehteckssatz ganz allgemein und ohne 

^^^H Einschränkung ausgesprochen und verwendet; aber ihr Erkeontnisgrund 
^^^H ist kein anderer, als daß in einigen ganzzuhligea Fällen Hecht winkligkeit 
^^^H und Gleichheit zwischen der Quadrutsnm me der Seiten und dem Quadrat 
^^^H der Diagonale zusammentreffen. Hieraus wird durch unvollständige In- 
^^^H duktion geschlossen, daß die Eigenschaft der Quadratsumme stets die 
^^^H Rechtwinkligkeit zur Folge hat, und umgekehrt. 

^^^H Auch die Induktion und selbst die unvollständige Induktion hat ihren 

^^^^^ berechtigten Platz in der Geometrie, aber nur als Werkzeug der Erfindung, 
^^^H nicht als endgültiger Erkenntnisgrund. Sie kann auf W'ahres wie auf 
^^^f Falsches führen und gibt einer Einsicht keine Notwendigkeit und All- 
I gemeinheit. Das gesteht selbst SfHorESHArEU zu, der Feind des griechischen 

distursiven Denkens, der Freund der indischen Intuition, der stets an- 

I gerufene Eideshelfer liir die Inder gegen die Griechen:') „Diese letztere 
Art der Erkenntnis ist immer nur Induktion, d. h. aus vielen Folgen, die 
auf einen Grund deuten, wird der Grund als gewiß angenommen; da die 
Fälle aber nie voRstäudig beisammen Bein können, so ist die Wahrheit 
hier auch nie unbedingt gewiß. Diese Art von Wahrheit allein aber hat 
aRe Erkenntnis durch sinnliche Anschauung und die allermeiste Erfahrung." 



1) SL-t 



.IE«, Wrll nh Wille und VorsMhiiig (Werte 1, Buch 1, % 15). 



J 



Haben die alten Inder deu Pjthagoiei sehen Lebrüak und dae Irrationale gekanutV ]1 

Der wahre Wert des Pythagoreiacben Lehrsatzeß bei den Indern ist 
der ainee an einigen Einzelfjillen glücklich erratenen Zusammen banges. 
Wenn sie diesen Zuearamenhang als allgemein gültig auesprechen und 
Terwerten, so dürfen wir uns dadurch über die Tragweite ihrer Erkenntnis 
nicht täuschen lassen: wir erkennen daran nur, daß die alten Inder, 
mggen wir ihrem intuitiven Spürsinn mit Schopeniiauek, Hänkel und 
VON ScHROEDEit jede Bewunderung zollen, doch vom Wesen des geo- 
metriscliea Denkens und Erkennens sehr weit entfernt waren. 



II. 

Haben die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt; d, h. 
haben sie, wenn auch nur an einer Zahl oder einem Verhältnis erkannt, 
daß 68 durch ganze Zahlen und Brüche nicht genau anagedrückt werden 
bann? 

Den Weg zur Auffindung des Irrationalen schildert Cantor folgender- 
maßen:') ,.Die Hypotenuse (des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks 
mit der Kathete 1) wurde gemessen. Sie war größer als eine, kleiner als 
zwei Längeneinheiten. Die mannigfaltigsten Versuche mögen darauf an- 
gestellt, andere und andere Zahlenwerte für die gleichen Katheten ein- 
gesetzt worden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten. 
Vergehens. Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten Maße 
der Hypotenuse nahe kamen; Näherungswerte von \2 würden wir sagen." 
Ako der erste Schritt ist: man erhält Werte, deren üngenauigkeit man sich 
bewußt ist. 

Cantor fährt fort: „Aber es war noch ein Rieseuachritt, von der 
Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche auf die aller Versuche überhaupt 
zu Bchließen". Dieser zweite Schritt, in dem man aber statt „schließen" 
„vermuten" sagen sollte, ist gewiß der größte und der eigentliche 
schöpferische Gedanke, durch den die Idee des Irrationalen ins Bewußtsein 
tritt. Diesen Schritt hat z. B. Akchimeües getan, indem er auf Grund 
d«r vorangegangenen verfehlten Versuche die genaue Rektifikation des 
Kreises für unniüglich hielt und sich systematisch auf Näherungswerte 
beBchränkte. Aber dieser zweite Schritt ist doch noch nicht der letzte 
zur Erkenntnis des Irrationalen. 

Die Fruchtlosigkeit noch so vieler Versuche kann die Unlösharkeit 
i^iaes Problems wohl vermuten, aber nicht sicher erkennen lassen. Auf 
Aem Wege des Prohierens kann überhaupt kein Unmoglichkeits beweis 
•fert werden. Für das praktische Messen, welches, wie F. Klein es 




I] GaehithU der JUatkrinaUi: V, B. 1G9 (= 



', S. 154). 



12 



HuNBICB VuC 



glücklich ausdrückt,') dem Bereiche der „Approiimationggeom^ 
gehRrt, gibt es überhaupt kein IrrationiiieB; dean jedes praktische Messen 
kommt mit Erreichung der (ienauigkeitegrenze zu abgeHchloseeneu Mtifi- 
zahlen. Das Irrationale entspringt erst auf dem Boden der „l'räzisioos- 
geoiuetrie" (^wieder nach Ki.EiN), und der Nachweis der Unmöglichkeit 
der liationalität kanu seiner Natur nach nicht anders geführt werden als 
dnreh Äbstraktidnen: entweder das Messen muB unendlich fortsetzbar 
gedacht werden, was es praktisch nicht ist (Schema des größten gemein- 
schaftlichen Teilers. Ketten brach- Algorithmus), oder die Annahme der Ratio- 
nalität muß durch indirekte tiohlußweise auf einen Widersprucli mit Zahlen- 
gesetzen geführt werden (Pythagoreischer Nachweis der Irrationalität von 
|2).'j Dieser UnraöglichkeitB beweis ist der dritte Schritt; ihn hat für 
die Irrationalität von x erst Lamhert, für die Transszendenz erst Lindb- 
MANN getan. 

Wie einlach denkt sich hingegen BiiiK die Entdeckung des Irratio- 
nalen! Er sagt:^) „Man verglich die Diagonale mit der Seite (des 
Quadrats), nannte die Differenz visesa (^Unterschied) und kam nach langen 
vergeblichen Versuchen zu der Überzeugung, daß sich eine genaue Zalil 
für die Diagonale nicht finden lasse. So begnügte man sich mit einem 
Näherungswert, dem savisesa". Und noch deutlicher:'') „Die Inder haben 
im Anschluß an ihren 1. Unterfall (den Quadratsatz) i'Ür die dvikarani 
{= \2) einen Näherungswert (den saviBesa) aufgestellt — otTenbar, nachdem 
sie zuvor das Irrationale entdeckt hatten". 

In Wahrheit wird sich die Entdeckung der Irrationalität, etwa der 
Diagonale des Quadrats, in den oben entwickelten 3 Schritten vollziehen: 
1. Die durch Messen direkt erhaltenen oder daraus abgeleiteten W'erte 
werden als ungenau erkannt, 2. es taucht die Überzeugung von der l.'n- 
möglichkeit eines genauen Wertes auf, 3. es wird der Unmiiglichkeita- 
beweis für die Rationalität geliefert. Wie weit sind die Inder auf diesem 
Wege gekommen? 

Wir müssen uns vor allem hüten, unser Wissen um die Irrationalität 
rückwärts auf die Inder zu übertragen: Finden wir hei den Indem Werte 
für die Quadratdiagonale, die wir beute Näherungswerte nennen, so be- 
rechtigt uns das keineswegs zu der Annahme, daß sie diese Werte eben- 
falls als Näherungswert« einer nicht genau ausdrückbaren Größe erkannt 
haben. Wir haben zunächst zu untersuchen, ob sie diese Werte überhaupt 



1) Fcux EuciK, AnKendimg der Differential- und IntegraUechnung auf Geometrie, 
t Jievigion der Printtpien (Leiptig 1902). 

2) Cabtöb, Öexhichte dtr Matlumatik V, S. 170 (= 1". S. 156). 
8) a. a. 0. äS, S. 657. Aum. 1. — 4) k. tt. 0. 95, B. S75, Aom. 1. 



I die alten loder dea PjÜia^'omschen Iiohieati und daa hratlouale f^ekanat? 13 

rungenau gehalten liaben. Ist dies der Fall, so ist noch der Nurbweis 
des zweiten und dritten Schrittes erforderlich. Sollten sie über einen 
oder den andern Wert für genau gehalten haben, dann ist jede weitere 
Untersuchung überflüsaig; dann haben sip das Wesen der Irrationalität 
Ikestimmt nicht erkannt. 

Alle drei Sutren Verfasser geben ffir die Länge der QuadratdiagonaJe 
UbereEnetimnieatl an: „Man verlängere das llaü am seinen dritten Teil und 
diesen am seinen vierten Teil weniger s-j dieses vierten Teils." Also die 



Diagonale = 1 -(- ^ -|- 



; Seite, Der Überscliuß 



3.4.34 

Diagonale über die Seite, also die GröBe -^ + 0-7 — s-jöi beißt viaeaho 
^Unterschied"; der ganze Ausdrucli für die Diagonale heißt savisesba „mit 
dem ünterBchied". Der sayisesha ist eine sehr gute Annäherung an den 

In Wert der Diagonale; er ist gleii^hwertig mit ^, demStenNäheriingB- 
der Ketten bruchsentwickelung von \2. 
)ie Oenauigkeit des Baviaesba- Wertes ist zu groß und seine Form ist 
genartig, als daß er rein empiriach gefunden sein könnte. Den 
icheinlichen Weg der Auffindung, der beide Eigenschaften in be- 
bender Weise erklärt und nicht über das geometrische Können der 
Inder hinausgeht, hat TiiiiiArr in folgender Weise rekonstruiert:') Nimmt 
iiiiui an, daß die Inder auf irgend einem Wege bemerkt hatten, daß in 
einiim Quadrat mit der Seite 12 sich die Summe der beiden Seitenquadrate 
144 4- 144 ^ 288 d. b. das Quadrat der Diagonale nur um eine Einheit 
von 289, dem (Juadrat von 17, unterscheidet, daß also die Diagonale an- 
nühemd ^ 17 ist,') ho lag es nahe, aich die Frage vorzulegen, um 
welche GrüBe die 17 zu verkleinem sei, damit das Quadrat über dieser 
Wrid einerten Strecke genau = 288, also um 1 Einheit kleiner als 289 
Will man das Quadrat 17^ ^ 289 nach indischer Weise um 
1 Gnouion = t verkleinern, so muß man diesem Ünomon die Breite 
; denn ein solcher Gnomen beBteht nahezu aus zwei Rechtecken, 
^ von der Fläche '"^ X 34 " "9 ■ ^'^ "''"'' "'^'^ ^^^^ ^"^ Quadrat mit 
Seit« 12 die gesuchte DiagonalgröBe 17 — 04 "^ 12+4+1 — ^i 
, welche Größe, auf die Einheit als Seite reduziert, nichts anderes 
I der savisesha t + ,; + « .. — ^ . oj- 



, Bibliuth. MAtfaei 



u 



HEHdUIB Vor.! 



Ilaben die Sutrfln Verfasser d^a savieesba filr einen genauen oder eini 
iingeniiuen Wert der Diagonale gehalten? 

Eine direkte Andeutung, daß saviseBha in anderem Sinne ein Zühlen- 
wert sei wie andere bestimmte Werte, findet sich in keiner der 3 Sntren. 
So stehen bei Aiustamiia vollständig gleich bereehtigt, ohne Andentimg 
eines GültigkeitsunterschiedeB hintereinander die Sätze (I, 5 und Ö]: 
^ie Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche 
hervor. Das Quadrat dvikarani 'die das doppelte hervorbringende'" 
Und „man verlängere das Maß um seinen dritten Teil und diesen um 
seinen vierten Teil, weniger ^^ dieses Teils, savisesha 'mit dem Unter- 
schied'". 

Woran will man erkennen, daß der erste Satz eine absolute Wahrheit, 
der zweite eine bewußte Annäherung ausdritckt? 

Ja, wenn man für die Differenz zwischen Diagonale und Seite ein 
eigenes techniscbes Wort visesha, „Unterschied", und für die um diese 
Diflerenz vergrößerte Seite ein zweites saviaesha, „mit dem Unterschied", 
prägte, so dcntet dies wohl positiv auf das Bewußtsein einer genauen Er- 
kenntnis hin. Wie sollte man eine ungenaue Dinzufügung, deren Er- 
setzbarkeit durch eine bessere man sich bewußt wäre, durch einen eigenen 
Namen fixieren? Weiter: Nach Baiidüayaka ') wird die Längeneinheil 
pradesa in 12 iinguli (Fingerbreiten) geteüt, 1 anguH aber in 8 yaasv 
(Gerstenkörner) oder auch in 34 tilas (Sesamkörner). *) Von dieser letzteren 
Teilung sagt Thibai'T:^) ,J have no doubt that the aecond diviaion whicli 
I have not elsewhere met, owns its origin to the savisesha". In der Tat: 
ist die Quadnvtseite 1 pradesa ^ 12 anguli, so ist die Diagonale nach der 
8a visesha- Regel = 17 anguli weniger 1 tila = lÖ anguli 33 tilas, also mit 
diesen Maßen ganzzahlig ausdrückbar. Ist es denkbar, daß man eine so 
dauernde Einrichtung, wie die Unterteilung der Maßeinheit und Benennung 
der Unterteile mit festen Namen, treffen sollte zu Liebe einer Ausmessung, 
die man selbst für ungenau und wandelbar hält? 

Man könnte einwerfen: Die oben nach Thiiuut gegebene, sehr 
wahrscheinliche Uerleitung des savisesha ist tatsächlich ungenau; sie 
setzt zwei Hechtecke von der Länge 17 und der Breite ^, welche zu- 
sammen = 1 sind, gleich dem Gnomon von der äußeren Seite 17 und 
der Breite ^, während tateächlich dieser Gnomon um ein Quadrat von 



' 84' 



der Seitenlange ?r also der 1 



1 



ist als die Summe der 



:) D, a. 0,, S. 241. 



nal, S. 241 — 2) PandJt Ü. S. 1 



A 



HsbeD die nlton IsJer tteo Pythagoreüclien LekiBats tmcl das Irratioaale gekannt? 15 

lieiden Itechtecke Wareu die Mpömethoden und die Denkart der ulten 
Inder eo wenig scharf, daß sie diesen üntersi^hied giinzlich übersehen imd 
den gefundeuE'n savieeaha-Wert für genau halten konnten? 

Wir müssen nnterscheiden : Wenn wirklich, was wahrscheinlich, aber 
doch nicht eicher ist, die eaviseshu-Regel auf dem oben nach Thiuaut 
gekennzeichneten Wege aufgefunden worden ist, so konnte der Entdecker 
sehr wohl bemerken, welche Vemachiäasigung er beging; denn die ge- 
naue Auswertung eines Gnoraon lag durchaus im Ueaichtskreise altindischer 
lifometrie und wurde gewohnheitsmäßig ausgeübt. 

TtiiHAiT sagt:') „but we must remember that they were interested in 
gcometrical truths only as far as they were of practical nse, and that 
they accordingly gave to them the most practica! expression". So trieb 
mich den Entdecker des savisesha gewiß nicht theoretisehes, sondern 
praktisches Interesse, Praktisch war die begangene Vernaehliissigiuig 
gänzlich belanglos; so wurde der savisesha als streuge Regel überliefert; 
'ib mit oder ohne Bewußtsein der Abweichung von der Genauigkeit, ist 
nicbt zu entscheiden. *J Die späteren Geometer, welche nach dieser Hegel 
urheiteten, konnten mvch ihrer Denkweise und nach den Genauigkeita- 
i;renra>n ihrer Meßmethoden gar nicht auf den Gedanken kommen, daß hier 
«ine Uegel in anderem Hinne vorliege wie die übrigen Üb erlief erungeu. 

Die savisesha- Kegel liefert bei einem Quadrat von 10 Metern Seiten- 
lange die Diagonale um ^ Millimeter zu groß. Die Inder maßen auf 
dem Erdboden ihre Altäre mit eingeschlagenen I'flöcken und daran ge- 
«pnunleu Seilen aus; schwerlich dürfte diese Methode eine größere Ge- 
nauigkeit aJa allenfalls Zentimeter verbürgen. Wie sollten in ihnen 
Zweifel au der Genauigkeit des savisesha aufsteigen, deren theoretischer 
Fehler weit unterhalb der Grenzen ihrer Genauigkeit blieb? 

Nur wenige ihrer Regeln, ■/.. B. der 8.itz von der Diagonale des 
Quadrats, der Satz (a -j- b)- = «' -|- 2alj + h^, der Gnomonsatz, das 
^«akrechteerrichten durch 2 gleichschenklige Dreiecke hatten einen idlgenieiu 
Boaohaalichen Charakter; die aUermeisten, z. B. wie oben nachgewiesen, 
der Satz von der Diagonale des Rechtecks beruhten auf Ausmessung in 
KmwlfjUIeu und «-urden für allgemein gültig gehalten, wenn die Messung 
keinen Fehler erkennen ließ. Warum sollten sie über savisesha uuders 
denken? Wir können nicht erwarten, daß sie die Genauigkeit dieser 
Hegel ausdrücklich versichern, wenn sie gar keinen Grund hatten, an ihr 
IQ zweifohL 



1) a. ». 0,, 8, 232- 

8) Vorgl. dio nuten |.S 17) zitierte Bemerkung I 
ptSernng dci T'/ifkcheo Altaru. 




16 



Ueinbicu Voot. 



11 »eil« 



Sehen wir im einigen Beispielen zu, wae ttlr Kegeln die itlten laitt 
für genan halten konnten! Ai'astamiia gibt cap. lU, 1 die Vorei-hrift: 
.jWiinacht man ein Quadrat in ein Rechteck zu verwandeln, so mach« 
niiüi eine Seit« so lang, wie man das Rechteck wünBcht Darauf 
man den liest hinzu, wie es paßt." 

Alle drei Sutrenverfaseer verwandeln ein Quadrat in 
indem sie um den Mittelpnnkt einen Kreis schlagen, welcher zum Radius 
die halbe Seite hat, vermehrt um ^ der Differenz zwischen der halben 
Diagonale und der halben Seite; also *■ ^ ö^ 4" « V2. ÄPASTAMbA(llI, 2) 
Fflgt dieser Regel, welche nicht schlecht, aber doch viel ungenauer als 
die saviseshs-Kegel ist (es wird 7t ^ 3,09 gesetzt), die Versicherung der 
Genauigkeit bei: „Diese" (Schnur) „gibt einen Kreis, genau. Soviel iila" 
(an den Ecken) „verloren geht, kommt" (an den Seiten des Quadrats) 
„hinzu". 

Alle 3 Sutrenverfasser geben als Seite eines einem gegebenen Kreise 
Üächongleichen Quadrats -j^ des Kreis durchniessers an. Apastamiu ver- 
eichert wiederum für diese Quadratur (es ist ä = 3 gesetzt!) die Ge- 
nauigkeit (in, 3): „Die" (Schnnr) „gibt ein Quadrat, genau" (so groß wie 
der Kreis). 

Eine Hanptforra der indischen Altäre ist der falkenförmige oder so- 
genannte siebenfache: Er besteht aus 7 ganzen Quadraten, von denen 4, 
zu einem größeren Quadrat zusammengefügt, den KÖriier des Falken 
bilden, je ein Quadrat einen Flügel und deo Schwanz; jeder Flügel aber 
ist um J Längeneinheit, der Schwanz um -j^ Längeneinheit verlängert, so 
daß zu den 7 ganzen (^nadraten noch 2 Fünftel und 1 Zehntel Einheits- 
qundrat, im ganzen also ^ Quadrat hinzukommt, imd der ganze Altar 
7^ Quadrateinheiten enthält. Es ist nun eine Fun da ment^al aufgäbe, diesen 
Altar um 1 Quadrateinheit zu vergrößern, ohne seine Gestalt zu verändern. 
ÄBASTAUPA-Siäba-Sutra HI, 6: „Was beim 8fachen . . . von dem Tfachen 
verschieden ist, teile man in 7 Teile und lasse in jeden purusa" (Quadrat- 
einheit des Tfachen Altars) „1 Teil eingehen, weil eine Veränderung der 
Gestalt nicht sehr iftge maß wäre". Also es wird die hinzuzufügende 
Qnadrateinheit in 7 gleiche Teile geteilt und neue Quadrate gebildet, von 
denen jedes 1 \ Einheiten enthält, 7 solche neue Quadrate bilden den 
Körper, den Stamm der Flügel und des Schwanzes für den neuen Falken- 
altar und enthalten somit ü Qnudrateinheiten. Die Verlängerungen der 
Flügel und deti Schwanzes aber bekamen die alte Breite von ^ und ^^ 
ursprünglichen Längeneinheiten, So bleibt trotz der kultischen Vorschrift 
praktisch weder die Gestalt des Falkenaltars unverändert, noch ist die 
Flächengröfle genau 8J Quadrateinheiten. Die Vernachlässigung beträgt* 



) die alten Inder den rythBgoreiBi:lieu Lclirsatz iiQd daa Irriitiouale gekauiit? 17 

4>,0(7 Qüailrateinteiten, also wiederum viel mehr als der Feliier des savi- 
s(«hn, Bi'UK bemerkt') liier:£u: „Die Frage, wie groß lier luhalt ainea 

Irößertou iigni (Altiirs) genau, A. h, alles — auck jene V^erlängorimgen — 
irechnet sei, hat unsem Sutra- Verfasser nicht beschUftigt". 
Bei dem Vorhandensein aller dieser groben Vemuchlässigongen scheint 
lii unmöglicb, den alten Indern imd speziell den Sutraverfasaem gerade 
B den Buvisesha eme ganz unerhörte Feini'ÜMigkeit zuzutrauen. 
Doch ist nicht 7.n übersehen, dalj die drei Hutren Verfasser sich un- 
^itueu Konstruktionen gegenüber recht verschieden verhalten: besonders 
tritt der Unt«rschied zwischen Baudhayana und äpastamba auch hierin 
rror.2) 

■ Baidhavana vermehrt den 7 i fachen Altar um 1 Einheit richtig 
[Toller Wahrung der Gestalt; indem er nämlich jedes der 7 Quadrate 
Körper. Flügeln und Schwanz um -^ Einheitsquadrat vergrößert und 
auf diese Weise -jJj der A^'ermehrung für die Verlängerungen von Flügeln 
und Schwanz iihrig behält ^) Einen ganz besonderen Beweis seines 
kritischen Geistes gibt er, indem er die zur Quadratur des Kreises ver- 
wendeten -fl des Durchmessers, deren Genauigkeit Äpastamba versichert, 
„the gross aide of the Square" nennt;*) eine Kritik, die 'in den Sulba- 
sutren wohl einzig dastehen dürfte. Er allein gibt im Gegensatz zu dieser 
als „grol)" erkannten Quadratur des Kreises eine genauere Quadratseite an 

' + if.TS - i-ki + jTWreT» '''* E«relme.»i.r.. Wie THiDii-T 

lUgend nachweist,*) ist diese Formel die Umkehrung der in allen 

Ibanutren enthalteneu, oben") angegebenen Regel f[ir Verwandlung 

des Quadrats in einen Kreis; und zwar hat Baiipjiayana für diese Um- 

kebrung, welche nicht anders als rechneriBüh gemacht werden konnte, 

Thibaut Bum Ausdrui'k der Quadratdiagonale die savisesha- Regel 



MTVor.' 

rol 

Öri 



Balidhatana benutzt den saviseaha allein zu diesem Zweck; die 
Sutren Verfasser zur Heretellnng von rechten Winkeln und 
Quadraten , die Kommentatoren zur Berechnung von Diagonalen , „wo 
lauQGT Diagonalen in Frage kommen". Wenn TmiiArT diese ausgedehntere 
reniluDg des aavisesha vom Standpunkt der Genauigkeit verwirft,') 
I proceeding however, is not only useless, but ppsitively wrong, as in 
caeee caiculation cunnot vie in accuracy witb geometrical con- 
■ion*', 90 ist dem entgegenzuhalten, daß die mit savisesha berechnete 



^) A. «. O 55. S. 357, — 2) Vergl. S. ü. — 3) Piiiidit lü, 73. 

t JO, 21; Journal, 8, 25*. — 5) Jourual. S. 2.58, 25* 
I«) S Iß. - 7i Jonrnal, B. 241. 

uuuUca. III. Kolga. VU. i 



18 



HnKBK'U VoOT, 



DingoDüle nur um mniWii größer ist als die genaue, und der mit aavisesha 
hergestellte rechte Winkel einen genauen rechten Winkel nur um 5^5 Bogon- 
sekunden übertrifft. Diese durch die Rechnung verschuldeten TberschriBBe 
sind weit kleiner als die unvermeidlichen Ausfiihrungsfehler; ihr Vorhanden- 
sein wäre weder ku Bauhiiatanab Zeit noch heute mit Meßinstrumenten 
festzustellen. Der Grund tdr den sparsamen Gebrauch des aavisesha bei 
Bai'Dhayana kann also nicht der von Tuiiiact vermutete sein. Vielleicht 
ist es der, daß die savise aha- Formel gerade zu dem Zwecke ersonnen ist, 
zu dem Baudiiayana aie unentbehrlich findet, nämlich zur Umrechnung 
der Zirkulatur des Quadrats in die Quadratur des Zirkels, und daß nuiu 
erat später darauf verfallen ist, sie auch anderen Zwecken dteastbar zu 
machen. Es wäre dies eine Stütze der aus philologischen Gründen ge- 
machten Annahme, daß Baldiiavaxa älter sei als ArASTAMBA.') 

BArUHAVAJiA würde damit der Erfindung der saviseBha- Regel naher 
gerückt werden als die anderen Sutren Verfasser Sollte er aber, was nicht 
unmöglich genannt werden kann, selbst der Erfinder der Regel sein, ja, 
sollte er sogar ihre Ungenauigkeit erkannt haben, wogegen allerdings die 
gerade bei ihm sich findende Teilung der Längeneinheit in 34 Unterteile 
spricht, so hätte er zwar den ersten Schritt zur Entdeckung des Irratio- 
nalen getan; ihm aber auch den zweiten und dritten zuzutrauen, dafür 
liegt keine Spur einer Andeutung vor. Den anderen Sutren Verfassern aber 
dürfen wir aus der Häufung der oben dargelegten Gründe das Bewußtsein 
von der Ungenauigkeit des savisesha bestimmt absprechen, Ihnen ist nicht 
einmal jener erste Schritt geglückt. — 

Die Rolle eines handgreiflichen Beweises für die BekanntBchaft der 
alten Inder mit dem Irrationalen haben im letzten Vierteljahrhundert die 
Worte dvikarani, trikarani usw. gespielt. 

Cantoh sagt von it>n Sidhtisulren:^) „Die Auffindung der Seite eines 
2, 3, 10, 40nial so großen Quadrats, als ein gegebenes ist, geschieht durch 
allmähliche, sich wiederholende Anwendung des pythagoreischen Lehr- 
satzes , . . Dabei erscheinen Namen für V-, V^, ubw. gebildet durch Zu- 
sammensetzung der Zahlwörter mit dem von uns früher (S. 581, 1. Aufl., 
S. 527) erörterten Worte karana^THiUAUT, S. Iti),') also dvikarani = y'2, 
trikarani = V3> da^akarani = |10, eatvarin^akarani = V40 usw.'', S. 581 
(527) heißt es allgemein, ohne Beziehung auf die Sulhusulren: „Über die 
Potenz be Zeichnung hinaus hat sich aber der Inder auch noch zu einer 
Bezeichnung der irrationalen Qiittdratwuyssel einer Ziihl mit Hilfe des 
Wortes karana, geschrieben ka, emporsmsehwingen gewußt". Im Anschluß 

1) B(HK, n. B. O. 55, S 552 (Hinweis auf BübluiI. 

2) CucAüAl« der Malhematät 1', S. 599 (= 1', S. 544). 

3) Gemeint ist der Abdiuck tua JouriiBl of tbe Aiiifttic eocietv, 8. 24*2. 



k Aie alten IuiIit >leu Pytliagocei Heben Lobxsatz uuil <iaa Irratitiualo gekanuC? 

BD die erste Stelle sagt VON Scurokueu:') „Dies ist wiederum von 
büchsteiu Interesse, denn es tritt uns hier in den ^'ulvasütras deutlich due 
^Jfr^äanale entgegen", 

^^^■£)ie CAMOR-ScHROEDERsche Beweisführung ist nicht stichLoItig ; ihr 
^^H^ liegt darin, daß Cantob und voN SctisoEDER nicht zwischen deui 
^TiCTttnche der Worte drikaraiii usw. in den Sulbasutrcn uad in der 
späteren indischen matheiuatiBchen Literatur iinterBcheiden. Diese Ver- 
I ««cheliiug ist um so auffalbger, als Thibaut, der fiewährsmann heider, 

Potwöndigkeit dieser Unterscheidung sehr klar and Überzeugend darlegt. 
3ie Siilhasutreii gehen fast ausschließlich konstruierend und messend, 
rechnend vor: „Nothing in the sutras would juatify the aseumption 
fhat they were expert in long calculations". ^) Dadurch unterscheiden sie 
KJch vollständig von den späteren, 1000 bis 1500 Jahre jüngeren indischen ' 
Muthematilcem, auch von ihren Kommentatoren, welche durchaus arith- 
inetiscb denken und sich bemühen, die alten geometrischen Wahrheiten, 
mii Bie sich and ihren ZeitgenoBsen Terständlich und interessant zu 
uinchen, ins ArithmeÜBche zu übersetzen. „Ä geometrical truth intereats 
the later Indian mathematicians but in so far as it fumishes them with 
cimvenient examples for their arithmetical and algebraic ruiea; purelj 
fteometricul constructions, as the samäaa and nirhära (Addition und Sub- 
traktion) of sqnarea, described in the Suluasuttas, find no place in their 
^gtoigB,"*) 

^^^^ei BiiANKAltA (im 12, Jahrhundert n. Chr.) heißt der Bpezielle Py- 
^^Hfereiscbe Lehrsatz: „Die Quadratwur?:el der Quadratsumme der Seiten 
^^^^ie Diagonale". In den Sulbasutren aber heißt es; „Die Diagonale 
fliues (Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche hervor". (Die Diagonale) 
^Je6 QuiwlratB" {heißt darum seine) „dvikarani, die das doppelte Hervor- 
bringende". Das ist der rein geometrische Ausdruck derselben, von 
BiUSKAitA algebraisch ausgedrückten Tatsache: In den Sulbasutren bedeutet 
dvikarani nicht \2, sondern dvikarani ist die geometriach konstruierte, 
nicht die durch Messen oder Rechnen bestimmte Seite eines Quadrats mit 
'Icr Hache '2. Jeder Zweifel ist ausgeschloBsen durch die bei KATVAyANA 
hinzugefügte Erklärung:*) By the eipressious: karani, karani of that (of 
any sijaiire) etc. we mean cords. Deshalb ist Thiuai'Tb Auseinandersetzung 
UDUifechthur:^) „rajja (cord = Seil) is to be supplied to karani" und 
aide of a Square being caUed its karani, the side of a Bquare of 




)) PrwMonH und die Inder. H. 51. — 2) Thih^vt, J< 

Tmn>L-T, Jourukl, S 271; ok'HBO Ja» Folgende. 
1) 'buutFT, Journitl. S. '2U». 
■. a. 0., S. 288. 



al, 8. ; 



double the aize wae the 'dvikarani', the line producing the donble (I 
Ehall for convenienee saka often employ the terms „aide" or „line" instead 
üf „cord"'); this was therefore the name for the diagonal of a aqnare". 

Gerade weil dvikurani eine im Quadrat durch Konstruktion hergestellte 
Linie, ja das von Ecke zu Ecke gespannte Seil seihst war, deswegen 
brauchte man zur Unterscheidung für das Maß derselben Linie einen 
imdem Ausdruck; das eben ist der oben behandelte savisesha. 

Wenn nun in der spüteren indischen Mathemathik „the word karani 
is invariably used to denote a sord or irrational number; aa the commen- 
tators ex|)lain it, that of which when the square-root is to be taken, the 
root doea not come out exact". ') so hat sich hier im Laute vieler Jahr- 
hunderte ein Bedeutungswandel vollzogen : Von der konstruiert vorliegenden 
. Quadratseite ging die Bezeichnung über auf die ausgemesaene oder be- 
rechnete, und mit Verengerung des Begriffs auf diejenige Maßzahl, welche 
nicht in anderen Anwendungen, sondern allein als Maß einer Quadratseite 
auftrat, d. h. als irrationale IJuadrat Wurzel. „And"', so sehließt ThibaUT 
seine Abhandlung, „thus we aee that the aame word which expressed iu 
later times the highly abatract idea of the aurd number, originally denoted 
tt cord made of reeds which the adhvaryu stretched out between two wooden 
poles when he wanted to please the Immortels by the perfectly sym- 
metrical shape of their altar." 

m. 

Hätten die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt, so dürfte 
man aus diesem einen Grunde trotz mancher entgegenstehender Bedenken 
ihrer Geometrie diejenige Abstraktion und Wiasenaehaftlichkeit nicht ab- 
sprechen, ohne welche diese Erkenntnis ganz unmöglich ist. Mit dem 
Nachweis, daß sie diese Erkenntnis nicht besessen haben, fällt auch diese 
Nötigung weg. 

Die altindische Geometrie war rein praktisch und empirisch, von Ab- 
straktionen wie der Irrationalzahl weit entfernt; hat sie ja doch auch den 
Pythagoreischen Lehrsatz nur an Einzelfällen probierend, erkannt und mit 
subjektiver Überzeugung ausgesprochen, aber nicht auf den Rang einer 
objektiv begründeten wissenschaftlichen Wahrheit zu erheben vermocht 

So können die alten Inder in der Geschichte der Mathematik auf keine 
andere Sehätzung Anspruch erheben, als etwa die, welche bisher seit den 
Zeiten der Griechen die Ägypter genossen haben. Wie die Ägypter zum 
Zwecke der Feldmessung mancherlei geometrische Tatsachen empirisch 
bemerkten nnd praktisch verwendeten,^) so die Inder zum Zweck der üon- 



I 1) TioBAi-T, Journal, Ü. 274. 

) Die Zeugnuae boi Cahtou, Oescliklitc der Mathemulik I ', S. 58. 



I 



QtbHi dl« ftlten Inder den Pjtba^orei sehen LoliiBatz (lud das Irrationale gekannt? '2l 

«tniktion ihrer Altäre. M«g auch ihr Wissen über dag der Ägypter er- 
iieblich bicauegegangea Gein, so künnen sie iu der Geometrie als Wissen- 
schaft die Lehrer der ISriecheii ebensowenig gewesen sein, wie die Ägypter; 
aus dem sehr einfachen Grunde, daß beide nicht geben konnten, was sie 
«elbst nicht hatten. Mögen die firiecben stoffliche Anregungen, sozusngen 
geotuetrlBches Itohinaterial den Völkern des Oriente entlehnt haben: nach 
allem, was wir wissen, bleibt es wahr, wenn Pkokli's') einem Griechen 
luehrQhmt, ilaß er „Tt)v jieqI arrijv <pi-AoOoiplav eig Ox^/ix iraiÖElng 
iievOiQov fiErionjOty, äviuÖEV rüg dQ^äg adTfjg imOKOjiovfiSfOg Kai M^iog 
Kai votQf'ig rä ^EOjgijfinTa üieQein'u/ifyog-. Nicht Orientalen, sondern 
liriechen haben diese weltgeBohichtUche Leistung vollbraeht; erst bei ihnen 
finden wir die Methoden und Theoreme „des immuterieUen, abstrakten 
);pometr lachen Forschens", die ihnen die ganze vor ihnen und um sie herum 
(üistierende Welt nicht hatte geben können. 

)Iag der Pythagoreische Lehrsatz als empirische Erfahrung zuerst 
von Indem oder Ägyptern aul'gestellt sein, oder mögen sich seine Anlange 
im t'rwiBsen der Menschheit verlieren, als wissenschaftliche Tatsache ist 
T ^iechisch ebenso wie die Erkenntnis des Irrationalen. 

Wir sind meiner Ansicht nach nicht genau genug unterrichtet, um 
lYniAriORAs selbst diese Entdeckungen mit Sicherheit zuschreiben zu 
kSones;^ »her in seiner Schule sind sie bestimmt gemacht worden. Das 
KJiai wir dsiraue, dafi sie zu Platos Zeit vorhanden waren und von Plato 
Bid Ahistotkles den Pythagoreorn zugeschrieben werden. — 

Wird neuerdings allgemein zugestanden, daß die Griechen nicht die 
Lehrmeister der alten Inder gewesen sein können; geht aus meinen Au»- 
ßlbningen hervor, daß die Griechen nicht umgekehrt ihre Geometrie aus 
indiacher (Juelle geschöpft haben können, so bloiheu für den L'rsprung 
Jm Geometrie drei Möglichkeiten. 

Uie erste spricht Caktoh aus:'') „Es kam mir der Gedanke, ob nicht 
m den Zeiten, welche wir als uralte zu bezeichnen pSegen, also rund aus- 
SeupTochen jetzt vor drei bis vier Jahrtausenden, schon ein dem ganzen 
damaligen Kai turge biete, also Vorderasien und Ägypten gemeinsames nicht 
guiz unbedeutendes mathematisches Wissen" (z. B das rechtwinklige 
Dr«i«ek H, 4, b) „vorhanden gewesen sein könnte, welches sich je nach 
der Begabnng der einzelnen Völker bald nach der einen, bald nach der 
uderen Itichtung weiter entwickelte?". Zweitens konnte in historischen 
2«ten geometrisches Wissen an verschiedenen, voneinander nnabbängigen 

I) Piocu Ommtntarii in Evctu-ir ekm. 1, ed Fiukdi.ein {Leiptig 1873), p. 65. 
t] INe Utereo Forscher (ZcuilUh, Bamku.] aind mit Recht hierin sniückh alten der 
>!• nanche N>ti«reu- 

31 Cjjüoi., Arch. der Mathem. N^, 1905, S, 71. 



u 



22 ÖEiHRicn Vogt. 

Stellen entstanden sein. Diese Vorstellung ist zur Zeit die unbeliebteste, 
zumal bei den Erforschern des alten Orients. Aber ich meine, man hat 
doch kein Recht, sie mit Windisch und Bürk^) als Glauben an „einen 
wunderbaren Fall von prästabilierter Harmonie" abzuweisen, zumal wenn 
man nicht nur die, zum Teil durch den gleichen Stoff bedingten, Überein- 
stimmungen, sondern auch die Unterschiede des Inhalts und der Methoden 
gebührend würdigt. Endlich könnten die Griechen die Regeln der ägyptischen 
Feldmeßkunst oder der indischen Altarbaukunst auf irgend einem Wege 
erhalten und als Grundlage und Rohmaterial für die Geometrie benutzt 
haben, die sie darauf in eigenem Geiste erbauten. Das ist die überlieferte, 
nicht erwiesene aber auch nicht widerlegte, Vorstellung, nur daß jetzt die 
Inder in Konkurrenz mit den Ägyptern treten. 

Eine Entscheidung zwischen diesen drei Möglichkeiten dürfte zur Zeit 
wissenschaftlich nicht zu begründen sein. 

Nachtrag. 

Durch die Güte des Herrn Herausgebers dieser Zeitschrift werde ich 
nach Vollendung meiner Arbeit auf einen sehr beachtenswerten Vor- 
trag aufmerksam gemacht, den Zeuthen unter dem Titel „Theoreme de 
PrTHÄGOREf^; origine de la geometrie scientifique auf dem zweiten inter- 
nationalen Kongreß für Philosophie zu Genf September 1904 gehalten hat 
(abgedruckt in den Comptes rendus du Congres, Geneve 1904). 

Ich freue mich, in wesentUchen Punkten Übereinstimmung mit meinen 
Anschauungen feststellen zu können. Der Vortragende scheidet die 
empirischen Anfange der Geometrie, welche auf „Intuition simple" beruhen, 
von der „geometrie propre" oder „scientifique". Erstere findet er bei 
mehreren orientalischen Völkern, besonders bei Indem und Ägyptern; zur 
wissenschaftlichen Geometrie sind erst die Griechen vorgeschritten; und 
zwar war der entscheidende Schritt die Entdeckung des Irrationalen und 
Inkommensurablen (S. (S52): „C'est ä eux que se rattache la premiere 
connaissance de quantites incommensurables que nous rencontrions dans 
rhistoire, et cette connaissance a provoque ensuite les demonstrations 
geometriques que nous devons aux Grecs". Die Inder haben sich zur Idee 
des Irrationalen nicht erhoben (S. 851 Ende): „Mais les Indiens ne se 
sont sans doute jamais pose la question plus abstraite de savoir s'il etait 
en verite absolument impossible de trouver une &action numerique egale 

a ]2 — 1"; savisesha haben sie vermutlich für genau gehalten (S. 851 
Anfang): „et alors on aura pu regarder ces mesures comme exactes". 



1) BüBK, a. a. 0. 56, S. 575. 



Hftben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt? 23 

Die Worte Batjdhayanab, „Das sieht man an den Rechtecken usw." 
(siehe oben S. 9) sieht Zeuthen wie Thibaüt und ich im Sinne ihres 
Urhebers „comme demonstration du theoreme de Pythagore" an (S. 816); 
endlich (S. 850) : ^^ous ne savons pas si la connaissance du ^^theoreme de 
Pytiiagore^' a un origine unique, ou s*il y a eu plusieurs decouvertes 
independantes ni^ dans le demier cas^ si on y est parvenu de la meme 
roaniere ou par des procedes diflferents". 

Dagegen scheint mir der Rekonstruktionsversuch^ den Bürk für die 
indische Herleitung des allgemeinen Pythagoreischen Lehrsatzes mit wesent- 
licher Ausnutzung des Gnomon gibt^ festeren Anschluß an die Methoden 
der Sulbasuiren zu haben als der BREXSCHNEiDERsche, auf den Zeuthen 
zorückgreifL Ähnliches dürfte für die beiden Versuche gelten, die savisesha- 
Regel herzuleiten (S. 850, 851). Der erste will diese Formel allein aus 
Messung hervorgehen lassen und dürfte damit weder ihrer Genauigkeit noch 
ihrer eigentümlichen Form gerecht werden; der zweite benutzt die Formel 
2 = o* ± 2ax + x^ zu einem rein rechnerischen Verfahren und traut damit 
den alten Indem eine Rechenkunst zu, welche nach dem Ausweis der 
Quellen und dem Zeugnis Tuibauts erst ihre späteren Nachkommen be- 
sessen haben. Thibaut, der in diesem besonderen Punkte wie im all- 
gemeinen mehr Beachtung verdient, als er bisher gefunden hat, dürfte 
mit seinem Herleitungsversuche der Wahrheit wohl näher gekommen sein. 



24 6* EnesthÖm. 



Über die ,J)emonstTatio Jordani de algorismo". 

Von G. Eneström in Stockholm. 

In meinem Aufsatze über den Algorithmus deinonstratus^) wies ich im 
Vorübergehen darauf hin, daß der von Chasles erwähnte „Algorismus 
Jordani" kaum mit dem von Schöner 1534 herausgegebenen Algorithmus 
demonstrcUus identisch sein kann. Damals glaubte ich freilich nicht^ daß 
ich irgend einen Anlaß bekommen würde, mich mit jener Algorismus- 
Schrift zu beschäftigen, und ich empfahl darum diese Frage meinen Fach- 
genossen. Indessen bin ich später durch gewisse Umstände angeregt 
worden, selbst einen Beitrag zu deren Erledigung zu liefern. 

Kurze Zeit nach der VeröflFentlichung meines soeben zitierten Auf- 
satzes erhielt ich von Herrn P. Dühem den Artikel Sur r Algorithmus 
demonstratus, der im vorigen Jahrgange der Bibliotheca Mathematica 
zum Abdruck gebracht wurde,*) und hier fand ich') die Bemerkung, daß 
die Anfangs- und Schlußworte der Algorismus-Schrift des Cod. Dresd. 
Db. 86, welche Schrift Curtze als eine Abschrift des Algorithmus demon- 
stratus bezeichnet hatte,*) nicht mit denen der Schöner sehen Druck- 
ausgabe übereinstimmen. Etwas später, aber jedenfalls vor dem Erscheinen 
des DuHEMschen Artikels, teilte mir Herr A. A. Björnbo mit, daß der 
Cod. Dresd. Db. 86 in Wahrheit einen bisher fast unbekannten Text ent- 
hält, der gar nicht wörtlich mit dem Algorithmus demonstratus überein- 
stimmt. Der Umstand, daß Cuktze die zwei Texte verwechselt hatte, ver- 
anlaßte mich dann zu der Vermutung, daß der Cod. Dresd. Db. 86 gerade 
den echten „Algorismus Jordani*' enthält,^) und ich bekam recht bald 
zwei Stützen dieser Vermutung. Herr Björnbo teilte mir nämlich mit, 
daß er auch andere ältere Handschriften (d. h. aus dem 13. Jahrhundert) 



1) G. Enestböm, Ist JoBDAsvs Nkmokabius Vcrfosser der Schrift „Algorithmus 
demonstratus"?; Biblioth. Mathem. Ss, 1904, S. 13—14. 

2) P. DuHEM, Sur VAlgorithmus demonstratus; Biblioth. Mathem. 6s, 1905, 
S. 9—15. 

3) P. DuHEM, a. a. 0. S. 12. — 4) Vgl. Eneström, a. a. 0. S. 10. 

5) G. Eneström, über die Bedeutung historischer Hypothesen für die mathematische 
Geschichtsschreibung ; Biblioth. Mathem. 63, 1905, S. 2. 



Cber die „DeraooBtratio 



e algonemo" 



25 



PTextee des Cod. Dresd Db, 80 au%efuiiden hatte, und daß einige 
derselben ausdrücklich dem Jokdani'S zugeschrieben waren; noch dazu 
bemerkte ich seihet,') daß der von Cantor erwühpte „Algorismus Jordani" 
des Cod. Philipps Hi34ä offenbar dieselben Anfangsworte wie die Algorismua- 
Schrift des Cod. Dresd. Db. MG hatte. 

Dadurch war also konstatiert, daß es im 13. Jahrhundert eine ziemlich 
rerbreitete, von dem Algorilhmiis denionstratas verschiedene AJgorismus- 
?ichrirt gab, die schon damals dem JuBDANits zugeschrieben wurde. Auf 
der »nderen Seite hatte ich selbst darauf hingewiesen,*) daß die von 
CiiASi.ES und WAPrLEil erwähnten Handschriften, die auch angeblich einen 
.^JgorismuB JonüAXi" enthalten, sehr wohl einen anderen Test bringen 
konnten, und noch dazu wußte ich, daß der Cod, Ottobon. 301) der 
V'iitikani sehen Bibliothek in Rom eine Algorismus-Schrift enthält, die nach 
dem Handschriftenkataloge den Titel: „Jorüanis Nemorarii Tractatus duo 
de Numeris et de Minutüs" hat, und mit den Worten „Communis et 
wnsuetus" beginnt.^) Es zeigte sich also, daß die Frage: „Welche 
Algorism US-Schrift bat JuRrtANi'.s wirklich verfaßt?" sehr verwickelt ist; 
ich entechloB mich darum, vorläufig von jedem Versuche der endgültigen 
Erledigung dieser Frage abzusehen, und mich wesentlich auf eine nähere 
Untereuchung der Algorismus- Schrift, von der sich im Cod. Dresd. Db. Hfi 
pihb Abschrift findet, zu beschränken (im folgenden nenne ich sie zuweilen 
„Älgorismua Jordani", ohne dadurch zu behaupten, daß sie nachweislich 
ton JoRi*AJJrs verfaßt ist). Ich habe mir darum eine photographische 
Kopie des oben erwähnten „Algorismus Jordam" des früheren Cod. 
iTiilipps 1*1345, jetzt Cod. lat. 4" 510 der kgl Bibliothek in Berlin ver- 
»chafft. Kreilicb ist die Handschrift (Bl. 72''— 77* der genannten (^od. 
kL 4" ÖIO) wegen der vielen Kompendien ziemlich schwer zu deuten, 
über meine Lesung ist dadurch erleichtert worden, daß Herr BjüiuiBo mir 
I Abschrift des Cod. Dresd. Db, 80 zur Verfügung stellte. 
(Die AlgorismuB-Schrift hat in der Berliner Handschrift den Titel: 
istratio magistri Jordani de algorismo".'') Sie enthält zuerst einige 
D^oitionen und dann 34 Sätze, und der Text ist, wie Herr Bjöiwbo 



I) Bibliutk Mathera. dg, ltlU5, ä. 310-911. 
iliotb. Mathem, ßu, 1905, S. 2, 311. 
I 8) Si«b« B. BoMcouj'iaNi, IiUomo ad un trattalo d'arilmetica utampato nel I4TS; 

accnderoift pontificift de' auovi Lincei IR, 1863, S. 754. 

I 4i IjBmittelbar nach dem „Demonstratio magistri J'niiMm Je algoriamo" Tolgt 

L lat. Berol. 40 610{B1. 77a— 8I1>) eine anonyme „Deniongtratio de minuciia" in 

kdhan Stila wie die „Demonstratio de algoriBmo", Diese „Denioostratio de 

Mii«" findet rieb in den meisten Hand Schriften, die die „Demonstratio de algorisnio" 

md wird in einigen dem JuRnuciis xiigeachrietien. 



26 6- Ehsstbom. 

richtig bemerkt hat^ ein durcliaas anderer als der des Algorithmus de-- 
manstratuSy nicht nur in betreff des Wortlautes, sondern auch zum großen 
Teil hinsichtlich des Iijialtes. Im folgenden bringe ich zum Abdruck 
die Definitionen und die Sätze und füge die nötigen erläuternden An- 
merkungen hinzu. In betreff des Abdruckes der Definitionen und der 
Sätze hebe ich hervor^ daß ich keine textkritische Ausgabe zu bieten 
beabsichtige; nur an solchen Stellen^ wo der Text offenbar keinen richtigen 
Sinn gibt, habe ich versucht^ den Text zu verbessern In den Erläuterungen 
bedeuten die Buchstaben a, h, Cj d überall ganze Zahlen kleiner als 10 
und m, n beliebige ganze Zahlen. 

Definitionen der „Demonstratio magistri JOBDAKI de algorismo^^ 

1 Figure^) numerorum sunt novem 1.2.3.4.5.6.7.8.9, et est 
prima unitatis, secunda binarii et sie deinceps, 

Ordo locorum figurarum a primo loco incipit in infinitum procedens, 
et a dextra incipiens terminum non accipit a sinistra, 

Omnia loca prime differende pro eodem sumuntur. Omnia a prima 
equidistanci<jL pro eödem. 

„Differentia" ist bekanntlich bei den Algorithmikern der Term für 

Stelle oder Rangordnung der Ziffern. 

2. Numerus simplex est qui una sola representatur figura. 

3. Digitus est nu7nerus a quo figura denominatur sive quicumque primo 
loco tina sola representatur figura. 

4. Articulus *) est numerus denarius vel qui precise constat ex denariis. 
Item artictdus est numerus qui poiest dividi in decem partes equaies. 

5. Cofnpositus mwiems est quem diverse representant figure vel una 
pluries sumpta. 

6. Suplementum loci est sciffula vel sciftda est Signum loci vacui a 
figura. 

„Sciffula" ist vermutlich eine Verketzerung von „ciphre". Das 
Zeichen Null kommt in der „Demonstratio de algorismo'' nicht vor. 

7. Numeri simplices a loco primo equidisiantes dicuntur eiusdem 
numeri differende. 

Die Zahlen 1 . 10^ 2. 10^ , 9. 10" gehören also derselben 

„differentia" (vgl. Def. 1). 



1) Im Cod. lat. Berol. 4^ 510 fehlt das Wort ,,Figare'^ Der Abschreiber hat nämlich 
einen Kaum offen gelassen, um das Wort später mit sehr großen Buchstaben einzutragen. 

2) Die Definition 4, die im Cod. lat. Berol. 4^ 510 fehlt, ist nach dem Cod. Dresd. 
Db. 86 ergänzt. 



Übei die , Demonstratio Jordani de algorismo^. 27 

8. Numeri prime differencie que dicitur differencia unitatum ah unifate 
seaindum ipsius addicionem ordine naturdli procedunt usque ad denarium. 

Die Zahlen 2, 3, . . . . , 9, sowie 10 werden durch sukzessive 
Addition von Einem erhalten. 

9. Omnis figura per se considerata aliquant simplicium numerorum 
prime differencie representat 

Identisch mit Def. 2. 

10. Omnis differencia IX continet numeros sectindtim quantitatem primi 
ipsorum se transgredientes. 

11. Omnis differencie numerus primns tociens sibi coacervatur, uf 
ex singulis coacervationü)us singuli reliquorum eiusdem differencie nume- 
rarum et primus sequentis differencie fiant. 

Vgl. ohen Def. 8. 

12. Numeri similes sunt quos eadeni figura representat. 

Ähnliche Zahlen sind von der Form o. 10** (a gegeben, n beliebig). 

13. Equidistantes numeri sunt inter quos continue se sequentes sunt 
diffn-encie numero equales. 

Die Zahlen a . 10*", b . 10" sind äquidistant, wenn ;w — n nicht 
verändert wird. 

14. Idem est limes^) et differentia. Numeri similes in omnibus 
differenciis equidistant a primis. 

15. Adder e est duobus propositis numeris summam conjunctorum 
reperire. 

16. Detrahere est superfluum maioris ad minorem extrahere, 

17. Duplare est dati numeri duplum invenire. 

18. Dimidiare est dati numeri paris dimidium sumere, et imparis 
tocius detracta unitate, 

19. Multiplicare numerum est numerum producere qui tociens utrum- 
libet propositorum contineat quociens in reliquo unitas continetur. 

Das Produkt p zweier Zahlen m\ und m^ ist so beschaflfen, daß 
P'.mi = mi:\. — Vgl. Euklides, Elementa VJI def. 15. 

20. Dividere est numerum maximum extrahere quem tociens dividendns 
contineat^ quociens unitatetn dicisor. 

Der Quotient q von d\ durch d2 ist so beschaffen, daß d\\q = d2'A. 



1; In der ganzen „Demonstratio de algorismo^* wird das Wort ,,lime8^^ ßonst nie 
gebraucht. 



28 ^- Enestböm, 

21. Radicem extrahere est stibscribere numerum qui in se ipsum ductus 
dati numeri sumtnam vicinius conmmet. 

Die in den Definitionen angewendeten Kunstwörter sind also^ ab- 
gesehen von den Namen der Rechenoperationen: ^^figurae numerorum% 
„circulus" (? „seifule"!), „difFerentia" (,^mes" nur im Vorübergehen), 
„digitus", „articulus", „compositus numerus". Noch dazu werden als Kunst- 
wörter aufgeführt: „supplementum loci", ,,numerus simplex" ,,numeri similes", 
,,numeri aequidistantes". 

Sätze der „Demonstratio magistri jOSDAin de algorismo*'. 

1. Suniptis simüihus numeris per singtäas differencias, a prima ^ eos 
sihi continue secimdtwi nomina muUijüices esse conveniet. 

Wenn ai = a . 10, «2 = « • 100, 03 == a . 1000, . . . . , so ist 
a\ = 10a, 02 = lOai, «3 = 10a2, ... 

2. Numeri similes et eque ab invicetn distantes sunt proportionales. 
Wenn ai = a . 10, 02 =' a . 100, 03 = a . 1000, . . . . , so ist 

a : Ol = ai : aj = a2 : «8 == . . . . 

3. Si fuerit primus ad secundum sicut tercius ad quartum , si primo 
et tercio equales numero differencie addantur vel detrahantur, tum quoque 
eisdem eosdem proportionales esse necesse est. 

Wenn a:h = cid, so ist a . 10*» :b = c. 10" : d. 

4. Proportionales numeri, et sibi ah invicem equedistanfes, similes eruni. 

ümkehrung des Satzes 2. 

5. Omnis numerus Simplex extra differenciam primam par est. 

a. 10" (w^ 1) ist eine gerade Zahl 

6. Numero compositoper suas dijferencias disposito, si prima differencia 
racua fuerit, totus erit par. 

a . 10 + ft . 100 4- c . 1000 -\- ist eine gerade Zahl. 

7. Disposito quolihet numero per suas dijferencias, si in prima differencia 
fuerit numerus impar, idem erit impar totus, si autem par, et idem totus par. 

a + 6 • 10 + c . 100 -{-... ist ungerade oder gerade, je nachdem 
a ungerade oder gerade ist. 

8. Si fuerit numerus in prima differencia quadratus, similis ei tantum 
vel alii quadrato prime differencie in impari differencia quadratus est. 

Wenn a^ eine Quadratzahl < 10 ist, so ist «- . 10^" eine Quadratzahl. 

9. Omnis numerns simplex ßt ex ductu sui digiti in sue differencie 
numerum primum. 

a.lO" ist gleich a.(l .10"). 



über ilie „Demonabatio Jordimi 'le algoriBo 



20 



10. /n pari differencia non est »umrrus quadratas. 

d j(j2n + i jg(_ jj^ß gjjiß Quadratzalil, 
llt Omnis siinpliclK numeri radix est numerus simplex. 

Wenn o . U'" eine Quadratzahl ist, so ist die QuaHratwurzel dieBer 
Zahl von der Form h . 10'". 

12. Omnis differencie primus et tiUh)ius nunienis sunt hiuquam sub- 
ntia immediate primus. 

1. 10" + 9. 10» ist = 1 ,lÜ"+>. 

13. Samptis singulis numeris per omnes differencias eoriim, omni 
mero subsequenti cas summam minorem esse nccesse est. 

i> + 9 . 10 + 9 . 10^ + . . . . + . 10" *' ist kleiner als 10". 

14. Etiudem numerum impossihüe est diversis modis represeniari. 
Wenn J — « + ft. 10 + c. 100 + , eo sind die Zahlen a, 

, C, . , . , eindeatig bestimmt, sobald Ä bekannt ist. 
16. Omni« differencie qiiüibet numerus cquatur suo digito, et omnium 
tctdeniium differencianmi maximis numeris tociens simul SMf»p/»s quociens 
in eodem digito. 
,10" ist = a + a (il + !l . 10 + . . , . 4- !' ■ 10"-i). 

16. Omnes maxim! dijf'erenciarum lerciam partem hahent. 
Jede X^bl von der Form 9 . 10" iet ein Multipel von 3, 

17. Cuiuscunque numeri digiti simul sumpti terciam partem kabeiil, 
tum quoqite terciam partem habere necesse est. 

Wenn die Ziffernsumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, so ist auch 
die Zahl selbst durch 3 teilbar. 

18. In prima differencia eadem est addicio nunierorum que figuranim 
tominaniitim. 

Der Satz, der nur besagt, daß a + b= a-{- h, ist offenbar nur 
wegen des folgenden Satzes aufgeführt. 
10. In omnla differencia articitli agregantur ratione digitorum addicione 



a . 10" + h . 10" ist = (« 4- Ä) , 10". 

20. Si duo numeri eiusdem differetme aibi agregantur, compositus ad 
$ettaidiim numcntm sequeniis differencie non parvcniet. 
a.lO" + i.lO" ist kleiner ids 2.10" + !. 
41, Duobus numeris propositis alterum atteri addere. 

Das gewöhnliebe Additionsverfahren ohne Zahlen beispiel. Der 
kleinere Hunimnnd wird immer tmter den gröBeren gesetzt. Keine 
IVobe, Kunstwörter: „addere", „additio", „major numerus", „minor 
nameras", „summa", „additus", „aggregatua" (vgl. Def lö). 



30 ^- Enestböm. 

22. Ä numero maiore numerum minorem quendibet detrahere. 

Das gewöhnliche Sabstraktionsverfahren ohne Zahlenbeispiel. Das 
Borgen nicht wie im Liber algorismi de pratica arismetrice^) und 
auch nicht wie bei Leonardo Pisano^) sondern wie es jetzt üblich 
ist^ d. h. man entlehnt oben bei der nächsten Stelle^ nimmt die 
Summe von 10 und der kleineren oberen Ziffer, und zieht davon 
die untere größere Ziflfer ab. Probe durch Addition. Kunstwörter: 
„detrahere", „detractio", „major numerus", „residuum*' (vgl. Def. 16). 

23. Numeri dati duplum assignare. 

Verdopplung; man beginnt links. Kein Zahlenbeispiel. 

24. Propositum mimerum restat dhnidiare, 

Halbierung; man beginnt rechts. Wenn die Zahl ungerade ist, 
wird 1 subtrahiert und statt derselben im Resultate \ hinzugefugt. 
Kein Zahlenbeispiel. 

25. Si proponantur duo numeri et alter per alterum multipUcetury 
primique numeri circuli ad aUerius principium tranferantur ^ ex ita 
sumptorum muJtiplicatione eundem provenire fiecesse est. 

Wenn Ä und JB zwei beliebige ganze Zahlen sLud, so ist 

26. De media unii^ numeri ad aUerius principium^ utproducti equaiitas 
servetur^ non est transferre circulos. 

Im allgemeinen ist 
(tt.100 + 6) (c.lO + e?) nicht gleich (a.10+6) (c . 100 + d. 10). 

21. Ad medium vero alterius translatis circidis in proportionalibus 
tantum fmmeris, eveniet equalitas productorum. 
Wenn a:b = c:df so ist 
(a .100 + b) (c . 10 + d) ==(a . 10 + b) (c .100 + d). 

28. Datum numerum per se multiplicare vel per quef)Uibet alium. 
Multiplikationsverfahren wie im Liber algorismi de pratica aris- 

metrice.^) Kein Zahlenbeispiel. Keine komplementäre Multiplikation- 
Keine Probe. Kunstwörter: „multiplicare", „multiplicatio", „multipli- 
catus" oder „numerus superior", multiplicans" oder „numerus inferior", 
„productus", „promovsre ad dextram" (vgl. Def. 19). 

29, Numeris inequalibus si differencie numero equales preponantur^ 
inter totos etiam erit inequalitas non permutata. 

Wenn a<b, so ist 10 a + c < 10 ft + d. 



1) Siehe Trattati d'aritmetica pubhlicati da B. BosvoMVAani II, Roma 1857, S. 33. 

2) II liber abbaci dt Leosardo Pisaso^ pubblicato da B. BoycoMPAOMy Rotua 1867, 
S. 22. 

3j Trattati d'aritmetica 11, S. 38—41. 



tber die „ÜemonstralLO Jordai 



3 alKor 



31 



Si tiMmro minori una versus dextram differencia adjicialur, 
r de ipso plus novies non dfib-ahetur. 
Wenn a •C.h, so ist - . — hochatena gleich 1' iinil i'ineni eigent- 
I lichein Brnche. 
■Sl. Datum ntimerum per qucndibel minorem dividere. 

Division wie im Liber algoHsmi de pratica arismctrice*). DaÜ 
I Aaa Verfahren eine Überwärtadiyiaion ist, wird nur ganz beÜäutig 
durch die Bemerkung „Numerus ille secundum quem facienda est 
detractio, altiiis eeteris statuendus erit" angedeutet. Kein Zahlen- 
heispiel, Probe durch Multipliiation im Vorübergehen angedeutet. 
Kunstwörter: „dividere'', „dividendus" oder „numerus superior", 
„divisor" oder „numerus inferior", „versus dextram transferre"; kein 
Wort für Quotient (vgl. Def 20), 

ii. Eqitidistantia siniplicium niimeroritw intcr proxiinos prodiichntDi 
t ipm duplieata constabit. 

Wenn ai=a 10, a^_ = a. 100, Oj = a . UM.», so ist 



38. Numerus diff'erendarum a quibus radix est extruhenda , dupluvi 
il'tfaenciarum radicis non excedet. 
fi Die Ziffemzahl einer Zahl ist höchstens das doppelte der Ziffem- 

^^K labl ihrer Quadratwurzel. 
^^^B S4. Propositi numcri radicem exlrahen: 

^^^M QuadratwuFzelausziehen (beinahe ein Drittel der ganzen Älgorismus- 

^^^K Schrift) wie im Liber algorismi de pratica arismetrice ,^) aber ohne 

^^^P ^ihlenbeispiel. Nach der allgemeinen Regel ein lauger Beweis der- 

[ «elben, wobei angenommen wird, daß die Zahl a .b c . d . e .f 

[d . h . a . lOOÜOO + b . IWW + c . lOOO + d . \W + e . 10 + /^, die 

Quadratwurzel g .h.k{A.h -g . l'.Ht + A . 10 -|- ft] ist. Zuletzt der 8ntz 

\a-\-b-\- c)*= a» + [b + cy + •2a{b + c) = «'' + 2a?. + 6> + 2ac 

4- 2/>c 4" c*. Keine Probe Kunstwörter: „radii", „extrahere", 

|i „qnndratus", „versus destram promovere" oder „transferre", „dncere 

^^K numerum in se" (vgl. Def 21). Hier kommt dos Wort „scifule" 

^^^1 (vgl. Def l>) vielfach vor, aber als Zeichen desselben wird nicht 

^^H Null Bondem p, q, r benutzt. 

Wollte man auf Grund des vorhergehenden Berichtes die „Demonstratio 

■' alftürismo" kurz charakterisieren, so kimate man sagen, daß sie einen 

■«inch ist, das EUKLluische Lebrgebüude uuter Bezugnahme uuf die 

1, TratUUi d'arUmHka U, S. 41—49. — 2) Traltali li' itritmetica U, S. 75—78, 



i 



32 



G ENtüSTHllu, 



arabiBche Rechejikimst zu ergänzen Daß die Form dnrclians EiKunisir)) 
ist, sieht man sofort aus den Sätzen, von denen sehr viele ofTenbiu' nur 
deshalb aufgeführt worden sind, weil sie nötig waren, um gewisse aniiere 
Sätze zu beweisen. Daß Ei'KLii»Es dem Verfasser als Muster gedient hnt, 
sieht mau noch deutlicher aus den Beweisen der .Sätze, und als Beleg 
drucke ich hier den Beweis des 11' Satzes itb, 

Sint ergo a et h articuli quinte differentie et aggregentur sibi 

ratioue digitomm; dico quod conveniens est addicio. Sit enim additus 

ex eis ratione digitorum c . d sit iligitus (i . tf sit digitus 1/ . f sit 

aggregatns ex d .e ut prius de prima docuimuB differencia. Ouni ergo 

eedem figure que repreaentent c represeotent /'. hoc est additionem 

äeri ratione digitorum per secundam, sicut est c ad j', ita est a ad rf 

et b ad e. Ergo sicut est c ad f, ita sunt a et h ad d et e, ergo 

pernmtatim fiicut est c ad a et h, ita / ad d et e. Sed /' est equiUe 

rf.fi ergo c est equale a .Ij quare conipetens est addicio. 

Will man deo Beweis in unsere mathematische Sprache (ibersetxen, 

so kann man der Übersetzung folgende Form geben Seien a = m H.'*, 

i = n . 10* die zwei Zahlen. Wir setzen femer c = (m + m) . 1(J*, d ^ m, 

e^=n,f=m + "- Dann ist c: f^a:d = b: p, also c:f^ (a ■{• b):(d -i- e\ 

oder c : {a + b) ^ f : (d + e). Aber f=d-i- c, also c = o + '», d. h, 

»*.in* + H.io* = (»j + m),10*. 

Hinsichtlich des Inhaltes sind natürlich die Sätze 21 — 24, 28, 31, 34 
die wichtigsten, und man könnte sogar sagen, daß die übrigen 27 Sätze 
eigentlich nur deshalb aufgeführt sind, weil sie jene 7 Sätze vorbereiten. 
Daß man in betreff der Rechenoperjitionen nichts neues aus der „Demon- 
stratio de algorismo" lernt, ist selbstverständlich, da der Zweck der Äb- 
handlting war, die Richtigkeit der damals gebräuchlichen Rechenoperationen 
zu beweisen. Wie gründlich der Verfasser der „Demonstratio" dabei ver- 
fuhr, geht am deutlichsten aus dem 14. Satze hervor, der besagt, daß jede 
Zahl nur auf eine einzige Weise durch die neun Ziffern und Null dar- 
gestellt werden kann. Bemerkenswert ist. daß der Verfasser durch den 
15. Satz die Neunerprobe vorbereitet, aber den Satz, der dieser Probe zu- 
grunde Hegt, nicht ausspricht, während er im 17. Satze ausdrücklich angibt, 
daß eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Ziffernsumme ein Multipel 
von 3 ist. Übrigens acheinen gewisse Sätze darauf hinzuweisen, daß der Ver- 
fasser der „Demonstratio" mehr an die griechischen als an die arabischen 
Zahlzeichen dachte, als er seine Abhandlung redigierte {vgl. z. B. Satz 9). 
Wie schon gesagt, ist der Zweck dieses Artikels wesentlich, Auskunft 
über den Inliatt der „Demonstratio de algorismo" zu geben, aber es scheint 
mir nicht unangebracht, hier auch die Frage über den Verfasser dieser Schrift 
zu berühren. Daß dieselbe schon im 13. Jahrhundert dem Jokdaml's zu- 



über die „DemODStrfttio JoidaDi de olgoriamo". 



33 



geschrieben wurde, ist ja ein nicht ganü unwichtiger UmBtand, aber es 
wS« oat&rlich erwünscht zu wisBen, teils ob es andere umstände gibt, die 
beBtätigen, daß Jordänfs wirklich der Verfasaer ist, teils ob vielleicht 
Gründe aafgefiinden werden können, aua denen man die Schrift dem 
JoKUAKts aberkennen muß. 

Zuerst möchte ich darant' hinweisen, daß M. Cuktze in der Ein- 
leitung EU seiner Ausgabe der Geometria sive de trianffulis libri quattitor 
lies JoRRANüB gelegentlich eine Bemerkung einfügt, die anscheinend flir 
die hier gestellte Frage von großer Bedeutung ist. Cititze sagt nämlich 
in betreff dea 3 Buches der Geometria, daß darin der „über de BimilibiiB 
arcahaH*' mehrfach zitiert wird, wie im 2. Buche die „Arithmetica" nnd 
der Algorithmus".^) Leider muß ich konstatieren, daß diese Bemerkung 
inkorrekt ist, denn ich habe die ganze CuiiiZEsche Ausgabe der Geometria 
durchgesehen, ohne ein einziges Zitat zu entdecken, das sich auf eine 
Algori am US-Schrift bezieht; dagegen ist es durchaus richtig, daß Joicuanus 
mehrfach aeine „Arithmetica" zitiert, und zwar das 2. Buch, das bekanntlich 

. Yerhältnissen handelt,^) möglicherweise einmal auch das 5. Buch.^) 
Ein anderer Umstand, der Ton Belang sein könnte, ist das Vorkommen 

I Verweises im Beweise des 34. Satzes der „Demonstratio de algorisnio''. 

: findet sich nämlich folgender Passus: „Hanc subtractionem docuimus 
Kopcre ertrahendi radicem", und ans diesen Worten könnte man folgern, 
t der Verfasser der „Demonstratio de algoriamo" eine besondere Schrift 

• Wurzelansziehung geschrieben bat. Indessen ist der Verweis meines 
Erachtens ohne Bedeutung, denn teils kennen wir keine Schrift, die hier 
gemeint werden kann, teils kommen im Texte der „Demonstratio de 
algorismo" Stellen vor, die allem Anschein mich ursprünglich Randnoten 
waren, und der jetzt zitierte Pasaue kann sehr wohl von derselben Art 
•ein, also von einem Besitzer der Vorlage der von mir benutzten Hand- 
schrift hinzugefügt. 

Zieht man dagegen in Betracht den Inhalt der „Demonstratio de 
algorismo" so scheint es mir, als ob man dadurch geneigt werden muß, 
Jouhamk als Verfasser der Schrift anzusehen. Da nüralich die Kubik- 
wurzelausziehung darin nicht gelehrt wird, und da diese Operation, ab- 
gesehen von Leokakdo PlSANO, so weit jetzt bekannt ist im Abendlande 



1) JiKutxi NsMosJtaii Geomtlria Ptl äe triangulis libri IV. UonuBgegeben von 
V. Ci'NTx« iThom 1687). S. XUI. 

2> 1:12; U:6, IG, 16; m.-9 (= S. 9, 13, 16, 17, 25 der CimTm sehen Auagftboj. 

S) Siehe I: 12 i= 8. 9 der CuRTKKSchen Ausgabe), wo auf „16 qDtnti et 12. 
Hcuaili animetrioe Juiuiasi" veTwieaen wird. ludeeaeii geht auH dem ZusammenbaDge 
tieiTot, daß „16 quinti" eich fast nicber nuf V:16 der Elemeala beKiebt, 



III. Folg«. VU. 



1 



iii 



36 



G. ENCaTKÖU. 



würde übrigeQB der Auadnick „in EuKUDiecher Schulung «um Matheniaiit^ 
geworden iat" viel besser passen, üurchaaa hioiallig wird Jagegen meines 
Erachtene die Hypothese, die Herr Castok darch die folgenden schwung- 
vollen Worte ausspricht:') 

„Wanderbarer Zufall! Im fernen Oriente ruft vielleicht religiöser 
und politischer Gegensatz zwei einander feindliche Schulen ins Leben. 
Ein Werk ans der Schule des älkauchi fallt in die Hand eines 
geistvollen Kaufmanns, ein anderes aus der Schule des Alnasavvt 
fallt in die Hand eines hochbegabten Mönches, und im christlichen 
Äbendlande spiegelt sich ein Gegensatz wieder, der hier auch nicht 
den Schein einer Berechtigung besitzt!" 
Ich habe schon früher Gelegenheit gehabt, darauf hinzuweisen ,-) daß 
ßieh bei Leonardo Pisano auch solche Sachen finden, die er nicht ans 
Alkakchi, aber sehr gut aus anderen arabischen Mathematikern ent- 
nommen haben kann, und daß es darum weniger angebracht ist, besonders 
hervorzuheben, Leonakdo Pisaso sei ein mittelbarer Schüler von Alkarc-hi 
gewesen. Aus den Ausführungen dieses Artikels dürfte jetzt ersichtlich 
sein, daß man noch weniger Grund hat anzunehmen, Joiuianis sei 
ein mittelbarer Schüler von Alnamawi gewesen, denn alles was in der 
„Demonstratio de algorismo" steht und ursprünglich auf arabische Quellen 
zurückgeht, kann aus dem llechenbuche des Alkhwakizmi entnommen 
worden sein.^) 

Es ist eine eigene Ironie des Schicksals, daß die Hypothese des Herrn 
Cantoh ia betreff der Einwirkung des Alnasawi auf Joruani\s gerade 
durch die zwei ersten Worte des CANTORschen Ausspruches charakterisiert 
werden kann. Will man etwa wie Herr Caxtor die Anwendung der zwei 
Worte motivieren, so kann man dem Ausspruche folgende Form geben: 
Wunderbarer Zufall! In Thorn beschäftigt sich Max Cubtze eingehend 
mit dem Cod. Dresd. Db. 86. Er veröffentlicht einen ausführhchen Bericht 
über den Inhalt der Handaehritt, und gibt dabei durch ein unerklärlicheB 
Übersehen an, daß die dort Bl. 161>* — 175» vorkommende Algorismoa- 
Bchrifl mit dem gedruckten Algorithmus demotislratus identisch ist, obgleich 
die Anfangs- und Schlußworte ebenso wie der ganze Text der zwei Schriften 
durchaus verschieden sind, und obgleich die Schriften auch in betrefi' des 
Inhaltes wesentlich voneinander abweichen. CuitTZE benutzt später die- 
selbe Handschrift für seine Ausgaben der JoRDANlschen Arbeiten De 



1) CwTOB, ». ft. 0. S. 85. 

2) Biblioth, Mathem. 3s. 1901, S. 351— 352. 
S) FreUieh enthilt die von BoüccHrton' beniugegebene lBt«iiiiecbQ Crberaetsi 

nichts über QBAdntwarzelauHzichung, aber die von Boncotu-AUKi benutzte Handscbrin 
ist unvollBtämlig (vgl. Bibliotb. Mathem. Sg, 1904, S. 408), 



iriR 11 

ä 



eatnommea haben sollt«,') und es ilürfte nicht ohne Interesse sein, nuelt- 
Euselieii, wie die ÜANTOHschen Folgerungen zu modifizieren sind, wenn man 
die sehr wahrscheinliche Hypothese, <lftß die „Demonstratio de Jilgorismo" 
wirklich von JoKDAKi'S herrührt, statt der von Uastoh benutzten wenig 
wahrscheinlichen Hypothese, daß JORDAsrs den Algorithmus demoustratiis 
Ter&fit hat, einfährt. Unter dieser Voraussetzung ist in betreff des 
CAirrotischen Berichtea über den Inhalt der von Jokt)äNUS verfaßten 
AlgoriemuB-Schrift folgendes zu bemerken. 

1) JORDANUS setzt seinen Lesern nicht das dekadische Zahlensystem 
Blit seinen sehn Zeichen auseinander, denn er erwähnt nie das 10. Zeichen 
(Süll), sondern benutzt nur den Namen „circulns". Er bedient sich nie 
der Benennung „figura nihili". 

2) JoRDA?iVH lehrt nicht die komplementäre Multiplikation. Er gibt 
auch nicht verschiedene spezielle Regeln für Multiplikation. 

iij Das Üb er wiirtsdi vidieren wird nur im Vorübergehen von JoKDANÜS 
angedeutet. 

4) JoRDAKUS beschäftigt sich gar nicht mit der Aasziehung von 
Kabikworzeltt. 

Diese Modifikationen der CANTORschen Darstellung sind ja anscheinend 
siebt sehr erheblich, aber in Wahrheit macht die letzte alle Schluß- 
folgerangen seiner Darstellung hinfallig. Die eineige, freilich sehr 
schwache Stütze, dieser Schlußfolgerungen ist nämlich der Umstand, 
daS der Algorithmus demonstratus die £')i&/^ui-zelausziehung lehrt, und 
in der „Demonatrutio JoEDANi de algorismo" kommt nur Quadratvirsnel- 
iinsziehung vor. Übrigens enthält diese Schrift gar nichts, das ihr Ver- 
lasser nicht ans den schon um 12W vorhandenen*) lateinischen Be- 
arbeitungen arabischer Rechenbücher entnehmen konnte. Unter solchen 
Umstälnden ist es — ich will nicht sagen unrichtig, aber — wenigstens 
unnötig hervorzuheben,^) daß Jobjmki's „in arabischer Schulung zum 
Mathematiker geworden ist", denn ganz dasselbe konnte man von allen 
abend irmdischen Mathematikern des 12. und des 13. Jahrhunderts sagen, 
die Arbeiten über Rechenkunst und Algebra verfaßt haben; für Jükdanus 

11 M. CiHTuR, Vorlrsungcn über Oesdtidite der Mathematik 2^ (Leipzig 19001, 
9. U~SS. 

i) Nacli weislich rorhanden war am Anfacge Aee 13. Jahrhanderta die ton 
('uBixa heraiiagegebeoe Al^oriamua- Schrift ^Biebe Biblioth. Matbem. 5». 1901, 
S 512, *lGj Kochst w ahn che in lieh exiatierle damals auch der von Cahtob (Zeituchr. 
iQr Matbem. 10, 1865, B. 1— 16| herausgegebene Liber tügoriemi, und man nimmt 
aUgcmein kd. daß die zwei von B'iNcaMi-AfiNi {Trattati d'aritmttica, Koma IS&T.i beraos- 
(•KObtDou Algotismue-Scbrifteu auch aus dem 12. Jahrhnudert herrühron. 

E) äiebe CUittoi, k. a. 0. S. B4, 85. 



36 



G. EkebthOm. 



würde Ubrigena der Ausdruck .Sa EuELiDisclier Schnlimg zum Mathematiker 
geworden ist" viel besser passen, üurcbaua hinfällig wird dagegen meines 
Erachtens die Hypothese, die Herr Castok durch die folgenden schwung- 
vollen Worte ausspricht:') 

„Wunderbarer Zufall! Im fernen Oriente rnft vielleicht religiöser 
und politischer Gegensatz zwei einander feindliche Schulen ins Leben. 
Ein Werk aus der Schule des Alkahchi fällt in die Hand eines 
geistvollen Kaufmanns, ein anderes aus der Schule des Alxasawt 
fällt in die Hand eines hochbegabten Manches, und im christlichen 
Abendlands spiegelt sieh ein Gegensatz wieder, der hier auch nicht 
den Schein einer Berechtigung besitzt!" 
Ich habe schon früher Gelegenheit gehabt, darauf hinzuweisen,-) daß 
sich bei Leonardo Pisano auch solche Sachen finden, die er nicht aus 
Alkarciii, aber sehr gut aus anderen arabischen Mathematikern ent- 
nommen haben kann, nnd daß es darum weniger angebracht ist, besonders 
hervorzuheben, Lkonaedo Pisano sei ein mittelbarer Schüler von älkarchi 
gewesen. Aus den Ausführungen dieses Artikels dürfte jetzt ersichtlich 
sein, daß mau noch weniger Grund hat anzunehmen, Jordani'S »ei 
ein mittelbarer Schüler von Ai.NASAWi gewesen, denn alles was in der 
„Demonstratio de algorismo" steht und ursprünglich auf arabische Quellen 
zurückgeht, kann ans dem Reehenhuche dea AuunvARlZHl entnommen 
worden sein.') 

Es ist eine eigene Ironie des Schicksals, daß die Hypothese des Herrn 
Castor in betreff der Einwirkung des Alnasawi auf Jokkänus gerade 
durch die zwei ersten Worte des CANTORschen Ausspruches charakterisiert 
werden kann. Will man etwa wie Herr Cajttor die Anwendung der zwei 
Worte motivieren, so kann man dem Ausspruche folgende Form geben: 
Wunderbarer Zufall! In Thom beschäftigt sich Max Cuktze eingehend 
mit dem (.'od. Dresd. Db. 86, Er veröffentlicht einen ausführlichen Bericht 
über den Inhalt der Handschrift, und gibt dabei durch ein unerklürliches 
Übersehen an, daß die dort Bl. lÖ!)" — 175' vorkommende Algorismus- 
schrift mit dem gedruckten Algorithmus dfiiionstratus identisch ist, obgleich 
die Anfangs- und Schlußworte ebenso wie der ganze Teit der zwei Schriften 
durchaus verschieden sind, und obgleich die Schriften auch in betreff des 
Inhaltes wesentlich voneinander abweichen. Cubtze benutzt später die- 
selbe HandschrÜl für seine Ausgaben der JoKDANischen Arbeiten De 



1) CiMioH, B. a. 0. 8. 85. 

2) Biblioth. Hfttbem. 3», 1901, 5.351-352. 

3) Freilich enthält die von Boncohpauxi' heratugegebene lateinigche ttbenetzung 
Dichte über QaadntwarzelBugäeliDiig, aber die von Boncoupaom beuutzte Handschrift 
ist UDVoIlständig (vgl. Biblioth. Matbem. Sg, 1904, S. 408). 



über die „Demonsirftüo Jorclani de algoriBino^^ 37 

triangulis (1887) und De numeris datis (1891), ohne sein Übersehen zu 
entdecken, nnd noch 1899 gibt er ausdrücklich an, daß der Cod. Dresd. 
Db. 86 den Text des Algorithmus demonstratus enthält. Das unerklärliche 
Versehen von Curtze verhindert einen geistvollen Geschichtsschreiber der 
Mathematik zu erkennen, daß der Algorithmus demonstratus nicht ohne 
ganz entscheidende Gründe dem Jokdanus beigelegt werden darf, und 
ermöglicht dadurch das Aufstellen einer Hypothese in betreff der Ab- 
hängigkeit des JoRDANUS von Alnasawi, welche Hypothese durch die 
zwei Auflagen dei^ Vorlesungen Ober Geschichte der Mathematik in immer 
weiteren Kreisen verbreitet wird, obgleich sie kaum den Schein einer 
Berechtigung besitzt. 



Hat Tartaglia seine Lösung der kubischen Gleichung ' 
von Del Ferro entlehnt? 

Von G. En'eström in Stockholm. 

In der ersten Auflage (18Ü2) des zweiten BandeB eeiner Vorlesungm 
über GefcMchte der Mathematik hatte Herr Caktok (S. 471 — 472) ala 
von ihm begründet die Annahme bezeichnet, daß die Auflösungsmethode 
des Tartaglia genau mit der des Schmone del Ferro übereinstimmt«, 
und er folgerte daraue, daß TartaiiiJA Koch st wahrscheinlich seine 
Methode nicht selbständig erfand, Eondem dieselbe immittelbar oder 
mittelbar aus del FerrOs Schrift entnahm „Ist es", fragt Herr Cantor, 
„nur in einer Weise möglich, die kubischen Gleichungen aufzulösen'?** und 
beantwortet seine Frage auf folgende Weise: „Die Geschichte hat diese 
Frage mit lautem Nein beantwortet- Eine 1G15 gedruckte Auflöanng von 
ViETA, . - . , eine 1683 veröffentlichte Auflösung von Tsc'hirsiiai;sen. 
Dutzejide von späteren Auflösungen weichen oUe untereinander und voi 
der, wie wir begründet haben, Taktai:ilia und del Ferro gemeinschaftlich! 
ab". „Ist es nicht gestattet*', schließt Herr Cantor, „Zweifel daran 
hegen, daß beide untereinander übereinstimmende 6e dankenfolgen ganz 
nnabhäugig in zwei verschiedenen Köpfen sich bildeten?". 

Etwa ein Jahr nach dem Erscheinen des zitierten Bandes der Vor- 
lesungen veröffentlichte Herr Zectben eine Abhiindlung mit dem Titel: 
Tarfalea contra Cajidaxcx, repligtte relative ä la guestion de priorife- sur 
la risolution des iquations cubiques (Bullet, de l'acad d. sc. de Däne- 
mark 18!'3, S. 303 — 330), die sieb gerade gegen einige Punkte der 
CA^■TOttBchen Darstellung der Geschichte der kubischen Gleichungen 
richtete. Hier wies Herr Zecthen (S. 310—311) darauf hin, daß es sich 
in Wirklichkeit nicht um die Methode des Tartaglia (die ebenso wie die 
des DEL Fekho unbekannt ist), sondern um das von ihm hergeleitete 
Resultat handelte, und daß jede richtige Auflöeungsmethode der kubischen 
Gleichung selbstverständlich zu demselben Resultate, möglicherweise unter 
etwas variierender Form, führen mußte. Aus dem von Herrn CaittoB 
begründeten Umstände, daß das Resnltat des Tartaglia mit dem 



iN, 



] 



Hftt Tkitaglift Beine LöBimg ilei kubiscben Gleicliuoji; t 



1 Del PetTO entlehnt? 



DKL Ferro überemstimmte, künnte man also nicht scblieBen, daß ihre 
Äuflösangsmethoden identisch waren. 

Bekanntlich erschien im Jahre 1900 eine neue Auflage des zweiten 
Bandes der C'ANTOBBchen V<»-lesnii</cn, und dort wurde im Vorübergehen 
(S. 530) die ZEUTHEsache Abhandlung zitiert, woraus erhellt, daß diese 
nicht Herrn Cantor unbekannt geblieben war, aber der gauze Passus 
der Vorlesungen, um die es sich hier handelt, war in der neuen Auflage 
{S, Ö13) onverändert abgedruckt, and ich war darum überzeugt, daß Herr 
rAjiTOtt der ZElTiiEKschen Bemerkung keine eigentliche Bedeutung zu- 
erkennen wollte. Freilieh schien mir dieser Umstand etwas auffiillig, aber 
da icb die Gegengründe des Herrn Castok gar nicht kannte, verzichtete 
ich darauf, die Frage in den „Kleinen Bemerkungen" der Bibliotheca 
Mathematica zu berühren, Kumal da eine eingebende Behandlung der- 
selben wenigstens ein pa<ar Druckseiten in Anspruch nehmen würde, während 
die ,^einen Bemerkungen", wenn irgend möglich, sehr kurz sein sollen. 

Daß Herr Zecthen durch den unveränderten Abdruck der CANTOHsohen 
AnsfÜhmngen vom Jahre 1892 nicht veranlaßt sein würde, seine Ansiebt 
KU modifizieren, war leicht zu vermuten, und als im Jahre 1903 der zweite 
Teil seiner Forelaesninger over MatheuiaUlcens Historie erschien, fand 
man darin (S. 117 — 118) eine Bestätigung der Richtigkeit dieser Ver- 
mutoug. Herr Zeutiien hob dort hervor (vergl. S. 84 der deutschen 
Übersetzung), daß es sich bei Tarta(1LIA nur um ein Besiiltat handelte, 
dos lediglich besagte, daß die Wurzel einer Gleichung dritten Grades 
als algebraische Summe der Kubikwurzeln der Wurzeln einer Gleichung 
zweiten Grades dargestellt werden kann, und endete mit folgenden Worten: 
„ea wäre unberechtigt, aus der Übereinstimmung der Lösungen zu schließen, 
TARi'AiiLiA.habe FekkOb Auflösung selbst gekannt, denn, wenn sie über- 
haupt beide die Gleichungen lösen konnten, so ist diese Ü berein Stimmung 
eine Notwendigkeit". 

Die soeben zitierte deutsche Übersetzung der ZEOTllENschen Arbeit 
wnrde kurze Zeit nach ihrem Erscheinen von Herrn Cantor im Archiv 
der Mathematik und Physik (8,, 19U5, S 248—252) besprochen, und 
hier erklärte sich Herr CANTnit wesentlich der Ansicht des Herrn Zecthkn 
zu sein; er bemerkte auch, daß er die „vorher von niemand beachtete 
Totsuche'* [d, h. die Tatsache, worauf Herr Zeuthek sieben Jahre vor 
dem Erscheinen der zweiten Auflage des zweiten Bandes der Vorlesungen 
aufmerksiim gemauht hattej als Randbemerkung seinem 2. Bande beifügen 
würde, um bei einer Neubearbeitung benutzt zu werden. 

Da die Herren CAS'J'ftR und ZeutheN jetzt in betreflF des hier er- 
«älmteu Punktes einverstanden sind, könnte man versucht sein, jedo 
«eitere Behandlung desselben als durchaus unnütz zu betrachten. ludeesen 



«) 



6. EltE8TB5u. 



) ich eiaer andereii Ansiclit, freilich nicht in betreff der Fmgi 
Tartaglia seine Meihode von oel Ferro entlehnt hat ^), aber hinsichtlich 
der Frage, ob die beiden Mathematiker ihrer Lösung genau dieselbe Form 
gegeben haben. Diese Frage wird zwar sowohl Ton Herrn Cantob wie 
von Herrn Zeuthes mit Ja beantwortet, aber da Herr Cantok in seiner 
Besprechnng der ZEimiE.v sehen Arbeit die Bemerkung hinzugefügt hat: 
„ob die beiden Kubikwurzeln u und v notwendig nur mittelBt H + r und 
UV gefunden werden können, wie es in Tartaglias Terzinen heiBt, ist 
damit noch nicht gesagt. Das kann Tarta<ilia sehr gat von Fekko ent- 
lehnt haben", so scheint daraus hervorzugehen, daß auch Herr Cantob die 
letztere Frage nicht als vollständig erledigt betrachtet. Ich werde jetzt 
versuchen zu zeigen, daß man keinen gültigen (irund hat, diese Frage 
bejahend zu beantworten. 

Wie oben berichtet worden ist, hat Herr Zeithen darauf hingewiesen, 
daß die Wurzel der kuhischen Gleichung') x^ ^ ax -{- b immer als 
Summe der Kubikwurzeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 
dargestellt werden kann, aber natürlich bedeutet dies nicht, daß das Resultat 
immer auf diese Weise ausgedrückt werden muß. Freilich hat der 
hräuchliche explizite Ausdruck der Wurzel 



(A) 



■fl + |/l-^ + f|-y?-| 



1) Es üt mir nicht unbekannt, d>B ä. äHsURm versucht bat la beweiien. 

DKL F^iEo in der von Cjibdi^o emgeselieneii HandBchrifl nicht nur die Wuisel Ati 
Gleichung 2.^ -\- aX'^h angab, «oudom ancb die für diesen Zweck angevendete 
Methode angeinandora etile (siehe Einigt Materialien :\ir ÖMcfticftie der mathemalischeit 
FakaUm in Boh^na. Übersetst von JT. Cihtzb, Berlin 1871, 9. 76, 78—83, 104, 115)- 
QanUBiii stützt lieh dabei auf den folgenden Passn« des 2. „Cartello" des L. Foiuai; 
„AmnuAL DI Nave . . nobis ostendit libellum numu Scipiomis Febhej ioceri iui iam dia 
COnBcriptura, in quo iatud inrentum [^ inventum cubi et latenim aequalium niunero] 
eleganter et docte eiplicatum, tradebatnr", und folgert aus den Worten „elegauter 
et tloete eiplicatum", daß die Handschriri nicht nur dae EndreBultat, sondern auch 

Idie Herleitung dessetben eothielt. Zieht man aber in Betracht, daS das „Cartello" 
den Zweck hatte, die VerdienstG des hkl Ftauu bervoreulieben , um dadurob die des 
Tautiiiija mCgliuhat zu verkleinern, so dürfte ea klar aein, daß man dem fraglichen, 
liemlicb schwebenden Ausdrucke keine Bedeutung beimesaen kann. Nut wenn Feuuiju 
ausdrtkkUch behauptet hätte, daS ua. Fesuo in der Eandachrift auch die Methode 
angab, kSnnte man fielleicht Anlaß haben, mit Ohebahih einig zu sein. Nimmt man 
noch hincu, daß Tabtaqlia in aeiner Eweiten „Rjsposta" bestimmt romeinte, irrend 
eine Schrift eingesehen lu haben, wo die LOsnng der kubiachen Gleichung gelehrt 
worden war, so iit man wohl berechtigt, Giikkabuib durchaus unbegründete Behauptung, 
daß TAHTAfiLiA seine Methode von dgi. Febbo entlehnt hat, als belangloB aozuBeben. 
2) Bekaimtlich wtu die erste kubische Gleichung, die gelöst -worden ist, von der 
Form X* -\- ax ^ b, aber ich wähle hier die Form x' ^= aJ: -i- b, um den Ausdruck 
„fhfiMM von Kabikwureeln" benatzen za kOmten. 



1 



I Bat Tattaglia leine LÖBUng der kubitcben GloichiiDg von Del Ferro entlehnt? 41 

diese Form, und dnsselbe gilt Ton dem in Tärtaolias Terzinen an- 
gegebenen Hefloltate 

( X = \t + ift, 
'"' \u„-l, u+v-b. 

Aber man kann natürlich die Litsung ebensogut entweder unter der Form 

{X =z Ui + Vi, 
,.;,; = », „; + .; = s, 

unter der Form 

j . _ |/|7;: + 1^+^, 

|t(jej= — I + ^, U2 + V3 = 
Im Falle (C) ist die Lösung nicht unmittelbnr als Summe zweier 
fbiktcuneln, im Falle (D) nicht unmittelbar als Summe der Kubikwurzeln 
r Wurzeln einer quadratischen Gleichung gegeben. 
Die obige Bemerkung ist so selbstverständlich, daß sie leicht als 
durchaus unnötig erscheinen kann, aber es vrird sich recht bald zeigen, 
dafi fiie für die gestellte Frage nicht ohne Belang ist. 8ie führt übrigens 
•ofort zu dem Resultate, daß Herr Caktoh Recht hat, wenn er bezweifelt, 
daü die beiden Kubikwurzeln nur mittelst der Gleichungen « -}- i' = J, 
(!» = ■= gefunden werden können. Auch wenn man die Gleichung 
X* ^ ax + h durch Zerlegung von x in zwei Teile lösen will, kann 
man tliese Teile explizit ausdrücken wie in (A); man kann sie aber eben- 
sogut entweder mittelst mi, V| oder mittelst mj, uj finden. 

Von Bedeutung für die vorgelegte Frage ist meines Eraehtens auch 
im Umstand, daß es eine einfache explizUe Form der Lösung der fjileicbung 
= ax + h gibt, die nicht unmittelbar durch die Summe zweier Kubik- 
1 repräsentiert wird. Zu dieser Form gelangt man durch eine ein- 
^e Methode, die schon im 16. Jahrhundert erfunden wurde, und zwar 
\ VurrE.') Bekanntlich besteht diese Methode darin, daß man 

a; = «3 + 3^ 
wodurch 



, +« «3 +H.; =« «s +a 



1+^ 



1) Dt (rjunftOHuni recogriitifme et tmmdationt Iraclalus iJuo; Opera mathnnatka, 
[r. TAX SohuOtih, Ui'len 1646, S. 160 (problema U). 



folglich 



iE) 






Wir haben also fünf Terschiedene Formen (A, B, C, D, E) der Lösimg 
der kubischen Gleichung x^ ^ ax ■{- h, und es geht nicht an, ohne weiteres 
ZD behaupten, daß df.l Ferro, dessen Lösung wir gar nicht kennen, genau 
die Form (B) angegeben hat. Freilich kann man im betreff der Form (D) 

bemerken, daß die quadratische Gleichung u\ ^ -7 gs- eine ncgatii 

Wurzel hat, und hinsichtlich der Form (E), daß die Substitution 



^ = »3 + 



3«. 



ziemlich schwierig aufzufinden ist, so daß es aus diesen Grttnden weniger 
wahrecheinlich ist, del Fereo habe sich der Formen (D) oder (E) bedient, 
aber in jedem Falle kann del Ferro ebensowohl die Form (Ä) oder die 
Form (C) wie die Form(B) angegeben haben. Es eröbrigt also zu untersuchen, 
ob man irgend einige besondere Gründe hat anzunehmen, daß die Lösung 
des DEL Ferro genau die Form (B) hatte. Meines Wissens sind nur zwei 
solche Gründe erwähnt worden, nämlich: 

1. Ferrari wendet an einer Stelle seines sechsten pCartello" eine Hi 
weise an, die darauf hindeutet, daß er an Taktahijas Er&nderrt 
zweifelte;') 

2. Wenn die zwei Lösungen nicht genau dieselben gewesen wären, 
so hätte (Jardano gewiß die Lösung des del Fe1£ko veröffentlicht, um 
dadurch zu vermeiden, den Eid der Verschwiegenheit zu brechen.') 

Diese Gründe eiud indessen meiner Ansicht nach fBr die Entscheidi 
der Frage ohne Bedeutung, denn 

1. TorauBgesetzt, dase del Febuo seine Lösung unter einer der Formen 
(A), (C), (D) gegeben hatte, so könnte Ferrari dennoch das Erfinderrecht 
des Taktaolia ebenso gut bezweifeln; hatte del Fehuo dagegen die 
Form (E) benutzt, so wußte Ferrari sehr wohl aus der zweiten „Rispoata" 
vom 21. Februar 1547, daß Tahtaglia sich so eingehend mit Trans- 
formationen von irrationalen Ausdrücken beschäftigt hatte, daB er ohne 
Mühe aus dem Aaedmcke (E) den Ausdruck (A) herleiten koimte, und 



Iren, 
um 



1) Castob, Vor^a. älter Goch, d, Mathm. ^^ S. 512. 

2) ZicTBur, Bullet, de l'aDad. d. ac, de Dkoemark 1893, S. 310. 



Hat Tartftglia seine LOsang der kabischen Gleichang yon Del Ferro entlehnt? 43 

ancli in diesem Fall konnte Ferrari^ wenn er dazu geneigt war^ an dem 
Erfinderrecht des Tartaglia zweifeln; 

2. es ist gar nicht schwierig, yerschiedene Umstände ausfindig zu 
machen, wodurch Gardano aus rein sachlichen Gründen veranlaßt werden 
konnte, gerade die Losung des Tartaglu zu veröffentlichen; ich nenne 
nur beispielsweise zwei solche Umstände: 

a) DEL Ferro katte lediglich die Gleichung x^ + ax ^=^1) behandelt; 

b) DEL Ferro hatte keine allgemeine Regel angegeben, sondern nur 
sein Verfahren an einer bestimmten numerischen Gleichung erläutert. 

Auf der anderen Seite konnte Gardano sehr wohl glauben, daß sein Ver- 
fahren Tartaglia angenehm sein würde. ^) Wenn Tartaglia nämlich im 
Voraus gewußt hätte, daß die Ars magna in jedem Falle eine Lösung der 
kubischen Gleichung bieten würde, so ist es nicht unmöglich, daß er 
lieber seine eigene Lösung zur Verfügung gestellt hätte, um dadurch 
seinen Namen mit der wichtigen Entdeckung in Verbindung zu bringen. 
Hätte dagegen Gardano die Lösung des del Ferro veröffentlicht, könnte 
jener leicht veranlaßt worden sein, den Namen des Tartaglia gar nicht 
zu erwähnen. 

Das Besultat der vorangehenden Untersuchung ist also: 

1) man hat keinen bestimmten Anlaß anzunehmen, daß die Lösung 
des DEL Ferro genau mit der des Tartaglia übereinstimmte; 

2) die Hypothese, daß Tartaglia auch nur einen Teil seiner Lösung 
von DEL Ferro entlehnt hat, ist folglich unbegründet. 



1) Vgl was Fbrbabi hierüber in seinem zweiten „Cartello" (S. 4) sagt. 



44 ^- BOSMAKS. 



Le ,,De arte magna'' de Guillaume Grosselin. 

Fax H. BoSMANS ä Bruxelles. 

I. 

L'ouyrage qui fait Tobjet de cette notice est im mince yolume de 
format in 8® de moins de 200 pages,^) intitnle: 

GvLiELMi II GossELiNi Cadomen- || SIS Bellocasu DE ARTE || magna^ fleu 
de occulta parte nume- 1| rorum^ quae & Algebra^ & Almuca- 1 bala ynlgo 
dicitur; || LiBRi qvata^or. || In quilms explicaniar aequationes Diophanii^ 
Regu' \\ lae Qtiantitatis simplicis, & Quantitaiis surdae. || Ad ReaerendisBimnm 
in Christo Patrem Reginaldym Bealnaevm^ || Mandensem Episcoprun^ 
Illustrissimi || Ducis Alenconij Cancellarium^ Comi- 1| tem Geuodanum, atqae 
in sanetiori & || interiori consilio Gonsiliarium. || [Marque d'imprimenr de 
Gilles Beys. Une branche de lys, avec, en exergue, la devise:] Superis 
casta plaeent. || ParisiiS |' Apud Aegidium Beys^ via lacobaea^ || ad Insigne 
Lüij albi. |:M.D.LXXVn!!|2) 

Güillaume Gosselin n'a guere laieee de souvenir. 11 naquit ä Gaen^ 
on ne sait au juste en quelle ann6e^ et on ne connait pas davantage la 
date de sa mort.^) En 1577, lors de la publication de son De arte magna, 
il semble avoir ete encore assez jeune. C'est ce qu'on peut conclure de Ten tete 
de la piece de distiques latins qui, suivant l'usage, fait suite äla preface: ,^d 
GuL. GossELiNUM Campodomensem luvenem Matbeseos studioBisßimvm'' 

L'annee suivante, en 1578, Gosselen publia cbez Gilles Beys, ä Paris, 
une traduction fran9aise de YArithmetique de Tartaglia,*) que Kastner 

1) Exactement: 86 feuillets pagin^s au recto seulement, pi6c6d6B de 8 feuilletB 
non paginäs. 

2) D'apres Nesselmakn, ce serait la demi^re fois que le mot ,,Almucabala** parai* 
trait en tete d'un volume pour däsigner l'algebre fDie Algebra der Griechen, Berlin 
1842, p. 53). 

3) Les Origines de la ville de Caen. EevueSy corrigeea & augmenUes [par P. D. Hcet 
^veque d'Avranche]. Seconde edition. Rouen M.DCC.VL, p. 350— 851. (4)F0(av)v0. 

4) L' Arithmetique de N. Tartaglia . . . recueillie et traduite d^Italien en FranQois 
par G. Gosselin, avec toutes les demonstrations mathematiques etplusieurs inventions dudü 
G ossELiN, Paris, Gilles Beys, 1578. D'apr^s le British Museum Cata^gue ofprinted Books, 



Le „De srto laagiiit" tle Guillaume GossoLin. 45 

i sommairement analysee.^) Üetie Arithmötique ent une reedition, ä Paris, 
ehen AüHUN P1'':riek, eu UU3,') 

La Choix du MArNK,^) Bayle*) et beaueoup trautrea, sigiialent iine 
edition de rArithmetique de Tahtaglia par GossKi.ra, qui aurait pani 
B ÄnverB, en 1.'>T8, ciiez Chkistophe Pi^ntin. Edodcc en cee termes, 
le reneeigDeuieut est errone et doit provenir d'une equivoque. 

filt-LKS Bbys avait epouee Madeleine Plantin, fille de CHiusrorfiE,*) 
et Ton Bait qiie le grand imprimeor anrei-sois garda toujours un peu la 
haate main sur les snecursaleB dirigees par Bes gendrea Fkani;oi8 RaI'HE- 
LENQiEN ä Lejde, et Gille» Beyn ä Paris. L'edition Plantin d'Änvera 
n'est probablement pas autre chose que l'edition Gilles Beys de Paris. 
Qaoiqu'il en soit, les Anntües Plantiniennes^) ne la nomment pas, et lea richissJ- 



1) Qetchichte der Mathematik (GStlingen 1796), I p, 107—200. 

2) L'arithmetique { de Nu-olab || Tahtjclu Bretäan, || grand maihematieien, \\ et 
prinee des pralicifns. \\ Divieee en äeux partiea. |{ La declaratvm te i'eria en la page 
«yyeanf«. || Becueillie et traduite d' Italien en Frati^oiapar \\ Gva.i.ii)iit Gossu-ik de Catn. ]\ 
Aeee tonte» lex dhnonttTations mnthintatiques et plu- f sieur» inventions dudit Gossw.i.v, 
ttpOTM» \l ehacune en stm Heu. || Premüre parlie. \ [Harque d'ÄDKUN Pähikk: Uno inaiu 
sortaut des nuages tient im compas. Devise siir uue bandorolle :] Labore et Constantia. \ 
A Pkrit, ,1 Cilex Adrian PMei, rue saiuct JncqueB ttu Compaa d'or. | U.DC.XIU. 

Lb seconiie partie a 1b meme titre qua la prämiere. 

L'oitTtage existe & In BibliotheqDO Sainte GenevicTe ii PariB. 11 est diviee eu 
deux partiei in 8". 

Lft Ire partie compiend 136 reuillete, pagicee Beuloment au reuto, plus ou tete 
S feuillet« non pagin^B (titre, preface et table) et aa feuiUel blanc au cummencement. 

La 2' partie compreud 122 Icuillets ^galemetit paginüa tta lecto, plus oa tele 
8 feoilleta non pagin^ (titre, courte pröface pouT la 2« partie et table) et 11 
blanc ä la fia. 

Je doii ce» rengeignementB ä l'obligeance de M. LiuoLHorx, bibtiotlii5o 
Bibtiothiique Sainte Qenen^ve. 

La marque d'AnuiAS P^iirsa cBt celle de rimprimerie FtASTiM. Gili.bs Bey 
de pLAüm ätait mart le 19 aTril 1595. 8a TOiiTe Madeleink Pljuitin ae rei 
moiii li'aiiüt de i'annee euiviuite ä Amins Peuleii et mourut ä Paria lo 27 dccembre 
1S1I9. P^iEK employa liv m&rqae de Plakttn jusqu'ä aa mort, qai arriva probablement 
BD 1616. A*ec lui L'essa TOfficiue Plantinieniie de Paria, Voir: M. Edosks, Üusistoz-iik 
pLisTiM, impnmtuT anrermis. ^s idition (Anvora 1890), p. 373. 

$) X** Btbliothiyueg Fratii-oiaet de La Csoix et Mjukk et de i-u VumtrKR tieur de 

frivas. Nouctlle idititm (Paris M.nCC.LXXlI), tom. 1 p. 327—328; tom. IV p, 83 , 

4) r. BjkTi.K, Dietiontiaire historique et eritiqae. 3» gdit., tom. 2 (Hutterdam 
X.XX). p, 1826. 

5) Sor OiLLK» Bk»h Yoir: Max IIuciseb, 0. c. am eudroits iudiqu^B ä la table 
iJpbabätiqae dee noins propres. Kutre les psgea 220 et 221 il j a de beaus portntiti, 
hoa teit«, da Oti.t.ai Bars et de tu femme Mapkuükk I'lantin. 

B) C. BixLna et A. de B*c.!ker, Annales Plantinieitnen. Premüre partie. Cum- 
t pLMtai, 15S5—1589 (Bniellea 1865). 



□ feuillet 






46 n. BoauAND. 

mes archiveB de Chhistophe Plantin conserveee au Mosee Planb^ 
ä Auvers, n'en ont paa garde de traces. ^) 

L'abbe GoüJET") noua a conserre un fragnient d'ode en mauvais vers 
fran^Äis, dans leque! un ami de Gosselin, Jacqües Courtin de Gisse, 
l'engage k abandonner les matte matiqu es pour B'adonner a la poeaie. Toilä 
tout ce que j'ai pu decoavrir aur notre auteur, c'eet ä dire, soinnie tonte, 
fort peu de chose. 

GossEiJN meritait mieoz cependant, car malgrä l'oubli dans leqael il 
est tombe, son De arte magtta est nn ouvrage de valenr. Cäntoh') ne l'a 
pas vn, mais Kästner*) qui l'a eu en maina dit, aveo raieon, qa'ü est 
„sehr gut nur kurz". 

A diverseB reprisea j'avais ete irappe par ce fait qne pluaieors anfieurB 
de la fin du XVI« siede, Adrien Romain notamment, *) parleut de ce petit 
Tolume presque ä legal des algebres leg plus cäebres. J'ßtais donc, depuie 
longtempa, desireux de l'etudier, maia le De arte magna est deveno asaez 
rare et la bibliotheque royale de Belgique ne le poastde pas. On m'en 
avait oependant Bigual<j plusieurs exemplairea dans les depots Beiges.^) 
La bibliotheque de l'universite de Louvain a eu l'obligeance de mettre 
sou exemplaire k ma disposition, ä BruxeUes, pendant quelques seaiaines, 
et ni'a perniis ainsi d'approfondir ä loisir le travail de GnsSEi.iN. Ce eout 
les conclusions de cette etude que je me propose de eommuniquer ici- 



U. 
Le De arte magna debute par une dedicace de Gosselin „Reveren- 
dissimo in Gbrieto Patri Reginaldo Bealnaeo') Mandensi Episcopo", 



1) Je doii ce TenBeigoement & M. Max Rooses, couBerrateui an Musöe Plnntin- 
MoretuH, qui a bien touIu faire ä ma demsude des recbercbee dans les archives de 
Ckkibt^fiik Plaiitih. Je Ten remercie riTemeiit. 

2) GoijET. Bibliotlüque /riinfotse oh hiatoire de /« lUtiratuie franioise. Tom, 13 
(ParU MDCCSLVIU). p. 302-307. 

3) rorlesungen Über Geschichte der Mathematik, 2' (Leipiig 1900), p. 213. 

4) 0. c. p. 100, 

5) Dana l'esBai bistorique snr U T^solution dea equatiooB, placä en tele de ses 
hl MiiicHKiim Algtbrattt Prolegomena, fragment iupiimö d'un ounage ioachefi!, qw 
apportieut k la Bibliotheque de rüniTeraiW de Louvain (Scienc. 1302). L'/n Mtuv- 
uKtiis Algebrcan Prolegomena n'a pas de titre. J'ai prdaeat^ räcemment uae anal;«« 
dötailleo de cet important et tris corieui eommontaire d'AiHUEN Buhaui Ik la Societe 
scieolilique de Bnixellee, qui en a vot^ rimpression dans see Aonales, oü il pot&itra 
iucesaamment 

6) Univeraite de Louvain (ScieucoB 387); Bibl, des villes d'Anvera et de Touniai. 

7) ItKNiiTi DE Bbalkk, ne h Tours en 1527, fut BUCceBsivemeiit ^v^qiie de Mende 
{1568—1581), »rchevcque de Bourget (1581—1602) et arcbeveque de Sena {1602—1606). 
11 mourut lo 27 septembre 1606. Voir la coUection: Oallia ChiistiaM . ■ . Oparä ü 



Le „De &rt« d 



i Goeaelin 



47 



«aiTifl dWc piece de vers latins/) de la table des matieres et d'un extrait 
rlri privilege en date de Paria le 17 Beptenibre 1577, Puie vient le corps 
Je l'oarrage diviBe en quatre UvTea. 

Le pramier livre cotnprend dis-sept chapitres. Transcrivona en d'abord 
les titres ayec leurs numeroB d' ordre, pour en prendre ainsi im conp d'oeU 
mble. 
' 1. De quantitate. 
I S. De ratioae numerandi. 
I 3. Qnid sit algebra? 
I 4, QuiB algebrae fuerit inventori' 

. Qaia eit algebrae äuia? 
I 6. De numeroram noniinibua. 

[ 7. De ratione Teetigandi lateris ctibici nostra. Noiis en reparlerons, 
I 8. De proportione in genere, 
J 9. De proportione aritlimetica. 
[10. De proportione geometrica. 
pl. De componendia rationibna. 
. De ratiosam dedactione. 
■13. De rationum multiplicatione. 

^ 14. De rationum divisione et aeptem ad hanc problematis. A savoir 
inä"'rer entre denx nombres donnea, une, deus, trois, quatre ou ciuq 
niojeime« proportionnelles eontinues; trouver dem nombrea connaieaant leur 
wume et leur moyenne proportionnelle; tronver une qnatrieme propor- 
tioDnelle ii trois nombres donnes. 

15. De regola aimplicia hypotheBis, tribuB ad hanc problematia et 
iJfinonstratione noatra. 

in. De regnla dopUcia hypotheeis, diiobus problematis et demon- 
•ttatione nostra. 

17. Kegolae duplicis usna in quantitatibus continuia in qua oubi 
<iuplicandi ratio mathematica demonatratur, tribusque ad hanc problematia 
turaBqne desideratis. 

XooB anrons ä approfondir tont ä l'heure cea trois demiera chapitres. 
"sie pour i-puiaer immediatement ce qni concerne les quatorze premiers 
i le» quelques remarqueB qu'ils appellent. 
^t d'nbord aus chapitrea 3 et 4, qu'eat-ce qne l'algiibre? 
It'algebre, dit (Josseun, a pour but de determiner la valeur des in- 
, ee qni se fait an mojen des eqnatiouB; „finis hnjua Bcientiae est 






( mtmatMnun ccmgregationü S. Jtfourt ordini» S. Betiedieti. Tom. I ool, 106; 
98—102; tum. 12 col. 95-97. 
9 Signal litTD. Uumauis Bolomag. 



48 



H. BoSHAJfE. 



1 



cognitio quantitatis ignotae quam ut eliciamnr, ntimur sequäbone 
quam medio". *) 

Dane ces equationB jamais Gosselin ne represente les quantites 
connues pas des lettres, se sont toajours dee cliiffreH. It ne se sert paa 
non plus des eignes + et — , d'im usage dejä couraut en Ällemagne et 
qni n'etaient meme pas mconnus en France, conune le prouvent notamment 
les deui editions de l'Algebre de SCHEiTiEurs publiees, en 1551 et 1551', 
chez Gni.LAUME Cavellat ä Paris. ^ Au lieu et place de cea signes il 
emploie les lettres majuscules P et M. Quant aus inconnneB, il les deeigne 
pnr des lettres, chnque puissance ajant sa Dotation propre. II definit loi 
meme les puissances par le tableau suiTant:'') 
L-2.Q-4-CH- QQ- IG- RP. 32- QCai-RS.l2S 00-512. 

D'aprfea cela l'equation*) 

\2LM\QP4H aequaUa lUM->4LP2q 
ee trauBCrit en eeriture moderne: 

12/ — a:' + 48 = 144 — 24x + 2z\ 

Ces notations sont fort elaires et on s'y babitue de snite. La darle 
est J'ailleura iin des grande oieriteB de GOSSEUN. Sea dSmo de trat Ions sont 
translucides, on aura l'occasion de s'en convaincre par les extraits qne 
nous en donnerons. 

Le chapitre 7 est conaacre ä reriraction de la racine eubique des 
nombres, La methode, cela va aans dire, repose sur la formule ^^M 

{d + uy = d3 + 5d*u + 3äu^ + u\ ^M 

1) ¥■> 4 T«. 

2) Algdtrae compenäioaa fadlisgue deicriptio, qua depromuntur magna arith- 
lUftices miraeida. Aulhore lomut: Sciixckeliii Mathemalicarum profusorc in academia 
TvbtTtpengi. (Marqiio d'iniprimeur de CiVELLii.) FatiBÜB, Apud Gulielmum CaueUftt' 
iu Piugui Gallina, ex adnerao Colle^ü CMneracensii. 15S1. ('rm Privilegio. 

Meme titre; Parigiis, Apnd Gulielmum Cauellat . . . 1552 .. . 

L'ouTrage aiait paru deui ans auparaTuit, ä Bäle , boub le titie; Ereuum 
MKiijBxnats, philos<fph% •£ maHiematici excellenCisaimi, sex libri priores de geomttriet» 
jirincipii», Gratce £ Latine, una «im demonslrtüionibua propimlionavi, absq; liUrarum 
nolia, ueris ac proprijs, £ alijs guibueäam usum earum eonlinentibus, non eiCra maxivmm 
huiuM artis ttudiosorum emohimerOo adtectis. AlgAme porro itgvtat, propUr netite- 
rorvtn txemplit, pastin pnipoiüiombua adiecta, hia libria pratmiaea» sunt, eaeä«mn; 
dmonslratae. Afthort Ioaiwb Scasuaa.m, in inth/ta aeademia Tvbinffenni Ettelidis pro- 
fesaore ardinario. (Marque d'ünprimeTir.) Cum gratia & priuilegio CseBario ad quin- 
quennium. Uaaileaa per Inannem Herangiuni. 

La bibliotheque rojale de Belgique poeaede los troia edition«, cd qui permot 
<ie constater que les deux ^itione de CAVEu-fr ue ditf^Tect que par le miiyaime dn tita 

3) Ch VI, fo 5 ro. HP, RS sigöiSeot^ relatum primum, rdatnm gecimdm 
i) Li». 111, ch. VI, fo 65 ?o. 



Le „De arte magna'' 



49 



L'auteur en expoGe longuement IVinploi, uiaiB toiis ces developpeiiieutB 

kreat etre eans mcony^uieot paeaes ici buub eileoce et le tableau oii 

trouve resumü l'operntioii en fnit stiffiäamment counuitre le mecanisme. 

t interessant de comparer ce talileau ä ceux qui ont üte publies aur 

ii-me sujet par Tkkuti.KIN, dans son histoire du calciil im XVI" siücle. *) 

»xeiuple du profesHeur de Carlaruhe, je transßris en miirge, en ecritiire 

a]gebri()ite moderne, In Bignificatton des Operations principules. 

hf nombre bot leqael Gosseun opt^re est 1UU776SI6, dont lu raciae 
lliqae est 216.*) 



I 3 (d + «) 
I du 

■Mfl + u) du + u' 







2 1 r. 


primum 


H 


fi:t 


nims 


Udi 




1538 

1 
648 
126 

3888 

läoii 

648 




Beoim- 
dum 


. 81648 

aie 




opuB 




81« 69h 



DU 



'd{D+U)DU 
U" 
(iD+U)DU+lP 
On ufl peut cependant paaaer ontre, sans" relever dans les esplicationa 
"BÜtwiKKi.i!* ime fuute de plume etriinge et qui s'y reproduit jusqii'ä deux 
Wa. Elle ne l'empt^clie pas de calouler, en fait, correetement, preuve 
CTiiti>nte que c'cst de sa pari distraction pure. 

L'uuteur dit donc, que pour determiner les chiffres des imites succes- 
'iTtij de la racine, il faut ohaque fois diviser les restes par le triple du 
cutnbre dejä det^rmint* des dizalnes de eette racine. C'est le triple du 
carrä dn nomhre des dizaines de la racine qu'il faliait dire. .,Jiim sumo 
Lum aummau notamm in latere inventarum, lioc est 21; triplum est 63 
. . inquiro quoties 63 iu 8166 contineri posaunt, at possunt sexieB 
") 8166 : 63 = 6 (!). 11 suffit de refaire l'operatioa pour conatater 
le'est la dirieion de 8166 par 1323 = 3x21' qui donne 6 pour quotient. 



[ !) i". Tbkut«.wii, Das Bechyien i 

I. 1877, p. 71—75. 
^ f) po 8 r«. — 3) Fo 8 ro 

• ItatbaiaftUG». 111. Folge. 1 



t. Jahrhundert; Äbliftnill, zur Oesch. der 



50 H- BOBMANS. 

Le chapitre 9 est intitule: ^De Proportione Arithmeidca". Sous ce nom 
GosSELiN y traite le probleme: Etant donne le cote d'un nombre polygonal, 
trouver ce nombre. Le tres savant Maurice Bressieu, professeur de mathe- 
matiques, dit-il/) „vir doctissimus M. BressiüS, professor mathematicaß,"^) 
a donne la formule suiyante. Je la traduis en langage moderne: 
Soit n le nombre des angles du polygone, 
l la longneur de son cote, 
k la valeur du nombre polygone. On a 

[(„_2)(i-l)+2]4 = A, 
la formule est donnee sans demonstration. Gosselin en fait deux applications: 

1^, Quel est le nombre triangulaire dont le cote est 0? 

E. On a, n = 3, i = 6, d'oü k = 21. 

2®, Quel est le nombre pentagonal dont le cote est 6? 

JJ. On a, n = 5, i = 6, d'oü k = 51. 

Plus tard, au chapitre 15 du livre UI, Tauteur reviendra sur la formule 
de Bressieu, pour traiter le probleme inverse, en resolvant la formule par 
rapport ä l, quand on connait k. 

Abordons enfin lexamen des trois demiers chapitres du livre I, les 
plus connus du De arte magna. C'est d'eux que Montucla avait garde 
le Souvenir lorsqu'il dit:**) 

„Pierre Josselin de Cahors*) publia, en 1576, un traite d'algebre 
intitule: De occuUa parte nutnerorum, etc. J'ai idee d'y avoir vu anciennement 
des essais assez ingenieux d'application de l'algebre a la geometrie, entr'autres 
a rinvention des deux moyennes proportionnelles continues, oü il se trompe 
neanmoins, croyant avoir resolu par une equation du second degre, le 
probleme qu'ApOLLONius^) resolvait au moyen d'une hyperbole". 

Ce probleme etait le smvant:^) 

1) Gosselin aurait pu tirer encore sa formule de VArithmetica iniegra (1544) de 
Stifel qui traite aussi, comme on sait, de la theorie des nombres polygonanx. 

2) Fo 11 ro. 

3) Histoire des MatTiematiques. Nouvelle edition 1 (Paris An VII), p. 613. 

4) Montucla a ici un d^faut de memoire en attribuant Touvrage a Pierbe 
Josselin de Gabors et Tautorite du grand historien a induit beaucoup d'autres en 
erreur. Cantor, lui meme, hesite dans ses Vorlesungen et ne sait a qui il faut at- 
tribuer le De arte magna (2^, p. 613). J'ai resolu autrefois ce doute ici meme, dans 
les „Kleine Mitteilungen" (Bibliotb. Matbem. 83, 1902, p. 357). 

5) On ignore oü Apollonius s'est oecupe do cette constrnction, dont Eutocius 
parle dans son commentaire sur le second livre d'ARCHiMtDs De sphaera et cylindro (voir 
Archimedis Opera ^ ^d. J L. Heibehg, III, Lipsiae 1881, p. 76; Apollonh Opera, 6d. 
J. L. Heibeko, II, Lipsiae 1893, p. 104). Gosselin avait peut-etre tire la connaissance 
de cette construction de Tedition des oeuvres d'AuciiiMta)K publiee u Bäle en 1544. 

6) Ici Gosselin n*a pas moins de six figures differentes. Je n'ai fait aucune attention 
aux lettres qui y sont employees, pour m'attacber exclusivement au sens des constructions. 



Le ,,De arte magna** de Guillaume Gosselin. 51 

„Etant donne un rectangle ÄBCD^ du centre du rectangle decrire 
une circonference qui coupe les cotes AB et J[ C prolonges, respectivement 
en deux pointe E et Fj tele que la corde EF passe par le quatrieme 
sommet D du rectangle/^ 

L'erreur de Gosselin provient de ce qu'il appelle quelque part la 
Petitio prior. ^) On pourrait la r^sumer en ces tennes:^) 

,ßi au lieu de l'expression exacte d'un nombre on n'en prend qu'une 
valeur approchee^ les differences accus^s sur les resultats des Operations 
sont proportionnelles aux differences faites sur les hypotheses," 

Quant ä Gosselin il est confirme dans sa meprise par les applications 
qu'il fait de son postulat. 

n Tessaie sur plusieurs problemes particuliers. Mais il a la main mal- 
heureuse^ car les problemes qu'il choisit sont d'une nature teile que le 
principe enonce y est vrai, parce que ces problemes eux-m^mes peuvent 
se resoudre par la m^thode de fausse position. Voyant donc que le principe 
reussit^ GossELiN en conclut^ par des considerations embrouillees^ qu'il est 
general. Ces considerations sont d'ailleurs purement arithmetiques et c'est 
ici que MoNTUCLA croyait se rappeler une tentative ingenieuse d'application 
de Talgebre ä la geom^trie. 11 est en effet curieux de voir comment Gosselin 
adapte son postulat au probl^me actuel.^) 

Du centre et avec un rayon arbitraire, decrivons une circonference 
qui coupe les cotes ^jB et ^C respectivement en ß^ et F^. Menons la 
corde E^F^ et notons le point G oü cette corde coupe la cote BD du 
rectangle ou son prolongement. 

Faisons la meme Operation avec im rayon different et notons le point 
H oü la nouvelle corde coupe BD. 

La difference accusee sur les resultats est le segment GU que le 
point D (en fait^ interieur k D et a, H, dans les figures de Gosselin) 

divise dans un rapport donne §|. 



1) Comparer sur ce sig'et le chap. 80 de VAra magna de Cakdamo. 

2) Yoici Vxin des passages oü Tauteur s^exprime le plus clairement: ,,Si pro 
ignota quaestionis alicujus quantitate, duae quaeiibet ejusdem generis asBumantur, 
et ex utraqne sigillatim quaestionis formula pertractetur, si quid vel supersit demum 
Tel desit, cum nota redundantiae vel defectus ascribatur. Erit, sicut differentia 
errorom totius operis, ad utrumvis ipsorum errorunif sie differentia hypothesium ad 
errorem ejus hypothesis cujus erratum operis secundum proportionale est assumptum ; 
quod hypothesis eiratum, hypothesi vel additum siquidem hypothesis fuerit minor quam 
oportuit, vel deductum si major, quaesitam suppeditat quantitatem** (Fo 24 vo — 25 r®). 

Le m^me principe est enoncd plus loin, mais sous une autre forme, dans la 
Petüio prior (Fo 31 ro et vo). 

3) Fo 37 ro. 

4» 



52 ^- BoSMAlfS. 

Or les differences faites snr les hypotheses, c'est ä dire les differences 
des rayons, doivent etre proportionnelles aux differences des resultats. 

Soient donc ü et r les rayons employes et x le rayon cherche; on 

calculera x par la proportion 

B — x^DO 
x — r DU' 

m. 

Le livre II, divise en trois ehapitres, est consacre au calcul alge- 
brique. Nous en transcrivons de nouveau les titres, mais pour leur 
intelligence il faut savoir que les iwmina sont les monomes, dans les- 
quels, je Tai dit ci-dessus, seule Tinconnue est representee par des lettres» 
les integra sont les polynomes rationnels par rapport ä rinconnae; le» 
particulae, les expressions renfermant Tinconnue en denominateur; les 
latertty les radicaux. Ces mots definis, le sens des titres n'ofi&e plus gaer^ 
de difficultes. 

1. De yalore nominum sive quantitatnm hujus artis. 

2. De additione et subductione nominum. 

3. De nominum multiplicatione. 

4. De nominum divisione. 

5. De integrorum additione. 

6. De integrorum deductione. 

7. De integrorum multiplicatione et demonstratione nostra. 

8. De integrorum divisione. 

9. De particulis. 

10. Quid sit latus et quotuplex. 

11. De laterum multiplicatione. 

12. De laterum additione. 

13. De laterum deductione. 

14. De laterum divisione. 

La valeur des ,,nomina" ou noms, dont il est question au Chapitre 1, 
est la valeur du chiffre du degro de Tinconnue. Exemple: L, Q^ C, ont 
respectivement pour valeur 1, 2, 3. 

D'apres cela Taddition et la soustraction des noms de valeur diff'erentes 
est impossible. II faut se contenter d'indiquer Toperation par les signes P 
ou M (Chapitre 2). 

Pour multiplier deux noms, on ajoute leurs valeurs et on multiplie 
leurs nombres, c'est a dire leurs coefficients (Chapitre 3). Exemple:^) 
„Placet multiplicare 3 Q per 4 (7; valor Q est 2, valor C 3, quae addita 

1) Fo 41 vo. 



Le „De arte laagna" de Guillau 



53 



5, cujus numeri quantitns est RP^^) multiplico 3 in 4, 

■ MnltiplicutiB itaque 3 Q in 40 exnrgmit 1'2RP" 

l diviser les noms on soustrait leurs vnleurs et on divise leiirs 

Bom'bres. C'est U eonsequence de la n-gle de la multiplication (Ohapitre 4). 

Les cbapitres 5 ü 9 exposent le ealcul deB polynömes entiers, comme 

^^^ jwurrait le faire encore aujoiird'liui dans une algi'bre elementaire. 

^^^■cna jf par esemple, la precieion de la ri'gle des eigneB de la divison.^) 

I 

^f La 



i qiiatnor: 



Regula* 
„P in P diviso qnotns est P. 
Jf in ^ quotua est P. 
M in P diviso quotas est M. 
P in M diviso quotuB est M". 
La rögle des aignes de la multiplication est d'ailleurs forrauli-f 

I de fermete.') 

Quant aus ecriturea, les calenls ae disposent comme suit: 
Multiplication (Ohapitre 7):^) 



4iJi/(jgP7 

■dQP-JLMfi 

^^E~ iVJCMlHQQP'JlQ 

^Prodncta lÜQjM24CP2«Z, 
|jf20i.P30Qlf35 

Iiraa ti7QP>iLMV2CMl>iQQMlM> 
DiTision (Chapitre 8):*) 
Quotus 
rui 
« 



PHiJPiL 



iz —ex< + i 

3i> + 41—5 




12l'— IHz' + aiT" 
1(>*' — 24.1» + 2«T 
— alte + 30«' — m 




I17j« + M;,_12i>_lsi< 
12j:» — lOjt» — 12« 


— 3b 


+ r.x' + ix 





Divisor 2iJ/3. 2x — 3 

2L3f3 2x^-6 

L'habitude de hiffer, au für et ä mesure, lea elements employes est 
aux uBQges de l'aritlimetiquB ; uoub en avona vu un exemple, 
leus, h propoa de l'eitraction de la racine cnbique. Le deplacement 
diviseur ä chaque nouveau terme etait auasi fort usite. On eroyait 
^ lä, et peut-6tre avec raison, garantir la aurett' de roperation en 
icArtuit les erreuTB de distraction. *) 



im 



1) RP, la 5' puigBaiice de l'ii 

2) Fo 45 \o (coU iiar orreui 25), 
8\ Fo 45 ro. — 4) Fo 45 V- — 5) Fo 47 
6) Voir mon memoire ^ I.n mHhoitt d'AnniK 

jniuU nimtbrai; Annalea de la aocii^t^ sc 
1»04, p. 411—429, 



d'apr^a le tableau donue' ci-desBue. 



V poiir cfTcchitr les ailciihnien 



54 H. BOSMANS. 

Restent les cinq demiers chapitres du livre. Hb ont pour objet \i 
calcnl de la valeur arithmetique des radicaux. 

Les radicaax sont simples on composes:^) est autem latemm daplei 
genas simplicium et compositorum. Simplicia sunt ut L9, LOS, LL 16 
LC 12, etc. Composita vero ut LF24PL29, LF6PL8. En d'autree 

termes: les radicaux simples sont des expressions telles qua y^, ^S 

yl6, vli2 etc., les radicaux composes des expressions telles que \24 -j- ^9 

yG-f-y^- L'algorithme L F se lisait „Latus universale"." 

II faut encore remarquer les radicaux composes^) LVL10PL5 ei 

LVCLbPLClO, tfest ä dire: yyiO +V5', y'^b + 'yiO. 

ün radical compose se nomme aussi ^^atus ligatum"^, racine liee 

Pour multiplier deux radicaux on les reduit au m^me nom (au meme 
indice), puis on multiplie leurs nombres, c'est .a dire les quantites soue 
le radical (Chapitre 1). Donnons ä cette occasion une idee du style de 
Tauteur. II B*agit de multiplier 1/8 par l/Ö.*) 

„Ut reducantur LCS et LQ9 ad idem nomen, multiplicabimus 8 
numerum unius lateris secundum nomen alterius, hoc est quadrate, existeni 
64; tum multiplicabimus 9 numerum alterius secundum nomen alterius, 
hoc est cubice, fient 729; deinde multiplicabimus yalorem, hoc est 2, in 
valorem cubi, hoc est 3, exurgent 6, cujus valoris quantitas est QC. 
Dicemus ergo revocatis LQ9 et LCS ad idem nomen existere LQC64: et 
LQCT29 . . . His ita constitutis, cum ambo latera constituta fuerint ad idem 
nomen eundemque valorem, multiplicabimus numerum unius in numerum, 
alterius et latus producti erit factus numerus ex uno latere in aliud." 

Regle analogue pour la division des radicaux (Chapitre 14). . 

Quant ä Taddition et a la soustraction des radicaux, eile n'est pos- 
sible que si les radicaux son semblables; dans les autres cas il faut se 
contenter d'indiquer Toperation (Chapitres 12 et 13). 

Tout cela est ecrit en un style clair, bref, vif et precis, qui fait plaisir 
ä lire, ce dont au surplus Tauteur a conscience. „Reliqua, dit-il au 
commencement du chapitre 10, en donnant le plan qu'il va suivre,*) quae 
a Stifelio,®) Cardano^ et Peletario^) plura multo proponuntur, missa 

l)Fo47vo. — 2) Fo48ro. _-3)Fo48ro. _ 4) Fo48vo— 49ro — 5) Fo. 47 vo. 

6) M. Stifel, Anihmetica iniegra, Norimbergae M.D.XLU11. L'exemplaiie de 
l'üniversite de Louvain (Scienc. 244) que j'ai boub les yeux präsente un int^ret parti- 
culier. II a appartenu a Gemma Fkisius et contient, en marge, de nombreuses notea 
et r^flexions critiques ecritee de sa main. 

7) HiKBONiMi Cardani, PfacHca arithmetice, db mensurandi singularis. Mediolani 
M.D.XXXIX. Röedite dans: Hikronymi Cardani Opervm Tomvs qvartvs . . . Lvgdvni 
M.DC.LXIII. 

8) Iacobi Peletarii, De occvlta parte nvmerorvm, qram Algebram vacant, libri 



Le ..De arte niapna" lio Guillai 



sJDgTi.liiret 



eimt enitn ejusmodi ot 



habeaut nulliim , obscuritatem 



IV. 



La livre DI a ponr objet la Theorie des equations, teile que ce mot 
eüt ])a etre eotendu par un algi^briste du XVI' siecle. II est divise en 

13 «TiliapitreB aui titres deequels l'anteur ajoute, qnaad il j a lieu, le nunibre 
lies |irobll'ineB n-solus en exemplea, dans chncun d'eux. 
I" De aequatione. 
^^^L 2' Quotiiplex Sit aeqnatio. 

^^^1 3" De aequatione simplice (du 1'' degr(>) duobus ad hnnc probleiuatis 
^^^Bemonstratione noatra. 

^^^B 4" De aequatione 8eciin<!a (du 2'' degre) et tribus ctmonibus cum 
^^HpkttiiBtrationibufi nostris et tribus ad banc problematis. 
^^* 5" De aequiktione ad baac proportiouali et imo ad haoc problemate 
Ktjuiition bicairee et autres equations rf.-ductihles au seoond degre. 

6° De redaetione quadratorum ad unum quadratum. Des equations 
ifx !"• degT^ dans lesquelles le terme du 2'^ degre euntient pltisieiirB 
(ÄrrcB, c'est ä dire est affecte d'un coefficient, On hi ramf-ne ä im seul 
«»■nT.' eu divisünt les deus membrea par ee coefficient. 

7" Qaomodo revocantur quantitates ad minorem vnlorem et uno ad 
haue problemate. De rabiiissement du degre des eqtiiitionH. 

J*" Dp iafinito homm aequationum dignoscendis rationibns. Ecrit 
eontre Nonids.'} 

'.*" Quomotlo in particulia et lateribiis fieri debeat aeqiiatio. 
^^^ !" De aequatione tertia aeu cubica. 

^^^L U De fictitia DiOJ'lUKTi aequatione et quinque ad banc problematis 
^^H liJ De duplicata Diopiianti aequalitute et uno ad hano problemate. 
^^^ 13 Dati cujuBconqne polygoni lateris inquirendi generalis noatra ratio 
"l fsciliB. 

An cbapitre l, Gosselin definit l'equation en ceB termes:"} „Aequatio 
«l duarum quantitatum diversi nominis et valoriB ad unam aestimationera 
fwinctio; ut cum dicimus unum quadratum aeqnari quatuor lateribus, 
,1, z« = 4x. 

Gombien y a-t-il d'especes dequatioDS (Cbapitre i)? 
Qoelquee georaetres sontiennent, ä tort, que ie nombre dea equaÜons 
illimite. Mais si on veut bien faire reficxion que tonte quuntite 

k'w. pBrisüi 1560. Dang la pn-face flu liyre 1, Pelktikb pstlo 'ie Tcdition francaiBe de aon 
•'B^W qoi » l'our titre: L'aly'ehre de jA<\i\'tJ< l'si.knEit du Mnw departie en denn liore-i. 
iUoB, pu Un dn TaumM, 1554. Je cite ce deruiPr titie d'apr^s le Manuel du lihrairc 
mk tamaleaT de Uvre* . . . par Jj'jqukh Cp..n;.(a Bi-vKsr. tora, 4, PariB IfifiS, col. 475. 
H I) Noui j reviendroD« plni loin. — 2) Fo 58 r». 






66 



H. BUBIUIJS, 



contjnue est Ugae, Burface ou r.orpe, on devra conTenir qn'oa ne peat 
raiBOnnablement admettre que troie eap^ces d'e'qiiations, L'auteur prtvoit. 
Bemlile-t-il, iiu'une pareille afännation ne reatera pae Sans aoalever de 
protestatiims. On poss^dait la solation de lequation da 4« degre! Aaesi, 
„utut fiit'', ajoute-t-il, ') „nostra baec est eententia quam postea, jurante 
Deo, demoiiBtrabimuB". 

Ainai donc pour Oosselin requation du 4" degre est pur Jen de 
l'esprit n'ayant qii'un eenß eonventionnel, corame pour noue l'eapace ü 
4 dimensional 

Cette ide'e ne lai est pae ausai persotmelle qu'il veut bien ie dire. 
II lavait empnmtee ä Caudan qni eerit, lai auasi, au Chapitre 1 de aon 
.irüs magnae Über:*) „Cum poattio lineam, quadratum superficiem, cnbua 
Bolidum referat, nae ntiqae ataltiim fuerit, hob ultra progredi quo natura 
non licet". 

Maia, comme Adrien Bomain le fait tres bien obeerver, dans son 
esflai hiBtorique sur la reeotutiou des equations, ^) c'eat la theorie des 
sectionB angulairea qui devait ameuer lea geometres ä d'autres ideps et 
leur montrer l'utilite pratique des equations de tous les degres.*) 

Po«r rt'Boudre les equations, Gosselin emploie de prime abord de 
bien jolies niethodes. Impossible de les faire mieux connaitre qu'en 
tranBCrivant une de cea solutious en entier, celle du probleme 2 du 
chapitre 3, par exemple. ^) An surplus cela me permettra d'abreger en 
evitant les explicationa ; je me contenterai d'ajouter aa texte la tmduction 
des formulea en notatinna modernes. 

,.Duo habest ignotam mihi aummam aureorum. Dixit primaa aecondo, 
ai dederis latus quadratum tuorum aureorum poBaidebo tres plus quam tu; 
sed (dixit aeciinduB) dato latus quadratum tuorum, habebo 5 plus quam 
tu. Quot aureoa unusquisque poBSJdebat in loculis? 

^ingamuB secundum habuisae l Q xK 

„Det Buura L (^3:)pr)mo, reliquum erit iUi 1 QMIL x' — x. 

„Et quia primua debet habere 3 plus c^uam secunduB, habebit igiiwr 
primuB IQMILP^ x^^x+^M 

1) Ffo 53 vo— 51 r*. — 2( Opera, cit6 ci-dosaua, t. fV, p. 222. ^| 

3) Placä en tetc de aoe In AljurnKins Algeliram jiTolegomena. 

4) „Sed et aeqnationeB qiiantitatam , non ad coateMiDum duntniat. »ed et 
milleBimum giftdum et «Iteriua. sunt in usn humano: ealtem in aectioiiibuB aaguloruni, 
■ife (quod in idem incidit) Iftterjbus poljgonorum, (Mim in iie noD contupliciita dan> 
t«xat, led et niilleciipliciita, ol ulterior in infinitxmt inTenintiir rotio." In JtfjiiiuEPic 
Algehram Protegomena, p. 12. 

5) F<> 56 to— 57 lO. Je dini ici, une foie pour tontes, que la pooctiiation de 
CoaaELiN ert defectueuse et qne je n'en tioae pu compte. Pour fnciliter la lecture. 
j'ai auiai, cotironm^meiit niix habitudea modemeB, maltipliä lea alinens. 



Le „De arte magna" de Guillaume Grosselin. 57 

„Reddat jam lL(==a:) secundo quod ab eo accepit, restabunt illi 
1QM2LP3 x'- — 2x + 3, 

^et secundas habebit 1 Q. x^. 

„Sed et secundus^ ex hypothesi, cum primi pecuniae latere habet 
5 plus quam primus; det igitur primus suum L secundo, hoc est 
L riQM'2LPS (== ^x^ — 2x + 3), habebit secundas 1 QPLVl QM2LPZ 

x^ + ya;2 - 2a: + 31 
et restabunt primo 1QM2LP3MLV1QM2 LP3 

a?2 — 2^ + 3 — ^x^—2x + 3, 

„Verum et secundus cum latere primi debet habere 5 plus quam 

primus, quare primus minor secundo 5. Addamus igitur 5 primo, existit 

primus 

1 QM2LP8ML VI QM2LP3 

et haec aequabuntnr secundo, nimirum 

IQPLVIQM2LP3 
X« — 2:r + 8 — p^— 2;r~T3 = a:^ + y^ — 2x + 3 

„Et snbducto utrinque 1 Q (= x'^) restabit 

LV1QM2LP^ aequale SM2L3ILV1QM2LP3 

y^'=^2^^^ = H — 2x — p'^ — 2a; + 3 

„Et addendo L F(= le radical) quod deficit ex altera parte, ex 3 axiomate 

restabunt 

%M2L aequalia 2LVIQM2LPS 

S^2x = 2 |/x2^— ~2:rT"3 

„Daplicemns ergo L F, existet 

Lr4QMSLPl2 aequale S3I2L 

^ix^ ~~8¥+ 12 = 8 — 2a: 
^t qnadratis partibus 

AQMSLP12 aequalia 6AM32LP4Q 

4x^ — 8a: + 12 = 64 — 32a: + 4x^ 

„Dedncamus utrinque 4 Q et 12 (= 4a:- + 12), restabunt 

52MS2L aequalia MSL 

52 — 32a: = — 8a: 

„ToUamus utrinque MSL{= — Hx)y supererunt 

o2Jf24L aequalia nihilo 

52 - 24a: = 

„Addamus utrinque 24 L, quae deficiunt in altera parte, existent 

52 aequalia 24 L 

52 = 24a: 

^ sie etat aequatio. Partiemur 52 in 24, quotus erit 2^, valor scilicet 
^(^5*2^6). Secundus ergo quem fecimus habuisse IQ, habuit quadratum 






58 ^* B0SMAN8. 

2i, hoc est 4|| [x^ = (2^)« = 4||]. Primus vero 1 QM2LP3, hoc est 

Le lecteur aura remarque ces deux equations : 

52Jlf32L aequalia MSL, 52 — S2x = — Sx] 
b2M2iL aequalia nihilo, 52 — 24x = 0. 
Cette maniere d'ecrire, si rare encore au XVI® siecle, merite Tattention.^) 
Je passe rapidement sur requation du second degre, dont la reso- 
lution forme Tobjet des chapitres 4 — 8. A Texemple de ses predecesseurs, 
GossELiN ramene Tequation aux trois types, 

q = x^-\-px , x^ = px + q , px = x^ + q 

et pour chacun d'eux il etablit les formules classiques. II n'y a neu de 
neuf a y relever, si ce n'est, peut-etre, qu'ä un moment il est assez mal 
inspire. Partout ailleurs il professe grand respect pour Y Algehre de NoNius, 
„in cujus verba juravi'^, dit-il dans la preface;*) mais ici il lui cherche 
mal ä propos quereile. ^) 

Quand le terme du second degre est aflFecte d'un coefficient, Nonrts- 
resout Tequation que nous ecririons 

ax^ •\- hx = c 
en lui faisant subir les transformations suivantes:*) 

Aa^x^ + 4a6.r = 4ac 

{2ax'\-hy = h^ + 'iac 

VVTM- 4 a 7 — h 

2x=^- — 

a 

GossELiN ne sait pas faire assez de gorges chaudes sur cette mani^r^ 

d'operer. Pourquoi d'abord cette multiplication par a? Pourquoi sur-^ 



1) Outre l'exemple cit^ ci-dessus, ou trouve encore chez Gosselin (Fo 73 y^y 

3 (Jitf 24 7. aequalia nihilo, 3x2 — 24x = 0. 

Voir, sur ce sujet interesBant: G. Eneström: Über Gleichungen ^ . die auf Null 
gebracht sind (Biblioth. Mathem. 83, 1902, p. 145). 

Cantor, dans sa repoyise ä la Questimi 307 de Tlntermediaire des math€- 
maticiens 2, 1895, p. 86. 

Je rappellerai que Wallis fit un effort energique pour tacher de reporier le 
merite de cet usage sur Harriot (J. Walusii Opera mathematica, Oxoniae 1693 — 1699, 
T. II, p. 139). Le redacteur des Acta Eruditorum crut le fait assez important 
pour meriter d'etre releve dans le compte rendu qu'il donna de VAlgebre de Wallis 
(Annde 1686, p. 285). 

2) Fo aiiij 20. _ 3) C'est l'objet du chapitro VIII, f. 67 ro— 68 ro. 

4) Je cite d'apres Gcssklix, car les Opera de Xonius (Basileae) que j*ai seuls sons 
la main ne contienuent pas Talgebrc. L*edition espagnole parut, on le sait, a Anvers, 
Bous le titre: Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria. Compuesto por el Doctar 
Pkvro NuifEz^ Cosmographo Mayor del Reg de PoHugal. Anvors, en la casa de la 
Biuda y Herederos de Juan Stelsio, 1567. D'autres exemplaires ont pour adresse 
d'imprimeur; En Anvers, en casa de los Herederos d^Amoldo Birckman, 1567. 



Le „De arte mKgiia" 'lo (inillaume l^ioRBsliu 



lont prendre pour inconnne 2:r? IJuelle raiaon y a-t-il de s'arreter dans 
reMevoieV Ne ponrrait-on pas aussi bien choisir 3z, oii 4j', na bx'f Lä- 
dessiiB Go«SEr,iN demontre qiie NONIUS nurait pu prendre pour inconnue 
3jc od 4j*, ce qui ne lui cause naturellement aucune diffiewlte, 

Le chapitre 10 „De aeqoatione tertia" est tres ecourte. Go88ei,in 
a'y expose pas ce qu'oD saTait alore de In reeolution de t'equation du 
3* degrc; ü se contente de dire qiie le probli'me n'a paa encore re^ii de 
aolntion complete. II le reetudiera et publiera sous peu le ri^sultat de bps 
reelierchee; ,jiob vero interea pro virili parte problema hoc vestigabimus, 
ilAbimosqae operam ut brevi cognoscatur". ^) 

Les chapitres 11 et V2 oai pour objet des problemes d'aDalyee 
iodrterminee d'aprt-s Diophante. 

La tmduction latine de Diophante venait d'ötre edite'e ä Bäle, en 
ir>7i'), par Xylander. ü y avait donc de cela deux ans ä peine. MaU 
il fant avoir eu en maina IV'ditioa de XylanüER pour fiomprendre quelle 
Serie diaextricables enigniea ä resoudre, eile imposait ä !a aagaciti- des 
mathematicieBB. 

Ecoatooa ä ce sujet, un des plus ingenieux commentatenrs de 
Dioi'iiANTE, Simon Stkvin:*) 

„L'exemplaire greo dnquel Xylandhe Tavoit tranelate, dit-il, a eate 
(pur le souvent reacripre comme ü eemble) ai rempH de vices (dont 
XyusiiRe a'en complaiiit aouveutes foie) que le texte de Diopha(JTe ne 
je poorroit expliqaer de mot ä mot." 

Aaesi 8tevin arr^te sa traduction et son commentaire ä la fin du 
Irieine livre, „laiaaaat le cmqniesine et le sixiesme pour erapeecbement 
itres nccDpiitioDs plns neeesBaires". ^) Mais älbekt Girakd boq con- 
twBstear ne croit pas trop ä la raiscn alleguee par le gt'omi'tre brugeois 
l^'»prea lui/) il „est plus apparent que lea grandea difficultes qui ee ren- 
^Btrwit aiix deiix derniers livres de DioPitantk ODt empeache le translateur 
«*D paraohever la Version"'. 

Ü ne faut donc point B'elonner d'entendre Gosselin nouB dire, dans 



:riK tfc Brwief. 




1) F» 72 vo. 

S) L'ArUhmetiqtie. r,«yde Cd. 10- LXXXV, p, 433-434, 
lUediU il&us: Let Oeuvres Mtilhemiitiqueg de b'iiox i 
i'Jf Oaiar: Uyde, ClO.* 10. CXXXIV, Tom. I, p, 102 

3) L'Arühmeiiqae, p 433; las Oeaites, Tom. I. p. 102, 

4) L'Arithinetiquf de Smon Swi-ra de Brvgt». HeatHi; corrigee * aunmentee de 
|i««nr» traüieM et annolatinn pnr Ai.rkut Givjhi- Samiflois Mathtiaatirien. A Leide, 
'> rimprim«ri« 'leg Elieriere, CD. 13. CXXV. ¥« 'j. Dmh la d^rlioaee d'AuiKKT 
"«ui. i Hiti'BK'K t>» Nasiav. Cette ik'dic»ce u'esl pas reprodiiil« dans l'fditioo de» 
"wfTrt Uathematiqua lU Si»o.v Sm.-i.v, pnr Ai^^»-r Girjhi; de Leide IB34. 




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Le „De arte magna** de Guillaume Gosselin. 61 

Soit d la raison donnee. Le probleme revient ä resoudre les deax 
eqaations: 

x^+ d = y^ (1) 

x^'\-2d = e^ (2) 

(1) peut B*ecrire 

d={y •\-x){y --x) 

On decompoeera donc d, de to.utes les manieres possibles^ en deax 
facteors^ d = uv, et on posera 

y -f-a; = M , y — x = V 

d'oü on a, poor chacune des decompositions en facteurs de d: 

* y = i («* + v) , x=l{u — v). 
Jasqu'ici Gosselin est parfaitement clair. • Mais maintenant il abrege 
et semble operer qnelque peu au hasard. 11 etait bien aise cependant 
d'achever la Solution comme eile etait commencee: 

(2) peut 8*ecrire 

2d = (£f + x)(£f — x) 

On deeomposera 2d en deux facteurs^ de toutes les manieres possibles^ 
id^uv, puis on posera 

£f -{- X = u , e — x = v 

d'oü 

^ = i(u' + v) , x = \(u — v) 

Le Probleme n'est possible que si les deux valeurs de x sont egales, 
c'est ä dire, si 

U — V = U — V 

A cette condition il n'est, en tous cas, fait aucune allusion. 

Gosselin se donne pour raison le nombre 96. Les trois carres qui 
wpondent ä la question sont alors 4, 100, 196. 

Le chapitre 13 a pour but de trouver le cote d'un nombre polygonal 
donne. Le sujet n'y est pas traite avec toute la generalite que semble 
promettre le titre: „vestigare cujuscunque polygoni lateris generalis nostra 
^tio et facilis". Au point de vue theorique Tauteur se contente de 
renToyer a la formule de Maurice Bressieu qu'il a donnee au chapitre 9 
du livre I. II Tapplique a deux problemes. *) 

1® Trouver le cote du nombre triangulaire 21? 

II suffit de resoudre Tequation 

i QP^L aequale 21 , ix^ + \x = 2l 

ön obtient 6 pour longueur du cote. 

1) Fo 78 yo— 79 ro. 



♦52 H Bt 

2^ TroQTer le cote da nombre pentagoiud 51? 
U faut reeoudre 

I i^m L aequale 51 , |x« — 1 x =« 51 
C>n obtient de noareau 6. 



Le Urre IV est le plus interessant de ToaTrage. ^yHactenas^, dit 
GossEUxJ) Jlla quae sub Algebrae calculam cadere posse Tidebantar 
explienimus, immensuinque adeo opus tres in libros congessimus. Super- 
est aliud ratiocinandi genus duplex: unum quantitatis simplicis quae 
absoluta rulgo dicitur. alterum quantitatis surdae: utrumque quadantenus 
Algebrae simile. Una tarnen hypothesi non absolritar^ praesertim simplex 
sed duabus, pluribusre" 

Les hypotheses multiples dont il est ici question, sont des equations 
multiples. Bref. i>our aller droit au but, Gosselix reut dire qu'il ra 
nous exposer la resolution des equations a plusieurs ineonnues. 

D divise son livre IV en tn>is ehapitres. Le premier n'a pas d'en 
t^te et sert de pn^foee, mais les deux autres sont intitules respectirementy 

De quantitate absoluta. 

De quantite surda. 

<iue faut-il entendre par ces deux motsV GosSELiN ne les definit pas 
et il est ussez malaise de le faire a sa place. Sous le nom de quantites 
absolaes et de quantitt^ soarths^ il sagit de deux methodes differentes 
pour resoudre les eijuatious du 1^ degre a plusieurs ineonnues. Un 
exemple de ehaeune delles en fera saisir la diflferenee. 

Les problomes des quantites al»soiues sont au nombre de 5 et tous 
du meme genre. Gosskun moditie sa notation habituelle, en supprimant 
dans les formules les signes P et J/. l\\r consequent 

ID^AiBiC aequale 13 
doit se lire 

Test une notation dont Tidt^ appartient a BiTEOX,*) auquel Tenonce 
du Probleme sulviuit est d'ailleurs empruntö. 

*J I Bi TE>>. Logist iai^ quM if iirithmfticii r«^.) diciinr im 1ibn>$ qmmque äignia. 
Lv^.iTni M.D LIX Voir sur oet oiivr»s:e iv WtKrnmi, i>iV Logistik des JoBAsyEs Brno; 
Biblioth. Matheiu. *., 190*2. p. *Jl7-*Jl:i 



Le „De arte magna'' de Guillaume Gosselin. 63 

Probleme 5.^) 

^^nveniamuB quatuor Bumeros quomm primus cum semisse reliqaorum 
faciat 17^ secundus cum aliorum triente 12 ^ tertius cum aliorum quadrante 
13, item quartüs cum aliorum sextante 13. 

„Sint Uli quatuor Ä, B^ C, D; et sint 

lÄ^mC^D aequalia 17 
lniAiciD aequalia 12 
IciAiBlD aequalia 13 
ID^A^BIC aequalia 13. 
ReTocentur ad integros numeros, existent 

2A1B1C1D aequalia 34 
lASBlClD aequalia 36 
lAlBAClD aequalia 52 
1A1B1C6D aequalia 78. 

Addamus duas ultimas aequationes^ tertiam scilicet et quartam^ existent 

2A2BbGlD aequalia 130 

*<>Uamu8 hinc primam^ restabunt 

IBAC6D aequalia 96. 

Addamus quartam et secundam^ fient 

2A4B2C7D aequalia 114 

^^Uamus hinc primam, superest 

SB1C6D aequalia SO. 

. Addamus secundam et tertiam aequationem^ fient 

2AiBbC2D aequaUa 88 
^Uamus primam^ restabunt 

31/4(712) aequalia 54. 

Jam vero triplicemus 1JB46'6Z) quae fuerunt aequalia 96, fient 

3B12C1HD aequalia 288 

^llamus hinc 3 JBl C6D aequalia 80, restabunt 

11C12D aequalia 208 

8ubducamus iterum ex eadem 354 CID aequalia 54, restabunt 

8 Gl 7 2) aequalia 234. 

Maltiplicemus hanc aequationem in 11, fient 

88(71872) aequaUa 2574 

iucamuß etiam 11C122) aequalia 208 in 8, existent 

^^ 88(7962) aequalia 1664 

1) Fo 82 yo— 83 vo, dans la Logistica, p. 193. 



1 



Tb imniiuai 11'. IIX^ fnnr iifiiuuiu üf& 'aiüiuim» LL£V llM^ «st l^A 

Sf itfviju&Ini LI'.' 

Si«x -»cum i^-ir'.'lX' ititiriuüu «am: J«k ^iLuiim^ imu 41'iJ>. hoe 

^rsonn* 3 fr Ä»!mi«iTisf i innen» t 

rsim'''?rj iJLl5 1'."- -? k?»iauiinir i4: iDiIaniii» U» 3ifiiig»f -L ICS 
'.D I". !i»m: "«sc iL r^'<cut)aiir 

II ie^iauliu lA, 

iMiiT^ 1 Jl t»: inunih' aiimems -jsc *!: jonniiie laucanr Turwwr* «t 4. ** Iv. 

_ •rüi^r'inms' *5i i' iC'i'jni. "^juii ine temonscnuiun im ^«ic -5ö?f- aü» 

-11 j:u:Tui^".t? t\'*t«' !♦? Uli- .t^^i- u^v'jrÄiftf iu X "1*^ -st^rie ior j^jet Ui malünir. 
A.ur*r^ ^^-1 iiim aacuj>ti jr -i^intimenr ie iejre i\'»*r '.eMaei*Tt»hHM:»i5 ^jmplee 
uuLactÄUiuir it? 3lv.'':^> hu i f^f»?u^»t it- t^jis Tuuner«» iiifi^romK^ 'fifri' ^ 
L*iiJOii'mer -«4 n^-*"!!»!»!»* ai ^n/oii-m*? ^^'^pu:5«' simf^ -)ar»THiir a !» rrfSiaiiirF- 
rr»ni^ :(jis?i -ji ••ff-r. 'jr—-;r;>* ^i^ *mop»uiile ians- .a HuiinoiL* II a» gurräBt 
'■IST t -Liinmer ^•x'ui»"!>ruituc .fs nir»jaa»it«!?i ••jinme ■■n^*i>«LI3^ 1» iuiL na» 
ii-T»"- -n L- -'i-r. rjx i^r^^ SMistr:u:a'»Qs^ >-üiuc t? aomum la wboul jasi|sa 
le'Lx^ T^is- :oi^ i li.-U'-^^'*? .*- >r»n>i^-'.u^. •jrrtH-remtäic i «t ^Tiiu amis p*r 

iiU*i Jlt.V'N :tr*u::i^---i, ' rar u:»- •»-Jt»r>L:ua in ptfU it!«:*juiai0!tt.. i^aü- ae 
inencfc »ifi:? a Hjitin"ii i*^ '«-»tlL^: ,>. ••n uu'iuir" :«» >mcuii vTiiettCar 
»i>r5*:'in«jr n iiic *»-4:uiü. :'uii> *s: •'iiiiii tunur i^Kis-. 'Äiti) üsiuir ^aÜixii 
•fjULOiuiLiütr ur»iri';uuiii .«.»üii^r '.H'!:?^ utVr!> uuif^estiat?. :uuihi4m» ifififciE» 
■apL -juiacii -min '»•»)'.is^ p^s- .'0>s:«trruiö' Lr*f auut^m .evmi guttsiC^ wfli 
luceui i'iil".' riL''.'-' 



• ^\» 



:, Li-tfutt*::^ -'jy — i'.**j ••Ktr t:(.>t}L!i:aA:i •. "^L"-i-.> e OMtiti^ 'i*w&r iu^fCTF 



Le „De arte magna" äe niiiÜaiime rJoBseli» 



65 



[| nouB reste, pour terminer ce triiviiil, ii donner un exemple de la 
resolutioa d'un Bjeteiiie d'tiqiiiitioiis par quautitee sourdes. hes problemeB 
traiti?E par cette niöthode, au uomhre de quatre, oot toue pour uotes 
oinu-k'ristiqueH dabord l'euiploi eiplicite d'une seeoude mconnue, la quantite 
sourdc,^) eneuite une espice d'eBsai d'eliminuÜon par BubBÜtution. 

„Probleraa 2^) 
„Veetigemue tres ejusmodi numeroB, ut primus et secundue Buperent 
tcrtium 20, secunduB et tertiua primuui 30, primuB et tertius secundum 40. 
.,Sit primuB 1, secundua Iq, tertius ergo urit l/JPli^JlfäO 
( = i + g — 20). Sed secundus et tertius Buperiiut primum 30, quare 
lLP2qM-20 aequalia sunt ILF'dfJ 
[L + 2q — ->0 = L + 30] 
«■t siiHiito superfluo, additoque quod deficit 

2 g aequaleB 50, 
fit \q-Jb. 

Juiu sit priuius, ut iiute, iL, HeciiuduB 
t,'^« i, + 25 — 20), hoc est, ILPö (= L + 5). 
*'>j)cnmt geeundum 40, qiiaro 

2LPi} aequalia Bunt ti5 
''t aublato Biiperüuo 

2L aequalia üO, 
fit luiimi latus 30. l'riuiusitaqiieeBtSO, aecimdua 25, tertius 30 P5, hoc est 35.'' 
II (JBt inti-ressant de comparer, ä eette occasioji, Gossei.in et Si'iieubkl. 
M. Fo.sTKs. diiDs son etude sur Les arithtnitiipies et ks algibres dtf 
^Yl' siide qui Sunt ii la hibliothiquc dt: Toulouse,^ a releve ayant moi, 
clm ralgehristeallemand,^) un essai analogue de mi'tliode par subBtitution 
Mail ScilKUUKL est bien inferieur ü Gossklik, car l'idee d'eiuployer une 
•econde tnconnae ne loi vient pas.^) 



^'1, tertius \LP-2i>M20 

Sed ut tertius et primus 



1) DfttiB ce gQDB, !o terrae „quantita aorda" t, fite omiiloje dejä pai' P*(uroi.o 
C«st Biblinth-Matheiu. 6„ 1905, p. 399), et pIns tard iiar C.ihhas. Le terme est uaite 
•»oore par Ci.*vu;h datiB Bon Algebra (chap. SV, Clavii Opern. Muguutiae 1611, 2, \i. 36). 
i) Ko 84 v"-85 t". 

H) Bullatini et mämoites de lacademie de« BoieitceH iuBcriptioni et 
b«)lBi-1ettrc« de Toulouse 8, 1900, p. 285-280. 

Voir kDBti loB eiemplea citus par M. Stakihüixhm, k U p. 456 de fift notice; 
-/'«■i.ii.iB a>-Bin'iiiu., ein DcuUchcr Algebraiker des XVI.Jahrhiirulert: Äbhaaill. zur 
H««cb. der Matheiu. », 1900. — Dans SrnsrEKL, öd. de BSle, p. 20— '21 et 23-24; 
«üÜoii. de l'MJB, r, 15 CO— 16 ro et 17 ro-17 »o. 

4j V^. <le IJälB. p. 73; dditiona de Pari), fo 50 vo, 

■')) Il'iipr&B Stikbl ce serait ii Cauius ^ue roviendrnit riiounoiir d'avöir topre- 
[ BWMibH» HatlumKtiG*. IIL Folffe Vll. 5 



^;^; U. BiMMAW: Lt »Dt arte magna '^ de Guillaome Gosselin. 

VI. 

i\»u\'hu>iii!^ Nou» croyons avoir donne une idee complete du De arte 
>m%^^^ . t»i Ml toui» Ottt» liouB avons tach^ d'j garder la plus stricte impar- 
viaItU'. t't^i (u>ur ct^ltt qua noue avons laisse Tauteur parier leplas souTent 
\\M lui^ui^ Nout» pouYOUS porter maintenant un jugement d'ensemble sur 
:ixxu >^Hotv <hx u\ trouve^ il est vrai^ aacune de ces grandes decouvertes qni 
KmK o|kh|Uo ^i iH^peudant le De arte magna merita ä juste titre Testime des 
^viih»iu|Ka«iiuii. Oo^iMKiiiN, tres au courant de la science de son temps^ j est 
oui«u^uuii«>^t olair t^t bref. ("'est im vulgarisateur dans le meilleur sens da 
^M\'K «\^t^^t lurt de jeter la lumiere sur les decouvertes des autres et de 
U^A uki>Ui0 ^ U portoe du grand nombre des savants. Kastner avait 
«\\vH>ü^>mtut»ui juge le De arte magna en disant qu'il etait ^sebr gut nur kurz^. 

A^^W t\M Uiv^iiitm iuoouuueH d'un probl^me, par des lettree diffirentes. Voici le pas- 
4^v i ititkmiftiva Meifriif lab. IH, oap. VI, fo 252 ro): 

,,\*uHui'Mt*iii>ui*H et lliKitoNYMirM Cahdanus, tractant radicee Becnndas (les deuxiemes 
l^vv^uv4u«.^ «üb vocabulo (lunntitatis, ideoque eas sie aignant Iq. Latias vero eas 
Vx^vUvil iUmuNiM. CiiuiHtoPiioKttf euim nihil habet de commissionibuB secundarum 
k^sUvum ouiu primiH. Ka« autem Oardamih pulchris exemplis notificavit, ita ut ipsa« 
^Hv'4^^ Uiilio«»i'im Kae autcm comuiisuionea secundarum radicum cum primis sequentia 
v^yv^vu^iU imtiii ilooeui,^^ Suivent len exemples. 

htivKi- a övidemmeui ioi cn vue le chapitre 9 de VArtis magnae Über (ßperay 



; Ter la [iroistoriii •i 



(lellc traBformaKinni di contalt«. 



P er la preistoria della teoria delle trasformazioni di contatto. 

^^ Di GiNü LoKiA A tienova. 

^^^B Le traBformazioni geometriche ideale da Fkrmat e delle quitli mi soao 

^mr recente occupato') sono notevoli perclte, a differenzu. di quelle che ordi- 

I n&rianiente si nanno, rijiosano aullu eonsiderazione della lurighezza degli nrchi 

I dell« curve alle quali sono applicate. Esse sono effettuabüi su qualunque 

cur-ra plana, ma, contenendo nella loro rappreeentazlüiie analitlcii ima fuii7.ioDe 

inerente alle curve bu cui operano, non sono di quelle che esercitauo lu loro 

I Influenz» boU' intero piano. Esse quindi, eontrarianiente a quanto, per 

' onn in^BplIcabile ed imperdonabile svista, ho asaerito, non sono Irua- 

formazioni di contatto, ulmeno sinche si voglia conservare a tale 

locuxione il signiflcato attribuitole da S. LiE. 

Üi tale eategoria di trasformazioni fa invece parte una claase di 
corrisjiondenze piii antiche di tiitte quelle atudiate dal Lit: nel capitolo 
[ iotitolato „Zor VorgeBchichte der Beriihrungstransformationen" di una delle 

•uigliori Bue opere.-) Sono quelle trasformazioni immagioate dal VaI{1(4NON 
e che ho studiate nel Cap. I dell'ultima parte della raia opera Speeieüe 
"tgtliraisdie und transscendente ebcm: Kurven (Leipzig lOöü, ji. 5!t5 e seg.) 
In forzB di una tale corriBpondenza al punto Py di coordinate x^, y^ viene 
asBücialo qnello P di coordinate polari q, <u tali che 
U) x^ = Q, yi=loj 

osaia, iatroducendo le coordinate cartesiane j-, y del punto P, 
(2) 



^ + y\ y\—^ iiro tg :; 



■r.-f 
> ( ^ una coetante nota. 
Ora la proprietä essenziale di tale traBlbruiazicme, 



di miitare due enrye 

puö rendere di evidenza 



"■ loro tangenti in altre pure in contatto. 
"itnitivu, eenza ricorrere a toorenii generali, medijinte una costruzioue 
•^crcumetrica della trasformazione stesaa, che, uou essendo, a quanto mi 
^DBta, stata finora notata, gioTn qui segnalare. 



1) Bibliotli Mftthem. 63, 1905, p. 343—846, 

2) Geometrie der BeTährunffatrannfiiniiationen, dnrgcstcllt r 
- Hd., Leipzig lB9e, p. le »eg. 



j S. LiE und S. Scn 



68 ^1^0 Lokia: Per la preistoria della teoria delle trasformazioni di coniatto. 

Si consideri la superficie elicoide avente per asse la retta O0 e per 
corva meridiana nel piano xOs quella di eqaazione 

(3) fix,z) = 0. 

Se 2 e il coman passo ridotto delle eliche della superficies quella di tali 
curve che passa pel punto (xi, t^i) del meridiano sara rappresentabile mediante 
le equazioni 

(4) x=^Xi cos u, y = Xi sen m, £r == jerj -J- /m, 

neUe quali m e un parametro variabile. L*equazioiie di queUa superficie si 
otterrä eliminando u; Xj, g^ fra le (4) e Tequazione f (x^^ e^) = 0, ond' e 

(5) /•(V^* + y^ ^-l arc tg|-)=0. 

La sezione della superficie col piano x y (che e un piano qualunque 
perpendicolare all'asse) avra quindi per equazione 

(6) / (V^M^ - i arc tg I-) 
o, introduciendo coordinate polari q e — w, 

(7) fie,i<o) = o. 

Ora la curva (7) nasce eyidentemente daUa (3) coli* applicazione di 
una trasformazione di Vakignon; quindi per eseguire questa sopra nna 
curva del piano x js 81 puö procedere cosi: si consideri un<i superficie elicoide 
di cui quella curva sia il meridiano e la si tagli con un piano perpendi- 
colare aW asse; la curva seeio^ie sarä la cercata. Emerge da ciö che se 
si considerano nel piano x z due curve F e F^ fr^ loro tangenti in un 
punto M di loro intersezione, nasceranno coli' indicato procedimento due 
elicoidi fra loro tangenti lungo tutta Telica ad esse comune (e quella 
generata dal moto elicoidale di 3/); tangenti saranno quindi le curve 2* e -T^ 
in cui esse sono tagliate dal piano xOy^ e poiche jT e J\ sono curve 
qualunque, cosi resta dimostrato essere ogni trasformanone di Varignos 
una trasformazione di contatto. 

Osserviamo, finendo, che, siccome una tale trasformazione muta una retta 
in un Spirale d'ARCiiiMKOE, cosi e evidente (e d'altronde e notissimo) essere 
curve di tale specie tutte le sezioni prodotte in un' elicoide generato dal 
movimento di »una retta segante Tasse, du piani a questo perpendicolari 

AI lettore non isfuggirä certamente come la iudicata costruzione stereo- 
metrica deUa trasformazione di Vakkjnon guidi ad una generalizzazione di 
questa, giacchc Telicoide che ci e servito si puo tagliare con un piano 
obliquo all'asse; la nascente curva sezione e aUora legata alla curva meridiana 
da una nuova trasformazione puntuale, piü generale di quella di Varignon 
e di cui non sarebbe malagevole determinare la rappresentazione analitica 

Genova, 18 Maggio 11)06. 



Kdm IjAndau: Euler n. die Funktionalgleicbung der Riemannschen Zetafunktion. 69 



laier und die Funktionalgleichang der Riemannschen 

Zetafunktion. 

Von Edmund Landau in Berlin. 

Einleitung. 
Die Funktion .C («) ist für 91 (s) > 1 durch die Reihe 

N 1=1-1.1 + 1 + 14. 



y 



= 1 V* 2* 3* 4* 



definiert; RiEMANN *) hat bewiesen, daß (5 — 1) .CC^) ein^ ganze transzendente 
Funktion ist, und daß ^ (s) der Funktionalgleichung genügt: 

0) i:(i-s)-^,co8*|r(s)^(..). 

Wenn die analytische Funktion (p (s) eingeführt wird, welche für SR (s) > 
durch die lleihe 

definiert ist, so ist bekanntlich 

und die lliEMANNsche Funktionalgleichung (1) nimmt die Gestalt an: 

^^ g>W (2'-i-i)«' ''''' 2 

Unzutreffend ist Herrn Bachmanns *^) Angabe, die Relation (3) sei 
schon im Jahre 1849 von Sciilömilch^) angegeben worden, und die Be- 
hauptung der Herren Ca II EN,^) Vecciii^) und Torelli,^; SciiLr)MiLCH habe im 

1) Über die Anzahl der Primzahlen untei' einer gegebenen Größe; Monats- 
berichte der preußischen Akademie der Wissenschaften 1859, S. 671 — 673; 
Werke. 2. Aufl., 1892, S. 145—146. 

2) Die analytische Zahlentheorie, Leipzig 1894, S. 339. 

3) Lehrsatz; Archiv der Mathem. 12, 1849, S. 415. 

4) Sur la fonciion f (s) de Bikmasn et sur des fonctions analogiies; Annales de 
l'^cole normale (Paris) II3, 1894, S. 75. 

5) Sulla funzione {(ä) di Hirmasn^ 1 (Paris, Hermann 1899), S. 7. 

6) Sulla totalitä dei numeri primi fino ad un Umite assegnato; Atti doli' acca- 
<iemia delle scienze di Napoli II2, 1901, S. 88. 



70 Edmund Landau. 

Jahre 1858^) (also noch vor Riemann) die Gleichung (3) gefunden. Die 
genannten Autoren verwechseln jene zwei SciiLÖMiLCHschen Noten mit 
einer dritten 2), welche erst im Jahre 1877 erschien und (für <s < 1) 
die Relation (3) enthält. 

Mit Ausnahme von Herrn Cahen^) scheint noch niemand die — 
richtige — Bemerkung gemacht zu haben, daß die Relation (3) (ohne Beweis) 
schon von Euler veröffentlicht worden ist, fast 100 Jahre vor Riemann. 
Da Herr Cahen versehentlich die Petersburger Akademieberichte statt der 
Berliner Akademieberichte zitiert, ist durch sein Zitat die EuLERsche Arbeit 
auch nicht bekannt geworden; im Übrigen geben Herrn Cahens kurze 
Bemerkungen^) kein richtiges Bild von der Bedeutung der Abhandlung: 
Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes 
que reciproques, par M. L. Euler (lu en 1749), welche im Band 17 
(Berlin 1768) der Histoire de Tacademie des sciences et belles- 
lettres („annee 1761'^ auf S. 83 — 106 der „Memoires" abgedruckt ist. 

Im § 1 des Folgenden werde ich über den Inhalt dieser interessanten 
Arbeit referieren und die EuLERsche Behauptung in diejenige präzise Form 
bringen, welche er gemeint hat. Im § 2 werde ich diese EuLERsche Be- 
hauptung beweisen, indem ich zeige, daß sie mit der Funktionalgleichung (3) 
identisch ist; für gewisse Werte der Variablen bedarf dies nicht einmal 
einer besonderen Begründung, da für sie die in der EuLERschen Formel 
auftretenden unendlichen Reihen konvergieren. Euler spricht nur von 
reellen Werten von s; doch wird sich im Folgenden die Richtigkeit seiner 
Vermutung auch für alle komplexen s ergeben, für welche 

ist. 

§ 1. 
Euler beginnt mit der Ankündigung, daß er einen einfachen Ausdruck 
für den Quotienten der beiden Reihen 

(4) im _ 2m ^ 3m _ 4m ^ 

und 

(5) 1_1 + 1_1 + 

angeben will, wo n = m + 1 ist. 



1) Über eine Eigensdiaft gewisser Reihen; Zeitscbr. für Matbem. 3, 1858, 
S. 130-132. 

2) Über die Summen von Potenzen der reciproken natürlichen Zahlen; Berichte 
der Sachs. Gesellsch. d. Wissensch. (Leipzig), Mathem. El. 20, 1877, S. 106-109; 
Zeit sehr, für Mathem. 28, 1878, S. 135—137. 

3) 1. c, S. 75—76. 

4) „Meme Eitt.er, en 1761, avait donn^ cette relation, sans d^ailleors en donner 
une d^monstratioQ, ni meme pr^ciser les valeurs des sommes qu*il consid^re.* 



Euler und die Funktionalgleichung der Riemannscben Zetafunktion. 71 

Für <; n < 1 Bind dies konvergente Reihen. Euler erkennt wohl, 
daß (für reelle n) sonst eine der Reihen divergiert Bekanntlich ^) war er 
noch der irrtümlichen Meinung — der er auch auf S. 84 der vorliegenden 
Arbeit Ausdruck gibt — daß einer divergenten Reihe eine bestimmte Zahl 
entspricht, welche sie bei jeder formalen Rechnung ersetzen darf; hier 
definiert er jedoch (wie meist 2)) in eindeutiger Weise, was er unter der 
Summe der Reihen versteht. Es ist dies für die Reihe (4) der Grenzwert 
der Funktion 

1 — 2»» a: + 3»" rc« — 4*« rc» + . . ., 

wenn x wachsend gegen 1 heranrückt, und für die Reihe (5) das analoge. 
Hier entsteht zunächst die Frage, ob dieser Ghrenzwert existiert. Euler 
beweist dies wenigstens für alle ganzzahligen ti^^O, indem er durch 
successives Multiplizieren mit x und Differentiieren findet: 

1 X + X X + ...= 1 I -u^ 

1-2« +3a;2 -4.x^ +... = ^^„ 

1 — 22a; + 3»a;2 — 42a;» + ...= ^~* 



(1 + xr 



woraus er auf Grund der obigen Definition die Summenwerte erhält: 

1- 1 +1 —1 +...=4, 

1-2 +3 -4 +...=!, 



l_22 + 3»-4«H-...=0, 

2 

• ^ 8 



1 — 23 + 3' -4» + ...<=- „, 



Übrigens hat Euler den Fall des ganzzahligen positiven m auch in 
anderen Schriften behandelt. Er erkennt, daß die Reihe 

1 — 2»« rr + 3»» a;2 — 4*^ x*^ + . . . 

eine rationale Funktion von x mit dem Nenner (1 + a:)*" + ^ ist, also für 
a: = 1 einen Grenzwert besitzt. Durch Anwendung der „EuLERschen" 
Summenformel findet er als Summe der divergenten Reihe (4) für gerade m > 



1) Yergl. z. B. Herrn Pringshbims Artikel „Irrationalzahlen und Konvergenz un- 
endlicher Prozesse** in der JSncyklopädie der mathematischen Wissenscütaften l:i, 1898 
-1904, S. 107. 

2) S. ebenda, S. 108—109. 



72 Edmukd Landau. 

(6) 1*" — 2"» + 3'« — 4*"+ ... =0, 

für ungerade m'^2 k — 1 >0 



(7) l-2'*-' + 3»-^-4''^-' + ... = <-^^"Y/"'^^* > 
WO (in heutiger Bezeichnungsweise) Bk die k^ BERNOüLLische Zahl ist. 
Andererseits findet er bei geradem n = 2Ä; >* für die (konvergente) 
Reihe 

(wie auch in anderen Schriften) die Formel 

W A — ^2*+ 32*— ^2* + --- = (2it)! "^ • 

Aus (6) schließt Euler für ungerade n >> 1 
(9) f"— 1 r- i^ = 0, 



1 _2»-^-f.8*-'— 4"-^ 
1--L + -L_-L + 



n 



aus (7) und (8) für gerade n>0 

(10) l-2^- ^+3^"^~4^-^+... ^ (-i)T-^\H^l)i(2**~l) . 

vor diese Relationen (9) und (10)^ die den ganzs»hligen n>» 1 entsprechen, 
gehört für n *= 1 die Gleichung 

1 — 1 + 1 — 1+... ^ 1 

(11) i__jLj_JL_±a. 21og2» 

2 ' 3 4 "T . . . 

^dont la liaison avec les suivantes est entierement ^) cachee^. 

Dies System der Gleichungen (9) und (10) führt nun Eulek dazu, 
eine Funktion N von n durch die Relation 

l_2'*~^+3**"^— 4**^^ + ... (w— 1)!(2** — 1) 

2" "3" 4w I • • • ^ ' 

2u definieren; da für n = 2, 3, 4, 5, . . . sich die Werte ^= 1,0, — 1,0 
cyclisch wiederholen, also 

JV= — COS -5- 

ist, fahrt er fort: „Par cette raison je has^arderai la conjecture suivante, 
que quelque seit Texposant r, cette 4quation ait toujours lieu: 

l-2'" "^+3'*-^— 4**""^+5'*"^~6**""^+&c. ^ — 12-8. . . . (w~l)(y»-l) nw„ 
l-2~" + S-"*'-4-'* + 5-*— 6-*+&c. ~ (2"~^-l)»'* ^ 2 



1) Ich utiere durehw^ in Eüuess Orthographie. 



Euler und die Funktionalgleiohung der RiemannBclien Zetafnnktion. 73 

Euler bestätigt diese Gleiclmiig zunächst noch für den Fall n = 1, 
indem er unter 1-2. 3. ..(n — 1) den Wert 1 versteht und statt 



COS 



2" 



2«-l — 1 
den Grenzwert 



nn 
COB-g- 

lim 



n-l2*»-^-l 21og2 

setzt, wodurch seine Gleichung tatsächlich in (11) übergeht. „Notre con- 
jectare ayant donc aussi lieu pour le cas n = 1 , qui paroissoit d'abord 
s'ecarter entierement de la loi des cas suivans, c'est dejä une preuve tres 
forte pour la verite de cette conjecture; & puisqu'il semble impossible 
qa'nne fausse supposition ait pu soutenir cette epreuve, on pourroit dejä 
regarder notre conjecture comme tr^s solidement etablie: mais je m'en vai 
apporter encore d^autres preuves egalement convaincantes." 

Alsdann verifiziert er seine Gleichung für n = 0. Die rechte Seite 
Hat zwar für n = keinen Sinn; doch schreibt Euler zuvor 

1.2 3...(n— l)(2--l) = 1.2.3...n— ;p^, 

^md geht dann im zweiten Faktor für n = zur Grenze log 2 über, während 
«T den ersten =» 1 setzt. Mit anderen Worten, er bestimmt 

lim r(n) (2"—!) = log 2 
lind findet so die richtige Formel 



1 — 



2 



-L-i L . 

^3 4 ' 



1-1+1-1+. 



= 2 log 2. 



» voila donc une nouvelle preuve, qui etant jointe ä la precedente pourra 
"ien tenir lieu d'une demonstration complette de notre conjecture. Cepen- 
^Änt on n'est que trop autorise d'en exiger une demonstration directe, qui 
^^Bferrae ä la fois tous les cas possibles." 

EriiER versteht für nicht ganze (reelle) X, wie er ausdrücklich bemerkt, 
^ter 1.2.3...>l seine Funktion \X\ die heute mit Jr(^ + 1) bezeichnet 
^^d; unter Benutzung der Funktionalgleichung 

r(X)r(\— X) = -.''- 

^ ^ ^ ^ Bill In 

™et er, daß sein Satz für alle reellen n richtig ist, falls er für 
*>Ogat. 



74 Edmund Landau. 

Er bestätigt ihn nanmehr für w= |, wo die linke Seite 

^2" ya y4 ' 



und die rechte 



y2 ^ ys y4 ^ ■ 



= -^ r^ COS — = 1 

(2-i-l)«i 4 

ist. 

Alsdann geht er zum Fall n = f über, wobei er die divergente Reihe 

1— f2 + V3 — V4+... 

unter Anwendung der „EuLERschen" Summenformel auf einem Wege be- 
handelt, der sich leicht in einen strengen Beweis der Existenz von 

lim (1 - V2:F + V3a:2 — V4^3 ^ ) 

xsl 

umwandeln läßt. Während für n = f die rechte Seite der zu verifizieren- 
den Gleichung 

= Mil2 = 0,4967738... 

2 
ist, findet er, daß die linke Seite mit einem Fehler < jx^ diesem Werte 

gleichkommt. „Notre conjecture est portee au plus haut degre de certitude, 
qu*il ne reste plus meme aucun Joute sur les cas ofi Ton met pour Texposant w 
des fractions." 

Es folgen noch einige Bemerkungen über den Fall des ungeraden n > 1. 

Zum Schluß spricht Euler noch ein wichtiges Analogon zu seiner 
Funktionalgleichung ohne Beweis aus. „üne conjecture semblable nous 
foumit ce theoreme 

1 _3w-l-j-5«-l — 7«-l4-&c. l-2-3...(n— l)-2** . tin ,. 
! ! -sss ^ — -■ — Sin — 

1 -3-" + 5-** — 7-** + &c. ir** 2* 

Für <; n < 1 konvergieren die beiden hierin auftretenden Reihen, und da 
er unter 1 • 2 • 3 • • (n — 1) die Funktion F (n) versteht, spricht Euler 
hiermit eine viel später von Malmsten^) gefundene und von ScHLr)MiLCH2) 
wiedergefundene Relation aus. 

Er schließt mit den Worten, welche durch die geschichtliche Ent- 
wickelung bestätigt wurden: „Cette demiere conjecture renferme une ex- 
pression plus simple que la prec^dente; donc, puisqu'elle est egalement certaine. 



1) Spedmen analyticum^theoremata quaedam nova de integralibus definitis^stmimatione 
serienim earumque in alias series transfartnatione exhibens, Upsala 1842, S. 23; De inte- 
gralibus quibusdam de finitisj seriebiisque in finitiSf J OUT nskl für Matbem. 88, 1849, 8.17. 

2) An der auf S. 69, Anm. 3 zitierten Stelle (vom Jahre 1849) spricht Scri.ömilch 
die Gleichung aus; in der auf S. 70, Anm 1 zitierten Note (vom Jahre 1858) beweist er sie. 



Enler und die Funktionalgleichung der Riemannscben Zetafanktion. 75 

il 7 a ä esperer qu'on travaillera avec plus de sacc^s ä en chercher une 
demonstration parfaite^ qui ne manquera pas de repandre beaucoap de 
Inmiere sur qaantite d'aatres recherches de cette nature'^ 

Ich werde nunmehr die Frage in Angriff nehmen und in § 2 affirmativ 
erledigen y ob Eulerb Gleichungen richtig sind. Die Yon ihm aus- 
gesprochenen Vermutungen lauten in modemer Bezeichnungsweise 

lim 1 (-ir+^v*"^a:'-* 

und 

lim 1 (- \y^^{2v-iy'^x''-^ 

(13) = — ^ — sm -ö" • 

lim l(-ir + l(2t.-ir^.:^-l «' 2 

Euler vermutet, daß diese Gleichungen für alle reellen s richtig sind, 
för welche die rechte Seite endlich ist, d. h. (12) mit Ausnahme der 
Werte — 2, — 4, — (>, ... und (13) bis auf die Werte — 1, — 3, 
— 5, . . . ^) Zum Nachweise von (12) ist es nach (3) hinreichend, zu 
beweisen, daß 

lim 2 (— 1)^+1 r-«:r''-i 

existiert und 

= ipC9) = (l~2i-)^(.) 

ist. Ich werde sogar für jedes komplexe 8 die Richtigkeit der Gleichung 



00 



lim 2 (—iy-^v-"x^-^ = <p(s) 

nachweisen; dadurch wird sich nach (3) die Richtigkeit der Gleichung (12) 
fOr alle reeUen und komplexen s ergeben, für welche (p(s)y also der 
Nenner der linken Seite von (12), von Null verschieden ist. 

Analog reicht es zum Beweise von (13) hin, festzustellen, daß 



00 



lim 2 (— lr+i(2v— l)-*a:^-i 

existiert und gleich der ganzen transzendenten Funktion tp(s) ist, welche 
für 9i (5) > durch die Reihe 

S5 (- 1)"+^ • 



y)(s)= 1 —37 + 57 — ^f + . . . = 2 



(2v-l)» 



1) Für diese ausgeschlossenen Werte sind die Gleichungen insofern auch richtig, 
als der Nenner ihrer linken Seite und der Zähler ='- ist 



76 EoitnirD Landah. 

cieflniwt ist. Ich werde ffir jede» rerile oder kamplexe^ s dies^a. 5ackweis 
filhren und d^umh die Richtigkeit der ErxERschöL ^Tleichim^ (I^) fSr 
alle s 2eigi»n, fiir welche ^f(s) nicht verschwindet, also insfoeaondjsce für 
die — von Eruea hetnuHiteten — reellen ^, weiche nicht negatiTe 
Tnig«»rade gaaae Zahlen sind. 

Ee besieichne .s ^^r *) ^^'d'ß'^^g''^ analytische Funktion von .f, wdehe 
für Ä(>) > I dnrch die DTRiCHLETsche Eteihe 

2 — ^ 

mit dem positiTen Parameter w definiert ist. Bekanntlieh ist ( * — l) ;C( *, ir) 
eine ^arixe transzendente Funktion tob j Herr Mellh* ^ ) hak nnn folgende 
wierhti^e fSelatirm bewiesen ^ m der m eine heüebige nieht poeitiv - ganze 
k/>wiplef3te Zahl bezei#^hnet: 

(14) lim (± f-J-^ - T{\-,) (log :)'-') = iru. «). 

wo r wa/^hsend gegen 1 konvergiert 
Aas fl4) folgt ßr «r = 1 

lim (2 -":^-r(I-.)(log4-)'-M = <r(A 

05) Hm (2 $--/'(«- ») (log t)'-' ) = ^'(4 

Herr K. fiiKriKUiK^) hat diese interessante Darstellung (15) der RiEMANNschen 
Zetaffinkiiffn auf anderem Wege abgeleitet ^ aber später aneh^ auf die 
Beziehung zur Mellin sehen Relation hingewiesen. 

Wird 

« / Ix»"— 1/«.»^ — l 

V (=d)__^. . _ _ Q, (^) 

gesetzt, so ist für | rr | <; 1 



1) tihtr eine Verallgemeinerung der EiKMAXNSchen Function ^(s); Acta societatis 
seien tiarum Fennicae 24, 1898, S. 40. Die Gleichung (14) des Textes ist ein 
Spezialfall der dort mit (77) bezeichneten Relation. Für meinen Zweck genügt es, 
reelle x zu betrachten, welche wachsend gegen 1 heranrücken. 

2) Quelques applications d'une formule sommatoire generale; ebenda, 28, 1902, S. 36 

3) Le cakul des residus et ses applications ä la theorie des fonctiona^ Paris 1905, 
S. 139. 



Ealer und die Funktionalgleichung dcir Riemannschen Zetafunktion. 77 

Q.(-)=i-j+:4-:4+- 

Lias (15) folgt nun 

hm [x^,{x) - ni -s) (log iy-')=sis), 



Um [x^^six^) - r(i - «) (2 log ^y-' ) == as) 

daher 

lim (x%{x)-2^-'x^%(x^)) = (1 - 2«-») ^(s) = (p (s), 

Um [$.(x) - 21- a;?, (a;«)) = ^(s), 

(lO) Um £is(x) = <p{s). 

Diese Herleitung der Gleichung (10) gilt nicht für ganzzahlige positive s; 
-aber für diese und überhaupt für 9t (s) > ist die Gleichung (10) nach 
dem Abel sehen Stetigkeitssatz trivial, da die Reihe 

02) >3 (- 1) ^ 



lim ( 2 7^7^ - rii-s) (log -ly-' ) = u^, \), 



konvergiert und = q)(s) ist. 

Mit(ll>^ ist nach dem Früheren die EuLERsche Vermutung (12) bewiesen 

Aus (14) folgt femer für tv = ^ und w = ^ 

1+' 

lim ( 2 -^^ - r (1 - s) (log -1)^-^ ) = 5 (., f ), 
also durch Subtraktion 

lim 4*2 ^'2 -^ I = f (5, i) - S(s, J), 

^<1, wenn hierin x^ statt a: geschrieben wird, 



<"' äl,^.? "? (^(Vt)-,C(«, «). 



78 Edmund Lahdau. 

Die rechte Seite von (17) ist für 9i(s) >1 

1/1,1, 1 1 \ . 1,1 1 , r^ 

sie ist also für alle komplexen 8 gleich der ganzen transzendenten 
Funktion v(»), nnd ans (17) folgt 

Eulers Vermutungen sind also vollständig bewiesen, und überdies 
hat sich die Richtigkeit der Gleichungen (12) und (13) auch für alle 
komplexen s ergeben, für welche q) (s) bezw. tp (s) nicht verschwinden. 

Man kann nun fragen, wie es sich für die nicht reellen Xullstellen 
von q) (s) und tp (s) verhält. Was zunächst die Nullstellen 

* "^ ^ + 1^ [^ Sanz und ^ 1 

von 1 — 2^"*, also von q)(s) betriflft, so ist für sie die rechte Seite von 
(12) „unendlich" und die linke Seite gleichfalls der Quotient einer von 
Null verschiedenen Zahl durch Null Die Gleichung (12) ist also in 
demselben Sinne hier richtig, wie für die reellen NullsteUen — 2, — 4, 
— 6, . . von q) {s) und wie (13) für die reeUen NuUstellen — 1, — 3,-5; 
. . . von ip (s). 

Der reelle Teil der übrigen Nullstellen von q> (s) und tp (s) liegt be- 
kanntlich zwischen (exkl) und 1 (exkl.); für eine solche Nullstelle hat 
die rechte Seite von (12) bezw. (13) einen Sinn, während die linke Seite 

die sinnlose Form -^ hat, da auch q)(i — s) bezw. tp{l — s) verschwindet. 

Es liegt nahe, zu fragen, ob die Ghrenzwerte 

(19) lim ^ 



bezw. 

2 (-l/+l(2^-l)'-lx*--^ 
(20) lim '-^ 

x=i 1 (-i/+i(2^-ir*x''-^ 

existieren. Man kann leicht folgendermaßen zeigen, daß dies der Fall ist. 
Es werde 

2 (— l)-+i V— ic'-i = D,(a;), 

2 (- l)'+'(2v— 1)— «'-» = Qs(x) 

r — 1 



Euier and die Fimktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 



79 



gesetzt, und s sei eine im Streifen <; 9i (5) < 1 gelegene Nulletelle von 
<p(s) bezw. yf{s). Dann ist auch 

q)(i — 5) = bezw. y (1 — 5) = 0, 
aber 

(21 ) 9is—l) =1= bezw. tp(s—l)=^\= 0. 

A^un ist für x\ <il 



und ebenso 
feraer 



Jx 



= 2 (— 1)'+' »'-'+* a;'-» = a-i (a;) 






d(*«.(*^)) 



00 



dx 



»=1 



ä(xQi-,{x'>)) 



dx 



Q-s{x^). 



JTa-ch (16), (18) and (21) existiert 



lim -^^ = j?-^v 



w. 



lim 



<i»-5(*) 



*(- «) 



folglich existieren wegen (22), (23), (24) und (25) die beiden Grenzwerte 
CVJ) und (20) und es ist 

lin, %-2M = lin, -^^-ff = Um -^^^ = -^t^-, 
x=l 0,(a:) x=l «0,(a;) x=l 0»-l(*) 9(»-l) 



Um «ir^M =, lim ^«!^«(fl _ li„ «-»(-'^ 



*(-«) 



X=l «.(X) 



«=1 «ösCx^ 



x=i «.-iCaj'-O «(»-!) 



»> 



KLsne MitteflimgetL. 



Ufflnft 3snißrknngS!i zur zw^EfesL Anflüge jqsl Cmtara ,, TadJamnigiB. ftbor 

öascMcbte dar Matliematik^. 

Die erste (iSette) ZaU boeicimst den BamL die zweite die Seite der .^TaEÜanagm'^. 

BM = Bibliath.eca Xatkematica. 

1 : rS^ nehe BX l.i, r.H}0. ä. 263. — 1 : U, ^iehe BM 3», lHOß, S. ^23L ~ 
1::!3; »^ ^^ ««^ BM I3. I9()Q, 2?. 2fio— 266. — IrM» H* Äefae BS 3;], 1903, 
S. 137 — 1 : iiCIy sehe BSC I3, 1900. ä 266. » 1: EIS« «ehe BX «k 1900^ & 366: 
*:, 190*2, J^. 137. — 1 s 1-U, 155^ 1«% 171^ :^ehe BM 9^ 1902. S. 137—138. — 
1 : I'Y^-ttH».^ ^eixe BM Ij, 1900^ S. 266; Cj. 1905. S. lOl. — 1 : CNU IM^ ärite BM 
«1, 1905, ä. 101-102. — IsltW^ ^he BM S:j, 1902, S. oß: €9, 1905. S. lÄ — 
1 : nm^tlYly, .«ehe BM !:{, l'JOO. S. 266 . €3, IlH}5, S. 102—103. ^ 1 r »Hw sehe BM €3. 
11)05, .S. 103. — 1 zWt. sehe BM 1;,. 1900, S. 286. — 1 z'Sn^^mha BM 4«, 190S. S.2SS. 
— 1:1S3^ :»4, 4iehe BM 3:u 1902. S. 138. » IstSyy sdiie BM 3(1, 1902. S. 238.^ 
l:272y -»iehc BM 4«, 1903, S. 396. — 1:«!^ sehe BM fc. 1900, S. «». — 
ls^S4^ £21^ ^ehe BM ti. 1900. S. 266-267. — l2»i« sehe BM ^^ tSOö, 
^. 305. ^ 1 :3^^ iiehe BM Ij, 1900, S. 319. ^ I :»^ sdite BM l;j, 1900^ S. 267.^ 
Izthd^r ^ie^*^ BM 5^, 1904, ^. 407. ^ 1:39<^^ nahe BM 3», 1902. & 323^ ~ 
1:44H^^ iiehe BM In. 1900, S. 267. ^ 1:«», sehe BM 3q. 1908. S. 3äC — 
1:4:1:2^ 4iehe BM l.), 1900, S. 267 » I : -»4-433^ sehe BM J^, I9lfö. S. 396 
-3^. ^ tz4M^ .<iiehe BM 3:i, 1902, S. 138. » 1:4»7« 441^^ sehe BM I3. 
1900, r*. 267. ^ 1:477, sehe BM %. 1902. S. 2:38. » 1:46», siehe BM 3s, 

1902, ::^. 139, 324. » 1:466^ üehe BM j^. 19«)3,. S. 397. — 1:46^ «% sehe BM 
tu 1900, S. 267. — I : 4», sehe BM tu 1900. :^. 267—268; 3j, 1902^ ;S. 1»-. -Ij. 

1903, .^. 2h3 ^ 1 : -r;6y sehe BM Ij, 1900, S. 268. 



1 : 47t). über die Lebenszeit des jidlolauh^ Rhabda^^ bekommt raoB ge- 
aooere Aoekunft dnruh die voa Herrn C^sroa (FuÜnote 9) zitierte Arbeit too 
P.vijL Tax^iery. In einein von RFfABDA.*? verfivliten and von Ta^isxilt zmm Ab- 
dmck gebrachten Triiktate wird aämlich iS. 79 des Soaderiibsn^^) for dis 
byzantiiiiäühe Jahr 6^4t; (= I34I) eine Ot^terrechnoiig anägetfohrt^ und dies 
wird als daa Jahr bezeichDet, in dem Rhabda;» seLaen Traktat TerfiklSte. Anf 
dietiexi Passus weist anch Tjl!I3XRT selbst in i^einer Einleitung' (S. 14 dvs Sottder- 
abzuges) hin« G. S^xarsoai. 

1 : 480. Na4»h dem ürsüheinen der ersten Auflage des erstea Bäuules der 
VorU.ittnffen, aber jedeninlls viele Jahie tül* I8S4 ▼erüffentlichte PailT. Tanxsst 
zwei Aufsätze öbt^r Mott^.HOPVLOs, die ohne Zweifel verdienen^ hier erwlkot zn 
werden, nsunlich M±süel M'ffi:s'fp'>CL>>s d SirvL^Li Riußpd,< (Ballet, d. sc. 
mathem. 8^, 1.^84. S. 2*53 — 277) und Le traU^ de Mjjuel MoäK:m)P*Jcias 



Kleine Mitteilungen. 

b» earri» magi^pies; ttxte grec et traduction (Annuaire de rassooiation 

1? our renconragemeat des ^tudes grecqHSB 20, 1886,8.88—118). Der 
e<~sle AnCsatK enthält literariacbe Notizen, der zweite bringt, nach zwei Hand- 
schriften der Nationalbibliothek in Paris, einen verbesserien Teit aebat fran- 
'z&siscber Übersetznog. 

Der Passus: .Jedenfalls muß dieser Moschopulob vor dem XV, S. gelebt 
h&bro, da eine Handschrift seber Äbbandlung in dieser Zeit niedergeschrieben 
ist', ist natürlich nicbt gut redigiert (vermutlich wollte Herr Cantok sagen, 
daß MoscHoi'ULOs aus dem angegebenen GruDiIe spätestens im 15. Jahrhundert 
gelebt haben muß), und weno Herr Caktor andeutet, daß Mdschopulos wahr- 
sofaeinlich »m Ende des 14. Jahrhunderts lebte, so ist diese Angabe auf Orund 
der Untersuchungen von Tanneky zu modifizieren. Dieser beruft sieh auf 
*lt«re Notixen, nach denen der ältere Moschopulob entweder unter MicaAP.r, vm 
Palcologob (1261 — 1282) oder unter Andronikos Pai,boi.ooo8 dem Älteren 
{im — 1327) lebte; der jüngere Moscaopui-O.s kann nicht in Betracht kommen, 
da er der Mitte des 15, Jahrhunderts angehört, und also nicht durch Nreor.Aua 
UiiABDAs (der 1341 lebte) angeregt werden konnte, eine Schrift über magische 
^JOadntte zu verfaBen. TA^'KGuy ist darum der Ansicht, daß Moschopulos ein 
Utcrer Zeitgenosse des Rhabdas war und wahrscheinlich schon am Anfange 
d«a H. Jahrhunderts starb. G. Eneströ«. 



1:481. Wie Herr Cantok angibt, scheint Moschopulos wirklich eine 
^«huidluDg von drei Hauptfallen in betreff der Konstruktion magischer IJnadrate 
»uit n- Zellea, oBmlich n ^ 2m + 1 , n ^ im und n = im -\- 2 anzu- 
Vtitidigeü, aber auch die zwei von PAirL Tannerv untersachten Manuskripte he- 
ttchrtoken sich auf die zwei ersten Fälle. Noch daiüu scbließea diese Manuskripte 
*x>it den Worten: T^Aog roi' avToß, und es scheint also, als ob Moschopulos 
*len dritten Fall nicht behandelt hätte. Paitl Tannery ist der Ansicht (Bullet. 
^, Bc. mathöm. 8i, 1884, S. 2ti5), daß die Byzantiner für diesen Fall kein 
^^■llxeiueiiies Verfahren kannten. G. Enestküm, 

^^B liSOH, siehe 6M ös, 1Q04, S. 68. — 1:G1U, siehe BM lg, 1900, S. 3U, — 

■^K(U-Ö3fl, siehe BM 3^. 1902, S. 239. — 1:537, UO, 542, siehe BM Ig. 1900. 

I *aSm. — JsBIS, «ehe BM «,, 1905, 8, 306—307. — lj033, siehe BM 83. 1901, 

^, 1*3. — 1 : 088, siehe BM «3. 1905, S. 394. — 1 : 641, eieho BM Sa. 1902, S. 139. — 

M.:M, liehe BM Ig, 1900. S. 499. — l!«fi2, fliehe BM I3, 1900, S. 499; 3j, 1902, 

^139. — I ) fi63, siehe BM 3s, 1902, 8. 405. — 1 : B71. siehe BM I3, 1900, S, 499, — 

■ s«7S, siehe BM Sa, 1904, S. 407-408; «», 1905, S. 307. — 1 :676, siehe BM S3, 

19«. S «08. — 1 : ß87— 689. siehe BM 83, 1901, S. 143—144; 43. 1903,3. 205—206.— 

lim, H«he BM I3, 1900, S. 499; 4.t, 1903, S. 284; 63, 1905, S. 103. — 1 : 704, 706, 

'OK, mhe BM U. 1900, S. 499-500. 

I 1:712. AvicENNA bat auch einen anderen arithmetischen Traktat verfaüt, 

t Rcnigstens wird er in einer Handschrift des Traktates als Verfasser an- 

("B^lwQ. Der Tit«l desselben lautet in französischer Übersetzung: .Lettre qui 

iiTn! les portes de l'acad^mie, par l'eipoaition des racines du calcul et de 

fmÜiDiititjue*. Der Anfang dieses Traktates ist französisch von J. J. Marcel 

■"•melit und gedruckt im Diclionnaire des sciencea tnathimati^ues von A, S. 

^•*'<»TrERiutK (tome I, Paris 1835, 8. 141 — 143). Der ubei-Betz*« Abschnitt 

BbUatt«M MkUiaaMUo». II. Folg«. TU. 6 



handelt von dei' Neanerprobe. Dieser Traktat sobeint ooch Sutbk nnb^tasnt 
KU sein; auf die französische Übersetznag wies Paul Tannery schon 1S62 
(Bullet, d. sc. mathöm. 6j, 144) hin. - - . 



1 :;i4, «iehe BM la, 1900, S. 500. — 1 :T23, siehe BH 63, 1905, S. 307. — 
1 : 735, 736, 744, 748, aiehe BM I3, 1900, S 500. — 1 : 74Ö, siehe BM Is. 1900, S. 268. — 
1:752, siebe BU «3. 1905, S. 104. — 1:753, aiehe BM S3. 1!>04. S. 408—409. — 
1:754, siebe BU Sj, 1904, S. 409; 63, 1905, S. 104, 308. — 1:756, eiehe BM I3, 
1900. 8 £00: 63, 1905, S. 308. — 1:757, 767, riebe BM la. 1900, S. 500—501. — 
1:794, Biehe BU 3», 1902. 3. 139. — lsS04, 805, »07, »08, 812, «ehe BM I3, 1900, 



1:816. Herr Cantob gibt noch in der 2, Auflage seines Werkes an, daQ 
rei Arbeit«a über Becheoknnst verfaBt bat, nnd diese zwei sind, wie 
ans der folgenden Darstellung hervorgeht, Jtegvia de abaco compttti cad Lihelim 
de numerorum divisione. Belianntlicb besweifeln oder verneinen die meisten 
ForGcber, die sich mit Gerbert als Matbematilier beschäftigt haben, daß die 
erste Arbeit von diesem herrührt. Die Gründe, aus denen Herr Cantur noch 
einer anderen Ansicht ist, scheinen die folgenden zu sein: 1. BehnelciTS redet 
an einet Stelle von der .papae regula"; 2. die von Oi.lebis herausgegebene 
Arbeit Regula de abaco computi fihnelt in ihrer breitspurigen Stilistik der 
Geometrie Gebbebts. Indessen kann man behaupten, da£ diese Grüsde sehr 
schwach sind, besonders nachdem BtBNov (Gkkberti Opera malhematica, Berlin 
1899, S. 207) darauf hingewiesen hat, daß die fragliche Arbeit aus vier ver- 
schiedenen Stücken zusammengesetzt worden ist. Es scheint mir also fast not- 
wendig, Gerbert die Regula de abaco compuli abzuerkennen, und zwar wesentUch 
aus den von Naqi. (siehe die CAKTORscbe Fußnote 1 auf S. 818) und Weissenborn 
(ßERBERT, Beiträge zur Kenntnis der Malhematik des Mittelallers, Berlin 1888, 
8, 210—214) angeführten Gründen. 

Auf der anderen Seite kann ich nicht mit Bubnov (a. a. 0. 8, 23 — 24) 
einverstanden sein, wenn er Gehbebt eine andere Schrift De norma rationis 
abaci zuschreibt, von der angeblich ein Fragment im cod. Vatic 3123 auf- 
bewahrt ist. Dies angebliche Fragment, das übrigens nicht, wie Bubnov be- 
hauptet, zuerst im Jahre 1888 von ihm veröffentlicht worden ist (Narducci 
halt« es schon sechs Jahre früher im Bullet, di bibliogr, d. sc. matem, 15, 
1882, 8. 115 zum Abdruck gebracht), ist in Wahrheit ein (von Herrn Ca ntor nicht 
erwähnter) Brief von Gerbebt an Constantik von Pleury, wo jener eine Schrift 
über Rechenkunst in Aussicht stellt, und wenn man diesen Brief mit der 
Einleitung des Libellus de numerorum divisione, die bekanntlich auch an 
C0S8TANTIN gerichtet ist, vergleicht, wird man geneigt anzuuehmeu, daß der 
Liheütis gerade die von Gerbbrt in Aussicht gestellte Schrift ist^ Ich hebe 
besonders den folgenden Passus des Briefes hervor: ,Nam de numeris ant per 
se aut in relatione consistentibus fortuitu locnturi, quid dioent esse digitos, quid 
etiam articnlos, cum loUus praedteti subalantia tiumeri solummodo in istarum 
versetur vicissituditie rerum" ; man vergleiche hiermit den folgenden Passus der 
Einleitung des Libdlus: „Quid cum idem numerus modo simplex modo com- 
positus, nunc digitns, nunc constituatur articulua?'. Jedenfalls ist der Brief kein 
Fragment einer Schrift De norma rationis abaci, sondern enthält, wie oben be- 
merkt wurde, nur eine Mitteilung, daß der Brieftcbreiber gelegentlich einige 



Eleiue Mitte iluug'eD. 



83 



: 823, Hiebe BH ] 



*eilnri«ti|fe PuukU der ReuhenkuDst erlUatem wird (,de bis omnibiu, si vita 
tBjipelJt, eridentins expliuabo'). 

Ich bin also der Ansicht, daß nur eine Scliiift von Gbkuert über Rechen- 
kauat bisher nacbgewiesen ist, nämUch der oben genanute Libellus. 

G. Enbstrüm, 

^"^ 1:83C. Hen- CASToit erwthnt hier, daß Atelhakt von Bath um 1130 
■Qber den Abacus schrieb und zitiert in der Fußnote die Boncomi-aoni sehe 
Ausgabe der betreffenden Schrift {Regtde ahaci)^ aber über den Inhalt derselben 
t^iit er nur mit, daß die Araber darin nicht genannt werden. Dieser Um- 
Bt«ad bedeutet wohl nicht, daß Herr Cantok in den B&gtde abaci nichts ge- 
■**oden hat, das verdient, erwähut bu werden, sondern der Grund ist veitnutlicb, 
^wB die BoNCOMPAi; Nische Ausgabe nach dem Erscheinen der ersten Auflage 
^es erst*u Bandee der Vorlesungen veröffentlicht wurde, und daß Herr Gantok 
"«i der Vorbereitung der zweiten Auflage seines Werkes möglichst wenig hin- 
Äufügeu wollte. Aber dann sollten eigentlich solche Stellen der Voriesungen 
^*^triclien (oder modifiziert) werden, wo spUteve Schriften über den Abacus als 
^sitAreGsant bezeichnet werden, weil sie Sachen euthaUeu, die tatsächlich schon in 
^ftn Begule abaci des Atelhaut vorkommen. Eine solche Stelle findet sich 
^- 848 (siehe unten die Bemerkung zu dieser Seite). — Die Angabe, daß Atel- 
^AJiT am 1130 über den Abacus schrieb, bedeutet wohl eigentlich, daß die 
-^teffule abaci in den ersten :J0 Jahren des 12, Jahrhunderts niedergeschrieben 
^Ui mösaen (vgl. S, 851): mir ist wenigstens kein Umstand bekannt, woraus 
*Bftti Buhließen kann, daß die Schrift gerade um 11^0 verfaßt wurde. Im 
^Bgenteil ist es gar nicht unwahrscheinlich, daß dieselbe eis paar Jahrzehnte 
'ruber niedergeschrieben wurde, denn Boncompaom hat am Ende der Einleitung 
*einer Ausgabe der liegule abaci darauf hingewiesen, daß eine Abhandlung von 
ArEtJiART aus der Zeit von llül — lllti herrührt. Dieser Umstand ist nicht 
ganz obn» Bedeutung, denn wenn man behauptet, daß Atelhart seine Begule 
nlmn um 1130 schrieb, so kann man kaum umbin anzunehmen, daß diese Schrift 
Wahrvcbeinlich späteren Datums als der Liber de abaco des BAD(n.PH von Laoa 
{f 1131 nach Herrn Cantob) war. Aber diese Annahme ist meines Erachtens 
durchaus unbegründet. G. Enestböm. 



1:646, Herr CAtrroit bemerkt in betreff einer von Tkeutlkin heraus- 
ftegebeneo anonymen Schrift über den Abacus aus der Uitte des 12. Jahr- 
Aniuderts: .[Diese Schrift] zieht unsere Aufmerksamkeit dadurch auf sich, daß sie 
einige Kuustausd rücke enthält, mit welchen wir noch nicht bekannt sind. 
t^e netiat n&mlich das unmittelbare Divisiousverfahren das der goldenen 
DiTision, das complementare das der eisernen*. Nun findet sich aber bei 
AtdiUaht am Anfange der lieguk abaci (S. 91 der Bonco mp Ais si sehen Aus- 
pU) folgender Passus: .[Philosophi] agunt ti'ibus modis bic scilicet simpli- 
iflw. idoet sine differenciis quod nos aurum dicimus et composite idest cum 
Tsnciis ijuod nos ferrum vocamus. Permiitnm quod nos aurum et feiTum 
Uapaiuaa*. Hier ist der Ausdruck ,qiiod nos diclmns [bezw. vocamus^ 



«tOJU^HipMauaüJ* bescberiMsmr^rt, da» srnm kOiajU: darsoi scklks&ai, dmS die Kunsi 
4tii^drtU;lM; ^4>ld«0^ aod €i%€rn^ Urmon too Atclsajet selbst crfoBden worde 
«»io4, I>s üW «img« Zöllen -monier xiLi/em der Amdmek: ^Dofaixns Gtbektu 
W; <;{njLi^ ü/Mjru (r^liis ngtiUiii^^ rorkoaunt^ ist «s viifikker, ob Atelsakt ante 
ttfM/n'^ ukki mlbti rffnUht^ oder ob tkb das Wort z;.B. aof seuie Zehgenossei 
btöi^fai, I>M \Mxi^^ aX fAu^ Zirfifel das wabrsehemlie^tfte, denn Atixbabt 
%i^ig«ooM« aAm:um roo Laon, der ebenfalls die Tenne «diriso aorea* nn« 
^iWmf) itsrr^ti* beontzt, bemerkt aosdroeklieb fsiebe A. Xagl, Der ariikwuetiseh 
TffMat de$ BAJji/Lf'U t^m Laon; Abbandl. zur Geeeb. der Ifatbem. 5, 189( 
H, ii^): (^Qai aatem baee nomina [dirifio anrea, dirisio ferrea] posnemni, nicbi 
dijf(num memoriA toper ipfonun oomimim ratiooe in scriptis snis reliqoisse in 
reniontiir'* , woraus benrorzogeben scbeint, dafi die Terme wenigstens einig 
YAiii vor ArKiMAm bekaont waren. — Beiläufig bemerke icb, daß der Ansdrud 
«aarea divisio* aoeb in einem Ton Bl-bxow {Gerberti Opera mathemaiica 
lUfrVm tHUi), H. 291 — 29'^) znm Abdruck gebrachten, yielleicbt etwa um 110< 
g«scbru)beoen Traktate De divisUmüms, sowie in einer von Karducci 188! 
berausgegebeuen Bcbrift über den Abacus aus dem Ende des 12. Jahrhundert 
vorkommt; die Verfasser dieser Schriften scheinen den Ausdruck .ferrea divisio' 
nicht zu kennen, der zweite wendet statt derselben .divisio cum differencia' 
an («iahe Bullett di bibliogr. d. sc. matem. 15, 1882^ S. 154). 

6. Eneström. 

1 I H5*^, Miohs HM l», 1900, S. 269. — 1:853, siehe EM I3, 1900, S. 501. - 
1 |HA4, üieh« HM la, 1900, H. 501; 83, 1902, 8. 324; 43, 1903, S. 206; 63, 1905 
H. 104. — 1 1855, liehe HM Is, 1900, 8. 501. 



1 : 855. In betreff des Ocreatus bemerkt Herr Gaktor, daß nur sein( 
pHitgel doH NiKOMACHi'H* der komplementären Multiplikation einigermaßen ver 
wandt ist. Indessen gibt es bei Ocreatus eine andere Stelle, wo man nocl 
gröütu'ün Anlaß hat, der komplementären Multiplikationsregel zu gedenken 
näniliüh diu folgende (S. 185 der ÜENRYSchen Ausgabe): ,Dico ergo quoc 
onuÜM minor terminus cuju8[vi8] limitis in majorem ejusdem ordinis tantumden 
produült (piantum oontinetur sub ipso minore et principio sequentis ordinis 
Hubtraoto. Ko ({uidem fquod] oontinetur sub eodem minore et diffierentit 
int\joriH et ipsius principium sequentis ordinis. Verbi gratia septies IX esi 
soptioH X septies I nunus. Similiter sexies IX est sexies X sexies ano minus' 
OtVenbar ist der gedruckte Text hier ein wenig verstümmelt, aber es ist sehi 
Itnoht deuHelben verständlich zu machen, wenn man nur die zwei eingeklammertei 
Worte eiugefllgt, und noch dazu »substracto eo* statt «substracto . £0* setzt 
und jodonfalU geht aus den zwei Beispielen deutlich hervor, daß es sich uu 
die Uegt^l a , b 10 5 — (10 — ä) b handelt Auf diese Stelle bei OcREATUf 
hat sohon H. Wkihhknhohn {Okhbkht, Beiträge jsur Kenntnis der Mathematik 
des Jklittehtttrs. Berlin 1888, S, 184) aufmerksam gemacht. 

G. Eneström. 

I t vS56, »iohc» UM 63» 1905, S, 809. 



Kleine MitteiliiDgen. S5 

i Ss, 1901, S. 861. ~ft:8, siehe BU lg, 1900, S. 501 1 63, 1905, 
S. 309. — ' 8:10, siehe BM I3, 1900, S. 502. — Ä-.14— 15, siehe BM 83. 1901, 
S. 144; 53, 1904, S. 200; 63, 1905, 8. 208-209. — a;20, siehe BM I3, 1900, S. 502[ 
Sa, 19Ö2, S. 239. — 2:25, siehe BM Is, 190O, S. 274. — 2:30, siehe DM 63, 1905, 
S. 105. — »:31, liehe BM K,, 1901, 8. 351—352; Sg, 1902, S. 239-240; «j, 1905. 
S. 309— SIO. — 2:32, siehe BM 63, 1905, S 105. — 2:34, siehe BM £3, 1901, 
S. 144; «3, 1905, S. SIO. — 2:37, siebe BM Ij, 1900, S. 602; «3, 1905, 8. 105. — 
2:3S, siehe BM »3, 1901. 8. 352. — %:39, siehe BM Ig. 1900, ä. 502; »3, 1905, 
3. 209. — 2 : 41, siehe BM «3, 1901, S. 352. — 2 : 51, siehe BM «3, 1905. S. 106. — 
2:68, siehe BMSs. 1904.8.201, — 2:51, siehe BM 28, 1901,8. 353. — 2:59— fiO, 
siebe BM I3, 1900, 8. 502; O3, 1905, S. 310-311. 



2:61. Herr Cantor ist der Ansicht, daß die Arithmetik des Jordakus 
durch die fortwährende Benntzong allgemeiner Buchstaben statt besonderer 
bestimmter Zahlen geradezu za einem bahnbrechenden Werke gestempelt wird, 
and bemerkt in einer FuSnot«, daß CrRTZE antvbhiLngig von ihm zu einer ähn- 
lichen Ansicht gekommen war. Unter solchen UmstiLnden scheint es vielleicht 
Dllm kühn, die Richtigkeit del' CA.\Toitschen Ansicht in Abrede zu stellen, aber 
ich erlaube mir dennoch, hier die Griiucie anzugeben, wamm ich Jdrdakce gar 
nicht als einen Bahnbrecher auf diesem Gebiet« betrachten kann. 

An der von Herrn Cantor zitierten Steile hebt Curtze hervor, daB bei 
EcKLiDEä der Beweis eines arithmetischen Satzes an einer geometrischen Figur 
geführt wird, daß aber bei Jokdanus, der auch geometrische Figuren benutzt, 
die Beweise durchaus keine Bücksicht auf die Figuren nehmen, so daß diese 
ebensogut wegbleiben könnten, ohne daß das Verständnis der Beweise auch nur 
im Mindesten erschwei't würde. Curtzb denkt dabei offenbar an die Beweise 
des 2. Buches der Elementa, übersiebt aber, daß es in Wahrheit bei Evklideb 
eine große Anzahl von Beweisen gibt, welche gerade die Eigenschaft besitzen, 
auch ohne Figuren durchaus verständlich zu sein. Um dies zu zeigen, drucke 
ich hier vollständig den 17. Satz des 7. Buches der Elementa in der Hei- 
BBRoachen Übersetzung ab, aber ohne die Figuren hinzuzufügen, 

8i numerus duos numeros mtilliplicans numeros atiiiitos efficit, numert ex 

iis effecli eandem rationcm halelunt, quam habent niimeri muUiplicali. Nam 

niimemg Ä duoE numeros B, I' multiplicans nutneroa d, E efhciat. dico, 

■ esan B:r= d:E, quoniam enim A numernm B multiplicans J effecit, 
Ji numerum Ä metitur secundnm unitates nnmeri A. uerum etiam Z 
unitas numerum A secundum unitates eins metitur. itaque unitas Z numerum 
A ei B numerum d aequaliter metitur. c^uare Z:A = B:i\. eadem de 
causa erit eÜ&ai Z : A = V : E, quare etiam B:A = r':E. itaque per- 
mutando B : r = A: E\ quod erat demonstrandum. 

Es ist augeuschlinlich, daß dieser Beweis gerade die Eigenschaft besitict, 
auch ohne die Figuren durchaus verständlich zu bleiben, denn sie kann wörtlich 
auf folgende Weise übersetzt werden: Seien B, E die Zahlen, A der Faktor 
und zf, E die Produkte, so daß A=A.B, E=A.E. Dann ist J. = |< 
I Seit« ist A ^ -j-' "'*" 1 : A = B: . 



Auf ganz dieselbe 
= r:E, folglich S:A=^r:E oder B:r=A:E, 



und auf der ander 
Weise erhält man 1 : .^f 
wu zu beweisen war. 

I Beben wir jetzt nach, wie Herr Oahtob seihst seine von Curtzb nicht 
Büßte Ansicht begründet, so finden wir nur folgende Ausführungen: ,Wir 



haben Bnchfitabea statt der einzelnen Potenzen der UnbeknnDten b«i 1 
bei Ambem auftreten sehen. Wir waren in der Lage bei Aristoteles, bei 
Pappis auf Bochätabeii hinzuweisen, die einen beliebigen Wert darstellten. 
Wir vermochten auch bei Leok.vrdo ein vereinzeltes Vorkommen solcher Bach- 
staben an wendung uach/nweisen*. Diese Bemerkungen sind ja ganz richtig, 
aber wenn Herr Cantor roch dazn bemerkt hlltte, daS bei Eukudeb hüatig 
eine Art von Beweisen vorkommt, die mit der Jürda Nischen identisch wird, 
wenn man ohne weiteres die beigefiigten Figuren (die nur Linien darstellen) 
streicht, so würden vielleicht die Leser der Vorlesungen weniger geneigt werden, 
JoRDAKus als einen Bahnbrecher anzuseilen. Aber vorausgesetzt, dnß die Jok- 
DAKische Modifikation der EuKi.iniscben Beweisfiibrung (d. h, die Streichung der 
von Glklides benutzten Linien) wirklich eine Gründung ersten Banges wSre, so 
kann icb dennoch nicht zugeben, daß Jordamjs ein Bahnbrecher war. denn in 
Wirklichkeit hat er durch seine Benutzung allgemeiner Buobstaben gar keine 
neue Bahn gebrochen, und Herr Cantok deut«t seihst S. t>2 den Grund dazu 
an, n&mlicb daß Jordakl'b nicht verstand, das Endergebnis der Rechnung ver- 
mittels der urspiÜDglicb gewählten Buchstaben damistellea. Damm wurde die 
JoRDAxiscbe ßezeichnunga weise in den meisten Fällen unzweckmäßig, und nur 
ausnahmsweise kam sie in den folgenden Jahrhunderten zur Anwendung. Meiner 
Ansicht nach kann man, auch von dem Standpunkte des Herrn Cantor aus, 
höchstens sagen, daß Joruakl» einen mißlungenen Versuch gemacht bat, eine 
neue Bahn zu brechen. Korrekter wäre es dagegen meines Erachtens zu sagen, 
daß JouDANue die Ei'KLisische Bezeichnungs weise der Zahlen durch allgemeine 
Buchstaben anwendete, aber sehr oft ohne die bei Euelides hinzugefügten Linien 
zu zeichnen. Ö. Eneström, 



X:ßä, siehe BM 4^. 1903, 8. 206. — S:*0, siebe BU lg, 1900. S. 417. — 
2:73. 82. 87, liebe BM lg. 1900, S. 502. — »:S8, siebe BU lg, 190O, ^. 603: 
«s, 1905, S. 3H5. — « i 89, 90, sieho BBT I3, 1900, S, 503, — » : «1—92, eiebe BM l,i, 
1900. S. 503; 5s, 1904, S 409-410: 63, 1905. S, 395— S9G — Ä:97, «iehe BM 3^. 
1902, S. 406. — a : 98—99, iiiehe BM I3, 1900, S. 289-270; 6s. 1905. tä. 106—107, — 
S : 100, siehe BM 3g. 1902, S. 140. — 9 : 101, siehe BM 3s, 1902. S. 825; «3. 1905, 
8. 896. — «1104—105, «ehe BM la, 1900. S. 503; 4a. 1903. 8. 897-398 — 
2:111, siebe BM Sg, 1901, S. 352. — 8:116, siehe BM »3. 1902, S. 406. — 
2:117-118, siehe BM 63, 1905. S. 107, SU- — 21122. siebe BM I3. 1900, 8.508— 
504i «3, 1905, S. 397. — 8! 126, siehe BM 8s. 1902, S. 406; «», 1905. S. 210. 
2:127, siehe BM 3a, 1902, 6. 406- — 2 : 12S, siebe BM la, 1900, S. 504. 
2:1»2, eiebe BAI I3, 1900, S. 515—516. — 2:143, siehe BM !•,. 1900, S. 504. 
2:155, siebe BM Sj, 1904, S. 410-411. 



2:155—156. In einer früheren Bemerkung (BM 6s. 190*. S- 4 
— 411} habe ich nachgewiesen, daß die von Karducci vereffentliobten Aqi 
Züge aus dem Introductorius Über 91*1 et pulveris dicilur in mathemattcam 
disciplinam so wesentlich mit den enteprecbenden Stellen des Traktates: Ioasxis 
Hkpalehsis libcr algorismi de pratica arismelricc übereinstimmen, daß mau 
behaupten kann, es bandele sieht nicht um zwei verschiedene Traktale, sondern 
nur um zwei Handschriften desselben IVaktates. Wegen seines Inhaltes braucht 
also der Liber inirodurtorius in einer Geschichte der Mathematik nicht besonders 
erwfthnt zu werden, aber auf der anderen Seite ist er wegen des im 
vorkommenden Wortes .pulveria' von einer gewissen Bedeutung, denn 



I 



ism 



Kleine MittoiluDgen. 



87 



naß wohl als eine wörtliche Übersetzuug des arabischen Termea .gabflil* 
hatracbt«t werden. 80 viel ich weiß, hat Herr Cantor keine Ausknnft über ein 
anderweitiges Vorkommen des lateinischen Ausdruckes für .Staubrecbonng" im 
christlichen Mittelalter gegeben, mid es dürfte darum nicht ohne Interesse sein. 
darauf faiRinweisea, daß in einem Munuskripte, das nach Narihicci aus der 
2. H&lfte des 13. Jahrhunderts herrührt, der Ausdruck „pulverea ductio nu- 
raerorura' vorkommt. Dies Manuskript war lauge Zeit im Besitze dee Fürslen 
BoNCOMFAONi, und ist von Narducci [Calalogo di manoscritti ot-a posseduli da 
B. BoscoiiFAONi, Seconda edizione, Roma 1892, S. 271—273) beschrieben. 
Der erw&hnte Ausdruck kommt am Ende emer Handschrift des .Carmen de 
algorismo' vor. Bekanntlich ist dieser Traktat von Halliwell (siehe Rata malhe- 
matica, Second edition, London 1841, S. T3 — 83) veröffentlicht worden, aber 
am Ende des Boncomvao Nischen Manuskriptes entdeckte Narducci 28 bei 
HALLtn'ELi. fehlende Verse, die er (a. a. 0. 8. 272) zum Abdruck gebracht hat, 
nnd von denen der letzte lautet: ,et non puluerea fit ductio sie nuinerorum * . Die 
28 Verse behandeln: arithmetische Reihen, komplementäre Multiplikation [sehr 
dunkle Formulierung der Regel: ab = 106 — (10 — «} 6], sowie Regeln, um 
folgende Produkte zu berechnen (a, b, c, d kleiner als 10): a (10h], a {lOb + c) 
IQa (lOb + c), (10a + 6)(10c + rf). Die Darstellung ist zum Teil ho 
dunkel, daß man den Sinn erraten muß. Die letzten Verse würde ich gar 
nicht verstanden hoben, wenn ich nicht die im Liher alfforismt de pralica 
ariamttrice (siehe die BoNCOMPAONieche Ausgabe [1857], S. 119) vorkommende 
Regel verglichen hatte. Meiner Ansicht nach betrachtete der Verfasser der 
V«rsa seine Begelu als Kopfreohenregeln , und deutete dies durch die zitierte 
Bemerkung an, das Rechnen sei nicht Staubreolmen (.pulverea ductio nnmerorum"). 

G. Eneströh. 



S:1S7, 158, siehe BM £3, 1901. S. 352. — XclGO- 



I 63, 1905, 



2:161. In einer früheren Bemerkung (BM 63, 1905, S. 311—312) 
habe ich darauf hingewiesen, daÜ in betreif der drei Gleichungen 

8 a:* = 5 a; + 16, 8 x^ = 'J x^ + 12. 6x^ = 9x^ + ix + 12 
die Lösungen , die in dem von Libri zum Abdruck gebrachten Traktate an- 
gegeben werden, den Gleichangen nicht genügen. Indessen würe es nicht ohne 
Interesse ausfindig zu machen, wie der Verfasser des Troktates zu den Lösungen 
gekommen ist, und für diesen Zweck ist es von Belang zu bemerken, daß die 
Wurzeln alle größer als 1 aber kleiner als 2 sind. Schreibt mau nun die drei 
Gleichungeo auf folgende Weise 

«■ . 8«='= 5 3! + 16, 8a:2 = 9 a: + — . 12. 8x^ = 'Jx + i + - . \2, 
so ersieht man sofort, daß man Anntlbernnga werte der Wurzeln erhalt, wenn 
ma n in der ersten Gleichung das erste j' gleich 1, in den zwei anderen Gleichungen 
deich 1 setzt. Die Ann&hemngs werte bestimmt man also aus den Gleichungen 

8«»= 5« + 16, 8x^='Jx + 12, 8a;> = 9«+ 16, 
, die Lösung dieser Gleichungen ftihrt, wie man aus der Darstellung des 
Herrn Cantok herauslesen kann, unmittelbar zu den vom Verfasser des Trak- 



gg 6. EbksteÖh, 

tatee angegebenen Formeln. Nun halte icb für sehr wahrscbeiolicli, daß die 
wirklich im Vorans wußte, die Wurzeln der Gleiubnngen seien nicht betracht- 
lich größer als 1, und man brnucht also keiiieswegs seine Wurzelwerle »toll* 
zu nennen; dagegen ist es gewiS richtig, daß die IndufetiOD, die ihn dazu führte, 
ungenügend war. Eigentlich hatte er die approximatiTen Lösungen der Zahlen- 
beispiele unter der folgenden Form angeben sollen: 




daraus würde er unmittelbar gefimdf 
verallgemeinert werden konnten. 



Weise die Lösungen 
G. Eneström. 



8)163, siehe BM lg, 1900. S. 504; Aa, 1905, S, 312. — 2 : IS4, siebe BM 61, 
1905, S. 313. — SiI66, siehe BM I3, 1900, 8. 504. — 8:175, siehe BM Sa, 1902, 
S. 140. — S:200, siehe DM »3. 1905. S. 313. — S:210, siehe BM 83, 1901, 
8. 852-353. — 8:318, siehe BM 43, 1903, S. 284. — »:2I9, »ehe BM «3, 1901, 
8. 353. — S:S33, siehe BM O3, 1905, 3. 897—398. — 2:829, U'i, siehe BM I», 
1900, S. 504—505. — Ä : S43, siehe BM lg, 1900, S. 505; 6a. 1905, S. 398. — 
S:833, siehe BM 83, 1901, S. 353. — 2:273, siehe BM Is, 1900, S. 505. — 
S : 274, siehe BM Ss. 1902, S. 325. — » : 'i8l, siehe BM 5^. 1904, 8. 41 1. — S : 2S2, 
283, siehe BM lg, 1900, 8. 506; A3, 1901. 8H53-354. — «:284, 2Sß, 287, 283, 290, 
391, siebe BM I3, 1900, S. 506—507. — S:296, siehe BM »3, 1901, S. 354. 



2 : 305, Hier nennt Herr Cantor Tier italienische Verfasser arithmetiscfaer 
Arbeiten, und aus den vorangehenden Worten: .die einen j^sindj etwas früher, 
die andern etwas spßter gedruckt worden* wird man versucht anzunehmen, 
daß alle diese vier Arbeiten wirklieb gedruckt sind. Aber, so viel icb weiß, 
sind die .Regule de l'arismetica et de la geometria* des Giovanni Tkdai,di 
nur handschriftlich vorhanden; in der Tat erwähnt Boncompauki an der von 
Herrn CxsifH zitierten Stelle nur eine Handschrift (Cod. Parra. H H. VI. 4), 
und weder in Ri<*<.'Aiu)i!^ Biblioteca matematica ilaliana nouh in irgend einer 
anderen bibliographischen Arbeit habe ich eine gedruckt« Schrift von Tedai.di 
auflinden können. Übrigens scheint aus den von Biincompauni (a. a. 0, S. .'>8I} 
Eitiert«n Stellen der fraglichen ,Kegule* hervorzugehen, daß sie nicht am Ende 
des lö. Jabrhundertfl, sondern vieiraehr 1452 geschrieben wurden. 

G. Enbstköu, 



S : 313, riebe BM I3, 1900, 5. 507. — X: 317, siehe BM 5», 1904, S. 69. 



4 



2:320. In betreff der bei Lcca Faciijolo vorkommenden Rechnungen 
mit Wurielgröfien, kann noch bemerkt werden, daß Faciijolo im 3, Traktate 
der 8. Distinction der Summa das Rationalmachen von Brüchen lehrt, deren 
Nenner von der Form ^a + \b + y c + yrf sind. Freilich behauptet Paciuolo 
irrigerweise, daß sein Verfahren auch fiir Brüche mit mehr als vieigltedrigem 
Nenner anwendbar ist (vgl. hierüber P. Cosbau, Origine . . . deW aigehra II, 



Kieme Mitteitungen. g9 

1 1799, 8. 225—229; ScritH tnedili puhUkaU da B. BoxcoxpAOA'r, Roma 
1857, a 161). G. Enbbteöm. 

2:833, siebe BM «3, 1905,8.399.-2:335, siebe ßM 6s, 1905, S. 313— 8U. — 
S:K», nebe BM S3, 1902, S. 140; 4^, IQOIt, S. 285. — 8:3.14, siehe BM I3, 190O. 
S.m.— S:»5I. siebe BM «3. lilOS, 8.399. — Si353, siehe BM In. 1900, 8. 507: 
4v 1S03. S. 87. — 8 s 855. 857, siehe BM «3. 1905. S. 399-400, — S : ShH, 300. 
liflbiBM 43, 1903, S. 87. — 8:371, siehe BM Ha. 1905. 1^. 314. — 8:879, 3H0, 
litbe BM 6.q, 1905, 8. 400—401. — 8 : 3S], siebe BM U, 1900, S. 507. — 8 : 385, 
iieb«BH Ss, 1902, S. 81; 4<j, 1903, H. 207. — 8 : 3M, siehe BM I3, 1900, S. 507; 
£],19D4, S. SOG. — 8:395, siehe BM I3, 1900, S. 507-508.— 8 : 399, siebe BM 6,, 
yäfi, S. 107—108. — 8: 401, 405, siebe BH lg, 1900, S. 507. 



^r2:411. lu der Angabe, daS bei Raineb Gbmma-Piusiub die AnwendoDg 
i» doppeltoo falschen Änsakes auf quadratiscbe Oleicbungen siub findet, ist 
vnr ,i|iiadrBtisi!be* das Wort .reine" einzufügen. Mir liegt augenblicklich die 
von J. Pej.etier im Jahre 1563 besorgte Ausgabe der Arithmeticae practica^ 
i»eth(dH3 facilia (das Vorwort des Herausgebers ist vom September 1558) vor, 
nud dort steht Blatt 52'' — 53» das von Herrn Cantok augeführte Beispiel 
f,^ Zc3 200; ein anderes Beispiel der Anwendung des doppelten falschen 
Ansaties auf quadratisuhe Gleiuhungen kommt nicht vor. Ganz neu war übrigens 
im Anwendung nicht, denn schon in dem Liber augmenti et diminuaüonis 
iiud EliDliche Sachen zu finden (siehe Lmiu, Histoirc des scienccs mathlmaliqiics 
™ llalit I, S. 305, 007 usw.) — Auch bei der Anwendung des einfachen 
fslucbfln Aufsatzes beschränkt sich Gem.'lca-Fbisius auf reine Gleichungen; freilich 
'»handelt er nicht nur quadratische und kubische, sondern auch bi quadratische 
Cleiclinngen (siehe den Abschnitt ,ei quarta regula cosae", Autl. 1563, 
Bl 56^-58»). G. Eneström. 



2:412. Idit Recht bemerkt Herr Cantor, daS es leicht zu vermuten ist, 
•ie Geuma-Frisius zu dem Nah erangs werte yiSSJ "^ HfS gelangte. In 
in Tat ist eine Vermutung eigentlich überflüssig, denn Gumma- Fnisii'a hatte 
»cbnn an einer früheren Stelle gelehrt (Aufl. 156:1, Blatt 44'»), daß man, um 
1-00 lu berechnen, genau das Verfahren anwenden sollte, das Herr C.vnt'ir 
ilim in betreff der Berechnung von ^IMSJ zuschreibt. — Der von Herrn 
C*inoR bemerkte offenbare Druckfehler ITy^n für die Lange findet sich nicht 
m der Auflage 1568, wo (Bl. 53*) ganz richtig ,ergo longitudo 17-i'o'u 
fniü plus* steht. G. Eneström. 

t i «5, liehe BM I3, 1900. S. 507. — 8 : 427, siehe BM «>,, 1905. S. 314—315. 
-«!l29, siehe BM 5a, 1904, 8,201—302. — 2:43U, siehe BM 8^, 1901, S. 145.- 
S:440. Hiebe BM 4^, 190S. S. 285.-8:442, siehe BM Ss, 1902, S, 325.-8:449. 
■Uli. BH Ss, 1902, S. 140. ~ 8: «54, siehe BM 83. 1902, ». 242. — 8:474, 4':IU, 
»tbi BM 3s, 1902, S. 140—141. — 8:481, siehe BH lg, 1900, 8. 508. — 
f:V<riy liehe BM I3, 19O0, S. 508; 8«, 1901, S, 854; »a. 1902. 8. 240; 6s, 1905. 
ii. «1 — 8 . 484, siehe BM 83, 1902, S. 141. — 8 : 480, 489, 490, siehe BM I3, 1900, 
!\ f<9. — 8 i 497, siehe BH 1 3, 1900. S. 509 ; 43. 1903, 8. 87. ~ 8 : ■'>09, siehe BM I3, 
1»», 8. 270, 508. — 8:510, siehe BMI3, 1900, 8.509. — 8:512, siehe BM 83, 1902, 
^' 141. — 8:514, 51«, SIT, siehe BM I3, 1900, 8. 509. 



k 



2:S'24. In betreff der Kotü über das Rationalmachen der MenDer tob 
Brücbuu im General tratlato des Taktaglla kcinn bemerkt werden, daS Tautagll^. 

10 
wie er daselbst andeutet, das Beispiel j _ ^ schon in der zweiten , Bi- 

^ V5+V3 
Bposta* VOM 21. Februar 1547 seinem Gegner L. Fekkari zur LOsong vorgelegt 
hatte. Die 28. Trage dieser ,Uisposta* lautet nümHcb: .Anchora ve adim&do cbe 
me sia partito . lU. p K. relata . 5 . piu . B. quodra . ■!. cioe trouaudo el suo 
reciso come sapeti*. In seinem fünFlen ,Cartello* lOste Ferkari die Frage, 
wie Taktagua an der von Herrn Camou zitierten Stelle des General trattato 
berichtet, indem er darauf hinwies, daS 



und doB ferner ofi'enbar 

(» + VT,)(^-»fe)-«Ä. 



I 



' ^ 5 Wl^ V^ O- ^ Vi25 t'62 



n+vä 8^1 V27; \' ' ^ >'s rä ^ VTjj' 

Fekuahi wendete also das Verfahren an, zuerst die 5. Wurzel und dann 
die Quadratwurzel wegzuschaffen, und sein Verfahren ist, wie aus der Be- 
gründung desselben hervorgeht, als eine wirkliche Methode zu betrachten. Dies 
geht noch deutlicher ans den Antworten des Ferrari auf die Fragen 29 und 
30 der zweiten .Risposta" hervor; diese Fragen beziehen sich nämlich auf das 
Bation&lmacben der Nenner der Ausdrücke: 



Die Bemerkung des Herrn Cantor, daß die Vorschrift des TARTAntC^^ 
mau müsse zunächst die im Nenner auftretenden In'ationali täten kq Würzet- 
großen gleicher Benennung machen, allein das blinde ümberlasten zu einem 
veratündigen Verfahren umzuwandeln imstande ist, dürfte also modifiziert werden 
sollen. Vielleicht ist diese Bemerkung dadurch veranlaßt worden, daß Taktaolia 
selbst {General irattato, parte 2, Bl. ISS*") das FERitAKische Verfahren be- 
mängelt, und zwar teils weil dem Ferrari ,totalmente la via maestra da ri- 
solver il quesito' unbekannt war, teils weil dieser das Resultat unter der Form 
eines Produktes zweier Wur^elgrößen angegeben hatte, während Tartagiaa 
un »reciso", d. h. ein aas einfachen Wui/elgrößeu bestehendes Polynom ver- 
langt hatte. Die erste Ausstellung des Tartagua, die offenbar mit der Be- 
merkung des Herrn Cantor sehr nahe übereinstimmt, ist ans dem von mir 
oben angeführten Grunde unberechtigt, und die zweite Ausstellung ist kaum 
ernstlich zu nehmen, denn TARTAOiaA mußte woh! wissen, daß sein Gegner im- 
stande war, eine einfache Multiplikation von zwei Wurzelausdrücken auszuführen. 

Am Ende des 10. Buches des 2. Teils des General trattato lehrt Tartaglia 
(Bl. 154**) auch das Kationai machen von Brüchen mit dreigliedrigem Nenner 
von der Form y,7 + Xb + Vc". 

G. Enestböu,'! 



aöii.^H 



Kleine Mitteilnniiei], 91 

8:529, Das Problem: .Die Zahl 8 in zwei Teile zu zerlegen, welche 
milflinMider und überdies mit ihrer Differenz vervielfacht das größtmögliche 
ftüdnkt bervoibringen', wurde, wie Tartaoi.ia selbst betuerkt, ursprünglich 
™ Ferhaiu als 17. Frage des 3. .Cartello' (S. 7) gestelll, und der Fniga- 
ilrller forderte anch einen Beweis der Richtigkeit der Lösung. Tahtagi.ia löste 
Au Problem in seiner =1. .Risposta', gab als Lösung a: ^ 4 -[- y 5 J^, y = 4 
'^ Vii J und fügte hinzu: ,etquesta e di fmtti delle nostra pianta con Liijuali 
|i«Hviili di farmi guerra, ma el vi e fallato U pensiero*; im General Irallato 
findet sich ein verbesserter Teil dieses Zusatzes: ,et questa fe di frutti della nostrn 
(liwit*, con li iinali pensauano di farmi guerra, ma gli falo il pensiero'. Mit 
.nrfltra pianta* meint Tartaglia ohne Zweifel seine Lösung der kubischen 
GleicboDg, wie aus seiner 2. .Rispostn" (S. 5 — ß) deutlieh hervorgeht. Im 
S, .Cartello' (8. 19) bemängelt Ferbaui die Lösung seines Gegners, weil dieser 
keiuen Beweis der Richtigkeit hinzugefügt hatte. Ob die angegebenen Werte 
ia Teile richtig seien oder nicht, sagt Pekkaui, wolle er dem Tahtaolia 
nicht mitteileu; jedenfalls sei die Frage wegen des fehlenden Beweises als nicht 
K^ISst la bezeichnen. 0, Emkbtröm. 

S:S30, siehe BU Xg, 1901, S. 354—355; 3s, 1902, S. Ul. — » : 538, 6»5, 
MI, S4S «ehe BM U, 1000, S. 509—510. — S : S49, siehe BM lg, 1900, S. 510; 
«i 1905, S. 401. — »;5S0, siebe BM «a, I90I, S. .155. — »j 5.54, siehe BM I3, 1900, 
g. 510. — S : 553, siehe BM 43, 1903, S. 265. 



f:&61. n convient de faire observer que, dans le troisifeme livre de sa 
J'/igiitiea, Bl-teo emploie en passiuit des 6quations dont le second membre est 

I. Ainai p. ex. dans le probl^me <i (p. 146), on trouve d, la fin de l'exercice: 
L 1 e 3f 7 [3f 1 c'est ii aire Ä — 7 = — 1 

I 1 QMS [0 1 — 6 = 

I 1 ["^j X = 6. H. BosMANa, 



!t 56S, 5(tT, 5ßN, siehe BM 4». 190S, S. 385— SS6. — S : 56«, eiehe BH la, 1900, 
— « : 578-573, tiebe BM lg, 1900. S. 510; Sg, 1902, S. 141. — » 1 57(1, siehe 
Äj, I90I, S. 355— 3&G. — «!57ü, sieheBMÄa. 1901. S. 145, — «:58ü— ,iSl, siehe 
-ig, 1903, S- 207. —«: 5S2, siehe BM I3, 1900, &. 510. — IS: 5S3, siehe BM I3, 1900. 
i ::i)i 9^, 1901, S. 856. — X i 58.5, siehe BM Sg. 1904, S- 69—70- — S : 6'.)2, siehe 
BUC. 1901, S. 146. — 8:594, siehe BM Ir, 1900, S. 270. — S:.5»7, siehe BM 1», 
im. S. 270; S3, 1901, S. 146. — S: 5tKI— fHM», siehe BM 83, 1901. S. 146. — 
»!M!, siehe BM 1,^, 1900, S. 270. — « ! 603—1104, siehe BM U. 1900, S, 270—271 ; 
«j. 1905, S, lOe. — a : 611, siehe BM Äg. 1901, S. 366—357. — Ä : 613, siebe BM Z3, 
m,S. 277; »3, 1901, S. 146. 



II UIW ,« 

m 



-618. Ea ist durchaus richtig, daß L. Schonerus am Anfange 
I Dachee De numeris fi^iratis angibt, er verstehe unter figurierten Zahlen 
. welche dnrch Multiplikation entstanden sind, aber ans dieser Definition 
i« « IfAum möglicb zn erraten, was sein Buch enthUlt. In Wirklichkeit be- 

IK^tAigt er sich vorzugsweise mit dem Fall, in dem die Faktoren ffteich sind, 
■^ mit Potenzen, und behandelt im Zusammenhang hiermit auch Wurzeln, 
Ml die R«chsting mit WurzelgrOßen and einfacheren algebraischen Ausdrücken. 



92 0. Eneetbüm. ^M 

Man kßante also sagen, daß er unter figurierten Zahlen eigeallicE 
und Wurzeln versteLt, 

Von größerem Interesse als der sachliche Inhalt des Bnches De t 
figuraiis nnd indessen, nie Herr Cantob auch andeutet, einige dariu Tor- 
kommende Zitate. Außer dem von ihm erwähnten Verweis auf den 33. Sats 
[nämlicb des 2. Teiles] des , Algorilhmiis äemonsfratus dee Jordanis*, kommt 
bei SciioKEKüs noch ein zweiler Verweis auf dieselbe Schrift vor, n&mlicfa in- 
betreff des Sat7es {a + 1)» — «3 = «* + (a + 1}» + a (a + 1), und »wai 
beruft sich ScBoyERUS (siehe S. 27t:> der ersten Auflage vom Jahre 1586) auf 
.JoRDAKus 34 p. 2 Jlgorithmi demonstratio; in der Tat lautet der silierte 
Satz des Algorithmus demonslrattts: ,Omnis cubus addit super proiimum 
minorem cubum uumerum congregatum ex quadratis amborum et numero bxio 
ex ductu radicis uniua in i-adicem alterius*. Obgleich es jetzt als fast sicher 
betrachtet werden kann, daß der Algorithmus demonstratus nicht von Jorsaxds 
herrührt, wäre es ohne Zweifel von Interesse zu wissen, wie Schonekus dazu 
gekommen ist, diese Schrift dem Jordanus luzoschreiben. 

Auch ein anderer bei Schoüekus vorkommender Verweis verdient vielleicht 

beachtet zu werden. Hinsichtlich des Satzes, daß, wenn -^= -^ . — ^, so 

«. «. 1. 

ist (ij ■ (ij - a,, ^ dj ■ rjj - Oj, beruft sich Schonerus (in der mir augenblicklich 
vorliegenden letzten Auflage vom Jahre 1627 findet sich die Stelle S. 159) auf 
.TuEBiTnis ad 2, p, 3. Mbselai". Nun kommt ja dieser Satz in der Schrift 
De figura sectorc von Tabii' ben Kurha vor, die sich au Me-nelaos' SphKrik 
anschließt, aber so weit man jetzt weiB, nennt TAnrr darin gar nicht Ueseuaos 
(vgl. A. A. Bjöenbo, Abhandl. zur Gesch. d. mathem. Wiss, 14, 1902, 
B. 15). Es wäre also von Interesse eu wissen, woher Scbonebüs sein Zitat 
entnommen hat. 0. EnestrÖm. 

9a:ni3, siehe BM »». 1901, S. 357; 5», 1904, S. 306. — S : fI14, siehe BM 3«, 
1902. S. Ul.— »sGir, fill», 8i,^hB BM «a, 1905, S. 108-109. — «i«2ü, liehe BM 
»3, 1902, S. 141. — «!«2I, Biehe BM la, 1900, S. 277; «g, 1901, S. U6; Oj, 1905. 
S. 40^ — S:fi23, siehe BM Ig, 1900, S. 377; A3, 1901, S. 146-147. — 8:63a- siehe 
BM «3, 1905, S. 109. — 8:6:14, I13-, aiehe BM «a, 1905, S. 315-316. — «jfiSS 
siehe BM »3, 1901, 8. 147. — 3E : 643, 043, siehe BM I3, 1900. 8. 271. — Ct644, 
niebe BM Ö3, 1905, S. 402—403. — 8:639, siehe BM »3, 1901. S, S57. — 8:6S6, 
siehe BM 4s, 1903, S- 286, — 8: «59, «60, niehe BM 8». 1901, S. 147—148 — 
S:e«l, siehe BM S3, 1905, 8.403, — 8:663, Hiebe BH I3, 1900. S. 271. — 
8:66U, siehe DM 5^, 1904, S. 203. — 8;6iO, »ehe BM 63, 1905, S. 403. — 
8: «74, siehe DH 43. 1908, 8.68. — 8:6%3, siehe BM 83, 1901, 8.148. — 8t «93, 
sirhe BM 4a. 1903, S. 287. — 8:700, 701, 70», 704, 705, siehe BM I3, 1900. 
8. 271-273. — 8:716, siehe BM Ss, 1904,8.412.-8:716, siebe BM 63. 1905, 
8. 404. 

2:717. Herr Cantor gibtan, daß Jamem Geegory 1638 geboren ist, 
und dieselbe Angahe haben alte anderen mir bekannten Arbeiten, die bio- 
graphische Notizen über Giiegoiiv enthalten. Aber wenn sein Geburtsjahr 1638 
ist, wie konnte er in seinen ExercitaHones gcomefricae (London 166S, S. 2) 
schreiben: „neque mihi esset difficile affirmare (si modo meotiri vellem), m« 
ante 21) annos illam [= quadraturam hyperboles] cognovisse"? Ein zdu- 
jithriges Kind kann wohl nicht die Quadratur der Hyperbel gehinden 

G. ENESTRÖ11.J 



itöii.^H 



Kloiue Mitteiiun)i;en. 93 

2 : 717. Hier sollte entweder Zeile 26 .veidoppelt wird" statt .lauitnmt* 
gesetzt, oder der Satz, der mit: ,Er zeigt fernei'* beginnt, modifiziert werden, 
SionstSrend ist ja der kleine Kedaktionstehler eij^entlicb niübt, da es sowohl aas 
der Figur 142 wie aus den Formeln Seite 718 hervorgebt, was Herr Castor 
sagoD will. G, Enehthöu. 

2:718, Der von Herrn CiSTdß Zeile 11—12 zitierte Passus lautet bei 
Gkeooby (Feen circuli d hyperbolae quadratura, Patavii [I6(JTJ, S. 4 Z, 3 — 4): 
,es bisee i>ercepi serieiu polygonovum convergentem, cuius terminatio est cir- 
culi sector". Nun kann der Umstand, daß Greoohv njolit .circulus" (wie Herr 
Cantor angibt), sondern „circuli sector* sagt, durchaus belanglos erscheinen, 
aber in Wirklichkeit ist es nicht so. Zeuthen hat nSmlich {Qesdtichte der 
Mathematik itn XVI. und AT//. Jahrhundert, Leipz-ig 1903. S. 305) darauf 
aufmerksam gemacht, daß man durch geeignete Verbesserung des von Gheim.ikv 
benutzten Verfahrens sicherlich beweisen könnte, die Fläche eines Kreisaus- 
üchnittes sei im allgemeinen eine transzendente Größe, daÜ man aber daraus 
nicht folgern darf, jeder Kreisausschnitt (also auch der gao^e Kreis) sei eine 
transzendente GrCGe. Man darf also nicht ohne weiteres in dem zitierten Passus 
des Gkequbv .circuJus* statt .circuli sector* setzen. G. ENcsTitÖM. 



2:TI9, siehe BM Sg, 1901, S. 357. — S : 7äO, eiehe BM 4», 1003, S. 2Wl: «a, 
1305, S. 404. — a:721. siehe BM Ig, 1900, S. 273; «3, lfi05. S. 404—405. — 
Iti'iit, siehe BM 1;,, lÜOO, 8.273; 3», 1902, S. 142. — S:746, «eho BM I3, 1900, 
S, 373. — ft : 747, eiche BM I3, 1900, S. 173; Sj, 1901, S. 225. — it : TIU, neiie 
BH 43, 1903. S. 83. — 2:7116, »ehe BM 83, 1902, 8. 142; 5». 1904, 8.412-413. — 
« : 767, atahe BM Sa, 1901, 8, 148, 857-358. — 8 : 770, siehe BM 4», 1903, S. 208. — 
«:772, 775, siehe BM £3, 1901, 8.358—859. — 8:777, siehe BH Ss. 1901. S. 148; 
33, 1902, S. 204. — Äi783, siehe BM «j, I90I. S. 359; 43, 1903, S. 88—89. — 
)e:7S4, siehe BM Äj. 1901. 8 148. — Ä: 787, 7)11, siebe BM «a. 1905, S. 405. — 
Ä:7Ua-794, siehe BM Sg. 1904. 8. 307; 63. 1B05, S, 316—317. 405-406. — 
Ä:7«5, siehe BM «:,. 1905, S. 317. — 8:797-798, siebe BM 53, 1904. 8, 807; 6a, 
1905. 8.317. — »:79», siehe BM 5a, 1904. 8.307. — «i802, siebe BM 43. 1903, 
Ö.S08.— «: 812, siehe BM 43, 1903. S. 37. — «: 820, siehe BM «a. 19ÜI. B. 148; 5«, 
1904. S. 307. — 8 : S2ä, siehe BM «3, 1901, S. 148. — Ä J 882, siehe BM Ss. 1904, 
8. 203-204; 63. 1905, S. 211. — »j 810, siehe BM 2s. 1901, S. 148-149. — 2:843, 
riebe BM 3», 1902. S. 328. — 2:830, siehe BM «3. 1905. 8. 109—110. — 2:850, 86S, 
siehe BM 83, 1901, S. 149. — 8 : 87«, 878, 879, siehe BM la, 1900, S. 51 1. _ 2 : 891, 
siebe BM la, 1900, B. 278. — 8:897, siebe BM ^^s, 1905, 8. 406. — 8:8UH, siehe 
BM 43. 1903, S. 37, 208. — 8 : 901. siehe BM lg. 1900, S. 511. — 8 : »19, aiuhe 
BM 53. 1904, S. 204. — 8 : VIU (Vorwort), siehe BM Ss, 1902, 8. 142. — 8 : IX, 
X (Vorwort), siehe BM I3. 1900, S. 511—512. 



3:9, BieheBM23, 1901. 8.359. — 3:10, siGhe BM la, 1900. S. 518; 63, 1905, 
8. 211. — SiH, siehe BM 43, 1903. 8.209. — 3:12, 17, »ehe BM la, 1900, 8.512. 
— 3:32, siehe UM li, lOüO, 8.512; 4a, 1903, 8.200. — 3:34, siehe BM 4», 1903, 
8. 200. — 3:25, siehe BM 4a, 1903, 8. 209, 399. — 3:211, siehe BM 2». 19^>1, 
S. 359. — 3:39, siehe BM 6a. 1905. S. 407. — 3:45-18, 49, 50, siehe BM I3. 
1900, 8. 612—513. 

3:6S, Im Vorübergehen bemerkt Herr CAirroit. daS die Exercitationcs 
gtomelricae (16t>8) des James GitEuottr ein nicht umfangreiches Buch ist (in 
der Tat enthält es außer dem Vorworte nur 27 Druckseiten), diiB aber sein 



M ß. Ki 

lobttlt aacb abgeMhen von den hier berückBichÜgten 13 erst«» Sraten nicht 
ohne Intereese ist, hat Herr Cantok selbst später {S, 688) hervorgehohen. Ein 
näheres Stadiam der Seiten 14 — 27 der Exercilaliones gtomelricac könute viel- 
leicht noch weitere Belege hierzu liefern. Schon auf dem Titelblatt« erw&hnt 
Greuury iwei Sätze von allgemeineren! Interesse, die S. 25 — 26 zu finden 
sind, und die in moderner Bezeichnung lauten: 

J tg a: rfar = log aec x, J cosec x dx ^ log tg \ X. 

Das Vorkommen des ersten Satzes in den Exercitiüion^ geometricae haben 

G. Heinrich in der Biblioth. Mathem. Ij. 1900, S, 91 nnd Bbausmühi. in 

seinen Vorlesungen über Geschichte der Trigonomelrie (II, S. 41) erwfthnt; ob 

das Vorkommen des zweiten Satzes fräber bemerkt worden ist. weiß ich nicht. 

G. Ekeström. 



3:70, siehe BH «3, 1901, 3. 360. — 3:»i, eiehe BH S3, 1904, S. 308 — 
3:100, fliehe BM Xs, 1901, S. 149. — 3:103, Biehs BU 63, 1905, S. SIS. — 3:112, 
Biehe BM 4a, 1903, S, 209-210; 63, 1905, S- 318. — 3 J IIB, eiehe BM I3, 1900, 8. SIS. 

— 3 : 11?, fliehe BM lg, läOO. S. 518. — 3 : 12^ siebe BM U, 1900, S- SIS; 4^ 1903. 
S. 399. — 3:124, siehe BM 83, 1902, S, 407—408; 43, 1903, S. 400. — 3:13*1, 
äiohe BH 4:,, 1903, 9. 288 — 3 : 131, Riebe BM 4», 1903, S. 210. — 3 : 1-iI, siehe 
BH Sb. 1902, S. 326 — 3:1«?, 172-173, siehe BM 43, 1903, S. 400. — 3:174, 
Hiebe BM S». 1901, S. 149—150. — 3 : l>t3, liehe BM U. 19'iO, S. 432. — 3 : ISS, 
siebe BM 83, 1902. S. 241. — 3:201. siehe BM lg, 1900, S. 513. ~ 3:207, siehe 
BH I3, 1900, S.5I9. — 3:21.\ siehe BM S», 1901, S. 150. — 3:2tS, siehe BMI,. 
190O. S. 513. — 3:220, siehe BM 3», 1902, S. 326. — 3:224, siehe BM I3, 1900, 
S. 514. — 3i23ä. 22s, eietie BM Sa, 1901, S. ISO- — 3:230, aiehe BM «g. ISO,'., 
S. 211-212, — 3:233, siehe BM U. 1900, 3.514; öj. 1905, «.212. — 3: 244— 
345, siehe BM Sa, 1904, S. 205, 413. — 3 : 246, siebe BM I3, 1900, S. &14: X3. 1901, 
8.151. — 3:250, »ehe BM lg, 1900, S. 514. _ 3:303, siehe BM »3. 1901. S. 155. 

— 3:330—331, siehe BM Sg, 1902, S. 241-242. — 3 : 3S7, siehe EU S3. 1904. 
8. 206, 



3:365. Hier finden sich einige Notizen über die von Gmoo Gsandi 
1703 herausgegebene Schrift: Quadratura circuU et hyperbolae per irifinilas 
hffperbolas et parabotas quadrahües getmetricc exhibila, and zuletzt wiid be- 
merkt: ,Gkandi .... schrieb nun + 0-|-0 + ---^i als Symbol der 
Schöpfung der Welt aus dem Nichts'. Aber diese Folgerung findet sich nicht in 
der 1703 herausgegebenen Schrift, sondern ist ein Zusatz der .editio altera, aactior 
et accuratior*, die im Jahre 1710 erschien. Hier sind nämlich (S. 29) 13 Zeilen 
eingeschaltet, die in der Auflage yon 1703 fehlen. Freilich behauptet Grakdi 
selbst in seinem .Schoüon» (S. 29 — 34), dall die Fraglichen Zeilen ursprünglich 
in seinem Manuskripte standen, und daß er dieselben auf Anregung einer Person, 
die er .nonnemo censoris vicem subiens* nennt, vor der Drucklegung strich, 
aber dieser .censor", der sein Gegner A, Mauchet-ti war, hat in einer 17ia 
herausgegebenen Lettera bestritten, daÜ die in der zweiten Auflage eioge- 
schalleteu Zeilen wörtlich mit den von Giiandi 1703 geatrichenen übereiu- 
8timmt«n. In jedem Falle aber bann es von Interesse sein zu erwähnen dafi 
die Schrift von 1703 sieben Jahre spKter eine verbesserte und vermehrt« 
Auflage bekam. G. Eneström. 



3:870-871, Bioha BM 5», 1904, S. 308, — 3:382, siehe BM 6s 1905 
■-. _ 3:381, siehe BM 63, 1905, S, 319. — 3:408, siehe BM ©a,' 1905, 



Kleine Mitteilimgen. 95 

S. 213. — 3:447, 455, siehe BM ftz, 1901, S. 151. — 3:473, siebe BM ftz, 1901, 
S. 154—155; 43, 1903, S. 401. — 3:477, 479, siehe BM »3, 1901, S. 151—152. — 
3 : 497, 498, siehe BM Ss* 1904, S. 309. — 3 : 507, siehe BM 5s, 1904, S. 71—72. 
— 8:521, siehe BM ft^, 1901, S. 441. 



3:527. Das hier nach Yarignons Elemens de mathSmätique (1731) er- 
wähnte Instnunent zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels wurde schon in 
L^öPFTALS Traiti anaHytique des sectians coniques (Paris 1707), S. 452 — 453 
beschrieben. 6. Eneström. 

3 : 535, siehe BM 4», 1903, S. 401. — 3 : 586, siehe BM Ss, 1904, S. 206. — 
3 : 560, siehe BM 63, 1905, S. 319—321. ^ 3 : 565, siehe BM 83. 1902, S. 326—327. ^ 
3:571, siehe BM 83, 1902, S. 327; 53, 1904, S. 72. — 3:578, siehe BM 3.3, 1902, 
S. 327; 58, 1904, 8. 309. ^ 3:586, 609, siehe BM 53, 1904, S. 309-310. — 3:614, 
siehe BM 43, 1903, S. 89—90. — 3 : 616, siehe BM 63, 1905, S. 214, 408. — 
3:636—637, siebe BM JSs. 1901, S. 441. — 3:646-647, siehe BM 53, 1904, 
S. 206—207. — 3:652, siehe BM »3, 1901, S. 446; 53, 1904, S. 207. — 3:660, 
siehe BM 2^, 1901, S. 441. — 3:667, siehe BM JSs, 1901, S. 441—442; 53, 1904, 
S. 207—208, 310. — 3 : 682, siehe BM 63, 1905, S. 408. — 3 : 686, siehe BM 53, 

1904, S. 208. — 3:689, 695, siehe BM JSs, 1901, S. 442. — 3: 786, siehe BM 63, 

1905, S. 111. — 3:750, 758, siehe BM ^, 1901, S. 446. — 3: 759, siehe BM 53, 
1904, S. 208. — 3:760, 766, siehe BM «3, 1901, S. 446-447. — 3:774, 798, siehe 
BM fts, 1901, 8. 442—443. — 3:819, siehe BM 63, 1905, 8. 321.-3:845, siehe 
BM lis, 1901, S. 447; 83, 1902, S. 827—328. — 3:848, 881, siehe BM »3, 1901, 
S. 443. — 3:882, siehe BM »3, 1901, S. 447; 53, 1904, S. 414. — 3:890, siehe 
BM 48, 1903, S. 401. — 3:892, siehe BM 83, 1902, S. 143. — 3: IV (Vorwort), 
siehe BM ftz, 1901, S. 443. 



Anfragen. 

126« über Spuren der komplementären Multiplikation bei ara- 
biflohen Mathematikern. Als negatives Ergebnis seines Berichtes über die 
westarabische Mathematik hebt Herr Cantor {Yorles, über Gesch. d. Mathem. 
1*, 1894, S. 768) als besonders wichtig hervor, daß wir bei den Westarabern 
kein komplementäres Rechnen, nicht einmal die komplementäre Multiplikation 
finden. Meines Wissens ist auch jetzt keine arabische Schrift bekannt, wo diese 
Art von Multiplikation ausdrücklich gelehrt wird, und man könnte darum ver- 
sucht sein, das Ergebnis des Gantor sehen Berichtes als definitiv anzusehen. 
Freilich glaubt H. Wbissbnborn {Gerbert, Beiträge nur Kenntnis der Mathe- 
matik des Mittelalters, Berlin 1888, S. 169—208) durch eine längere Unter- 
suchung nachgewiesen zu haben , daß die komplementäre Multiplikation auf 
Araber und Inder zurückzuführen ist, aber sein „Nachweis*' ist kaum mehr als 
eine Behauptung. 

Indessen gibt es zwei Gründe, die meines Erachtens dafür sprechen, daß 
die Frage noch nicht endgültig erledigt ist, und die also neue Untersuchungen 
über das Vorkommen der komplementären Multiplikation bei den Arabern er- 
wünscht machen. 

.Der erste Grund ist der Umstand, daß vier der ältesten abendländischen 
Algorismus-Schriften, die alle vier mehr oder weniger Bearbeitungen arabischer 
Vorlagen zu sein scheinen, eine komplementäre Multiplikationsregel enthalten. 
Die vier Schriften sind: 1. Die von Curtze im Jahre 1898 herausgegebene 



ii tftren 

1^^^^ (riebe 

^^^H BOKCO. 



(|(; G. ExESTB^iM. 

anonjrae Algoriamnsscbrift-, von denen drei Handschiüften bekannt sind, and die 
raö gl i eher weise von ätei.haiui xos Baiii berrührt, jedenfalls aber uicbt sjiäter 
Bis 1168 verfaßt sein kann (vgl. BibUoth. Malbem. Sj, 1904. S. 312, 416). 
2. Der von Bonihjmi'aoni im Jabre 1857 herausgegebene Libcr alijorismi dt 
pratica arismetrice, der vielleicht auch aus dem 12, Jahrhundert heirührt, und 
der in einigen Handsehriften dem Johannes Hibpalessis beigelegt wird (vgl. 
Biblioth. Mathem. S», 1904, 8.408—40(1; 63, 1905, S. 114). 3. Der von 
Cantou im Jahre 1865 herausgegebene Liber algoriumi, der kaum später als 
I2OO geschrieben ist (vgl. Cantou, ». a, 0. S. 855), 4. Der von CiL Henuv 
im Jalire 1880 heraus gegebene Prologus Ocreati in Hekeph, der möglicher- 
weise im 12. Jahrhundert verfaßt ist (vgl. Canwk, a. a. 0. S. 852, 855; 
Weissesbou«. 8. o. 0. S. 184—185). Freilieb ist das Vorkommen der kom- 
plementären Multiplikationsregel in den vier Schriften nicht entscheidend, denn 
wer geneigt ist, den Arabern die Kenntnis dieser Regel abznspreoben, k&nn den 
fraglichen Umstand so erklären, daß die Regel im 12. Jahrhundert im Abend- 
lande allgemein gebrünchlich war, und daß sie eben aas diesem Grunde von den 
Bearbeitern der arabischen Vorlagen hinzugefügt wurde. 

Etwas größere Beachtung verdient vielleicht der zweite der von mir oben 
angedeuteten Giiinde, näniliub daß im Tälkhys des Ibn Albanna eine Maltipli- 
kationsregel vorkommt, die darauf hinzudeuten scheint, daß Ibn Albakna viol- 
leicht die komplementäre Multiplikation kannte. Die betreffende Regel wird von 
A. Maiuu: (S, 14 des Sonderabzuges seiner Ühersetzung) auf folgende Weise 
wiedergegeben ; 

La multiplicution par l'excedaat. — Elle consiste en ceui; tu de* 
noniniCB par dix l'excfes sur dix de l'un des deui nombres i\ moltipHer 
l'nn par Tautre, puis de son compaguon tu prends ce rapport, tu l'oddi- 
tionnes avec lai, et tu fats de la somme des dixaines; et s'il y a dans 
le rapport une fraction, tu ie prends de dix, et ta le mets ö. la place 
des unitis. 
Wenn ich geneigt bin anzunehmen, daß Tun Albakha hier von komplemen- 
tSrer MaltipUkation spricht, so ist der Grund dazu freilich nicht, daß Marrx 
in der Fußnote die von ihm übersetzte Regel als mit der Formel 

ah=\°^^b + fcj 10 = (a— 10)6 + 10 6 

identisch erklart. Meines Erachtens hat Marre nämlich den Text gar nicht 
verstanden und darum nicht richtig übersetzen können, so daß die Übersetzung, 
die er tatsächlich bietet, den Sinn des Ibn älbanna nicht wiedergibt, Möglieli 
ist ja, daß der arabische Text der von Mariik benutzten Abschrift verstümmelt 
ist, aber ebenso sehr ist es möglich, daß Marke durch die WöpcKESche Über- 
setzung der Arithmetik des Alkalsaui (wo ein Kapitel über . dönomination* vor- 
kommt) veranlaSt worden ist, das Verfuhren, das er ,d^nominBtion* nennt, mit 
einem Divisions verfahren in Verbindung zu setzen. Aber schon der Umstund, 
daß man, mn eine Multiplikation von zwei ganten Zahlen uoszufübren, zuerst 
mit 10 dioidieren sollte, scheint mir verdächtig; nehme ich noch hinzu, daß im 
Mittelalter das Wort, denominatio* als besonderes Kunstwort bei der komplemeo- 
t&ren Multiptikationsregel vorkommt und „Multiplikation mit 10* bedeutet 
(riebe b. B. Joasxi.s Sispalessis Liber atgorismi de pratica arismetricc, ed, 
BoKCOMPAQKi, Roma 1857, 8. 97: ,quinquaginta qae est denominatio a quin- 



Kleine Mitteilongen. 97 

qne*; M. Cürtze, Vher eine Älgorismus-Schriß des Xll. Jahrhunderts; Ab- 
handl zur Gesch. d. Matbem. 8. 1898, S. 18: «differentia maioris de mi- 
Dori demere et de reliqno denominationem facere**), so habe ich nocb größeren 
Anlaß anzunebmen, daß Marre den Sinn des arabischen Textes mißverstanden 
hat, wenn er die Worte, die er durch: ,,ta d^nommes par dix l'exc^s sur dix 

de 1*00 des deux nombres* übersetzt, durch ^ wiedergibt; ich für meinen 

Teil würde eher 10 (a — 10) setzen. Den wirklichen Sinn der Begel des Ihn 
Albanna kann ich zwar nicht ermitteln, aber ich kann nicht umhin, die Über- 
sehrift ,La multiplication par l'exc^dant* durch ,| Komplementäre Multiplikations- 
methode' zu übersetzen, und ich halte es nicht für unwahrscheinlich, daß Ihn 
Albanna entweder die Begel 

ab = 10 [a — (10-6)] + (10— o) (10—5) 
oder die Begel 

05 =» 10a — a (10—6) 

angegeben hat. Jedenfalls wäre es gut, wenn ein Kenner der arabischen Sprache 
die Frage näher untersuchen wollte. G. Eneström. 



^lioUMca HathemaUoa. UL Folge. YII. 



f 
f 



Heronis Alexandrini opera quae aupersunt omnia. Vol. TTI: Bationea 
dlmetiendi et commentatio dioptrica (Vei-messnngslehre und Dioptra), 
griechisch und deutsch von Hermann Schöne. Leipzig, Teubner 1903. 
80. XXI + 3fifi S, Mark ßi). 

Die Vermeesungslehre Heross, nach dem griechischen Tite! jetzt allgemein 
Metrica genannt, ist erst vor einigen Jahren von dem Vater des Heraasgebers 
JD Konstant In opel in einem Codex des 11. Jnhrb. anfgefnnden worden; in welcher 
Beziehung dieselbe la den schon von HiTi-Tsca i. J. 1864 herausgegebenen 
Sohriften Herons, der Geometrie, Stereometrie und den Mcnsurae stehe, ist eine 
Frage, auf die wir hier nicht nBher eintreten können; es ist aber za hoffen, 
daß dieselbe ihrer mathematisch -historischen Bedeatung wegen von anderer 
Seite eingehend nnterancht werden möge (vgl. die beiläufige Bemerkung von P.Tan- 
SERT in Bullet, d. sc. niathem. 272, 19'^3, p. 88; R. Mekr, De Pseudo- 
Heronianis, im Rhein. Husenm 61j. 1906, p. 178—184). 

Die Metrien erlJfTnen uns eine Reihe neuer Gesichtspunkte auf dem Ge- 
biete der griechischen Mathematik. Greifen wir zuerst nochmals zwei Punkte 
heraus, die schon W. Schmidt, M. Cuktzp. und G. Wertheim in derBiblioth, 
Mathera. (1,, 1900, p. 13—14; 83. 1902, p. 143—144) und in der Zeit- 
sehr. f. Mathem. (42. 1897. Hist. Abt. p. 113—120; 44, 1899, Bist. AbL 
p. 1 — 3) behandelt haben. Erstens erfahren wir aus den Mdrica, daß Äacin- 
MEDES eine Schrift, betitelt Ephodikon, verfaßt hat; es enthielt dieselbe unter 
anderem die Quadratur der Parabel, die also unrichtigerweise zwischen die beiden 
Bacher vom Gleichgewicht der Ebenen lii neingeraten ist. dann aber auch die Inhalte- 
bestimniung zweier Rörpergebilde, mit denen man sich heutzutage selten mehr 
beschäftigt, deren Inhalte aber von Akchimedes schon richtig berechnet worden 
sind, nümlii^h des Cjlinderbufes (p. 131 der Metrica) und des gemeinsamen 
Stückes zweier Cylinder von gleichem Durchmesser, deren Achsen sich recht- 
winklig schneiden {p. 133). Das Ephodikon wird als eine ilbnliche Sehrift. über 



■) Vor vier Jahren versprach mir ein Mitarbeiter der Bibliotheca Mathe- 
natica eine Rezension von HRnoNH Optra 1, 2 : I. und vor drei Jahren gab mir ein 
nderer Mitarbeiter der Zeitschrift ein ähnliche« Versprechen in betreff des 3. Bandes 
on Hehonb Optra, aber weder der eine noch der andere ist dazu gekommen, die von 
bm verspTOchene RoienBion fertiginetellen. Nna bat Herr Rroio in Bcineui Nachruf 
üi- Wn-HKui SraHmt (siehe Biblioth, Mathem, B3. 1905. S. 362—871) «ehr ans- 
fübrlich über den 1. Band und num Teil auch über den 2. Band des fraglichen 
Werkes berichtet, so daB eine besondere Rezension nunmehr nnr für den 3. Band or- 
«ünvcbt ist, und Herr Siteh bat jetzt die GOte gehabt, diese Rezension zn redigieren. 

G. KnestuSm. 



Tlitben- und Kflrparberechnong gewesen sein, wie sie die Meirica des Hbkon sind, 
nur sllsrdings mit eingehenderer geometrischer Begründung der aafgesteliten 
Fonaela. — Zweitens lieht Hbron {p 19) die irrationale Qaadratwnrzel kob 
"iner Zahl durch wiederholte Anweniiang des Verfuhrans: 

VJ^i (, + !) = .•„.... 

(»■gl. aoeh 8, Günther, Die <juadrali sehen IrrationaliUlten der Alten; Ab- 
l>«Rdl X. Gesch. d. Mathe m. 4, 1882, 1^134). Die Knbibwurzel berechnet 
^i* mit Hilfe der Methode der beiden Fehler, die zu diesem Zwecke etwas um- 

goformt wird (vgl. G. Wektheim in Zeitachr. f. Mathem 44, 1899; Hist. 

Abt. 1—3. 

Zur QnadratwarxeUosxiebang ist folgendes hininÄDfügen: Die zweimalige 

A-öWendung des HKRONSuben Verfahrens fuhrt auf denselben Wert wie die 

^^eite Annäherung des Qai.a?ädI und des HA^ßir, nllmlich: 

IL y,.T^,_.±,il ©L 

t 
«1. • 



[E, irt In d.r T.t „ + ^ _ -isL _ „■ = j(, + ?iiU:), 

; beide Seiten können nämlich auf die Form ge- 
^t werden: a.M^' + O + r» 

. auch M. CuZTZr. in Zeitschr. f. Mathem. 42, 1897; Hist. Abt. p. 147). 

r wollen ooch anführen, daß man mit der dritten AtiiiäheiTiug des Ha^^äk 
Wgl. Biblioth. Mathem. 2^, 191)1. 38), die darin besteht, dalJ, wenn die 
tw«ite Annäherang den Wert o 4- ergeben hat, von diesem die Größe 

— J — subtrahiert wird, aneh den Nftheniogswert -^f^ir für }fS erhält; 

iia + -^) "*" 

Dinunt man ntimlich als zweite Annäherung den bekannten Wert ff ^ M"!' 
i=f 1 -u " (^)' „ 1351 

"""2(1-1-1-;) ''" 

Den Wert f J erhalt man ftUerdings nach den Formeln des Hah^A-U direkt 
'':, wohl aber die Werte -{ und JJ, ana denen sich ergibt: 
97-1-7 26 

56-1-4 15 

Wir finden femer in den Metrica (p. 49 — 6S) die Tnhaltsfornifln für die 
nplmSliigen Pol3-gone ans der Seite berechnet; Heros benutzte für diese Ab- 
'*itDagen die äätze Über das rechtwinklige Dreieck, den goldenen Schnitt, und 
ä« ,ßnoh aber die Geraden im Kreise* (p .59); es ist dies höchst wahr- 
■dttialicb das Buch über die Berechnung der Sehnen von Hivparch: bekanntlich 
Wun »uch die Araber Anü'i,-WEFA und Ei.-ÜiBÜsi Schriften unter dem gleichen 
libl mfaBt. Die Berecbnung des Dreiecksinb altes aus den drei Seiten findet 



100 



BflieaBionen. 



sioli an zwei Orten, in den Metrica (p. 19 — 25) and in der Dioptra ( 
— 285); am ersten Ort« sagt Heros: ,Es gibt eine allgemeine Methode, um, 
wenn die drei Saiten eines beliebigen Dreiecks gegeben sind, den Inhalt ohne 
die Höhe zn finden*. So würde er sich wohl nicht ausgedrückt haben, wenn 
er selbst diese Methode erfunden hiltte, dieselbe ist also älter als Hekon, and 
in dieeem Sinne ist also die Stelle in Cantors Vorlesungen (l^, p. 360) ab- 
znändem. E!s dai'f hier wohl auch bemerkt werden, daQ das .andere Bach', 
aar das an verschiedenen Stelleu der bis jetzt verOffentUcfaten Schriften Hcrons 
hingewiesen wird (vergl, Cantobs Vorlesungen 1^, p. 364, 377. 509), nicht 
eine erste oder zweite Ausgabe der .Geometrie* war, wie Caktok an den ge- 
nannten Stellen vermutet, sondern in den meisten F&llen seine Metrica. Za 
dieser Behauptung berechtigt mich der ünistand, daQ die Aufgaben, bei denen 
in der Geometrie auf das .andere Hach" des Feron verwiesen ist, sich oft 
mit denselben Zahleubeispielen und sogar oft mit derselben Worteinkleidung 
(vgl Geometrie, ed. Hultsch, p. 133, Z. 1 — 5 mit Metrica, p, 69, Z, 1^ — 4) 
in den Metrica vorfinden. Nur die Aufgabe der Geometrie p. 133, Z. 10 — 23, 
die auf eine quadratische Gleichung führt, und die Cahtor in seinen Vor- 
lesungen I^, p. 376 f. bespricht, findet sich nicht in den Metrica; es scheint 
mir auch wahrscheinlich, daS dieselbe niemals in diesem Buche sich befanden 
hat, denn sie ist ihrer Natur nach sehr abweichend von den übrigen Kreisanf- 
gaben, die Heron an dieser Stelle behandelt hat. Der Ausdruck ,in einem 
andern Bache" braucht aber keineswegs immer naf das gleiche Buch hinzudeuten, 
so hat W. SruumT schoD nachgewiesen (Biblioth. Mathem. I3, 1900, p. 313 
— 315) daß auch einige hfale mit den Worten .in einem andern Buche* der 
Über geeponiats gemeint sein müsse. 

Wir finden in den Metrica femer für die FlUche eines Kreissegment«« drei 
r. 1 __. /Sehne 4- Höhe\ „,, .. /Sehne -1- Böhe\ „,, 
Formeln, erstens: I ~ -I - Höhe, zweitens: (— — — s — 1 • Höhe 

+ Yi l— 2 — ) drittens: etwas mehr als 1^ des eingeschrieben au gleichschenk- 
ligen Dreiecks, entsprechend der Archueii ischen Formel für das Parabelsegment 
(p. 71 — 83). Bei der erst«n Formel Hegt ;r = 3, bei der zweiten 31^ Sf zu 
Omnde, wie Hrkon selbst bemerkt (bei diesen Annahmen geben n&mlich beide 
den Halbkreis richtig). * 

Im zweiten stereometrischen Teile wird die Berechnang der Volumina der 
fünf regelmäßigen Körper durchgeführt; wir werden ferner auf p. 95 und 97 
bei der Behandlung des schiefen Prismas und Oylindei-s an das Cavaliebi sehe 
Prinzip erinnert; ja dieses Prinzip wird geradezu in der Form ausgesprochen, 
wie es heutzutage in den Lehrbüchern der Stereometrie benutzt wird, es wird 
aber nicht bewiesen; wir sind der Ansicht, daß Heron dasselbe und zwar wohl 
mit Beweis im EpkoAikon des ärchimedes, oder dann in seinem Buche über 
Pliutbide') und Ojlinder gefunden haben werde. Ein solches Buch soll n&mlicb 
naob dem Zeugnis von Heron (p. 67) Archihedes veriaßt haben, und darin 
für das Verhältnis von Kreisumfang zum Dnrchmesser andere Zahlen angegeben 
haben als in der Kreisrechnung, und zwar soll es größer sein als 211875:67441, 
und kleiner als 197883:62351. In diesen Zahlen müssen Fehler stecken, denn 
das erste Verhältnis ist etwas größer als 31, kommt aber dem richtigen Werte 



') Dies sind im allgemeinen nieder 
GnmdflILcbe: Platten, Ziegel. 



Priemen, mit quadratischer oder rechteckiger 



fte; 



101 

16(3.14163), aas zweite Verhältnis ist ebenfalls größer als ff (3,17377), 
ist aber in weit entfernt vom wahren Werte; Heron reduziert aber diese gi'oßen 
Zahlen wieder auf 22:7. 

Basouderes Interesse bieten ancb die eigentümlichen Berecfaanngeii des 
Ptrraiidenstnropfes (p. lOÜ — 109) und des Obelislien {p. 113 — 117); dieselben 
Eind richtig, nenn anch teilweise nicht auf dem eiofachfiten Wege gefunden; 
es Iwffen also hier die Bemerkungen Cantors {Vorlesungen V, p. 373 — 374) 
übci die stereometiischen Berechnungen Herons nicht zu, es ergibt sich ans 
den ujgeföhiten Stellen der Metrica unzweifelhaft, daß Hebon zwischen Pyra- 
mldeistanipC und ObeÜslc wohl zu unterscheiden wußte. Auffallend ist bei den 
ZaMeobeispielen zu diesen Aufgaben die ungenaue Bestimmung der Quadrat- 
<Fiiiz«lii, so wird p. 109 die Wurzel aus 455 gleich 21 statt genauer 21^ 
angvaoniuien ; Heron scheint meistens die oHchstliegeude ganzzahlige Wurzel 
als für seine Zwecke genägend genau erachtet zu haben. S. 125 wird ein Bade- 
Kbf ab Beispiel einer Kugelscbicht berechnet, und S. 127 eine Spire (oder 
Wulst), wie sie in der Baukunst als S&ulenunterlage auftritt. 

Im dritten Teil der Melrka, der über die Teilung der Flächen uad Körper 
Uiidtlt, sind zu erwähnen die beiden ARCiiiHBDiscben Aufgaben über die Teilung 
der Kugel oberfi&che und des Kugelinhaltes durch eine £bene nach gegebenem 
VetbÄltnis (p. 171 und 185); die letztere Aufgabe wird, wie bei Ahciumbdeb, 
üitlit vollständig durchgeführt, d. b. die geometrische Lösung der kubischen 
Oleicbong, auf die das Problem führt, wird nicht gegeben. Eine sehr einfache 
Mgenlherle Konstruktion der Teilung eines Kreises durch zwei Sehnen in drei 
glficbe Teile finden wir p. 173. 

Wir haben noch einige für die Geschichte der Mathematik nicht unnichtige 
Pniikte hervorzuheben: In der Aufgabe 4 des dritten Teiles der Melrica (p. 149) 
miiBeine quadratische Gleichung gelöst werden, da von zwei Größen ihr Produkt 
^d ihre Summe gegeben sind; Hbrok gibt allerdings den Gang der Lösung 
nicht an, sondern nur das Schlußresultat, er wird also den erstem als wohl 
twiwint vorausgesetzt und deshalb weggelassen haben. ^ Heron hat für ,kon- 
pUBiil' den ganz richtigen Ausdruck loog Kai öfiOiog (gleich und ilhnlicb, 
Ilinplra, p, 256), wahrend Euklides nur den zweideutigen Taos kennt. — 
Ukros bezeichnet eine unbekannte Größe in einer Aufgabe (Proportion) mit 
iUog rlg od. ancb neutr. äAAo zl {^= irgend ein anderer oder anderes), es 
buimt <ach einfach die Abkürzung tI (= irgend etwas) vor (3fe/rica, p. 156, 
158, 182 etc.). — M. Simon sagt in seinem Evki.io und die sechs plani- 
Mnscken Bücher (Ahhandl. zur Gesch. d. mathem. WiBsensch., 11, 1901, 
p. 123), die Ausdracks weise .eine Strecke nach dem äußern und mittlem Ver- 
billois zu teilen," d. h. ökqov mit .äußern' zu übersetzen, gebe keinen Sinn, 
mm müsse übersetzen; .eine Strecke ist ausgexeichnel und nach mittlerem Ver- 
liUtais geteilt'; dieser Auffassung kann ich mich nicht anschließen, und zitiere 
'I» Beweis für die Richtigkeit der bisherigen Auffassung eine Stelle aus Hehons 
Httrica (griech. Text p. 18, deutsche Übers, p. 19); .Wenn drei Zahlen in 
Proportion stehen, so ist das Produkt der beiden äußern («Kgojv) gleich dem 
Voidrat der mittlem,* und hiervon ist der Ausdruck abgeleitet; eine Strecke 
"wb dem äußern und mittlem Verhältnis zu teilen. 

I?nd nun zu der Ausgabe H. Schönes. Wir wollen von vornherein be- 
merken, daß die Aussetzungen, die im folgenden ein Mathematiker einem Philo- 
logen gegenüber machen muß, keineswegs das große Verdienst zu achmSlern 



k 



102 



RezensioDfiD. 



vermögen, das dcb der Letztere um die mathematiBch-IiistoriBcIie Forscbang 
durch Herausgabe dieses Werkes Hekons erworbea bat. 

Die ziemlich ^aSe Zahl von Fehlern, die teils im griecbiscbeo Text, teüs 
in der deutseben Übersetzung, t«ils in beiden zugleiob stehen geblieben sind, 
hätten wohl durch eine genaue Durcblesung am Schlüsse der Arbeit bedeutend 
reduziert werden können. Ich führe im folgenden nar die wichtigsten and 
stßrendsten an, fulsebe Buchstaben im Text mag der Leser leicht selbst ver- 
bessern. (Gerade Seitenzahlen weisen auf den griechischen Text, angerade auf 
die Ühersetznug hin; wenn der Fehler au beiden Orten vorkommt, sind auch 
heide Seitenzahlen augegeben.) 

8. 19, 3: dvrf^oj'OV i^voiv wird ühei-setzt: ,in einem Verhältnis stehen', 
es sollte heißen „proportional sind' oder ,ia Proportion stehen"; VerhÄltnis 
heißt Xdyog. 

S. 20, 2 und 3 und S. 21, 4 und 5 sollten wohl an Stelle von 729 und 
720 bV ^ifl Zahlen 27 und 26 g stehen. 

S. 49, 12 soll statt f stehen |^, und S. 49, 19 in der Klammer B/" statt 
AP. Die Figur dieser Seite steht nicht am richtigen Orte, sie gehört hl^_ 
HU&satz auf S. 51. ^1 

S, 55, 13 muß es beißen 8 : 7 statt 7 : 8. ^| 

S. 61, 3 soll es heißen MZ^ statt ME\ ^| 

8. 68, 19 ist doch wohl tx tö' {== 11^) unrichtig, es sollt« heiSen 

i <- H)- 

S. 69, 2: Hier und an andern Orten äbersetzt der Herausgeber ^(diQiog 
mit .Baumstiick,' besser wäre , Fläcbenstück ' . 

S. 73. 11: .kleiner ist als AÄEB-aai. als i EZF' : hesser wRre .kleiner 
ist als 4AEB und iBZF zusammen". 

8. 77, 1; Kädetog ist hier, wie auch anderswo, unrichtig mit .Kathete* 
statt .Höhe' übersetzt. 

8. 77, 17 soll kein neues alinea beginnen. 

8. 81, 10: Statt ,um Vieles* wäre besser .um so mehr*. 

S. 92, 22 steht unrichtig «r (= 1300) statt äöfl (= 19200). 

8. 93, 10 wird dranTOS mit .irrational' übersetzt; dies ist hier nicht 
das richtige Wort, es sollte beißen .nnklagsihzierbar', d. h. die sich nicht in 
einer bestimmten Klasse unterbringen lassen. 

ä. 108, 15 gibt der griechische Text den Inhalt eines Dreiecks mit den 
Seiten 15, 20 und 30 zu 131| an, er ist aber nahezu 133|: der Fehler ist 
hier zu groß, als daß 131^ der ursprünglich von Hiskon angegebene Wert 
sein könnte. 

S. 117, 24 muß es heißen 138 statt 130. 

S. 124, 12 soll Tvß (— 352) sUtt ir»/ (= 358) stehen. 

8. 125, 21 muß es heißen 448 • -fj statt 448 - 14. 

8. ISO, 11 und 131, 12 ist 7392 unrichtig, es sollte beißen d956f und 
der Schlußsatz wegfallen. 

8. 134, 30 und 135, 33: Es ist merkwürdig, 
hättnis 127:93 nimmt, da doch 4 
und 137, 25 9:10 besser als 8:9. 

S. 148, 25 und 149, 29 sollte nach .gegeb« 
ZB. ZT gegeben'. 



ir Hbbon das Ver- 
besser wäre; ebenso wilre 8. 136, 28 



stehen : , also ist auch 



103 



8, 150, 7 und 151, 8 Ut wahrBchein lieh nach ftg {= 46)? (^ J) aus- 
g^fsllen, denn 46 ist doch zu uogenaa; dann wird auch BZ ziemlich nahe 

S. 160, 8 und 151, 9 soll es heißen ij L (= ^) statt jj [= 8). 
S. 157, 20 schreibt der Heraufigeher: 18 : 15 = 6^ ; jc = 6J : 7J; dem 
gxd«chischen Test und auch der mathematiachen Ausdrueksweise enüp rechender 

K: 13 : 15 .= 64 : a;, also ist x = 74. 
8. 182. 23 söU es heißen f/V'e a (= 8716J) statt ^äiö (= 14014). 
S. 182, 24 und 183, 25 muß statt 17248 st«hen 157 248. 
S. 183, 19 muß statt 4158 stehen 4158J. 
S._183^25 nnd_l^B4, 2 muß es statt 97050 heißen 97805, und S. 183, 26 
y97'050 y97805. Trotzdem es in diesem Art. XXII verschiedene Fehler 
ist doch das Schi u£resul tat richtig; ein Beweis dafür, daß die Fehler durch 
016 öcbnld der spütem Überarbeiter und Abschreiber in den Text gekommen 
tan werden; auch zweifeln wir daran, daß Hekon, um die Höhe FM zu äudeo, 
Üie Proportion aufgestellt habe: 

rAB + äEr-.rEz^rA' + rs^-.rM^ 

dl nialich die Proportion rAB: rHZ= F A^ -.FM' Tollstandig genügend 
geweaea wSre. 

S. 185 fehlt im kleinen Kreise die Bezeichnung des Mittelpunktes M, und 
Mf dem Radius AT des größern der Schnittpunkt Ö von Ä"^ uod AI ; tiber- 
kupt sind vei-schiedene Figuren, wie z. B, Fig. 51 (Obelisk), 55 (Badeschaff), 
i" (Cylinderbuf) etc. unvollständig und schlecht gezeichnet; der Herausgeber 
'"iti sie wohl wiedergegeben haben, wie sie im Ms. stehen, wir sind der An- 
seht, daß hier eine Verbesserung, die sich leicht als solche hUtte erkennen 
1we«n, am Platze gewesen wQre. 

Die Itioptra. Über diese Schrift haben wir nur weniges hinzuzufügen, 
du dieselbe schon Hingst (zuerst von Vincent, in den Notices et extraits 
d«s mss. de la biblioth, imp6r. 19:2, 1858) veröffentlicht, übersetzt und 
»uch eingeheiider Betmehtung unterzogen worden ist (vgl. Cantor, Yorlesungen 
\ I', p. a56£ und W. ScuiiiDT in Biblioth. Mathem. tg, 1903, p. 7— 13). 

81* igt das vollendetste Lehrbuch der Feldmeßkunde, das uns aus dem Altertum 
vUlteo geblieben ist, und jedenfalls die direkte oder indirekte Quelle für ver- 
•liiedene römische Feldmesser, wie z. B. Columella und die Verfasser des 
■Cüdei Ärcerittuus". H. Schöne stand allerdings noch ein ausgezeichneter Codex 
"r VerlBgung, den Vincent noch nicht gekannt hat, nämlich der Pariser Codex 
Oupul. graeca n* 607. Aber auch dieser Codex ist nicht fehlerfrei und lückeu- 
'w. so fehlen zwischen fo). 62 und 63 sehr wahrscheinlich 4 Blätter, und ist am 
Mlnsse Kap. XXXV, über die Bestimmung der Entfernung zweier Orte auf der 
^oberfl&che mit Hilfe der Beübachtung von Mondfinsternissen, sehr verderbt; 
Mch gehörte XXXVII wahrscheinlich ursprünglich nicht der Schrift über die 
l'ioplia an. 

Als interessante Kapitel sind hervorzuheben: I^V: Beschreibung der Dioptra; 
*V: eineu Berg in gerader Linie zu durchstechen, d. h. einen Tunnel durch 
duiHlbeD abzustecken; XX: Wenn ein unterirdischer Kanal gegeben ist, auf dem 
totliegenden Boden einen Ort, d. b. einen Funkt zu finden, so duß ein von 
^iewni senkrecht bin untergeführter Schacht auf einen bestimmten Punkt des 
Kuals trifft; XXIV: die Vermessung eines Grundstückes mit Hilfe einer Dia- 



k 



104 Reiensioiien. 

gonale und darauf gefällten Senkrechten (Ordinaten); XXV: Wenn die Grenz- 
steine eines Flächenstückes yerschwunden sind und nur zwei oder drei derselben 
noch übrig sind und ein Handriß (Mimema) Yorbanden ist, die übrigen Grenz- 
steine zu bestimmen ; XXXIV: Beschreibung des Wegmessers; XXXV: Bestimmung 
der Entfernung Yon Alexandria und Born (verderbt). 

Von Fehlem habe ich nur folgende zu erwähnen: S. 219, 20 — 21 soll es 
heißen: .die ganze Strecke AB aber ist = 50 Ellen* statt .die ganze Strecke 
AB also s= 50 Ellen*; denn dies folgt nicht aus dem vorhergehenden, sondern 
hat sich durch Messung ergeben. 

S. 251—253. Der Art. XIX ist im Schlußalinea verderbt; S. 252, 18 
— 21 (Übers. 253, 19 — 23) soll der griechische Text verbessert werden, wie 
es von Vincent geschehen ist, und die Übersetzung soll lauten: , Nachdem wir 
wieder JßJlf senkrecht hui AT gezogen haben, machen wir ZN=^ FM und BK 
=t N3] und nachdem wir dasselbe mit AM wie mit BM gemacht haben, 
werden wir . . . •. 

S. 255, in Fig. 101 sollen die Buchstaben W und Q miteinander ver* 
tauscht werden, oder dann sind die Buchstaben im Texte falsch; in der Tat 
stimmen diese nicht mit denjenigen der Ausgabe Vincents, obgleich die Buch- 
Stäben der Figuren in beiden Ausgaben die gleichen sind; doch finden sich 
auch bei Vincent Fehler im Text 

S. 258, in Fig. 102 müssen die Buchstaben A und A vertauscht werden, 
ebenso ist statt B in der obem Figur H zu setzen. 

Zürich. H. Suter. 



Neuere chie neue Schriften. 



Neuerschienene Schriften. 



■' Du Ziehen * liedaalet, diO die betreiTende Sobrifl ict Redaktion nicht vorgolegan bi 



Autoren-Register, 




Gerland, *». 
Onvalftir, M 
Onndellliiger, 



Hermlte.'TZ 
HeraenbiTg, W. 
HiiBoh. ». 
Bolden, 19, 
Hoppe. 54. 
HoiunuiD, 16. 
HayKenB, 46, 
JonrdBiu, bl. 
EKgBII, loe. 
Kkpteyn. 3. 



Lebon, 18, 
Lsibnii, 48. 
LopaÜD, ei. 
L6ffler, 93. 
Lorsy. 99, 103. 
Lorln. 42, 44, BS, 1 

UanlUna, 26. 
Mnnltlna, 3Ü. 



HUUer. Coond. 53. 



5, 5fl. 



ft) Zaltaohriften. AUgemetaes. 

AbhandlungeD znr Oeschicbte der mathe- 

matiicben WiBsenachaftea. Leipzig, 

Teubner- 8*». [1 

- iReEflneion des 



I (ISDSI. — 11 (1906), - 
attUa 18:1 Nne York, Am«.. 
~ lletln 1*,, 1908, 314—315. 



iD. E. ; 



SR. fi(jTKB.t — Zeitschr, für mUbeis. Unten. 
17, 1806, 57-5S. (S. ObuTuiia.) 

Bibliotbecft Matbematica. Zeitschrift für 
Gescbicbte der mathemati Beben WieBeu- 
iebaften. Herausgegeben tod G. £ke- 
»TBöu. Leipzig (Stockholm), S". [2 
<ti(1905);4. — rRezsPBion du Bandes i,:] 
BnaxSei, HoA.Kienl .Bevuadwaaggt. BOlent, 
>,, 1K6, 658-660. (H, Bok-aks,) 

Berue semeitrielle des publicitioQB mathe- 
matiqnes, r^dis^e eoua les auipices de 
la eocietd matD^matique d'Amsterdam 
par H, DK Vbiek, D. J. Kobtewui, J. C. 

kllTVEH, W. KiTTKVN, P. H. SoHOUTK. 

Amatcudam, ^''. [3 

14:1 (M-ril-OOtobie !9Ö5). 



Pinrpsut, 61. 
Poloou«, 84. 
BudiM, T.V 
Rndio, IDT. 
Bataoate. S. 
BohUlB, III. 
Hobnt, 56. 
Sf stiert. 16. 
Siman. 62. 
Amltb, 20. 

SM. 69. ' 
Sti«it]es. TS. 
TMinerj, M, 41. 115. 
Tsiieira, 11. 



r Onchlcbt« der 



4). [Kleine Bunerlinn- 

- [Kleini „_„., 

Bikliotli. Halhsm, G,, 19Qä. 38.')— «OS, (O.läii- 
iTKe», C. Omö»blai>.) _ S>(1S01), [Kleine Ba- 



een:] Blbllotb, Hathem. i 

KmiTüOi..) — 3>(llia)). [Klein« Benierhungsn :1 

-...._.,. ., ., . » . — — ,.„ .-j 'Jjg,. 



merkungen;} _ _ 

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Neaenclueiieue Schnnen. 



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Triieziocie d«11' »ugolo. [10 

BiviM* dl BOtt iPkVJk) 4: 1, 1B03, 37;-~3&l, 
442-153; 4: 2, IBtÖ, J-ia, 1«-3J, 228-241, 
»■a-aa ~ Der diitu Teil Ut kach 



„ e t, ieOB-l«Ot, 21— W. — .— 

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BcTOC dn qocM. fClant. S), ISM, flK3— aa&. 
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•La Cour, P. nnd Appel, J., Die PhjBik 
auf Grund ihrer geichichtÜchea Eat- 
wickelu&g für weitere Kieiae iu Wort 
ond Bild dATgestellt. Autorisierte O'bei- 
■etsung TOD Q. Subebt. Braunschweig, 
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Taau.ai.u, Buuiuir. 



Ball, W, K. k.. 



H«7Mhl, T., A brierhietOTT <tt Htm Ji 



geaoota., Kim« anUet 



b) Oeschlohte des Alt«r»Bma. 



lullet, d. M. lOKtUB. 



UPrlhaoaV. Oli- 
liSqM. [BMCMka :] 
M,. tut. «-*«- 



Mewbold, W. R., Philoiaiu. 



BcÜMr;, 1. h^ Mathera&tJKliea an Ariatotelu 
IIKHi. (itcuanoa;) BnarHn, See. Kieot.. 
B«VBe dee i(B«t. (cient. •,, ISO«, eei-aO. 
(H. Buuiiiri.) — A'nc Volk, Amcric. ■Mbam. 
B(>c..Bal]etin.lI,,l90e,3l4-3I5>. (D. B.Swtb) 
— LenadKneneat matfatm. S, IWW, 161. iB. 
erm-i — Zeliaehi. fnr matbeai. UnMn. I', 
1S08, 5T-SS- i3. ßniTan ) [35 

Naafllu. H., AitronoDioon . ree. A. K. Bat*- 
■u ilSOli. [Beuuiao:] DwitKba Lilentin. 
17. 1900. 477-482. (F. Bon..) [■» 

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t", Ifi S. — [I Mk.] 

Haas, A, E., über die Originklit&t det 
uhjBikaliicheii I^ebren de« JohaimeB 

Philoponna. ■ [2S 

Biblioib. UaUieni. H 1^6. S3T-342. 

c) GeBchlchta des HittelAltera. 

>d. C. A. NiLuiio 

Vrr, Soc. SFiepl.. 

, 190S. GGS-m. 

[W 

r Am 



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geometrica. 
Heimei 41, 1906. 



Isrtel, T., Note biitorique sar l'emploi de pr 
cMCa mat^rielB et d^stmiaeDts osii« nu 
Ik EMmfetrie pntiqae nn ncyen Ak« 119051. 

"■ ---\ ßnllet. ■ -- -" 



[sa 

'emploi de pi 

„.-yen Ak« 1190-,. 
- , - -- maih«m. sOj. IM, 

4«. IJ, T.j ill 

Tannery, P., Lee ephemändes chei lu 
ByuntiDH. [ää 

Ballet d. gg. DUthtm. So,, 1906. 98-6S 
BOBDiaug, H., Lea tiaTAui de H. A, Ft- 
Taro Bur fj^onard de Cr^mone. [33 

Braxrlia, Soc. »tienl. , Revoo ita ijaeit. Mient 
8), 1906. 6CT-669. 

d) C3«3uliiclit« der neueren Zeit 
GraifUar, N. L. W. A., De leerwijie 
Vau Ferrari voot de oplosajugeu der 
vergelijkiiigen van den vierdeu «W- 
U. [34 

Wlakandig lijdHclirifl 1, 19üä. 107—171. 



Neuerachieaei 

KeBtrfim, 6., Über die Enhleckung des 
Zusammenbange» Etviscben den Wurxela 
einer Gleicbung und der üleicbunge- 
koDBtaute. [35 

Bibiiotta. Matbem. 6], 1905. J(n-41U. ~ Au- 
flage. 

rarrnra, B., L'aunicaiqae num" nelU bco- 
pertadellemacchieBolari Romal9()6. [36 
4", V 4- 183 S. - [ä lire 1 - Aub/iik nus da» 
(zum Teil noch oiobt vaiöffeTitlicbteDl He- 

ma!ä> dci Nnovi Linc'el U-34. 
*Wablwlll, E., Galilei-Studien J. Die 
PiBaoer Fallversocbe. [37 

H it teil un gen ßlr Geschichte der Msdizia und 
N>tniwiisBiuc!ikrteii 4. IWe, 347— 21B, 
Baeliet da MMiXat, t, 0,, FrobUmes plkisants 
et ddecUbltt Ed. 4 (19(ia). lEtezeasion :J 
Bullut, d. ac. iDftlb^. lOj, leOd. 5. iD. J I 



*Dnh«m, P., Beroardino Bnldi. fioberval 
et ßegc&rteB, [Se 

BuUetin llalieD 6. leoe. 
MUbaud. G>, Deacartee et U Geometrie 
aiialytique. [40 

Revo« aolent. Sj. IMii, 79-80. 
TaiBCTy, P.. Sur nne emar niathtniati<)ae de 
Deacjvries (1S04). [BCEension ;] firiu«ll<'9. Sw. 
' - , Bevaa dei i|ii«t. aolsot. 9], 1906, 



B7a-irfe. (H. I 



[*1 



Loiia^ ^-f Sopift UDi troaformgixioiie di 
coDtatto ideattt da Femat, [42 

Blblioth. U&tham. 6]. Ift». MS-34«. 

Dnhein, P., Le principe de Pascal [aur 
Tsquilibre dei liqueuia]. Eaaai bieto- 
rique, [43 

Oevnc giait. d. sc 16. 190b. &9S— 610. 



geliat& TDiTlcelll [ieoi|. IBexeoBlon :; 
Boe. acient., Revue dea qutat. acient B], lUOQ. 
6B9-67U. [« 

Euebtrüm, 6>, Cber den Urspruiig dea 
Termea ^ratio aubduplicata". [45 

Bibliotb, Hathent. ti,. 1605, 410. — Antwort 
nnf eiae Anftage. 



Vahleo, J., Eiinnerangen an Leibniz. j 

Feittede. [47 1 

Brrli», Akud. <!. Wlsa, 31tzuugal>er im, \ 
»il-«:i. 
Gerland, E., LeibnizeuB uachgelasaeoe ^ 
Schriften pbysilialiacIieD, mechani sieben 
und teobniflchea Inbalta. Herausgogebeii i 
und mit erläuternden Anmerkungen 
r ergeben, [48 

Abhandl. ini OcbcIi. <1. matbem. Wiu. 31. . 
1906. 71 + 256 S. - (Wllb.] 
Capoul, D.j Gli BTilnppi di Leibniz e 
Newton. Patermo 1905. [49 | 



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Miiir, Tli., The thooty of detormiuanta 
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1841, Parti], Special (iaterininautfl iip 
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IHezenaion:) SruzeUen, Soo.sclenl.. ReTue dea 
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Uaterr. S7, 1906, ad. |S. GUktuu.) [Kl 

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|59 



1905, 6 



108 



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3-S4a. — Ranüob. 



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1906, 103— I3S. 



Bol; 



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Istit. Lambarda, RendicOBtl S»,, IB06, !)5— 

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Friedrich EliBflUhr (1831—1904). [86 

Leopoldina 40, 1904, 76—77. 

Joaeph David Everett (1831—1904). [87 

Umdon. Royal loc.. PTDreedinei 7S. 19&, 
377-380. 
Üaspare Stamalao Femri (1834—1903). [88 
Roma, Accad. d. H. Lincei. AtÜ 57. 1904. 
61-67. (G.Ouvaao) 

Joeiab WilUrd filbbs (1839-1903). (89 

Londan. BoTal soe , Proe«cdiiigs 7G, OOö, 

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1905, al-30. 111-125. (C Al*ii*.> 

Guido Hauok (IS45— 1905). [M 

Züitselic. für mathem. Ünterr. »7. 1906, 71—76 
[mit Portiätl. «G. HiuBaKsno.) 

Charies Hernite (1822-1901). ^ [«1 



IIks 



i hiitoriiiue i 



■ Chjm 



linpi 73. 
1, I««, Sl 



[M 



,1 Bibiiotb. 



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Robert Blllwlller (1849-1905). [80 



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Tim. Blätter 1. 1904, 32—33. (R Lornjia.) 

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LDDpoldioa 40, l'J04, 110. 

Julius Lange (1846-1903). [95 

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■Innu (Berlin) ISM. ^3—29. (B um.; 

Samuel PierpontLaagley (1834— 1906). [98 

Sclenc« !>,. 1906. 4%. 
SophuB LIb (1842—1899). [97 

ZoTuton, Royal lou.. Prooeedingi TG, IVOB, 

Miguel Herlat (1831—1905). [98 

Madrid Acad. de cienelu, Aniurle liUI, 
145—167, i£ie— 239. — Gaeeta ds matem. 3. 




Nonerechienene Subriften. 



n. (1798-1895). [99 

■ftUMB-nMilrw. ßUUtX I, ISW, liO-m. 
(W. Lo«. ) 

r«9^0T PttTMlMwtklj (1828-1904). [100 

Yjatoik Bl«m. iul«ni. 81, ISO), SO. 

GB«i<^ PWe (1843-1904). [lOl 

Manu* ;o. im. «w-ü;. 
JV<4o1ph PttzlBT (1838—1905). [102 

Li..«. W., Zum OeddMtUi an Anou-ii 
FmiKi,. OurUU 1S06. ».IB. 



'VV-iIhelm Sobtll (1826—1904). [106 

Qk»U da matem. 1, ISOS, 101—101. - Leo- 
poldlDk «0, 1904. m 

■Wilhelm Sohnilirt (1862-1905). [107 , 

Bibliotb. Hatfaem. S, IS05, 354—386 [mil 
Porttil OBd SchtlftvarxelahDia]. (P. Rvoin.] 

". V. Ssb«r ( t -1904). [108 

2e«lDik elam. niKtsm. 11, IBM, 50~ei. 18, 

a«MnK«Q>brielSMin(18I9-l90S). [109 

Imdtm. R(7>l aoo., PraoeeiliDgi T(, 1BC6, 

P»til TMHry (1843—1904). [110 

KcToa d« id«ca (PBriiJ S. 1X6. U S. (O. 
Kii.nArsJ — Thenutbem. guett« S, ins. 168. 

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M, 1305, Ml— 563. |F. Sriiet,!..) 




Eduard Weyr (1852-1903). [113 

äuopi» pro pSstov. nwtBm. M. IWi, 457- 
— ' - SchriftTBrteiclmlgJ. (K. Pbt«, J. 



b) Aktuelle Fragen, 

Tann er;, P., Lea aocii-Ma aiivButBB et 
rbistoire dea b * 

Bulletin dia BoiBnoeBtc . 

dB DamlU des triLTtu biBtoriques et sdan- 
tinijuea 19<M (Parle 1906). 367-071. 

Amodeo, F„ Sni corea di etoriK delle 
eotPDxe mfttem&ticbs nell& i. univenitä 
di Napoli. [116 

Bibliotb. Matbem. 6,, 19(13, 387-393. 
Yonng, J. (V. A., The movement for 
Teform in tbe tesching of UMtemstics 
iu PrnaBis. [117 

Ntjc Torlc. AmerlB. matfaem. aoo.. BullGtln 

it,. 1904, aK-aa. 

Lorl«, 6., Vergangene und kSnftipe Lehi- 
pläne. Rede gebalteu zu MmIbuH den 
2S. April 1905. ÄutoriBierte OberBetzuui^ 
TOD H. WiELEiTNKB. LeipEig. Göscheu 
1908. [118 

KnU», B. fl.. Oebrauch und kUübnueb bifl«- 

rlacber Benennnngeii In der Halbemallk (ISOS). 

(RetBDsion;] MBtliwia »,, 1906. 89-7(1, CP. M.) 

1119 

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reBBArcb. [120 

ülinburah, Royal Boc. , Prooeediags 28, 1905 
—1906, 51-64. 

[ Engliacbe Mfttbematiker - Verennimtuug 
1905.] |121 

Natnre 72, 19(6.640-641. 



Wiagenschaftlicbe Chronik, 



Wissenschaftliche Chronik. 



EmeuuiingPD. 

- Professor E. A^snis« in Manchen iura 
Direktor der Sternwnrte in Gotha. 

— Ür. B. B- BoLTWuoi. in New Haien 
mm Profepsor dar Pbyiik an der ,Yale 
university" daEelbst. 

— Professor H. A. Bi-msteau in New Haren 
EUm Professor der EiperimentalphjHik an 
der .Tale universitf" daselbst, 

— Dt. H. DiFLAc in Greooble »um Pro- 
fessor der Mathematik an der .Facult^ 
des Sciences" daselbst. 

— Dr. G- Fi-Bisi io Catania Eum Pro- 
feuor der heberen Analysis an der Univer- 
sität daBelbst. 

— Professor Jul. GHniütB in Prag zum 
Professor der Mathematik an der Uni- 
versität in Innsbruck. 

^ Professor J. G. Haoeh in Wsebington 
Kum Direktor dsi vatikitni sehen Stern- 
warte in Rom. 

— Professor A. HtnExBAcn in Aachen 
zum Protessor der Physik an der (Tni- 
versttät in Basel. 

— PriTatdozent F. Haskmömiii. in Wien 
zum Professor der Physik an der Tech- 
nischen Elochschule daselbst. 

— Dr. N, A, Kkni zum Professor der 
Physik an der Universität in Boston. 

— .Lecturer" C. U. Lss» in Manchester 
mm Professor der Fbysik am „East Lon- 
don College". 

— L. A, Mahti» in Hobokon, N. J,, sum 
Professor der Mathematik und Mechanik 
am „Stevens instttute of technology* da- 

— H, R. Mfur^AS in Washington zum 
Direktor des „Morrison cbserratory* in 

Glasgow, Missouri. 



— Professor F. Pokbo in Genua xoin 
Direktor des »Observatorio astroDomico 
nacional" in La Plat«. 

— Dozent J. Phetht in Danaorer «um 
Professor dpr Eiperimentalphysik an der 
Technischen Hochschule daselbst. 

— Professor M. RiUiakowioz in Innsbruck 
zuro Professor der mathematischen Physik 
an der Universität in Caemowiti. 

— PriTatdozent H, Rkissmeh in Berlin 
zum Professor der Mechanik an der Tech- 
nischen Hochschule daselbst. 

— Privatdozent W. Schldtk in DarmstadI 
zum Professor der Mechanik an der Tech- 
nischen Hochschule in Braunschweig. 

— Professor T. S<-nw*Ri snro Dir«ktor 
der Sternwarte in Kremsmünster. 

— Privatdozont E. voa ScHVKiuua in 
Wien tarn Professor der Physik an der 
UniversitSt daselbst. 

— Dr. 0. S. Stktsob in Sjiacnse, N, J., 
zum Professor der Mathematik an der 
Universität daselbst. 

— Dr. L. P. WaEKi.ni in New Haveo 
Kum Professor der Physik an der ,Ya1e 
university* daselbst. 

— E. T. WniTTAKBH in Cambridge zam 
Professor der Astronomie an der Uni- 
versität in Dublin. 

— Dr. E, B. WiLBos in New Haven anm 
Professor der Mathematik an der ,Ya1a 
universitf* daselbst. 

— Dr. C. VAU WiitsKLiicnu in Amatordam 
num Professor der Mathematik an der 
Univorsitäl in Groningen, 

TodesnUle. 

— Gustav Balkr, Professor der Mathe- 
matik an der Universität in München, ge- 
boren in Augsburg deu 18. November 1820, 
gestorben in München den 3. April 190€. 



WisBeDachaftlicho Chronik. 



B Cum:«, ProfoBBor der Phj-aik an 
der Universität iu Paria, geboren in Paris 
den 15. Mai 1S59, gehtorben ilaaelbat den 
19. April 1906. 

— GönAN Dnj.MKB, früher Professor der 
Mathematik an der Universität in Upsala, 
geboren in Ovtken (Jämtland, Schweden) 
den S6. April 1832, gestorben m Sofielund 
(VänudOn, Schweden) den 28. Man; 1906, 

— S.tMUKL PiKnpoNT LANOMtv, Aatronoiti, 
Sekretär der .SmithaoniBn institution", 
geboren in Boston den 22. August 1331, 
gestorben in Wasliington den 27. Feliruar 
1906. 

— Dakici. GKQHri LiNriFiAREN, Astrononi, 
frfiher Sekretär der schwedischen Akadomie 
der WiaaeDBcbaftCD, geboren zu Askebj 
(ÖBtergötUnd, Schwedeo) den 27. Juli 1819, 
gestorben in Stockholm den 5. Hai 1906. 

— Hermann Lohbebü, Profeaaor der Phyaik 
an der Universität in Bonn, gebaren in 
Biebrich a/Bb. den 2. März 1831, ge- 
storben 1906. 

^ GABRrEL Olthauare, ProfesBor der 
Mathematik an der üaiversitSt in Genf, 
geboren in Genf den 18. Juli 1816. ge- 
storben daselbat den 10. April I90G. 

— JAMKsMiu.sPiKitcK.Profeasor der Astro- 
nomie ao der .Harard univerBitf" in Cani' 
bridge, Maas,, gestorben in Cambridge, 
Mrbb, den 21. März 1906, 71 Jahre alt. 

— Alkiahder PoruKK, Profeaaor derPbjaik 
um elektrischen Institut in St. Petersburg, 
gestorbeu 1B06. 

Torlesnngen über Oesclilcbte der 
matbematlgcbeo Wissen sc harten. 

— An der Universität in Berlin hat Pro- 
fessor W. FoBSTEB für das Sommersemeater 
1906 eine zwaistündlge Vorlesung über 
Geschichte der Astronomie im Altertum 
nu gekündigt. 

— An der UniTersität in Greifswald hat 
Priratdozent Bebo für das Sommersemeater 
1906 eine Vorlesnng über Geschichte der 
Physik im Zeitalter NuwruK« angekündigt 

— An der UniTersität in Halle hat Pri- 
vatdosent F. Behnstbin für das Sommer- 
Bemester 1906 eine zweistündige Vorlesung: 
.Geschichtliche Übersicht über die Haupt- 
gebiete der reinen Mathematik* ange- 
kündigt. 

— An der UnirerBität in Münster hat 
Profeuor J. Plusuakh fdr das Sommer- 



aemester 1906 eine einstündige Vorlesung 
über Geschichte der Astronomie ange- 
kündigt, 

Prelsrrftgen {felehrter Gesellsehafteu. 

— Soeictf: scieniifi'/ue de Bruxellea. 
Concoors de rannte 1906, Perfectiouner 
UQ point du calcul fonctionuel. 

— Sociflf. Jiollandaise dt« scwticM ä 
Maarlem. Concours de l'anu^e 1906, 
In the CBse of constant cnrvature, the 
determination of the volume of tlie 
tetrabedron in elliptic Space of three di- 
mensiona reduces to that oftfaehTperspace 
tetrabedron {extension of the notion of 
apherical trigonometry) in space of fonr 
dimensions. It is required to collect the 
literature relative to tho determination of 
the latter Tolume and to extend the theory 
in some important point (See the memoir 
of ScHLAj-Li, Sienw archief Toor wiskunde, 
2Dä series, rol. 6, 2"^ part, page 199). 

Termischt«s. 

— An der Technischen Hochschule in 
Wien hat sich Privatdozent F. STBiruz in 
Brunn als Privatdozent tiir Geschichte der 
Naturwisseu Schäften habilitiert. 

— Itas Heft 1:4:1 liei Eicifehpedie des 
sciencfs math^inatiqiiei bringt die erste 
Nummer eines Anhangs : Tribüne pu- 
blique, die dazu bestimmt iat, ein Sprech- 
aaal für die A'anzÖaiBche Ausgabe der En- 
zyklopädie KU aein. Darin werden nämlich 
Verb esserungavorach läge und Erggnxungen 
aufgenommen, und es scheint auch die 
Abeicht des Herrn Molk zn sein, durch 
die Tribüne gelegentlich Auskunft über 
aolche literarischen Fragen zu suchen, 
die den folgenden Heften dea Werkos ge- 
bären und von den Mitarbeitern selbst 
nicht erledigt werden können. Vielleicht 
entachließt sich Herr Molk, den I'lau der 
Tribüne allmählich zu erweitern, so daß 
sie zuletzt auch Aufsätze über Ensyklo- 
pädie-Fragen, z, B. über zweckmäßige 
DarsteUungsweiBO und Begrenzung von 
Enzyklopädie-Artikeln, umfassen wird. 

— Ija cinqni^me aection du congrf;s in- 
teniational de pbilosophie, qui ae tenait 
ä GenHe en 1904, adoptait un vccu re- 
latif it l'enaeignement de l'histoire des 



k, 



112 



WiBsenBchafÜiche Chionik. 



lo que des rudiments d^histoire des 
Bciences soient enseign^e en memo temps 
que les sciences elles-memeB et par leB 
memeB profeBBeurB danB leB eiabÜBBe- 
mentfl d'enBeignement; que cet enseigne- 
ment, tout ^^mentaire d'ailleurs, Boit 
rendu obligatoire par les programmes et 
re^oive une Banction danB leB ezamenB; 



2o que, dans les univertii^ TenMig- 
nement regulier de lliisioire de« 
enceB Boit asmir^ par la cr^tion de eomoti 
diviseB en quatre series: fciencee 
th^matiques et astronomiques; eeieneei] 
physiquoB et chixniqne«; Boieneef 
turelleB; m^ecine. 



^^H Vurlag vfin B. G. Tenftner in 


Itipzipr. 


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JLIOTHECA MATHEMATm^ 



ZEITSCHRIFT FÜE SESCHICHTE 



MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



rtnoiitKnetirDES 



GUSTAF ENESTRfiH 

151 STOfTKIlOI.U 



3. POLöB. 7. BAND, 2. HEFT, 
un I isxTngmn. 



ACHOHOIBBN AH 1«. ORTOEiaH IVV« 



sit UND VBBLAf; V()N n fi iHlTHNEH. 



114 



FTeinhuii Si't 



die Aawenfliiug der Nuunerprobe. Hier haben wir noch binzuzufü^ 
dnB keine komplementüre Multiplikation in der ÄbhandluDg vorkommt, 
daB el-Nasa\v( nichts von den verschiedenen zusammengesetzten Brueh- 
formen weiß, die bei EI^Kariiii und besonders bei den Weatarabem 
ki^HahsAii und kIi-CJalasAd! vorkommen; daher sind auch seine Operationen 
mit Brüchen viel einfacher als diejenigen der genannten Mathematiker, 
und unterscheiden sieb im ganzen von den nnarigen fast gar nicht: so 
sagt er z. B.: zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man 
Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, und das erst« 
Produkt durch das zweite dividiert- Bei der Division wird sowohl die 
Begel angewandt, daß man den ersten Bruch mit dem umgekehrton zweiten 
multipliziert, als auch die daß man die Brüche auf gleichen Nenner bringt 
und dann die Zähler durch einander teilt. Es wird daher auch kl-Xabawi" 
recht haben, wenn er in der Vorrede sagt, er habe die weitschweifige Dar- 
stellung einiger seiner Vorgiinger zu vermeiden gesucht; deshalb mag er 
wolil auch als ein recht kühner Neuerer unter den arabischen Rechneni 
betrachtet worden sein, und sein Buch vielleicht keine gar große Be- 
achtung gefunden haben, wenigstens bei den Arabern nicht, vielleicht 
mehr hei den Persern. 

Für uns ist von besonderem Interesse die Wanselausziehung, und 
deshalb hätten wir gewünscht, daß er dieser eine etwas eingehendere Be- 
handlung hätte zuteil werden laBsen; aber wir mÖBsen annehmen, er habe 
sich aus praktischen Gründen so kurz gefaßt, da die Finanzbeamten der 
Bujidischen Statthalter nur wenig in den Fall gekommen sein werden, 
Quadrat- und Knbikwurzeln ausziehen zu müssen. 

Quadratwursel. ^^ 

Als einziges Beispiel gibt kl-NasawI y57342'). Zuerst setzt er ^f^k 
Verfahren allgemein (ohne Beispiel) auseinander; diese allgemeine Dar- 
stellung lassen wir weg, sie ist auch sohlecht geschrieben und enthält 
verschiedene Lücken. Nachdem er das Beispiel aufgestellt und die Ein- 
teilung zu je 2 Stellen von rechts nach links erwähnt hat, fährt er fort:*'l 
Fol. 72". Die Wurzel aus ö ist (angenähert)-^) '2, stelle dieses über 
das ü und unter dasselbe, multipliziere das obere 2 mit dem untern, dies 
gibt 4, subtrahiere dieses von 5, bleibt 1, dann verdoppele das untere 2, 
und verschiebe (das erhaltene 4) um eine Stelle nach rechts, wie folgendes 
Bild zeigt: 



1) Ein Wiuxelzeidien kommt bekaantlicb bei ei.-NasawI niolit vor. 

3} Wir gebea «u beseerem VereUndniH eine EJemb'ch freie ÜberHetiang des 

3) Das EingekUmm^rtc hier und im folgeodeu steht nicht im Hb. 



über das Rechenbuch des Ali ben Ahmed el-Nasawi. 115 

1. Bild: 2 Dann suche eine Zahl^ die^ wenn du sie mit dem 

17342 4 multiplizierst und mit sich selbst und die 

4 Summe dieser Produkte von dem Rest abziehst, 

entweder nichts oder ein neuer Rest übrig bleibt ^), 
diese Zahl ist 3; setze sie unter das 3 und über dasselbe und multipliziere 
sie mit dem 4 der untersten Zeile und mit sich selbst, subtrahiere das 
Ergebnis vom Rest, verdoppele das 3 (hinter dem 4) und verschiebe die 
untere Zeile um eine Stelle nach rechts, so hast du folgendes Bild: 

2. Bild: 2 3 Nun suche eine dritte Zahl auf die gleiche 

4442 Weise und uater denselben Bedingungen wie 

46 vorhin, sie ist 9, setze sie unter die letzte Stelle 

des Restes (unter das 2) und über dasselbe, und 
multipliziere sie mit der ganzen unteren Zeile, 2) und subtrahiere das Pro- 
dukt von dem Rest, verdoppele dann das 9 (hinter dem 6) und addiere 
noch 1 hinzu, so hast du folgendes Bild: 

3. Bild: 2 3 9 Nun ist die Zahl der obersten Zeile 239 die ge- 

221 suchte Wurzel, und den Rest (vom Radikanden), 

479 das ist 221, setzen wir als soviele Teile von 

eins, als die Zahl der untersten Zeile angibt, 

221 
also gleich ^g-^)- Der Grund hievon ist, daß die Quadrate je zweier 

aufeinander folgender Zahlen der natürlichen Zahlenreihe sich um das 
Doppelte der kleineren mehr eins voneinander unterscheiden. 

KuhiJcwureel. 

Auch hier lassen wir die allgemeine Darstellung, die dem Beispiel 
vorangeht, weg, da sie ohne ein solches geradezu unverständlich ist. 

Wiederum gibt el-NasawI nur ein einziges Beispiel, es ist y3652296. 
Nachdem er die Einteilung zu je 3 Stellen von rechts nach links erwähnt 
hat, fährt er fort: 

Fol. 73"^ — 73\ Man setze 1 (d. i. die angenäherte Wurzel aus 3) 
über das 3 und unter dasselbe zweimal, ziehe 1 von 8 ab, so hat man 
folgendes Bild: 

1. Bild: 1 Nun wird das 1 der untersten Zeile verdoppelt, 

2652296 und das oberste 1 mit dem erhaltenen 2 multi- 
1 pliziert, und dieses Produkt (2) zu dem 1 der 

1 dritten Zeile addiert; dann das 1 der obersten 

1) Dieser letzte Satz fehlt im Ms. 

2) Daß aufeinmal 2ab -\- h^ gebildet und abgezogen wird, ist hier etwas anders 
und deutlicher ausgedrückt als vorher. 

3) Dieser Bruch ist im Ms. in Worten geschrieben. 

8* 



116 Heinrich SrxKB. 

Zeile auch zu dem 2 der vierten addiert, hierauf das 3 der dritten Zeile 
um eine Stelle, das der untersten Zeile um zwei Stellen nach rechts ver- 
schoben, so hat man folgendes Bild:^) 

2. Bild: 1 Nun sucht man eine Zahl, die so beschaffen ist, 

2Gr)229() daß, wenn man sie mit dem untersten 3 multipli- 
3 ziert und mit sich selbst und diese beiden Pro- 

3 dukte zusammenzählt und zur Zahl der dritten 

Zeile hinzufügt, und diese Summe mit der gefundenen Zahl multipliziert 
und dieses Produkt vom Reste abzieht, dieser Rest entweder verschwindet, 
oder wieder ein Rest übrig bleibt, 2) diese Zahl ist 5; setze sie hinter das 
8 der untersten Zeile, und in die oberste über das 2, dann multipliziere 
sie mit dem untersten 3 und mit sich selbst, (addiere diese Produkte) 
und füge die Summe zu dem 3 der dritten Zeile hinzu, und multipliziere 
das Ganze mit dem gefundenen f) und subtrahiere das Produkt von dem 
Reste, so hast du folgendes Bild:^) 

3. Bild: 1 5 Nun wird das 5 in der untersten Zeile ver- 

27729() doppelt, zu dem 3 (bezw. 30) vor ihm hinzu- 
475 gezählt, (gibt 40), dieses mit dem 5 der obersten 

35 Zeile multipliziert (gibt 200), dieses zu 475 hinzu- 

gezählt (gibt G75), das o])erste 5 ebenfalls zu dem in der untersten Zeile 
(erhaltenen 40) hinzugezählt, (gibt 45), dann die 3. Zeile um eine, die 
4. um zwei Stellen nach rechts verschoben, gibt folgendes Bild:^) 

4. Bild: 1 5 Nun wird eine dritte Zahl gesucht, auf dieselbe 

277296 Weise und unter denselben Bedingungen wie 

(i75 vorhin, diese Zahl findet man gleich 4; setze sie 

45 hinter das 5 der untersten Zeile und in die 

oberste Zeile über das 6, multipliziere dieses 4 mit der Zahl der untersten 

Zeile (45) und mit sich seH)st, (addiere diese Produkte), und füge die Summe zu 

der dritten Zeile hinzu, und multipliziere das Ganze mit dem gefundenen 4, 



1) In diesem zweiten Bild ist also das 3 der dritten Zeile nach unserer gewohn- 
lichen Bezeichnuugsweise = Sa^, und das unterste 3 = 3a. Im ersten und zweiten 
Bild stehen im Ms. hinter dem 1 (bezw. 3) der dritten Zeile noch 6 (bezw. 5) Nullen, 
die ich weggelassen habe. 

2) Die Worte „dieser R^st entweder übrig bleibt" stehen nicht 

im Text. 

8) In diesem 3. Bild ist 277296 der neue Rest; 475 ist = Sa« -^. (3« -\- h)b 
= 3a2 -}- 3a6 -f" ^^^ wenn a = 10 und & = 5 angenommen wird, und 35 = 3a + 6; 
wird 475 mit 6 = 5 multipliziert, so ergibt sich 2375 = 3a*^6 -f- 3 a 6* + ^^ dieses 
von 2652 abgezogen, bleibt 277, mit den drei letzten Stellen zusammen 277296. 

4) In diesem 4. Bilde ist also 675 = 475 + 200 = 3a2 -f 3a ^ + Iß + {Sa + 2h)h 
= 3a2 + ßah + 36^ = 3 (a + h)^; 45 = 3 (a + h). 



über das Rechenbuch des Ali ben AfiiDed el-Naeawi. 117 

und subtrahiere das Produkt von dem Reste, so hast du folgendes 
Büd:i) 

5. Bild: 15 4 Nun wird das 4 in der untersten Zeile ver- 

32 doppelt (gibt 458), dieses mit dem 4 der obersten 

69316 Zeile multipliziert (gibt 1832), dieses zu (dem 

454 69816) der dritten Zeüe hinzugefügt (gibt 71148), 

das oberste 4 ebenfalls zu der untersten Zeile addiert*^) (gibt 462), und 

zur dritten Zeile noch 1 hinzugefügt, so hat man folgendes Bild:^) 

6. Bild: 15 4 Die oberste Zeile ist die gesuchte Kubikwurzel, 

32 und der Rest (32) sind Teile von der dritten^) 
71149 Zeile. 
462 5) 
Vergleicht man diesen Schluß der Kubikwurzelausziehung mit dem- 
jenigen der Quadratwurzelausziehung, so wird man sofort einsehen, daß 

hier ein Fehler vorliegen muß; nach den letzten Worten des Textes wäre 

82 r 

der zu 154 hinzuzufügende Näherungsbruch = 7TT49 ""^ ^( 4- h -u \2 1 1 ^ 

el-Nasaw! muß aber wohl gewußt haben, daß sich zwei aufeinander 

folgende Kubikzahlen (a + 1)^ und a^ um Sa^ + 3a + 1 unterscheiden, 

er hätte also sagen sollen: „und der Rest 32 sind Teile von der dritten 

und vierten Zeile zusammen"; der richtige Näherungsbruch wäre dann also 

32 _ _32_ ^ r 

71149 + 462 ~ 71611 "" 3 (a + & + c)« + 3 (a + & + c) + 1 

Bei der Mangelhaftigkeit des Manuskriptes wäre es sehr wohl möglich, 
daß die Worte „und vierten Zeile zusammen" aus Versehen weggelassen 
worden wären; wir persönlich sind der Ansicht, daß el-Näsaw! diese zweite 
Annäherung gekannt hat, und daß sie nicht erst eine Erfindung Leonardos 
sei, tritt dieselbe doch auch ums Jahr 1200 bei dem Perser el-Hasan 
B. EL-HoSEiN el-Ha^äq el-MerwazI auf (vergl. Biblioth. Mathe m. 63, 
1905, p. 105). Da aber Leonardo in seinem Liber abaci von einer selbst 
gefundenen Methode bei der Kubikwurzelausziehung spricht, so müssen wir 
seine Worte auf die dritte Annäherung beziehen (vergl. 1. c); es wäre 
allerdings möglich, aber scheint uns sehr unwahrscheinlich, daß Leonardo 
kein arabisches Rechenbuch mit Kubikwurzelausziehung gekannt hätte, 
was auch M. Cantor vermutet (Vorlesungen IP, p. 31). 



1) In diesem 5. Bild ist 32 der neue Rest; 69316 ist = 3 (a + 6)*^ + 3 (a + b)c+c^; 
454 = 3(a + 6) + c; man hat von 277296 abgezogen: 69316 -4 = 277264 = 
3 (a + 6)«c + 3 (a + b)c^ + cK 

2) Dieser Satz „das oberste 4 addiert" fehlt im Ms. 

3) In diesem Bild ist 71 149 = 8 (a + & + c)2 + 1 und 462 = 3 (a + ?; + c). 

4) Im Ms. heißt diese Zeile stets die „mittlere". 

5) Hier steht im Ms. unrichtig 458. 



«ut 

I 



118 HbTMHICH SlTEH. 

Bei der Wurzelausziehung aus Brürheu and gemischten 
sich nun el-Nasawj die Sache auch gar leicht geipacht; bei der Quadrat- 
wurzel gibt er nur die beiden Beispiele: 

VF=i "md 1301=1^= V =51- J 

bei der Kubikwurzel ebenfalls nur zwei: ^H 

i-t^-tmd V3»-i'V-i-U 
Bei den Seiagesimalbrüchen verwandelt er die Grade, Minuten und 
SeknndeB, etc. in Sekunden oder Quarten, etc. (bezw. Tertien, Sert^en. etc. J, 
zieht aus dieser Zahl die Wurzel und teilt das Ergebnis durch 00, IjO', 
etc., oder er erweitert mit 10^, 10*, etc. (bezw, lO"'', 10'', etc-) und teÜt 
nachher durch 10, 10*, etc. 

Beispiele für die Quadratwurzel t 

1. V26»n' = bV V94Ö20" = bV - 3'J''' = ö" 7' 

2. yi7"ö = -j^j v'i70"ÖOOÖ =. -r^B . 412« = 4'>7'12" 

Beispiele für die Kubikwurzel fehlen. 

Au8 diesen Kapiteln über die Quadrat- und Kubikwurzelausziehimg er- 
geben sieh uns folgende Tatsachen: ei^Nasäwi hat es schon yerstanden, bei 
beiden Operationen eine kleine Abkürzung anzubringen, indem er bei der 
Quadratwurzel 2ah und l^ nicht einzeln berechnet und abzieht, sondern auf 
einmal (2a + b)b bestimmt und abzieht (dies tat bekanntlich auch el-Has.'jiäk, 
vergl, Biblioth. Mathem 2j, 1001, p. 23), ebenso wird bei der Kubikwurzel 
nicht einzeln 'iaH, Sah'' und i^, sondern auf einmal {3a* + (3a + b)/i] b 
berechnet und subtrahiert. Interessant ist auch diep. 116, Xote4) angegebene 
Herleitung von 3(a4-'')^ ^"^ 3a^ + 6o6 + 3/j'. Ihm sind also in dieser 
Hineicht weder LeosauDO von Pisa, noch Sacrouo.sco, noch dessen 
Kommentator Petrus dk Dacia gefolgt Bei der Quadratwurzelausziehung 
benutzte er die Annäherung V''* + f" ^ " + ö — XT' bei der Kubikwurzel- 
auBziehnng höchatwahracLeinlich ya' + r ^nj ^ ^ ^ — -|— j- Endlich 
kannte er die Erlangung einer größeren Genauigkeit bei der Wurzelaoe- 
ziehung durch Multiplikation des Radikanden mit 10^, 10*, etc. (bezw. lO'', 
10*, etc.) und nachberige Division durch 10, 10', etc., was man bis jetat 
zum erstenmal bei Jon. Hisi-alensis (vergl. C'antok, VorlesuHgeri, I*. 
p. 752) gefunden hat ') Eine dritte Annäherung kannte er weder hei der 
Quadrat^ noch bei der Kubikwurzel, oder, was wahrscheinlicher ist, wenigstens 
für die erste, hielt sie fiir seine Zwecke nicht für notwendig. 



1] Im 8eiage»malei 

Söhnen des MrjÄ hbs Schä 



ZfthlBjatem irt dos Verfabrea liekaDiitlicb echOD toi 
iK benutzt worden (vergl. x. ß. Si;tek, Uibliolh. Hat he 



<len 



über das Rechenbuch des Ali ben A^tned el-Nasawi. 119 

Ob JORDANUS von el-Nasaw1 beeinflußt worden sei, ist eine Frage, 
die wir heute nicht endgültig entscheiden können, sie wird wohl auch nie 
zu entscheiden sein. Aber, wenn man berücksichtigt, daß die Persönlichkeit 
des JoRDANUS noch nicht einmal sicher dasteht, daß es zweifelhaft ist, ob 
er arabisch verstanden habe, daß lateinische Übersetzungen von el-Nasaw1s 
Rechenbuch damals kaum vorhanden gewesen sind (wenigstens hat man 
bis heute noch keine Spur von solchen gefunden), daß nach den neuesten 
Untersuchungen Eneströms (Biblioth. Mathem Ta, 1906, p. 24 — 37) 
vielmehr die „Demonstratio de algorismo" des Cod. Dresd. Db. 86 als der 
von Schöner herausgegebene Algorithmus demonstratus dem Jordanus 
zuzuweisen ist, so ist die Bejahung jener Frage sehr unwahrscheinlich. 



\ 



120 



Eabl HvHBATn. 



Albrecht Dürers annähemde Dreiteilung eines Kreisbogens. 

Von Karl Hunrath in Kassel. 

In dieser Zeitschrift habe ich mich kürzlich mit Albrecht Di'RERs 
Näherungskonsfruktionen regelmäßiger Vielecke beschäftigt^). Mir hatte 
damals nur die lateinische Ausgabe von 1532 vorgelegen. Inzwischen habe 
ich die deutsche Urausgabe von 1525 einsehen können (S. 8 u. 1) des mit 
E bezeichneten 5ten Bogens) imd mich überzeugt, daß die Beschreibung und 
die Ausführung der Konstruktion des regelmäßigen Dreizehn ecks in beiden 
Ausgaben durchaus übereinstimmen, daß in beiden Ausgaben die Figur 
den im Texte nicht erklärten Buchstaben c und zwischen den Buchstaben 
c und h die gleichfalls im Texte nicht erklärte Zahl 24 aufweist. 

Nun möchte ich Dürers Dreiteilung eines Kreisbogens untersuchen. 




^X^H 



■^v 



Fig. 1. 



1) Siehe Biblioth. Mathem. 63, 1905, S. 249-251. — S. 251, Z. 8 bitte ich 
zu leBen fa statt ef, Z. 16 eaf statt eah, Z. 20 — ü,0(.)7 statt — Ofi7 und -{-0,003 
statt + 0fi3. 



Albrecht Dürers annähernde Dreiieilong eines Kreisbogens. 121 

Es sei (Fig. 1) die zum gegebenen Kreisbogen gehörige Sehne AB 
in. den Punkten C und D in drei gleiche Teile geteilt, es seien auf AB 
C und D die Senkrechten errichtet und bis zum Durchschnitte mit dem 
en verlängert (E und F). Es sei AE^ =* AE, BFi = BF gemacht, 
seien CEi und DJF\ in drei gleiche Teile geteilt, endlich sei Sehne 
G =^AC+ l CEx, Sehne BH== BD + ^ DF^ gemacht. Dann wird 
\>eliauptet, daß annähernd die Bogen AG, GH, HB einander gleich seien. — 
So weit Dl'RER. 

Zum Beweise mache Sehne ACi = A C, BDy = BD, also jede = EF. 
Angenommen werde, die Bogen CiE und DiF seien in drei gleiche Teile 
geteilt, Ci JE in den Punkten K und Z, DiF in den Punkten M und N. 
Msui denke sich femer die Sehne C\E und die Sehnen C\K -= KL =- 
L E = n gezogen. 

Nun ist CiE>AE—AGu also > CJ?i, femer CxK-\- KL+LE^ 3n 

ist > CiJ5, also erst recht > CEi, mithin CiK + KL> | CiE > | CEi, 

gagen wir = f CE^ -\- di +^27 Sehne CiL aber <^ CiK -\- KLy sagen 

vir -= I CEi + dl + ^2 — rfj. Es ist weiter CjG > AG — ACu d- h 

>»- I CEi , sagen wir •-= | CEi + ^4- Die mit d bezeichneten Strecken 

nelimen mit abnehmendem <^ AOB rasch ab. Es können daher bei 

mäßiger Größe des Bogens CiE sowohl die Sehnen CiL und CiG, als 

auch die zugehörigen Bogen nur geringen Unterschied zeigen, ebenso die 

Bogen AL und AG, Bogen AL aber ist nach Annahme ein Drittel des 

Bogens AB. 

Zur rechnerischen Prüfung falle OJ _ AB in Q. 

Es ist nach Konstr. AG =- AC + l CEi AC + l(AE — AC) 

"" — ^ -. Ferner ist nach Konstr., wenn man <^AOB mit 2a be- 

^ichnet und den Kreishalbmesser - 1 setzt, AC ^ | sin a und 



i2 I yt T."'2 j /"fS I r y^2 j • 9 _. I r/'»* 



AE"^ =- AC" + CF/ --=- A (r 4- JQ - i sin2 a + /g^ 

Da EJ --- CQ — - ^ sin a und OQ - cos a ist, so ergibt sich JQ aus 
"^r Gleichung 

(«^6 + cos a)2 = 1 — J- sin*a , mithin JQ ^^ — cos a + ^1 — J sin- a 
und 

AE=^i ^6 (3 — sin« a — cos a VO — sTn^a), 



AG-=i [sin a + Vß (3 — sin2 a — cos a \i) — sin««")] 
oder auch 

AG — J [sin a + 1 (2 + cos^ a — cos a ]'8 + cos^ajj 



122 Karl Hunkath. 

Zu dem gleichen Ergebnis kommt Staigmüller ^) in Berichtigung 
der von Günther 2) angestellten Berechnung. 

Es ist aber 

\ 6 (3 — sin^ a — cos a \9 — sin^a) = 

V3 (3 + 2^ a — sin2 a) — V3 (3 — 2 sina — sin'a), 
also 

AG = I [sin a + V3 (3 + 2 sin a — s'm^a) — ys (3 — 2 sina — sin2 a)] 
und 

I ... sin i AOG = i [sin a + V3(3 + 2 sina — sin^a) 

— V3 (3 — 2 sin a — sin^ a)\ 
Nun ist 

y9 ± 6 sin a — 3 sin^ a 

= 3 ± sin a — | sin^a + | sin^ a — -^ sin* a ± ^ sin^ a — ^7^ sin* a 

i^sin^a— ..., 
also 

V3(3 + 2sina — sin»a) — V3(3^~2 sin a — sin« a) 

=- 2 sin a + ^ sin^ ^ + if ^^^^ « + ■g'/y sin^ a + • • • 
und 

II ... sin ^ AOG = J sin a -{- ^^ sin^a + ^\ sin^ a + yför sin^ a + . 
Nach der Reihe für sin na aber erhalt man 
sin |- = |. sin a + gV süi^ a + ^^ sin^ a + ^^^ sin^ a + . . . 
Die beiden Reihen stimmen in den ersten drei Gliedern überein, der 
Unterschied der vierten Glieder ist 

_ ^ • 7 
19683 ®^ ^* 

Für kleine Werte von 2 a ist daher die Abweichung unbedeutend. 

Für sin a ^ 0,3, also 2a — 34» 54' 55", 7 ist sie nur — |^ • 0,0000001. 

Die zweite Reihe ergibt, da sie nur aus positiven Gliedern besteht, an 

irgend einer Stelle abgebrochen, stets einen Näherungswert unter dem 

wahren Werte. 

Aus der Formel I ergibt sich für 2a = 180® 

• 1 Ann ^^^y^ 

Setzt man für |3 den Näherungswert -} ein, so ergibt sich sin ^ AOG =^- J. 
Da aber ^3 < i ist, so ergibt sich sin i AOG <i, <AOG < 60». 

Es ist ^±^ --- 0,4960113, < ^ ^ 0(? = 29M4' 11", 12, <AOG = 59« 



1) H. Staigmüllgk, Dcbeb als Mathematiker, Stuttgart 1891, S. 26, Anm. 1. 

2) S. Günther, Die geometrischen Näherungskonstruktianen Albrecht Dcrers, Ans- 
bach 1886, S. Uff. 



Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. 123 

28' 22", 24 = HOB, ^GOE = W> 3' 15", 52. Für den < ÖOIT ist 

daher der absolute Fehler 1» 3' 15", 52 -- 3795", 52, der relative |^ < ^ 

für jeden der Winkel AOG und HOB aber halb so groß mit entgegen- 
gesetztem Vorzeichen. 

Für 2a = 150« ergibt 8ich_ 

sin i .4 G = T»g [^2 + V3 + Vs^l - V3 -f 4 V2TV3) 




— Vs (10 — V3 — 4V2 + Vi 
oder auch 

-= dV [V6 + V2 + 2 V3 (10 - V3 + 2 [V6 + V2]) 

— 2 V'3 (10 ^ y3 — 2 [V6 + V2])]. 

Die Rechnung ergibt 0,4214232, während sin 25» = 0,4226183 ist. 
Man findet < i ^OG = 24» 55' 28", 1, ^0(? = 49« 50' 56", 2, GOR 
= 50» 18' 7", 6, den relativen Fehler für <GOH<j\^. 

Für 2a = 135» ergibt sich 

sini40ff«=TV[V2 + |'2 + ^«3(10 — y2 + 4 V2+"^ 

_ ys (10 — V2 — 4 V2+"V2)] = 0,3820962, 
während sin 22» 30' = 0,3826834 ist. Man findet \ ^0G= 22» 27' 
48", 9, <^06? = 44» 55' 37", 8, < 6?0i?= 45» 8' 44", 4 und den 
relativen Fehler für GOH< -g^-g. 

Für 2a = 120» ist_ _ 

Bin i AOG = ^ [fs + y3 (9"+ 4 V3) - V's (9 - 4 y3)] = 0,341 7569 . . . 
(sin 20» = 0,3420201) . . . < ^0& -= 39» 58' 4", 42, < ff 0.ff = 40» 3' 
51", 16 und der relative Fehler für '^GOH<^\j. 

Für 2a = 108o ist 

Bin i ^Off = T^ [^5 + 1 + l/6^5 + 3 y5) — V6 (17 — 5 ys)] 

= 0,3088892 ... (sin 18» = ^ = 0,3090170) ... < A ff = 35« 59' 

4", 56, < ff 05"= 36» 1' 50", 88 und der relative Fehler für GOH < ^iVf- 

Für 2a = 90» ist _ 

sin i AOG = tV [V2 + ^6 (5 + 2 y2) - y(5 (5 - 2 y2)] = 0,258 7828 . . . 

(sin 15» = 0,258 8190) . . . < ^ Off = 29» 59' 44", 5, < ff Oä = 30» C 31", 

relativer Fehler für < ff 0£? < ■g-^:^. 
Für 2a = 60» ist 
sini^Off = iVLl + 3 yo—y2l] = 0,1736460. ..(sinl0»=0,1736482)... 

<^Off = 19» 59' 59", 1, < ff Ol? = 20» 0' 1", 8, relativer Fehler für 

< ff Offfniire- 

Für 2a = 45» ist 

sini^Off = -iV[V2 — y2+ Vs (10 + y2 + 4 i2—~\W) 
— Vs^lO + y2 — 4 y2—7i)] = 0,1805259... (sin 7» 30' = 0,1805262)... 



124 KaBI. Ht'MRATH. 

Für 2a = 36» ist 

Bin \ AOG = ^s [y5_ i 4- |'(; (17 4. 5 ^5) — \ii (25 — 3 ^E 
= 0,1045284 . . . (ain ()<»=0,1045285). 

Für 2a = 30» ist 

Bin \AOG = ^ [V 2 - # + V'3(10 + V3 + 4 fi — V3) 

— V3 (10 + V3 — 4 V2^ V3)] 
oder auch 

= A [V6 + V2 + 2 |'3aÖ_+ V3 + 2 [V6 - y^~) 
— 2 l'S (10 + J^3 — 2 [yV) — V2])] 

= 0,0871557 (=-sin o»). 

Für lSO0>2a>90ö würde man den Fehler sehr herabdrücken, 
wenn man die annähernde Dreiteilung an ISO® — 2a ausführen und den 
gefundenen < zu 60® ergänzen würde. 

An Winkel > 180® hat DrRER offenbar bei seiner Dreiteilung nicht 
gedacht; auch für solche << kann man stets auf <<<&0® zurück- 
gehen, auf dem eben angegebenen Wege. 

• Staigmüller a. a. 0. meint, die Behandlung, welche Kästner^) der 
Di'TRER sehen Trisektion eines Kreisbogens angedeihen lasse, sei infolge 
ihrer großen Ungenauigkeit für uns wertlos. 

Doch liegt die Ungenauigkeit nicht in Kastners Methode begründet, 
sondern beruht auf Rechenfehlem und Versehen. 

Kästner nennt den gegebenen Bogen r, die zugehörige Sehne &, den 
Bogen EF unserer Figur 2m;; er findet sin tv = ^b und die Sehne AE 
unserer Figur = Sehne (\v — ti;), endlich Sehne AO unserer Figur 

= I [j^ Sehne t; + 2 x Sehne (i r — u;)]. 

Als erstes Beispiel setzt er (a. a. 0. S. 244) v = 60®, findet 6 ==- 1 
und sin w = J, log sin w = 9 2218487 — 10, m; = 9® 35' 38", \v — w 
= 20® 24' 22", i{iv — w) = 10® 12' 11"; daon rechnet er: 

log sin 10® 12' 10" = 0,2482981 — 1 

log 2 = 0,3010300 

log Sehne (i v — iv) = 0,5493281 — 1 

Sehne {\ v — w) = 0,354 3()5 

2 X Sehne (i v — w)= 0,708730 

i Sehnet; =0,333333 

1^141(H53 
davon | gibt 0,380354 usw. 



1) A. G. Kästner, Geometrisdie Ahlumdlnngen. I (Der matb. Anfangsfprunde 
I. Theil 111. Abth.), Oöttingen 1790, S. 241 tf. 



Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. 125 

Ich will nicht davon reden, daß Kastner den < w nicht sehr genau 
jBndet, daß er log sin 10» 12' 10" statt log sin 10» 12' 11" berechnet — aber 
in Zeile 4 findet er Sehne (^v — w) = 0,354 3()5 statt = 0,354265 und in 
Zeile 7 als Summe der in Zeile 5 und 6 stehenden Zahlen 1,141063 statt 
1,042063. Werden alle diese Fehler berichtigt, so ergibt sich als diese 
Summe 1,0418761, als \ dieser Summe 0,3472920, in Übereinstimmung 
mit dem oben von mir gefundenen Werte (0,1736460 -== ^ . 0,3472020) 

In seinem zweiten Beispiele (a. a. 0. S. 245), v = 180^, findet Kästner 
< -4 6r = 59*^ 28' 24", also leidlich genau. In seinem dritten Beispiele 
(S. 246), V = 90», findet er sin l AOG = 0,2588190; Üiv — w) hat er 
richtig noch = 15*^ 41' ^", hätte daher für Sehne {\v — i^;) =2 sin 15^ 
41' f 0,5406408 finden müssen — er findet aber 0,5406454 — , und für 
sin i^ Off 0,2587825, nicht 0,2587810. 

Kästner schreibt a. a. 0. auf S. 247 unter 20): Für v < 900 gab die 
Regel zu viel, für v > 90® zu wenig. Ob das allemal so ist, und sie um 90® 
herum der Wahrheit nahe kommt, das mühsam untersuchen, wäre: sich 
mit der Theorie eines Irrtums beschäftigen. 

Dieser nach Kästners Ansicht unnützen Mühe mich unterzogen zu 
haben muß ich mich schuldig bekennen. 



126 G. Enkstköm. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und 

Daniel BernouUi. 

Von G. ENESTRibi in Stockholm. 

Im Jahre 1843 veröifentlichte P. H. Fuss^) vollständig oder im Aus- 
zuge 57 Briefe von Daniel Bernoulli an Leonhard Euler und noch 
dazu eine von N. Frss verfertigte französische Übersetzung eines ver- 
lorenen Briefes aus diesem Briefwechsel. Die entsprechenden Briefe von 
Euler scheinen zum größten Teil verloren gegangen zu sein, und meines 
Wisseus sind nur vier derselben aufbewahrt worden; sie finden sich in der 
Herzoglichen Bibliothek in Gotha, und sind bisher nicht zum Abdruck 
gebracht. Es ist wohl kaum zu hoffen, daß einige der übrigen Briefe 
wiedergefunden werden, aber jedenfalls kann es von Interesse sein, ein 
Verzeichnis des Briefwechsels zwischen Euler und Daniel Bernoulli 
zu haben. Ich habe mir daher vorgenommen ein solches Verzeichnis, 
wesentlich auf Grund der Fuss sehen Ausgabe, anzufertigen und teile es 
hier unten mit. Das Zeichen * bedeutet, daß der betreffende Brief ver- 
loren ist. In den meisten Fällen gibt Daniel Bernoulli nicht das Datum 
des von ihm zitierten Euler sehen Briefes an, zuweilen ist es nicht möglich 
zu entscheiden, ob seine Worte wirklich auf einen Brief seines berühmten 
Freundes und Landsmannes hinweisen. 

*Danikl Beiinoulli an Eileu 1726. 

Zitiert von IUmkl BfuNouLM in seinem zweiten Brief aus dem Jahre 1726 (siehe 
FrsP, a. a. (>. II, S. 409). 

Daniel Bernoulli an Eilku 1726. 

Veröffentlicht von Flsp, a. a. 0. II, S. 409—410. — Frauaösisch. 

Dasikl Bkbsovlu an Evlkh 22. September 1733. 

Veröffentlicht von Frss, a. a. 0. II, .S. 411-414. 



1) P. IL Fuss, Corresjyondance maihcmatiqite et phystque de quelques celehres gho- 
metres du XVIII^me siede (St. Petersbourg 1843), II S. 409—655. 

2) Cod. Chart. B. 689—690. Anscheinend enthält die Handschrift 5 Briefe von 
EuLEu an IUmel Beknoulli, aber der vierte von diesen (vom 24. Mai 1764 datiert) ist 
in Wirklichkeit an Johann III Bernoulli adressiert, freilich um dem Daniel Bbrkoitxi 
mitgeteilt zu werden. 



Der Briefwechsel zwischen Leoohard Euler und Daniel Bemoulli. 127 

^Eui^KB an Daniel Bernouixi Dezember (?) 1783. 

Zitiert von Eulsk in seinem Briefe vom 18. Februar 1734 und von Dan ikl Bkbkoulli 
in seinem Briefe vom 18. Dezember 1734 (siehe Fubs, a. a. 0. II, 8. 416). 

Kv'LER an Daniel Bebnovlli J8. Februar 17M. 

Original in der Herzoglichen Bibliothek in Qotha. 
^Dakiel Bermoulli an Euleb Februar (?) 1734. 

Zitiert von ErutK in seinem Briefe vom November (?) 1734. 
*Daaiel Bernoulli an Euleb April (?) 1784. 

Kam nie in die Hände des Adressaten; siehe den Brief von Euleb vom November (?) 1734. 

CuLEB an DAiriEL Bebnoulli NoTember (0 1734. 

Original in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha. 
I>AxjFj. Bkrsoulli an Euler 18. Dezember 1734. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. IT, S. 415—418. 
•Euleb an Daniel Bebnoulli April (?) 1735. 

Angedeutet von Dakisl Bi{Rxori.Li in seinem Brief vom 4. Hai 1735 (siehe Fuss, a. a. 0. 
IL S. 420. 421). 
Öanikl Bebnout.li an Euleb 4. Mai 1735. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 419-423. 
Ö^^jfiKL Bebnoulli an £ci.eb 4. Juni 1735. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 424-426. 
L'LEB an Daniel Bebnoulli September (?) 1735. 

Zitiert von Dakibl Bernoulli in seinem Briefe vom 26. Oktober 1735 (siehe Fuss, a.a. 0. 
II, S. 429.) 

-A^aEL Bebnouixi an Euleb 26. Oktober 1735. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 427—430. 
^NiEL Bebnoulli an Euleb 10. März 1786. 

Veröffentlicht von Fuss. a. a. 0. II, S. 431—432. 
EitEB an Daniel Bebnoulli August (?) 1736. 

Zitiert von Daihel Bernoulli in seinem Briefe vom 12. September 1736 (siehe Fuss, 
a. a. 0. U, S. 433); vgl. Biblioth. Mathem. 63, 1904, S. 253. 
I^axiel Bebnoulli an Euleb 12. September 1736. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 433-435. 
*EvLEE an Daniel Bebnoulli 19. November 1736. 

Zitiert von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 16. Mäi'z 1737 (siehe Fuss, a.a.O. 
II, S. 438). 

I^AXTEL Bebnoittxi an Euleb 25. Januar 1737. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, 8. 436—447. 
I>AjiiEL Bebnouixi an Eileb 16. März 1737. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. IT, S. 438—439. 
* El LEB an Daniel Bebnoulli April (?) 1737. 

Zitiert von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 18. Mai 1737 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, S. 440). 

^Asrn. Bebnoulli an Euleb 18. Mai 1787. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 440-441. 
^AiiEL Bebnoulli an Euleb 29. November 1737. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 442-443. 
i^AsiKL Bebnooxi au Euleb 28. Dezember 1737. 

R68Qm6 bei Fuss, a. a. 0. II, S. 443. 
*EnjB an Daniel Bebnoulli 17. Januar 1788. 

Zitiert von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 29. März 1738 (siehe Fuss, a. a. 0. 
11, H. 444). 
Dakikl Bebnoulli an Euleb 29. März 1738. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, 8. 444-445. 
Dasiel Bebnoulli an Euleb 24. Mai 1738. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 446-448. 



128 G. ESESTRÖM. 

*Ei LKK an Daniel Berxuilli Juni (V» 1738. 

Zitiert von Daxiei. Bersdulli in seinem Brief vom 9. Aogust 1738 (siehe Frss, 
a. a. 0. II, S. 449j. 

Daniel Bkrnoilli an Eilek 9. August 1738. 

Veröffentlicht von Fr?*, a. a. O. II, 449 -45i 

♦Ellkk an Daniel Bernoulli 23. Dezember 1738. 

Zitiert von Daxiel Bebxouli.i in seinem Briefe vom 7. llärz 1739 (siehe Fcss, a.a.O. 
II, S. 4j:{); vgl. Biblioth. Mathem. 63, 1905. S 24. 

*Daniel Berxuvlli an Eiler 7. März 1739. 

Original verloren. Eine von N. Fri^s verfertigte frmnxösiache Übersetziuig yeröffent- 
licht von Frss, a. a. 0. II. S. 453—437. 

•EiLER an Daniel Beknoitx.i März (V) 1740. 

Zitiert von Daniel Bbr^oilli in seinem Briefe Yom dO. April 1740 (siehe Frss, a. a. 0. 
II. S. 459); vgl. Biblioth. Mathem. 6j, 1905. S. 53. 

D ASIEL Bersoiui flH EiLER 30. April 1740. 

Veröffentlicht von Frss, a. a 0. II, S. 458— 44>0. 

EtLER an Daxiel BERXorLLi 15. September 1740. 

Original in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha. 

D.i.\n.L Bkesoilu an Ki leb 5. Xovembfr 1740. 

Veröffentlicht von Frss. a. a. 0. II. S. 461—165. 

*EiLER au DA^^EL Bernoilli Dezember (?"» 1740. 

Zitiert von Damel Beknoi lui in seinem Briefe Yom 2d. Janaar 1741 (siehe Fr», 
a. a. 0. II, .S. 467». 
Daniel Bernoi lli an Eiler 28. Januar 1741. 

VeröffentUcht von Fiss, a. a. O. II, s. 4^-4?2. 
*EiLER an Daniel Ber.voilli August (?) 1741. 

Zitiert von Damfl Bernoulli in seinem Briefe vom 20. September 1741 (siehe Fe», 
a. a. 0. II, S. 473). 

Daniel Behnoi lli an Eileu 20. September 1741. 

Veri.ffentlicht vom Frss, a. a O. II, 8. 473 — 178. 
•Eiler an Daniel Bernoilli Dezember ^^?) 1741. 

Zitiert von Daniei. Bermh lu in seinem Briefe vom 20. Januar 1742 (siehe Frss, 
a. a. O. II, S 479). 
Daniel Bernoilli an Eiler 20. Januar 1742. 

Veröflentlicht von Frss, a, a. 0. II, 8. 479—483. 
*Eii.ER an Daniel Bernoilli Februar 1742. 

Zitiei-t von Daniiil Bfvmh lli in seinem Briefe vom 7. März 17<^ (siehe Frs&, a.a.O. 
II. s. 4^4 . 
Daniel Bebn«»illi an Ei lkk 7. März 1742. 

Ve^•ffentlicbt von Frss. a. a. 0. II, S. 484 -489. 
*EiLER an Daniel Bernoilli März 1742. 

Zitiert von Daniel BtüsoiLii in seinem Briefe vom 17. April 1742 (siehe Fvss, a.a. 0. 
II, S.49iO. 
Daniel Bernoilli an Eilei: 14. April 1742. 

Veri»ffentlicht vcn Frss, a.a.O. II, 8. 490— 4M. 
*ErLER an Daniel Bernoilli Juni V 1742. 

V 

Zitieit von Damkl Bkrmh llt in seinem Briefe von 28. Juli 1742 (siehe Frss, a,a,0. 
II, S. 407.. 
Daniel Bernoilli an Eiler 2S. Juli 1742. 

Veröffentlicht von Frs<, a. a. O. II. 8. 405—41^. 
*ErLER an Daniel Bernoilli I. September 1742. 

Zititrrt VOR Dam EI. Bfbxoi lli in seinem Briefe vom 20. Oktober 1742 (siehe Frss, 
a. a. < ». II. S. 49^';. 

Daniel Bfrnmi lli an Eilkr 20. Oktober 1742. 

Ver-.ffentli'bt von Frss. a. a. 0. II. S. 4i»9-5(»7. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel BernouDi. 129 

*EuLKR an Daniel Bernoülli November 1742. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 12. Dezember 1742 (siehe Fusb, 
a. a. 0. 11, S. 508—509). 

Daniel Bernoülli an Euler 12. Dezember 1742. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 508—514. 
*£uLER an Daniel Bernoülli Januar 1743. 

Zitiert von DAiriEii Bxbkoitlli in seinem Briefe vom 9. Febmar 1743 (siehe Fusb, 
a a. 0. II, S. 515). 

Daniel Bernoülli an Euler 9. Februar 1743. 

Veröffentlicht von Fürs, a. a. 0, II, S. 515—521. 
♦Euler an Daniel Bernoülli März (?) 1743. 

Zitiert von Dakiel BEmrouLiii in seinem Briefe vom 23. April 1743 (siehe Fuss, a.a. 0. 
II, 8. 522). 

Daniel Bernoülli an Euler 23. April 1743. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 522-528. 
*EuLEH an Daniel Bernoülli August (?) 1743. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 4. September 1743 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, 8. 529, 533). 
Daniel Beri^oülli an Euler 4. September 1743. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, 8. 329-537. 
•Euler an Daniel Bernoülli November (?) 1743. 

Zitiert von Dakibl Bebnoulli in seinem Briefe vom 25. Dezember 1743 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, 8. 539. 

Daniel Bernoülli an Euler 25. Dezember 1743. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 539—547. 
*EüLER an Daniel Bernoülli Januar 1744. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 4. Februar 1744 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, S. 548-549). 
Daniel Bernoülli an Euler 4. Februar 1744. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 548-552. 
*EüLER an Daniel Bernoülli Februar (?) 1744, 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom April oder Mai 1744 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, S. 653). 
Daniel Bernoülli an Euler April oder Mai 1744. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. U, S. 553—554. 
•Eüler an Daniel Bernoülli 28. März 1744. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 13. Juni 1744 (siehe Fuss, a.a.O. 
II, 8. 555). 
Daniel Bernoülli an Euler 13. Juni 1744. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 555-560. 
*Eüler an Daniel Bernoülli 4, Juli 1744. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 29. August 1744 (siehe Fuss, 
a. a. 0. 31, S. 561). 

*ErLER an Daniel Bernoülli 21. Juli 1744. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 29. August 1744 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, S. 561). 

Daniel Bernoülli an Eüler 29. August 1744. 

Veiöffentlicht von Fu8b, a. a. 0. II, S. 561-567. 

*EüLER an Daniel Bernoülli Ende 1744 oder Anfang 1745. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom Anfang 1745 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, S. 569). 

Daniet. Beunoilli an Evlkr Anfang 1745. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, 8. 568—572. 

•EixER an Dantel Bernoülli Februar (?) 1745. 

Zitiert von Daniel Bebnoulli in seinem Briefe vom 20. März 1745 (siehe Fuss, a.a.O. 
II, S. 573, 575). 

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. Vil. 9 



130 G. Eneström. 

Daniel Bernoulli an Efler 20. März 1745. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. O. II, 8. 573—675. 

*Eller an Daniel Bkrnoitlli Juni (?) 1745. 

Zitiert von Danikl Bebkoülli in seinem Briefe vom 7. Juli 1745 (siehe Fcss, a.a.O. 
II, S.578K 

Daniel Bernoilli an Eiler 7. Juli 1745. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. If , s. 576—578. 

*EuLER an Daniel Bernoilli August (?) 1745. 

Zitiert von Danikl Bkbmoilli in seinem Briefe von 7. September 1745 (siebe Frss, 
a. a. 0. II, S. 5&3, 585). 

D.vNiEL Belnoilli au EiJLER 7. September 1745. 

Veröffentlicht von Fus«, a. a. O. II, S. 579-588. 

*EuLER an DA^^EL Bernoilli November (?) 1745. 

Zitiert von Daniel Bkbnoulli in seinem Briefe vom 4. Dezember 1745 (siehe Fr»s. 
a. a. 0. II, S. 588). 

Daniel Bernoulli an ErLEu 4. Dezember 1745. 

Veröffentlicht von Frss, a. a. 0. II, S. 587—591. 

•Ei'LER an Daniel Bernoulli Dezember 1746. 

Zitiert von Daniel Bkrhoilm in seinem Briefe vom 4. Januar 1746 (siehe Fuss, a.a.O. 
II, S. 592, 566). 
Daniel Bernoulli an Euler 4. Januar 1746. 

Veröffentlicht von Frss, a. a. 0. II, S. 592 - 596. 

•Euler an Daniel Bernoulli Februar (?) 1746. 

Zitiei-t von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 19. März 1746 (siehe Fuss, a. a.0. 
II, S. 597). 
Daniel Bernoulli an Euler 19. März 1746. 

Veröffentlicht von Frss, a. a. O. II, S. 597—600. — Französisch. 

*Euler an Daniel Bernoilli Mai (?) 1746. 

Zitieii; von Danikl Bernoulli in seinem Briefe vom 29. Juni 1746 (siehe Fiss, a. a. 0. 

II, S. 601). 
Daniel Bernoulli an Euler 29. Juni 1746. 

Veröffentlicht von Fips, a. a. 0. II, S. 601-606. 

*Euleh an Daniel Bernoulli Juni 1746. 

Zitiert von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 9. Juli 1746 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, S. 607). 
Daniel Bkknui lli an Euler 9. Juli 1746. 

Veröffentlicht von ¥vh», a. a. 0. II, S. 607—611. 

?*Ei LKR an Daniel Bernoulli Oktober (?) 1746. 

Möglichei-weise ist der Brief des Daniel Bernoulli vom 3. November 1740 ein Antwort- 
schreiben auf einen nach dem 9. Juli geschriebenen Brief von Euleb. 

Daniel Bernoulli an Kuler 3. November 1746. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 612—615. 

D.VNIEL Bernoulli an Euler 21. Januar 1747. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 016—618. 

*Euler an Daniel Bwinoulli März (?) 1747. 

Zitiert von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 29. April 1747 (siehe Fuss, a.a. 0. 
II, S. 619). 
Daniel Bernoilli an Euler 29. April 1747. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 619—621. 

*EuLER an Daniel Bernoulli Juli (?) 1747. 

Zitieit von Daniel Bernoulli in seinem Briefe vom 16. August 1747 (siehe Frs9, a.a.O. 
II, S. 622, 625). 

Daniel Bernoulli an Euler 16. August 1747. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 622-625. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli. 131 

^EuLEB an Dakiel Bernoulli Septemher 1747. 

Zitiert yon Daniel. Bebkoulli ia seinem Briefe vom 22. September 1747 (siehe Frss, 
a. a. 0. II, S. 626, 627). 

Daniel Bebnoulli an Euler 22. Septemher 1747. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 626-629. 

*Euler an Daniel Bernoulli Fehruar (?) 1748. 

Zitiert von Dakiel Bebnoulli in seinem Briefe vom 9. März 1748 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, S. 630). 

Daniel Bernoulli an Euler 9. März 1748. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 630-631. 

*EüLER an Daniel Bernoulli April (?) 1748. 

Zitiert von Daniel Bebmovlli in seinem Briefe vom 15. Mai 1748 (siebe Fuss, a. a. 0. 
II. S. 682). 

Daniel Bernoulli an Euler 15. Mai 1748. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. n, S. 632—633. 

*EuLER an Daniel Bernoulli Juni (?) 1748. 

Zitiert von Daniel Bebkoulli in seinem Briefe vom Juli (?) 1748 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, 8. 634). 

Daniel Bernoulli an Euler Juli (?) 1748. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 634-637. 

*Euler an Daniel Bernoulli August (?) 1748. 

Zitiert von Dakiel Bebnoulli in seinem Briefe vom September (?) 1748 (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, S. 638). 

Daniel Bernoulli an Euler Septemher (?) 1748. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 638-640. 

*EuLER an Daniel Bernoulli Ende 1748 oder Anfang 1749 

Zitiert von Dakiel Berkoulli in seinem Briefe von Anfang 1749 (siehe Fuss, a. a. 0. 
II, S.641, 644). 

Daniel Bernoulli an Eülbr Anfang 1749. 

Veröffentlicht von Fuss, a a. 0. II, S. 641—644. 
?*Euler an Daniel Bernoulli 1749. 

Möglicherweise ist der Brief des Daniel Bernoulli vom 16. August 1749 ein Antwort- 
schreiben auf einen von Euler etwa Mitte 1749 geschriebenen Brief. 

Daniel Bernoulli an Euler 16. August 1749. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a 0. II, S. 645—647. 
?*Euler an Daniel Bernoulli 1749. 

Möglicherweise ist der Brief des Dakiel Berkoulli vom 26. Januar 1750 ein Antwort- 
schreiben auf einen von Eulkr nach dem 16. August 1749 geschriebenen Brief. 

Daniel Bkrnoi-lli an Ei ler 26. Januar 1750. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 648—650. 

Daniel Bernoulli an Euler 7. Oktoher 1753. 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 6bl— 652. — Franaösisch. 

*EuLER an Daniel Bernoulli Novemher (?) 1753. 

Zitiert von Dakiel Berkoulli in seinem Brief vom Dezember 1753 (?) (siehe Fuss, 
a. a. 0. II, S. 653). 

Daniel Bernoulli an Euler Dezemher 1753 (?). 

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. 11, S. 653—655. — Französisch. — Der undatierte 
Brief ist nach Fuss zwischen 1754 und 1766 geschrieben , aber er scheint mir vielmehr 
aus dem Ende des Jahres 1753 herzurühren, da sein Inhalt sich sehr nahe an den Inhalt 
des Briefes vom 7. Oktober 1753 anschließt. 

Euler an Daniel Bernoulli 22. Novemher 1767. 

Original in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha. — Französisch. — Natürlich nicht 
von Euler selbst geschrieben, da dieser damals schon vollständig blind war. 

9* 



132 G, EsEitTnöii, 

Ana (lieseai Verzeichnisse geht hervor, daß Eui.Eit wenigstens 4!' Bri 
an Dasikl, BEHSorLLi geschrieben hat und, wie schon bemerkt, sind nnr 
vier derselben, soweit jetzt bekannt ist, aufbewahrt. Am Ende des 18. Jahr- 
hunderts befanden sich die Eri.ERschen Briefe im Besitze des JoiiAKN III 
Beknouli-i') Eiher oh die Sammlung schon damals nur aas yier Briefen 
bestand, weiß uian nicht. 

Im folgenden bringe ich zum Äbdnick drei dieser Briefe, nämlich die 
zwei aua dem Jahre 1734 imd den Brief aus- dem Jahre 1740; diesem 
Briefe sind im Verzeiehuisse durch fette Schriften hervorgehoben. Der 
vierte Brief, der iina dem Jahre 17li7 herrührt., ist sehr kurz und hat gar 
kein mathematiechea luteresse. Um das A'erständnis der drei ErLEltschen 
Briefe zu erleichtem, drucke ich hier noch die vier Schreiben des Daniel 
Bernoulli ab, die mit jenen im nächsten Zusammenhang stehen, nämlich 
vom 22. September 1733, IH. Dezember 1 734, 30. Äprü 1740 und 5. November 
1740; diese Schreiben sind im Verzeichnisse durch kursive Selirifteu 
hervorgehoben. Noch dazu bringe ich am Anfange jedes Briefes ein kurzes 
Inhaltsverzeichnis und als Fußnoten erläuternde Anmerkungen- 



Daniel Bernoulli an Euler 

Miall Ober die HeiBB der BrBdi 
Bonder» über deren Aufenthalt in Paria, 
die Bedtinimuiig der HeicbwiDdigkeit e 
das Schiff geechwiuder mit halbem als u 
uachricbteii kiib ßasel. 



September 1733. 
r Dakisl utid JiiuAMN II Bkshoi'li.i und bc- 
— Über zwei mechnniBthe Piobletue — Vhei 
nes Schiffes und über die Urgacho, w&niin 
it vollem Winde geben kann. — Uuivenitäti- 



Hochedelgeborner 

Ho eh zu verehrend er Ilei 



Paris d. 2'2. Septbr. 1 



-1 



■ Professor. 

Ew. werden ohne Zweifel unsere glückliche Ankunft in Paris schon 
vernommen haben: Es hat sich auch mein Bruder die Ehre gegeben Ihnen 
einen Brief aus Amsterdam zu adreasiren durch den Hm. Prof. Gros.s. 
Unsere Landreise-) ist allezeit aehr glücklich gewesen und habe viel da- 
durch profitirt, worüber aas Basel mehreru I!«pport abstatten werde. In 
Paris sind viele gute Mathematici und Fhysici, so dass es unserer Aka- 
demie in Petersburg lieb und nützlich seyn wird mit hiesiger Akademie 
in einer geuauen Verbilndniss zu stehen, worüber hoffentlich in Petersburg 
in einem neuen Keglement die niHhigen Ver&ssungen werden gemacht 
werden, indem dergleichen Cor res pondeuten die Seele einer Wühleingerichteten 
Akademie sind. Sollte ich von dem Hrn. Präsidenten im Stand befunden 



1) Siehe tt. Wolf, liiotirapl 
S. 195-197. 

Üi Cbet dieao Keiee siehe 1 



r KuUurgetäixdttr <kr SdiKtii 3 (ZOrich 1860), 



i. U. 3, S. lÜO— 167. 



d 



Der Briefwechsel zwisclien Loonhard Euler um! Dnniel Bemoulli. 



133 



werden hierzu etwas beitragen zu könneu, bü werde iuh aolches mit vielem 
Vergnügen thun. Ks sind auch allhier einige Subjecta, welche vielleicht 
nicht refusiren würden sich hei uneerer Akademie zu engagiren. Das 
probleuia de invenieuda tautochrona in medio reBistente in ratione quadrata 
veloeitatam ist allhier von einigen sohirt worden: Mein Vater hat auch 
eine Solution In den hiesigen Memoires hiervon drucken lassen.'} Man 
kann hierdurch sehen wie präjudicirlieh es unsern Conimentariis ist, so 
langsam gedruckt zu werden, indem wir allzeit als die alte Fastnacht nach 
den andern kommen werden. Als ich dem Hm. Olairaut redete von 
Ew. Bolutione isdperinietricorani, antwortete er gleich, solches problema 
müsse nicht schwerer seyn, als das problemu ordinarium, indem man all- 
zeit numernm elementorum multiplizieren könne pro numero conditionum: 
woraus zu sehen, dass dergleichen probleniata den hiesigen Mathematicis 
nicht schwer fallen. Aber iu mechanicis ist man hier bei weitem nicht 
BO weit gekommen. Unterwegs habe ich einige meditationes mathematicas 
gemacht de deterniinandiB utique erassitiebus laminae mnro horizontaliter 
infixae, ita ut ubique aequaliter sit rupturae obnoxia lamina, die lamina 
mag proprio pondere agiren oder noch von einem auperincumbente pondere 
utcimque geladen seyn. Man kann über dieses Thema viele curiose Sachen an- 
T i^tiereu, worüber ein sonderbares memoire abfaBsen werde und solches u 

■■■ a) — 1 Akademie überschicken, 

^^P "1 1 's bald ich mich 

a\ TF-* * Vaterland 

i"i 



T^ 



erde arrangirt 
haben. Inzwischen zweifle ich nicht, es 

ffif ' r^" werden Ew. das problema auch leicht sol- 

g- 1 \ <i viren. Ich habe auch einige artige obser- 

P'R- 1- vationes gemacht de foliis sive aequah'ter 

sive inaequaliter cnissis sibi inviceni auperimponendis ut supremum folium 
ab infimo maxinie recünet. als in beigesetzter Figur (Fig. 1). Wenn 
man nun dergleichen Quadersteine sollte, als in beigesetzter Figur 
legen, und zugleich in locis, a. a, a etc. viucula ferrea aequalia, 
um allen casihus fortuitis zn oecurriren, anlegen, wurde solches eine 
wunderliche Architeetur machen. Man kann aber dieaea zu andern 
Sachen gebrauchen. — Auf der See habe ich einige Observation es 
gemacht und gemerkt dasB meine angegebene Maschine de observantis 
aetrorum altitudinibuB einen guten Effect haben wurde. Ich hab auch 
die Telocitatem navis ex glubo e fiio suspenso et aquae aubmerso gar 
genau gemessen, und ist meine Methode mit der ordinären Methode 



Ij Siehe Johaks Bnuioin.T.i, MiOiode }>our trouv 
rf.nstnns comme le quarre dfs ttitesges; Möm. de I'q' 



r hi taulockrones dans leg milietix 
ftil, d, sc. de Paria 1730, S. 7S 



k 



134 



G. Enehtbüh. 



allzeit übereingekomiuen: diese aber ist weit operoBer und hat nicht i 
Vortheil, daes man die veloeitatem navis sine ulla opemtione gleichsam als 
an einer Uhr sehen kann, welches dazn dienen würde, dass man positionem 
velorani luaxime favorabilem gar leicht abnehmen könnte. Ällhier in Paris 
hab ich gehört, daaa auch der Herr PfiLKXl diese Methode inveniendi nftyifi 
veloeitatem angegeben habe ui seiner dissertatione, so das praemiiim er- 
halten. Ich habe auch geeehen die wahre Ursach, warum das Schiff caet«ris 
paribuB geschwinder geht mit halbem Winde, als mit vollem Winile- Die 
Uraach ist gar nicht, wie man bishero geglaubt, dass man alle Segel mit 
halbem Winde employiren Wonne; denn die obliquitas velorum derogirt 
mehr als mau a nnmero velorum gewinnt, welches gewiss ist. Die wahre 
Ursac.h ist. dass mit einem vent en pouppe eu faistint force de voile, das 
Schiff schier diniidiam veloeitatem venti, oder auf das wenigste tertiam 
ejus parteiu erlangt, Weil nun die ratio velocitatum notabel ist, so ist 
velocitaa respectiva venti bei einem halbem Winde viel größer als bei 
vollem Winde, nnd kann also in dem ersten Falle das Schiff geschwinder 
getrieben werden, als in dem andern. Aber die Zeit läßt mir nicht ku. 
von dergleichen Materien weitläufiger zu sejn. Aus Basel schreibt man 
mir, dasB für die professionem Hhetorices et Moralis nächstens soll dis- 
putirt werden; hab aber nicht haben wollen, dass man mich in meinem 
Namen dafür angebe: vielleicht wird mein Bruder einen Cundidatns ab- 
geben. Der Professor Anatomiae soll n&ehstens gemacht werden. Libern 
no8 Dominel Des Hm. Hermann') Tod hat mich sehr geschmer/t . . 

Ealer an Daniel BemoulU IS. Februar 1734. 

Inhalt. Geldangelegeuheiteu. — Über die iwei me ch an i sehen Probleme, liio im 
Uiiefe des Daniki. Bkrshiu.i erwähnt wurden. — Über die tlrsache, warum das Schiff 
geschwinder mit halbem als mit vollem Winde gehen kann. — Die ItucAiiecbe 
DiffereutiftIgleichuDg. — t.ber eine Kurve, deren Ordinaten den Bogen einer gewissen 
Folge von Ellipsen gleich sind. — t"ber eine uarichtige Reihe für log x. — Über die 
tautochroue Kurve im resistenten Medium. — Akademienachrichten. 
Hoehedelgebohrner 

Hochgeehrtester Herr. 

Ew. Hochedelgeb. werden ohne Zweifel mein letzteres Schreiben nebst 
dem Weiel a 560 R. Holl. von der Fr. Bbuknerin ingleichem den See. 
Wexel von meinem Vater erhalten haben. Das Contoir, daraus mir den- 
selben der II. Stehki.in verschaffet, soll auch so gut stehen, daß im 
geringsten nicht ein Protest zu befürchten. 

Da ich in meinem letzteren Briefe nicht Zeit genug batt« Ew. IIocli- 
edelgeb. von Scientificis etwas zu überschreiben, und auf Deroselben unter- 



1) Jaxob Hrrmaüji starb i; 
, Zürich 1662, S. 91). 



3 n. Juii 1733 (Hiebe über ihn Woi 



Der Briefwechsel ewischen Leonbard Euler und Daniel Berni 



135 



'' i»"«gB geniaohte beer vatio neu zu ajitworten, ala berichte liiemit zugleich, 
d2i.fi das Prublema lauiinarum sibi super imponendiir um, ut maximam habeant 
ixicünationem bald sowohl von dem H, Justiz Itath Goldhach als mir ist 
acklrirt worden. Das rindere l'roblenia die Form eines Balkens betreffend, 
welcher er mag beladen sejn oder nicht, allenthalben zum brechen gleich 
geneigt sein soll, erfordert eine Theorie des Brechens, dergleichen Dero 
▼efehrl. H. Oncle gegeben, und wie mich deucht eben das Problenia schon 
tractirt.') Die völlige Ausführung aber, und Application ist frejlich so wohl 
das schönste als schwehrate in dieser Materie, und erwarte deshalben mit 
Verlangen Ew, Hochedelgeb. darüber versprochene Dissertation 

Deroselben Esplication, warum ein Schiff mit halbem Winde ge- 
schwinder fortgehe als mit gantzem, bat jedermann (iber die Maßen wohl 
gefaUen. Denn da der stärkste Wind in einer Secimde kaum 20 Schue 
gehet, 80 ist freylich die Geschwindigkeit des Schiffes in Ansehung des- 
i-elben sehr considerabel. Allein der Mangel bei vollem Wind deucht mich 
Joch noch grußer zu seyn, als Ew. Hochedelgeb scheinen in Betrachtung 
m ziehen. Denn in solchem Falle kau man nicht nur nicht so viel Segel 
nusspannen als bei halbem, sondern auch von den ausgespannten hat kaum 
die Helfte einige Wirkung, Daß die Segel des vorderen Mastes umsonst 
»«■yen, wie auch ein Theil derer des mittleren ist unstreitig. Denn ich habe 
oft bei starkem vollem Winde das Fähnlein des vorderen Mastes hinderwerts 
gekehrt gesehen. Woraus erhellet, daß die vorderen Segel den Lauf des 
Schiffes sogar wegen der Resistenz verhindert haben. 

In den Actis lips. M. Aug. des vorigen Jahres wird man schon in 

Baael meine Construction der UTcCATiaDischen Aecpiation gesehen haben,*) 

ich möchte darflber mit großem Verlangen Dero Hochgeehrtesten Herrn 

Vatters und Herrn Vetters Urtheil vernehmen. Ew, Hochedelgeb. wissen, 

wie indirecte ich auf dieselbe gekommen. Wann man eine directe Methode 

sollte finden können, so bin ich versichert, daß dadurch die Änalysis un* 

gvmein würde erweitert werden, und daraus gleichsam ein neuer Oalculus 

^^^^Utehen. 

^^^H| wann unendlich viel EUipses auf einem Axe conjug. 1/ gesetzet werden, 
^^^^H daraus eine neue curra formirt wird, davon die Abscissae den Axibus 
j^^^hHversis r gleichgenommen, die Ap]iliGatae aber den Peripheriis dieser 

1) Siebe J,».*»» Gkiuk.llli, Cunalara taminae dagticae; ÄcU Erud. 1694, S. 362 
-278 [= Optra I, S, 576— 600J. V^itable hypothhe de la legiaaiKe den solidfs. (itM la 
""»mtratioti de la courbure des corps gm' fönt ressort; Mdtn, de I'avad, d. ac. de 
P"ii 1705, 8. 17fi-18ö [= Opera U, S. 076—989]. 

Ti Stöbe h. BiJLKK, (lonstnictio nrquationum nuarumlnm diffcrentialium <iHae 
^^Mermimtartm ffparattonem »on adoiittuHt: Nova Acta Etud. 1733, S, 309 



Ellipsiura H gleichgcBetzet werde 
nachfolgende Aequation expriniiert werden;^) 



ird die Natur die 



ddn = 



- + 



udr'' 



worauf ich gleichfalls nicht änderst als indirecte gekommen. 
Ich vermeinte neulich, daß nachfolgende Series 

,„ _ 1 (m-l)( M - 10) (m - 1) (B. - 10) im- 100) 



("»-IJCw 



-10)( m 



-100)("' 



esBOoo 

-1000) 



+ etc. 



I 



9999000000 

(atwo die Anzahl der Nullen im Numeratore und Denominatnre einander 
gleich sind, im übrigen ist die Lex klar) den Logarithmum communen 
ipsiuB m esprimere, dann ist ut = 1, so ist die gantze Series ^ U, ist tu = U' 
80 kommt 1, ist m=lOO, kommt 'J, und bo fortan. Als ich nun daraus 
den Log. !' finden wollte, bekam ich eine Zahl welche weit zu klein war, 
ohngeiicht diese Seriea sehr stark convergirte. 

Meine Dissertation De tautochrona in /lui'dis wird nächstens mit den 
4t. Tomo unserer Comuient. gedriicket werden.') Dero Herren Vattera 
Methode und einiger Matheuiaticorum von Paris, welche diese Curvam gleich- 
falls gefunden, bin ich sehr begierig zu sehen, oh sie von meiner Methode 
diffcrent sind, indem mich kaum möglich deucht, auf eine andere Art dazu 
zu kommen; daß diese Methoden aber mit meiner völlig u berein konnuen 
müßten, glaube ich deswegen, weil keiner für eine andere Hypothesin 
resistentiae die tautochronam gefunden. Wann diese Herren von Paris 
Bo weit gekommen, möchte ich gern vernehmen, ob sie auch diesea 
Prohlema, datae curvae aliam adjungere ad tautochronismum producendum 
aptam,^) welches Ew, Hochedelgeb. proponirt, nur in liypothesi Vacui sol- 
viren werden. In den ('onferenzen lese ich anjetzo eine Dissertation vor 
De Irachysiochoms in media quocungue resistefite, darinn der verehrl 
H. l*rof Herman sich übersehen.^) Ich habe dabey diese merkwürdige 
e Abhandlung v 



1) Vgl. di 
r«<(uiy«R(ium,' I 
(apeiieU Problem 1). 

2) Siehe die Abhnndluti); von Euuiit 
facicnte secu»dum quadrala eeUritatum ; Co 
dmckt 1735], S. 67— 89 (vgl. Bibl. Mathe 

8) Yt;l. hierüber den Brief von Eri.Bn 
(Bibliotb. Mathem, 43, 1903, S. 372— 37; 
von Ey^i.F.n. 

4) Siehe .1. Hkkuans, Thtoiia getKialü motutim; Comm 
1727 [gedrackt 1729], S, 139-173 (BiieEiell ort. 2G), t. E 
ileaeen»us in tufäio quoctimpte rwistenfr; Commont. oenil. 
[gedruckt 1740], 8. 135— H9. 



KH, Sohilio prublcmaliiin rettificationeiu eltipsiiiK 
Petrop. 8, 1736 (gedruckt 1741J, S. 86—9: 



va tnutochrona in fluido resitlenliam 
ut. Bcad. BC. Petroi). 4, 1729 |go- 

, 1903, S. 373), 

lUKH B3IRNDIII.U vom 21. Oktober 1729 

ivie die dort zitierten Abhaiidlangeu 



int. acad. bc Petrop. 3, 
ir.KH, De linta ecUrrimi 
c. Petrop. 7, 1734/1735, 



^^1 Der BricCwcchaul KwierliPii Leouliaril Euler iiud Daniel Bemoulli, 137 

Observation gemacht, daß die Bracliystochronu in Üiiido. oder wann die 
Üesistenz den quadratis celeritatum proportional ist, mit der tautochrona 
In eadem hyjiothesi völlig übereinkomme. Wann nun diese i' berein st immnng 
ailxeit eintreffen sollte, so würde das l'roblema Tautoclironarum sehr leieht 
Tn Eolvireu werden. Dann Eowohl in vacuo als medio qnocunque resistente 
ist allzeit diese C'urva die Brachystochrona, da die Preasio corporis in 
canaiii noch so groß ist als die Vis centrifuga corporis, oder da die zwey 
vircN prementes curvam sc. vis normalis et centrifugii einander gleich sind. 
j\db diesem imvergleichlichen Theoremate ist ea derobalben sehr leicht die 
Brachystochrotiam in quacunque hjpothesi zu finden. 

Von hieeigen Neuigkeiten weiß für dießmal nichts merkwürdigeres 
m berichten, als daß in Abwesenheit des H. Presidenten die Direction 
von den Herren Golduäch, SdU! mach Kit und Baveh geführet wird. Der 
ü. Mkdku ist Hecretariua sowohl bey den Conforenzen als auf der (lanzley. 
I''ii habe, seit dem ich mich verheyrathet, ein eignes Hauß, so in der 
•l'l L*init' gtflegeii, und über die mußeU wohl conditionirt ist, gekauft. 

Au Ew Hoohedelgeb. llerrn Vatter und girntze hochzuehrende Familie 
intte gehorsamst meine ergebenste Emplehlung zu machen, womit verbleibe 
""t Biihuldigsf«r Hochachtung 
^H_ Eurer irochedelgeboliraen 

^^B Meines Hochgeehrtesten Herren Professors 

^B St. Petersburg, d. IGt. Febr. 1734. 

^^H gehorsamster und verbimdenster 

^^B Lboniiaiui ErLER. 

^F Enler an Daniel Bemoulli November (i') 1734. 

^H liikiitt. Über einen vorloron gcj;augenen Urief ilca Dasiki, BimsoiiLi-i. — Über 

B^ ***»- Ukrnui ij.ib WudbcIi, von der l'ctereburi^cr Akadciiiio der Wisaenscbaften eine 
*"**Bion zu bokomineu. — AkademionBclirichteu. ^ Die Hydrodynamik dea D.vmki. 
'^'^»ooM.i nnd die Mechanik dos BitEn. — Ein verloren BegBiigBoes MnnuAript vou 
'^^**«Ki, Bnrkut I.M. — Frivatangelegonhoiton. — Em.er wünachl in Ila»el Doctor medicinao 

^^^'Werden. — Znei I'mbleitie aus der Ditl'erentialgeonietrie, . — Die Itahu einer Stück- 

^^toel in der Luft zu bcBtimmea. ~- l'olitiachc Nacluichteu. 

^^P llochedelgebohrner 

^^1 Hochgeehrtester Herr Profeßor. 

^^B lÜw. Hochedelgeb, Antwort auf mein ersteres Schreiben habe richtig 

^^nalten und hätte darauf vor einiger Zeit schon wieder geschrieben, wenn 
iwKtiiuf mem zweytes Schreiben, welches der H. StliUMACiiKW mit einem 
Briefe an Ew. Hochedelgeb. begleitet, noch vorher eine Antwort erbalten 

^^oHen. Da ich aber anjetzo von dem H. Moulat') nicht nur vernommen, 

^H 1) Vemullicti FiiiKiniicK MottA (f 1783), der 1734 Adjunkt der Peterabur^or 
^^BUtnite d«r Witsonschafteu «ar (liehe Woi.v, a. a. 0. A, S. 161—162. 



daß gedachter Brief in Baeel angekommen, sondern daß Dieeelbm nnfh 
Bchou vor geraumer Zeit geantwortet, so muß Dero Sclireiben, indem ich 
nichts bekommen, zu meinem großen Verdruß verlohren gegangen seyn. 

Ew. Hochedelgeb. Hoffnung zu der jäbriicben Pension von 20(.J U. 
ist meiner Meinung nach gar nicht völlig Terschwunden, sondern nur 
aufgeschoben wegen der Abwesenheit Unseres Herrn rräaidcnten, als vor 
dessen Wiederkunft keine Saohen von einiger Wichtigkeit können aus- 
gemachet werden. Inzwiseben können Dieselbeu versichert seyn, daß zu 
einem Membro Honorario von der Mathe matiscbeB ('lass niemand anderes 
als Ew. Hoched6lgeb. werde ersuchet werden. Wegen Deroselben An- 
forderungen habe mit großem Fleiße ein Meraoriale an die Academisehe 
Direction aufgeaetüet, und darauf nachfolgende Antwort erhalten, daß 
hierüber, ehe Ew. Hochedelgeb. wegen dem Lettre cachete werden dieponirt 
haben, keine Ueeolution ertheilet werden könne. Im Übrigen würden 
diese Forderungen für sehr billich erkannt. 

Was den Zustand der Äcademie betrifft, so scheinet insonderheit die 
Mathematische (Uass je mehr und mehr in Decadence zu kommen, indem 
auch der H. KiiAPr'} künftiges Jahr wegreisen wird; und man keine An- 
stalten macht, wiederum tüchtige membra zu erlangen. Es heißt, daß 
man solche Limte sehr leicht werde bekommen können, Ew. Hochedelgeb. 
werden aber sowohl als ich die Schwierigkeiten darinnen einsehen. 

Der 4te Tomus unserer OommentarÜ ist schon lang zum Drucke 
reglirt worden, der Anfang aber ist dennoch noch nicht gemacht. Dero 
hinterlassene Bücher habe zusammen gepackt, und dem H. Stehelin über- 
geben, welcher dieselben nach Amsterdam zu schicken über sich genommen. 
Von den Bolognesischen Memoiren habe ich seit der Zeit kein Exemplar 
empfangen, und auch nicht erfahren, daß jemand anderes davon be- 
kommen habe. 

Was Dero Tractatum Hydrod vnamieae betrifft, so habe deswegen gleich- 
falls mit dem Directorio gesprochen, von welchem deswegen an den 
H. l'räsidenten wird geschrieben werden Es sollte mir höchstens leid 
seyn, wenn die Sache einige Schwierigkeiten haben sollte. 

Des U, Bayarp Histuria Edessena ist herausgekommen, und soll den 
Leuten als ein Tomus Comment. aufgedrungen werden, welches aber, wie 
ich glaube, nicht angehen wird; vielmehr möchte man dadurch eine 
Provision von Maculatur auf einige Zeit bekommen. Es wäre zu wünschen, 
daß an statt solcher Bücher Scientifica möchte gedracket werden, als wo- 
von man nicht nur mehr Profit sondern auch Ehre haben würde. 



1) «eoBU W-LFUANo KKiCFT (1701—1754), seit 1731 ProfeHSor dor Physik « 
Petersborger Akademie der WiB8eD9cli»ft«n. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bemoulli. 139 

Von meiner Mechanica ist der erste Tomus auch ganz fertig, habe 
aber wenig Hoffiiung, daß man denselben allhier drucken werdet) 

Von der Piece, welche Ew. Hochedelgeb. an den H. Praesident ge- 
schickt, weiß kein Mensch nichts, noch von den Briefen, so dabei gewesen. 
Ew. Hochedelgeb. würden am besten thun, wenn Sie solche Sachen an 
mich ins künftige adressiren wollten, ich will dafür lieber das Postgelt 
bezahlen, als den Verlust derselben leiden. 

Die Krankheit Dero Herren Vatters ist mir höchstens zu Herzen 
gegangen, und wünsche daß dieses Denselben wiedrum in gutem Zustande 
antreffen möchte, wozu ich aus der Leichen Predigt des H. Hermans um 
so viel größere Hoffnung habe, da in derselben des Herren Vatters Carmen 
von jedermann vor allen anderen ist bewundert worden, insonderheit aber 
von mir, der ich sowohl Desselben Sentiments als die BESSLERische Ge- 
wohnheit kenne. Bey Verfertigung dieser Verse vermuthe ich, daß Er 
vollkommen gesund müße gewesen seyn. Demselben bitte gehorsamst 
meine unterthänige und dankbarste Empfehlung zu machen, und mich 
Deßelben Wohlgewogenheit auf das beste zu recommendiren. 

Mein Schwager Nörbel hat mich sehr gebeten ihn Ew. Hochedelgeb. 
zu recommendiren damit er zu einem besseren Dienste gelangen möchte, 

aber nicht einmal verlange, wenn er es nicht wohl meritirt. 

Der Herr Geheime Rath Baron von Munnich, welcher anjetzo Chef 
von dem Cadeten Corps ist, hat mir neulich Propositionen gemacht, in 
dem Cadeten Corps Lectionen zu halten und zugleich über die Informatores 
die Inspection zu haben, wofür ich außer der Academischen Gage noch 
eine jährliche Pension von 400 R. genießen soll. Welche Propositionen 
ich um so viel eher ohne Bedenken annehmen werde, da ich wegen der 
Abwesenheit des Herrn Praesidenten aufs zukünftige Jahr noch keine 
größere Besoldung hoffen kann. Bei der Academie ist sonsten keine Ver- 
änderung vorgegangen, als daß der H. Junker von Ihro Kaiserl. Majestaet 
immediate ist zum Professor ernannt worden mit Verdopplung seiner 
vorher gehabten Gage. 

Da Ew. Hochedelgeb. nunmehr Professor Medicinae sind, so möchte 
ich gern mit der Zeit eiumal, wenn es nicht allzuviel kosten sollte, in 
dieser Facultät Doctor werden, indem ich schon immatriculirt bin, und 
mich ins künftige etwas mehr auf dieses Studium appliciren werde. 



1) Der erste Teil der Euler sehen Mechanica sive motus scientia andlyiice ea^osita 
(St. Petersburg 1736) war also schon 1734 im Manuskript fertig. Dieser umstand 
erklärt, warum der zweite Teil in gewissen Fällen einen Fortschritt im Vergleich mit 
dem ersten Teil repräsentiert (vgl. Biblioth Mathem. 63, 1905, S. 319—321). 



140 



G. Ekk 



Seit der Zeit habe ich nachfolgende Problemata solrirt worQber ich 

gerne Deroeelben nebst Dero Herren Vattera und anderer Mathematicornin 
Urtbeil vernehmen mücbte. Das erste ist eine Curvaiu zu finden, welche 
von unendlieh viel Ellipsibus, ') welche auf einem Axe transverso stehen, 
gleiche Arcus abachneidet. Ingleichem von unendlich vielen Ellipsihns, 
welche einen Verticeni und gleiche Äxes conjugatoB haben, gleiche Arcus 
abzuschneiden. Die L'onstruction dieser curvarum ist per rectificationem 
elOpsiani leicht, ich verlange aber eine aequationem vor diese curvas, 
welche so beschaffen Heyn wird, daß man daraus zu keiner Coustruction 
gelangen kann, ohne meine Methode, dadurch ich auch die Aequationem 
RiccATianam eonstruirt. Wimn die curvae propoBitae eimiles sind als 
Parabolae, so hat die Solution keine Difficnltät und ist dieses Problema 
schon im vorigen Seculo von Dero H. Vatter") Bolvirt worden: wajm die 
Curvae aber dissimilea sind, so würde die Solution, wann sie von meiner 
unterschieden wäre, in der Analyse ein größeres Lieht geben. 

Das zweyte Problema ist dieses:^) Invenire (Fig. 2) duae eurvaa ASI, 
A N algebraicaa non reetifleabiles sed quarum rectificatio a data quadratura 
pendeat; tales ut, ducta ad asem eommuuem AP 
quacunque ordinata orthogonali MN, summa 
arcuum AM et -•1^ possit algebraioe exprimi. 
_ Wann diese Conditiou nicht hinzu gethan würde, 
daß die beiden Arena eineriey abacissam ,4 f 
haben sollten, so lolgete die Solution gleich 
aus den Formulis welche Dero Herr A'atter*) 
pro reducendis quadraturis ad rectificationes cur- 
^8- '^ varum algebraicarum gegeben. Mit dieser Cou. 

dition aber ist die Solution meiner Meinung nach sehr schwehr, und 
kan ich, obgleich meine Solution general ist, dennoch keine eurrus 
simpliceB satisfacientes geben. Dieses Problema muß auch möglich seya, 
daß man wann die eine curva A Jil gegeben ist, die andere AN finden 
soll, HO daß AM -\- AN recttflp^bel ist. Ich habe nur diesen Casum be- 
trachtet, wann AM eine Parabola ist, habe aber die andere Curvam nicht 
finden können 



tu, Solulio probhmatum rectifieationem ttlipeium 
retrop. 8, 1836 |gedrnukl 1741|, 8. 86—98 



1) Vgl, die Alihatidlung 
requirentium ; Commeut. ac 
(speziell Problem 2). 

2) Siehe J'.hssk Bkukoulm, Üolulio sex probiematupt fralernorum; Acta Etnd. 
I6S8, B. 226—230, Problem IV, V [= Opera mmxa I, S. 256-259], 

3) Siehe hierüber den Brief von Eih.bh an Johan.i Bgunollli vom 27. Aagost 1737 
(Biblioth. Math ein. Sa. 1904, S. 260— 262), aowie die daselbst zitierten Abhsndlui 

4) Siebe Bibliotb. Mathem. 5s, 1904, 8. 260, FiiBnote 3. 



I 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bemoulli. 



141 



In Schreibang meiner Mechanic bin ich auf eine Aequation gefallen, 
welche quam proxime die Natur der projectoriae in Aere exprimirt ^) Als es 

aej BN AMC (Fig. 8)2) die Via meiner Stück- 

kugely Ä das punctum summum, AD eine Vertical- 

linie. b sey die Höhe aus welcher die Celeritas i^ 

in A generirt wird, und c die Höhe aus welcher 

diejenige Celeritas entspringt, mit welcher wann 

sich die Kugel bewegt, die Resistenz der Vi 

gravitatis gleich ist. g ist zu 1 wie die Schwehre '^* * 

der Kugel in aere, zu ihrer wahren Schwehre in vacuo. Wann nun 

gesetzt wird AP=y, P3I=x, so wird die Natur der curvae AMC 

q. pr. diese Aequation haben: 

2by -]- gcx == g c^\e^ — l) 




od 



X 



- 1 2by + gc x + (jc^ 

—— C X »," 



^SLim die altitudo generans celer. in M ist v, so wird seyn 



X 

c 



V =be + 






x^ 
c 



{p - 1)'. 



Und tempus per AM wird seyn fö^"/ (^"^^ — M "^^^' ^®^- wann h 

^xi^d c in lOOOste Theile eines Rheinischen Schues exprimirt wird. Setzt 
'■^«m die Geschwindig- ^) 

P. S. Der Herr Brouckner^) befindet sich gar wohl, und last Ew. 
Hochedelgeb. seine gehorsamste Empfehlung machen. Den Augenblick ist 
ivÄTch einen Courir die Nachricht gekommen, daß die 2000 Franzosen, so 
^or Danzig angekommen, feliciter geschlagen worden, so dass wenig mehr 
*^acli Francreich zurückkommen werden. 



1) Vgl. EuLEB, Mechanka 1, S. 373-389. 

2) Neben der Figur atelit: „Meines Erachtens betrugt (?) Newton in Bciuem 
2 ten Buch, wenn er statuirt, das diese Curve A M eine Asymptoten verticale habe, und 
^««wegB dazu durch hyperbolas zu appropinquiren sucht". 

3) Der in Gotha aufbewahrte Brief ist unvollständig; er enthält nur vier Seiton 
▼on denen die letzte mit „Geschwindig-" endet. Otfenbar stand das Datum des 
Briefes auf dem fehlenden Blatt; etwas auffällig ist es, daß das Postskriptum schon 
*öf der vierten Seite, also vor dem Schluß des Briefes steht. 

4) Vermutlich Isaak Bblcknek (1686 — 1762), der seit 1725 von der Petersburger 
^»demie der Wissenschaften als Mechaniker angestellt war (siehe Wolf, a. a. 0. J, 
S. 91-92). 



142 



G- Erna 



Dauiel Iteriioulll an Euler 18. Dezember 1734. ^ 

Inhalt. AkBdemiosDgelegeaheitBD. ^ Ober dio Druckle^ng Her Mrcitanica ton 
EfLEB und der Hi/drodynamka von D.isiei. Bkiincut.i.i, — i''ber eine iah lau theoretische 
Äbfaandliiug von LAnNt, ^ tiber einige geometriache und mecbanigche Probleme. -^^ 
Über den Wnnscb Ei i.kkb, Doctor meciiciuae zu werden. ^^M 

Basel d. 18. De<-ember 1734^ 

Die Akademie ist glücklich einen solchen Directorem ') bekommen 

zu haben, Her selber die Wissenschaft besitzt. Ein guter General mnes 
auch ein guter Soldat sejii. 

Es wäre wohl Schade wenn die uiatliematischc Ciasse, wie Sie 

sagen, in Abgang käme: Man mag sagen was man will, so dependirt doch 
die Ehre der Akademie bei den Ausländern am allermeisten Ton den 
mathematischen und physischen WisseuBchaften. Solches habe auf meiner 
Rückreise zur GeDÜge erfahren. Man sollte trachten den jungen lim. 
Claihaut von I'aris zu bekommen. Ich kann ihnen nicht genug sagen, 
mit welcher Ävidität man allerorten nach den Memoires von Petersburg 
fragt . . . Eb wäre zu wünschen dass die Druckung derselben mehr he- 
Bchleonigt würde. Wenn man etwa mit der Zeit sollte Mangel an meuioires 
haben und die meinigen nicht verachtet würden, so bin bereit einige 
pieces zu schicken. Es ist mir leid, dass diejenige piece, so ich an den 
Hm. Präsidenten vor einem Jahr geschickt, ist verloren gegangen. 

Wenn mir Ew. Dero Tractatum niechanicum schicken wollen, so will 
ich denselben drucken lassen in Straßburg, allwo sie gar froh darüber 
sejn werden. Meine Hjdrodynamicam tbuckt wirklicli der Herr Dulseefcer 
und gibt mir nebst 30 exemplaribua annocb 100 Tbl. liecompeuB^) Ew. 
judiciren gar recht wegen der Historia Edessena; raebe Hydrodynamica 
ist in einigen Journalen zum voraus reoenBirt: loh werde solehe I. K. M. 
zu dediciren die Freyheit nehmen, welches die einzige Dankbarkeit ist, 
so im Stand bin zu bezeigen, da sonsten meiue Dienste nicht agreirt 
werden; doch bitte ich Ew, mir hierauf expresse zu antworten, ob Sie 
meinen, dass solches etwa nicht sollte ungütig aufgenommen werden. 
Wenn etwas zum Beaten der Akademie darin könnte gemeldet werden, 
kann mir solches nur angezeigt werden, aber mit ehestem 

Ich komme nun auf einige Mathematica. Ew. verlangen von mir zu 
wissen einen kurzen Begriff von des Lagnt piece, 80 in den Pariser Meni. 
a. 1720 ist'). Es ist nichts, als leere Worte. Sein ganzes problema ist, 

1) FiBstaa- 0.11,8.415) teilt mit, daß der neue Direktor der Barou von Kobfk war. 

2) Bekanntlich erBChien die liydrodi/namica von Darikl BKaNon.Li zneist im 
Jahre 17S8. 

3) Siehe T. F. dx LKiMV, JUithode pour risoiidre wlifiniment et d'une iiianiiVe 
compUtt en tMinbrea enlkru fcs proMaws mditermiiicf ; Mem. >\. Tacad. d. sc. de 
r-arig 1720, S. 178-188. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bemoulli. 143 

den valorem nnmeri integri von x zu finden, damit —^ — -— — X:.-: (allwo 
a, by c, d nnmeri integri sind) einen numerum integrum mache, und zu- 
gleich -^^ — ^^ — Iil_Li auch einen numerum integrum. Wenn x drei 

Dimensionen hätte oder mehr, so kann er es allzeit praestiren, wenn es 
möglich ist, vermittelst denen zwei Conditionen, welche er allzeit suppo- 
niren muß; solches aber ist gar leicht und hat ja der Newton in seiner 
Arithmetica universalis schon gezeigt, wie man müsse den valorem von x 
aequatione unius dimensionis vermittelst der zwei gegebenen Aequationen 
finden^). Es wird also gleich das probiema von Lagny dahin reducirt, 

Ix i fn 

dass — -^-— ein numerus integer sey. Wenn man auf diese Weise den 

valorem von x gefunden, muss man erst tentiren ob er angehe oder nicht; 
wenn das probiema möglich ist, so wird der inventus valor satisfaciren 
und sonsten nicht, welche letztere Observation, wie mich dünkt, der Lagny 
nicht einmal macht. 

Ew. probiema de abscindendis arcubus aequalibus in serie ellipsium 
etc. ist sehr profundum und, wie ich glaube, schwer anders als a posteriori, 
methodo Berierum auf Ihre Weise, zu solviren. 

Die Natur der trajectoriae corporis in medio resistente tenuissimo 
projecti habe auch quam proxime determinirt: unsere Expressionen kommen 
in quovis casu particulari gar nahe zusammen. Doch aber muss nach 
unser beider hypothesi c viel grösser supponirt werden als a und x. 
Welche aber von unsem Expressionen accurater sey, kann nicht wohl 
anders als ex hypothesibus, quibus uterque in analysi usi sumus, ge- 
schlossen werden. Ihre denominationes habe in einem falschen sensu ge- 
nommen, bis ich meine Expression gefunden. Ihre Worte sind diese: 
„h sey die Höhe, aus welcher die celeritas in vertice Ä generirt wird 
(subintellige vi gravitatis naturali), und c die Höhe (rursus pro vi gravi- 
tatis naturali), aus welcher diejenige celeritas entspringt, mit welcher, 
wenn sich die Kugel bewegt, die Resistenz der vi gravitatis (naturali 
nempe, non diminutae a medio) gleich ist etc.". Wenn dieses Ihrer Worte 
Verstand ist, so finde solche Aequation: 

gxx , 

512 b^x+(4Sggx^^48 56a;)V(16 hb + ggxx) — {20 ggx^ + 80 bbx)^(lßhh + 4ggxx ) 

IßHbbgc 

Aus dieser Aequation (in welcher vergessen, den numerator und 
denominator durch 4 zu dividiren) kann ich die übrigen Circumstanzen, 



1) Siehe I. Newton, Arithmetica universalis^ Ausgabe Leiden 1732, S. 60—63. 



vua ileDBE Sie Meldung thun, ieickt ileciucirea. Itre Aeqiiation nol 
ivena miin sie in seriem resolvirt, ist gar simpel, indem, wenn 



■c(<" 



-D- 



« 



man propt«r valnrem admodam magnum ipsins c, siipponiren kann 
ih "^ isTT-' """^ ^^^ ^ diesem I'unot einen grossen Vortheil vor meinn' 
Aequation. Es mrd aber leicht zu zeigen sejn, dass quam proxime sey 

-■ ■ 16 6^ —— -ffx. 

Auf das wenigste dtfi'eriren diese zwey Expressionen in easibns particn- 
laribus nicht i"iel. — 

In mechanicis habe einige neue principia generalia erdacht, welche 
viel qnaestionea phyaico-mechanicas solviren, gleich dem principio conser- 
vationis virium vivarum. Ich habe vor etwas Zeit gearbeitet in invenienda 
lege vibratianum minimarum laminae uoiformis elasticae parieti horizon- 
taliter infixae es data ejus vi elastica; aber ich bin nicht recht mit meiner 
Solution zufrieden. 

\V'enn Ew. wollen in facult. med. Doetor werden, so will dazu gern 
verhülflich seyn. Wissen Sie nichts von den Kamtschatker Herren?, ^^h 

Dauiel BernODlIi an Euler 31.1, April 174u. ^M 

InhiiH. Über die Preiaicbriften der Pariioi .dkademio. — Ober eiuij^ maÜw- 
matiache Prablome nud Fragen, — Dio KSlte m St. ret«t«biirg. 

Basel d, 30, April 1740. 
... Es werden Dieselben allhereit den Bncces von den Pariser pü^es 
wissen. Der prix ist iu vier TUeile getheilt worden, davon der eine ist 
Ew. zuerkannt worden, wozu ich Ihnen gratulire; ein anderer Thfil ist 
dem Mac Laikin, ein dritter einem unbekannten Oartesiancr und einer 
mir zuerkannt worden. Man schreibt mir, es sey noch niclits Vortreff- 
licheres nach Paris für dergleichen praemia geschickt worden, als drei 
von diesen piecea; die vierte aber hat man nicht rühmen wollen und mag 
vielleicht sein einzig mi5rite seyn, kein Anti-Cartesianer gewesen zu seyn. 
Von Ihrer piece hat man mir insonderheit gerühmt, wie sie die figuram 
terrae, quateuus ab actione lunae mutatiir, determinirt, und anbei inertiam 
uquarum sehr geschicklich in ( 'onsideratiou gezogen. Ich für mein Theü 
habe, um mich nicht allzuweit in die pure geometrica einzulassen, mich 
contentirt die differentiam inter axem et diametrum perpendicularem ab 
actione lunae ortam zu determiniren ; was aber die considerationes phjsicas 
anbelangt, habe ich alle Umstände mit der möglichsten esnctitude betrachtet 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli. 145 

Die Observation, so Herr de la Croyere dem Hm. Delisle gesagt 
und welche mir Ew. überschrieben, hab ich der Akademie zu Paris als 
uns Beiden sehr favorabel überschrieben und dabei gemeldet, dass von 
unserm Hm. Präsidenten ordre gestellt worden accurate Observationen in 
zona glaciali zu machen. Bitte Ew. von dem Hm. Kammerherm zu ver- 
nehmen, ob diese meine überschickte Addition dürflfe gedruckt werden. 
Zu Paris ist man sehr begierig zu wissen, wer der Autor sey von einer 
Brochure: Examen desinteresse sur la figure de la terre etc. Ew. sagen 
mir doch, ob Sie nicht glauben, dass Herr Delisle solches verfertiget. — 

Haben Sie das problema de osciUationibus corporum ex filo flexib' 
Buspensorum auch untersucht? in welchem Fall ich gern wissen möchte 
ob Ihre Solution mit meiner übereinkommt; ich habe Ihnen neulich 
solche durch den Hm. Präsidenten überschrieben .... 

Es ist mir lieb, dass Ew. meine schon vor vielen Jahren gefasste 
Idee de vorticibus infinitis ad causam gravitatis explicandam nicht des- 
approbiren; ich habe die Möglichkeit dieser Hypothesis iUustrirt ab 
ezemplo decussationis liberae infinitorum radiorum solarium in camera 
obscura. Was der Abbe Molieres hierüber geschrieben ^), habe ich nicht 
gesehen. Da meine Dissertation de causa gravitatis nirgend ist gedruckt 
worden, könnte vielleicht selbe einmal bei Mangel anderer Materie unseren 
Commentariis inseriret werden. Der von dem Newton angenommene 
rapport inter actiones lunae et solis ist gewiss sehr übel fundirt und 
nicht füglich die phaenomena aestus maris mit einer Accuratesse zu ex- 
pliciren. Ew. werden zu seiner Zeit meine Reflexionen über diesen Punct 
sehen : ich statuire rationem mediam inter actiones solis et lunae, wie 2 zu 5. 

Der gradus frigoris Petropoli huj. anni ist stupend; ich möchte gern 
wissen, ob keine observationes physicae bei dieser Kälte sind gemacht 
worden. 

Euler an Daniel Bernoulli 15. September 1740. 

Inhalt. EüLKRB Augenkrankheit. — Eülebs Preisschrift über Ebbe und Flut. — 
Beobachtungen über Ebbe und Flut im Eismeer. — Über das Gleichgewicht einer 
schwimmenden dreieckigen Scheibe. — Über die Schwingung eines an einem Faden 
aufgehängten Körpers. — Über die Dissertatio hydraulica von Johami Berhoulli. — 
Über die akustische Theorie der Pfeifen. 

Hochedelgebohmer 

Hochgeehrtester Herr Professor. 

Vor einiger Zeit habe die Ehre gehabt. Denselben über Amsterdam 
zuzuschreiben, und Ihro Durchlaucht Portrait nebst den Academischen 

1) J. P. DE MoLiEREM (1677 — 1742) hat in den Memoires de l'academie des 
sciences de Paris 1728—1733 drei Abhandlungen über den fraglichen Gegenstand 
veröffentlicht. 

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. YII. 10 



146 



G. EkebtsÖh. 



Ew. Hocliedeigel». und Dero H. Vater destinirten Büchern zueasenden, 
welches Dieselben ohne Zweifel schon richtig werden erhalten haben. 

Auf die Scientific» habe nicht eher als jetzo antworten können, wegen 
einer UnpÜßliphkeit an meinem Auge, wodurch ich einige Wochen außer 
Stand gesetzet worden, das geringste Yorzunehmen. 

Weilen ich hoffe, daß Ew. Hochedelgeb meine Piece De fluxa et 
refluTu maris^) schon werden gesehen haben, so finde nichts anders auf 
Dero darüber gemachte Remarques für nöthig zu antworten, als daB 
n. Ci.AmAUT in seiner nach London gesandten Picea, welche ich in den 
Traneactionen gelesen^), freylich recht hat, daß ab aucta terrae versus 
centnim densitate die Figur der Erde weniger von der vollkommenen 
Rundung abweichen niiisse; diese Sache aber hat in meiner Piece keinen 
Einöuß, weilen ich dieße Materie nur obenhin berühret habe. .Sonsten hat 
mir der H. MAri'KiiTirs neulich gesehrieben, daß H. Cassixi nunmehro seine 
Meinung wegen der Figur der Erde völlig abandonnirt und Tor der 
Academie abgeschworen. 

Aus dem Mari glaciali habe ich neulich observationes circa aestnm 
maris erhalten, welche aber nicht hinlänglich sind etwas gründliches 
daraus zn schließen. Dieselben sind etwan 41.) Werst von Archangel in 
der weisen See den 6. und 7. Aug. angestellt worden, allwo mein Schwager 
Kaiser Oapitain von der Flotte an einem eingetheilten Pfa! obaervirt, daß 
den li'. Aug. um 2 Uhr 45' p. m. 12 Schuh ^ Zoll gestanden, zu welcher 
Zeit das Wasser am höchsten gewesen, nachdem ist das Wasser nach und 
nach gefallen biß H Uhr 40', da es am Pfal Seh. SJ ZoU anzeigte. Den 
folgenden Morgen d. 7'. war wiedruni Ebbe um 7 h. öS', da das Wasser 
am Pfal bev 8 Seh. Kl Zoll stund; um 9 h. 22' fieng daßelbe an zu 
steigen biß zur folgenden Fluth, so geschah um Ü h. 4S' p. m., da die 
Höhe des Wasser am Pfal war tl Seh, ti Zoll, Mehr Observationen sind 
nicht gemacht worden, wie ich gewünscht hätte, daß dergleichen von 
einer Conjunction bis zur folgenden zum wenigsten angestellet würden, 
auch war diese Zeit circa quadraturam Lunae, aus welcher am wenigsJ 
etwas geschlosBen werden kann. 






1) Die EuLERBcbe Preisicjirift Inquisitio pkyska in causam fliixu» et Teßi 
«Ktrt> ecacbien loeret im Jahre 1741 in den Piecei que ont reniportä le prix 
de Iscad^mie rojale des Bciencee en M.DCC.XL. sdt le flux et reflax de la 
mar (Pftris 1741), S. 235— 350. 

2j Siehe A. L. Cuiuialt, ttivestigalionet aliquot, ex quibua probetur, teirae fi^uraM 
gtcundum legt) altractionii in ratione inrerea quaärali dinUmiiarum maxime ad dtipti- 
acctdat äeba-t; Philo». Trans. 40. llZlßü, S. 19—25. — An inqutry eoneeming 
tht figvre of lueh planet» as revolre about an axia, tupposing the demitg ontinttatlsf 
(o tarij from the centre toward» thesurface; Philo«. Trana, 40, 1737,'38, S. 277—306, 



Der Briefwechsol zwischen Leonhard Euler und Daniel Bemoulli. 147 

Meine Difficultät über die Oscillationen des Trianguli RectanguK aquae 
verticaliter innatantis ^) beruhete keineswegs darauf^ ob der angulus 
rectus außer dem Wasser stehe oder umgekehrt unter dem Wasser, wie 
ich angenommen hatte, denn wenn in einem Fall ein Situs aequilibrii 
vorhanden ist, so ist auch im umgekehrten situ ein Aequilibrium da; 
und also ist mein Zweifel durch Ew. Hochedelgeb. Antwort noch nicht 
aufgehoben. 

Denn wenn auch gleich das Triangulum a b c (Fig. 4) ad b rectan- 
gulum so im Wasser steht, daß die Superficies aquae d e parallel ist dem 

lateri b c, und folglich das Latus a b vertical ist, so f 

ziehe man nur die Linie a f, welche das latus b c in 
zwey gleiche Theile schneide: Weilen nun das Trian- 
gulum homogeneum gesetzt wird, so muß sein centrum 
gravitatis in diese Linie a f fallen. Femer fällt auch 
das Centrum graritatis partis submersae a d e m diese 
Linie a /*; und geht folglich diese a f durch beyde 
Centra gravitatis. Nun aber wird zu einem situ aequi- 
librii erfordert, daß die gerade Linie, welche durch j,. ^ 
beyde Centra gravitatis gezogen wird, vertical sey. 
Dahero dieser situs des Trianguli, den Ew. Hochedelgeb. angeben, nicht 
einmal ein situs aequilibrii, will geschweigen ein situs firmus, wie zu den 
Oscillationibus nötig ist, seyn kan. 

Ew. Hochedelgeb. Problema von den Oscillationibus eines an einem filo 
gravitatis experte aufgehängten Körpers^) habe ich anfänglich nicht mit 
genügsamer Attention in Erwegung gezogen; anjetzo aber, je mehr ich 
dasselbe betrachte je wichtiger und nützlicher befinde ich dasselbe, in- 
dem ohne dasselbe niemal die Oscillationen einer an einem Faden auf- 
gehängten Kugel welcher Casus sonsten für so leicht angesehen wird 
richtig bestimmt werden können. Ich habe mich lange bedenken müssen 
ehe ich meine General Methode einen jeden Motum oscillatorium zu 
bestimmen, darauf habe appliciren können; endlich aber habe ich doch 
nachfolgende Solution gefunden, welche mit Ew. Hochedb. auf das genauste 
übereinkommt. 

Filo igitur OA in fixo alligatum sit in A corpus ACBD, cujus 




1) Siehe Daniel Bernoulli, De motibtM osdllatoriis corporum kumido insidentium; 
Comment. acad. sc. Petrop. 11, 1739 [gedruckt 1750], S. 100—115. 

2) Vgl. Daniel Bernoulli, Commentationea de oscülationibtts compositis, praesertim 
iis, quae fiunt in corporibus ex filo flexili suspensis; Comment. acad. sc. Petrop. 12, 
1740 [gedruckt 1750], S. 97—108, sowie L. Euler, De motu oscillatorio corporum 
flexibüium; Comment. acad. sc. Petrop. 18, 1741—1743 [gedruckt 1751], S. 124—166 
(speziell S. 149). 

10* 



tAQ G. EHKiTROH. 

oBcillationes cum aese ad aequabilitatem et iBOchroniBmum composneriiit 
definiri oporteat. Repraeaentet figara opposita (Fig. 5) situm fili et 
corporis LH maxima a recta rerticali Oq 
elongatioiie inter oscUlandum. Sit corporis 
centrum graritatis in 6, atqae finita semi- 
OBcillatione ubi filum OAfit verticale, necesm 
est, ut reeta .il^pariter fiat verticalis. Pro- 
ducta ergo recta BA in Z, corpus hoc inter 
oscillandum quasi circa ponctam fixum Z 
gjrabitnr. Jam posito corporis poadere = P, 
acta corpus soUieitabitur directe deorsam 
in directione GP a ri = P. Ex natura vero 
motus oscillatorii uniformie, siponamus losgi- 
tadinem penduli simplicis isochroni quam 
qnidem quaerimus ^ t, qnamlibet corporis 
partieulam M a tanta vi argen oportebit, 
qua eo tempore, quo pendulum e descensnm 
absolvit, perducatur ad Bitum suum naturalem. 
Scilicet cum particula quaeris 3f circa polnm 
^gjrari debeat per angulum MZm ^ AZa, 
spatium ab hnc particula absolvendam erit 
= Mm, et vis requisita ad baue partieulam 

in directione Mvt protrahendum ^ j 

unde omniuui barum virium summa erit 




summa omnium momentoruni est 

= ~- \m.mz\ 

Hit summa omnium productorum, quae oriuntur, si singulae corporis 
partieiiliie .1/ multiplicentur per quadratn distantiarum suarum ab axe 
normaliter ad planum oscillationum Q0<} ducto ^ Phh, quam summam 
momentum inertiae corporis respectu axia descripH vocare soleo; erit 



I MMr- = i\u-{-az-^\ 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Eulor und Daniel Bernoulli. 149 

ex quo summa omnium illorum momentorum est 

AZ'Z ' 

quae divisa per Bummam potentiarum — ~ ry — " dabit positionem poten- 
tiae Omnibus aequivalentis Qq^ nempe distantiam 

atque ipse potentia omnibus bis fictis potentiis aequivalens erit = — -jy- 

Per hypothesin igitur haec potentia 

V' Aa- GZ 



Qq = 



AZ'Z 



eundum pro motu oscillatorio effectum producit^ quem actu edit vis 
graYitatis P in directione GP urgens. Quare si huic potentiae Qq con- 
traria applicata eoncipiatur 

^jy PAaGZ 

^^= AZ2-' 

haec cum vi gravitatis P corpus in aequilibrio tenebit. Ex compositione 
aatem harum potentiarum binarum 

oriatuT una haec Q F; a qua corpus in quiete conservari nequit, nisi 
difectio Q V cum fili directione OA in directum jaceat. Erit itaque 
O-^^K linea recta ac propterea 



At cum Sit 



erit 



ergo 



A/j'Z 



/. n AaGZ 

Qq = (^ff = —jrz~' 



Aa:Oa= Qq (= Gg): OZ + Zq 
Aa:Oa=-'^^-: OZ+GZ + y^- 



Sit nunc, uti Tu, Vir celeb, posuisti, OA = «, AG = g, atque 0Z^= r, 
^ö = y, erit ob omnes angulos infinite parvos Oa = n, AZ=n — x, 
weoque hae duae emergent analogiae: 

n:fj = {n - x)js:{g + 71 — x)\j, seu e = ^_^ 



150 ^- EHRSTaÜH. 

et 

y:n= --^--^- : g + n -] ; 

seu 



n(, + n-^) _ _^ 



21: 



2 



Sit w — X = Uy erit 

ex qua aequatione si valor ipsius quadratur, habebitur longitudo penduli 
simplieis quaesitae 

u nn-gg'-Jck±]^ign-gg-kkf + ^ng^) 

Quodsi autem tuo modo longitudo penduli isochroni oscillationibus^ si 

corpus ex A esset suspensum, in computum ducatur, eaque vocetur = l, erit 

kk 
l s= g -\ seu JcJc + gg = gl, quo substituto nascitur 



n-7±y(4n^ + (n-r/) 

quae est ipsa expressio a Te, Vir Celeb., mecum communicata. Caetenim haec 
eadem longitudo penduli simplieis isochroni js ita potest exprimi, ut sit 

^ n + l±]/ ((n - if +4ng) 
e = 2 ' 

de bis autem Te notare velim^ me ista nunc primum in chartam conje- 
cisse^ ex quo facile video^ me eadem multo distinctius^ ordinatius et 
brevius exponere potuisse, quare rogo, ut minus ordinatam explicationem 
mihi condones. Sic linea Mm deberet esse ad MZ normalis, quia 
distantia particulae Jlf ad AB potest est finita, etiamsi anguli AOa, 
AZa sint infinite parvi. Ex bis autem non potest determinari motus 
oscillatorius, si filum in ipso centro gravitatis G alligetur, tum enim 
sponte fit Jck = 0, quod nisi corpus sit infinite parvum fieri nequit; quare 
hie casus seorsim debet investigari; interim mirum est casum alias 
facillimam in hac solutione non contineri. 

Wann dahero der aufgehängte Körper ein Globus ist, dessen Radius 
AG=g, und derselbe in der superficie an den Faden OA = n an- 
gebunden wird, so kommt die Longitudo penduli isochroni 

' ^ * 5m 25nn 

Wann aber keine Flexibilität vorhanden wäre, wie man gemeiniglich 
anzunehmen pflegt, so findet man die longitudinem penduli isochroni 

I I 2ör/7 , , 2qg 2q^ 

' ^ h[n-\-g) ' *^ ' 5n bnn 



r BriefwechEel zwiecheu I.eonhard Euler und Dftciel Barnoulli. 



151 



wnnn nehmlicli g sehr kiein in Ansehung des « angenommen winl. Dahero 
ist in diesem Fall die wuhre longitudo penduli isochroni grüQür als die, welche 
durch den gemeinen Weg gefunden wird, um > welche Differentz in 

vielen Fällen, da man die longitudinem pedia horarti durch die Esperienz 
zu bestimmen sucht, nicht negligirt werden kan. Generaliter aber kommt 
nach dem gemeinen Wege für onßer angenommenes Corpus oscilliuiB die 
LoDgitudo penduli iBochroni = n -\- g -{- , Weilen nun I ad i; eine 

gegebene Verhältni SS, so vom w nicht dependirt, so setze ich / — g = ^g 
LUid wann n sehr groß in Ansehung des g angenommen wird, so be- 
kommt nach dem gemeinen Wege diese Longitudinem penduli isoehroni 
= /■+ ■ . - posito n-\-g = f. Die Bahn aber wird durch f, g und x 
«xprimirt sein 



^^^Mii 



-1+^+^ q.p. 



lero ist allzeit die wahre longitudo penduli simpKcia isochron! größer 
als die, welche durch den gewöhnlichen Weg gefunden wird um 
~ff--, und allhier bedeutet j.g, nach Ew. Hochedelgeb. IJenennungs Art die 
Distantiam centri virium rivarum corporis ACBD a centro gravitatis G'. 
*8 ist aber nnnöthig, daß ich Ew. Hochedelgeb. die Wichtigkeit dieses 
froblematis weiter darthue. 

4njetzo habe von Dero H. Vater den anderen Theil seiner Theoriae 
Hydrodynamicae') bekommen, welche mir über die maßen wohl gefällt, in- 
Boniierheit hat Derselbe auch ex primie Prineipiis die PresBionem aquae in 
latfni Vasis sehr gründlich determinirt, welche mit Ew. Hochedelgeb. 
Tbeorie sehr schön übereinkommt. Ich glaube aber, daß sich Dero 
H. Vater vielleicht übersehen, wann er glaubt, daß Ew. Hochedelgeb. in 
diesem Stücke gefehlt haben. Denn er refutirt Sie zu verschiedenen malen, 
"iclt zwar Dero Opus Hydrodynamicuni, sondern einen Brief von 1730. 
Er findet nehmlich eine andere Formul für die 

^'ini, (jua Vas ab effluente aqua retro urgetur, 

*wm daran Tuhi horizontales allso befestigt sind 

('''ig. 6). Dero H. Vaters Formul für diesen Fall ist 

mir ober sogleich suspect vorkommen, wei 

"wh ilerselben die retroactio vasis finita,ja quavis 

quuititate data major seyn kann, wann gleich das 

I) Vgl. übet den »weiten Teil der Vissertatio hiidritulica des Jouudi Bkikh 
<^>> Bn«fe vOD Eilkr an diesi^u vom 19. Oktober 1T40 und von Juuinn Bkbnoum. 
KtiM vom 18. Kebmar 1741 (Biblioth. Mathem. «a, 1905, S. 74. 78—79). 




Fie- 8. 



152 ^^^^H 

Foramen infinite parrnm ist; dieser Fehler aber ateckt keineswegs in der 
Theorie DerBelbea sondern bloß in der Äpplicütion auf diesen FaH^ und des- 
wegen verwundere ich mich, daß Derselbe diese Discrepanz von Ew.Hochedgb. 
nicht nur bemerket, sondern die Seinige Forniul für wahr hält, und Dero 
Formnl für falsch, und dazu noch eohreibt: De his judiret Lector. Ich 
nuöchte allso wünschen, daß diese Piece nicht in diesen Terminia gedruckt 
werden mOsse: und will deswegen versuchen ob meine Voratellungen, 
welche ich darüber Dero H. Vater machen will, eins Verändrung aus- 
würken können. 

Ew. Horhedgb, Theoria de aono fistularura kommt mit der meinigeu, 
welche Dieselben in meinem Tractäilein von der Music auaführlich er- 
klärt finden werden, bey nahem uberein, indem wir nur in ratione oon- 
stante von einander differiren, nehmlich wie 11 zu 14 q. pr. Durch die 
Experientz kan man allso leicht determiniren, welche Theorie mit der 
Wahrheit Übereinkommt, wann man eine Chordam dntae Longitndinis et 
dati ponderia durch ein fJewicht so spannt, biß dieselbe mit dem Tbon 
der Pfeife consoniret und dadurch den Numernm oscillationum niinuto 
secundo editarum ausrechnet. Nach meiner Theorie müßte eine Cylindrische 
Pfeife, welche 1 Pariser Schu lang in einer Secunde 87Ü Vibrationen 
machen (tenipestate scüicet medioiTi), denn hierinn hat man sowohl auf 
das Barometrum als Thermometrnra insonderheit zu sehen: und bey warmem 
Sommerwetter, wann das Barometram sehr hoch steht, würde diese Pfeife 
wohl 927 Vibrationen machen. Die Hervorbringung der verschiedenen ThÖne, 
welche auf einer Pfeife angegeben werden können, habe ich auch so er- 
kläret, daß durch die Vermehrung des Blasens nach und nach solche Thöne, 
welche sich verhalten wie 1, 2, 3, 4 ,b etc. herausgebracht werden können. 

Des Neutons Theoriae circa accesaus facilia reflexionis et trans- 
misaioniB in seiner Optica ist mir jederzeit im höchsten Orad obscur und 
unverständlich vorgekommen, und möchte ich eine Erläuterung darüber 
mit der größten Begierde sehen. Inzwischen hat man mir geschrieben, 
daß der 11. MoivuK auch an einer Theoria Musica arbeite, ') und deswegen 
mein Opusculum darüber zu sehen verlange: ich bin aber nicht weniger 
begierig, desselben Gedanken darüber zu sehen, 

För Ew. Hochedlgb, guten Rath wegen meines Bruders bin ge- 
horsamst rerbunden, und verbleibe mit aller vollkommenen Hochachtung 
Ew. llochedelgeb, ^^ 

gehorsamster Diener ^^^ 

St. Peteraburg, d, 15t, Sept. 1740. L, Ein,EK. ^M 

1) Heines Wiasens hnt Mun 
Arbeit über dia Tbearie der Mui 



an, der im Jahre 1740 Bchon 73 Jahre 
ik veröffcnlliclit. 



^ 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Eulor und Daniel ßemoulli. 153 

Bejliegenden Brief an meinen Vater ersuche gehorsamst bestellen 
zu lassen, und meine abermal genommene Freyheit nicht übel zu nehmen. 

Was in absolvirtem Problemate den Casum anbelangt, wann der Faden 
im Centro gravitatis fest gemacht wird, und folglich ^ = 0, so ist derselbe 
klar in der Solution begriffen, indem aus der Aequation 

^ = n + -- 
u 

sogleich folgt ß = n. Dahero ein solcher Körper motu sibi parallelo sich 
bewegen wird: Daß ich dieses nicht sogleich bemerket, war die Ursach, 
weilen ich vermeinte als wann sich ein solcher Körper nach den ordentlichen 
Regulis de centro Oscillationis richten müßte; welches aber nicht geschieht 
und ist allso ein großer Unterschied, ob ein Körper so in seinem Centro 
Gravitatis angebunden oder an dem Faden befestigt wird, daß dort eine 
Beugung Statt findet oder nicht. Dann wann eine Beugung allda ge- 
schehen, so ist das Centrum gravitatis selbst das Centrum oscillationis: 
ist aber der Faden sammt dem Körper als ein Corpus rigidum anzusehen, 
so hat das ordentliche Centrum Oscillationis Platz. Nach meiner Methode 
kan ich femer sehr leicht die Oscillationen determinieren, wann mehr 
Körper so zusammen gesetzt sind, daß bey jeglicher Junctur eine Flexion 
geschehen kan. 

Daniel Bernonlli an Euler 5. November 1740. 

Inhalt. Über Eulers Berufung nach Berlin. — Die Beobachtungen über Ebbe 
und Flut im Eismeer. — Über das Gleichgewicht einer schwimmenden dreieckigen 
Scheibe. 

Basel d. 5. November 1740. 
.... Ueber den letztem bewussten punctum ^) erfreue ich mich nicht 
weniger, als Dero Herr Vater und kann die Stunde nicht erwarten. Die 
nouvelle hatte ich schon von einigen Orten her erfahren mit denen Um- 
ständen, die Sie zwar nicht überschrieben, die ich aber dem Hrn. Pfarrer 
erzählt. Wenn Sie kein Geheimniss daraus machen, so möchte ich gar 
gern alle Particularitäten von Ihnen selber vernehmen. Es ist mir lieb, 
dass Sie mit Herrn Maupertuis nunmehro in Correspondenz stehen: ich 
habe mit demselben von Ew. niemals als mit Admiration geredt und ihm 
dadurch gleiche sentiments beigebracht, welches Ew. bei jetzigen Um- 
ständen ohne Zweifel nicht unangenehm seyn wird. Doch sollen Sie 
dieses nicht aufaehmen, als wenn Herr Maupertuis nicht allzeit eine 
sonderbare estime vor Sie gehabt, sondern vielmehr als ein Zeichen, dass 
man Sie, nach meinem Sinn, niemals genugsam nach Dero merites esti- 
mire Nun komme ich auf Dero Brief. 



1) Es handelt sich um Ehlers Berufung nach Berlin (siehe Fuss, a. a. 0. II, S.461). 



164 



G. Ehebtröh. 



Des Herrn Capit. Kaysek's ohservationes circa aestum maris La 
glaoiali scheinen unserer Theorie gar nicht eonform. an welcher ich doch 
keinen Zweifel trage. Ich hab gnr wohl corgesehn ex impeln coneepto 
aquarum, dnss sich die phaenomena nicht würden so zeigen, wie es die 
theoria pnra mit sich bringt, und deswegen gar nicht positive geredt, 
sondern nur hypothetice, und hab auch nicht provocirt ad aestus marinos 
in 7.ona glaciali um die theoriam Newtonianam zu beweisen. Doch habe 
ich gesagt, weil ea unmöglich sey den effectuin ab inipetu coneepto 
aquarum oriundum zu messen, so milaee man sich begnügen einige in- 
aequalitates in genere anzuzeigen; und dünkt mich, dasa diese jnaequali- 
tates noch ziemlieh eonlirmirt werdeu durch des Hrn. Kayseks Obser- 
vationen. Ea wäre frevlieh zu wünschen, dasa wir dergleichen Obaervationen, 
die nach der besten Methode sind angestellt worden, eine Suite hätten 
auf das wenigste von einer ganzen lunaison; noch viel besser aber wäre 
es, wenn man solche instÜuirte 2 Monate lang und zwar den einen circa 
solstitium, den andern circa aequinoctium aiitumnale; ich hoffe, dass 
solches noch geschehen werde, Uebrigens dünken mich diese Observationen 
gar nicht übereinzustimmen mit des Hrn. de la Crotkre seinen, und 
hätte ich mehr inaequnlitates circa hos aestus erwartet, in Ansehung die 
declinntio lunae den 6. August (ohne Zweifel stili vet.) musa schier maxioia 
gewesen seyn. 

Ew. piece de aesiu maris glaube ich nicht dasB sie schon gednii 
aey und erwarte solche auch nicht vor einem halben Jahre. 

Ew. haben ganz recht wegen dem Esempel eines trianguli rectanguli, 
dessen ich mich bedient um die üScillationeB compoaitas zu illuatriren, 
und nimmt mich selber Wunder, wie ich die 8ach hab andera ansehen 
können. Ich kann mich in der Wahrheit nicht einmal besinnen, wie ich 
das exemplum coneipirt hatte. Ich bin also Denselben gar sehr verbunden, 
daaa Sie mich hierüber zum zweiten Mal haben erinuern wollen und sehe 
hierdurch Ihre wahre Freundschaft; ich bitte Sie also dieaes exemplum 
anazuatreicben ') und die folgenden paragrapboa andera zu numerotiren 
und mir eipreaa zu berichten ob Sie solches wirklich verrichtet haben. 
Das Vertrauen, das ich auf Sie setze, macht mich sicher, dass ich öfter 
die Attention, die ich in der Hauptaach conservire, in den leichten Neben- 
sachen fahren lasse. 

Nicht ein geringeres specimen Ihrer Freundschaft geben sie mir 
OGcasione meines Vaters diaquisitionis hydrodynaraicae *), allwo er einen 
Brief, bo ich ihm a. 173U geschrieben, refuttrt. Ich weiss nicht, was ich 






1) Siehe die Fußnote 1 tml Seite 147. 
S) »iebe dift FuDuote 1 auf Seite ISl. 



A 



Der Briefwccbflel iwisclieu Leonhard Euler und üaniel Bern 



155 



nu^ meinem Vnter daznmal geBcbrieben haben; ich weiss aber dasB ich 
die Saeh felicissimo BuccesBH ex genuinis principüs in meinem opuBCulo 
hriiroiljTiamico tractirt habe, und das pro fistula utcunque inaequaü et 
atcunque iucurvata, auch nicht nur in hypothesi velocitatis jamjam uni- 
formis, aed pro quovis velocitatia gradu acquisito. Wenn Ew. zu lesen 
belieben, was ich in cit. Opuae. a pag. 279 usque ad pag. 28il melde, so 
werden Sie sehen, dass ich dieses Argumentum völlig eshauriret habe. 
Mein Vater wird wohl zufrieden seyn, daaa Sie alles in seiner DiBquisition, 
80 er Ober diese Materie sagt, auslüschen. Da Sie aber sagen, er habe 
nicht gefehlt in der Methode, sondern in applicatione methodi, bo möchte 
ich wohl von Ew. vernehmen, ob er denn auch in hypothesi velocitatia 
nniformia cjlindrum duplum herausbringe, welches die wahre theoria 
Qothwendig mit sich bringt, obschon der Nkwtdn aelbst anders gesagt bat. 

Ich habe niemals gezweifelt, Ew. werden mein problema de oscilla- 
tionibus corporum ex filo Öexili suspenaorum solviren, sobald Sie solches 
emstlicli untersuchen würden. Es freut mich, dasa Ihnen nunmehro dieses 
problema von einer grossen Wichtigkeit zu aejn vorkommt. Ihre Methode 
kommt ziemlich mit meiner Uberein und habe solche allzeit gebraucht, 
seit der Zelt, da ich das problema de corporibus &lo Üexili connesia 
Eolvirt, da ich erinnert habe, daas wenn das ayatema in gyrum agiret 
wird, die figura tili eadem sejn müsse, als solche in oscillationibus ist. 
Ich hab hierüber eine Dissertation gemacht, welche ich hiemit der Aka- 
demie überschicke'). Solche ist schon vor 3 Monaten fertig gewesen, 
ond ich bitte Ew. sie mit Dero gewöhnlichen Attention zu examiniren. 
Von meinem Vater habe ich vernommen, daas er dieses problema auch 
solvirt habe. 

Ich erwarte mit groasem Verlangen Ew. theoriam mtisicam^), als über 
welche Materie ich auch ziemlich meditirt und viele Experimente gemacht, 
Diese experimenta confirmiren meine theoriam de sono fistularum gar 
schön, ich werde Ihnen nuHführlicher darüber achreiben, wenn ich Dero 
tractatum werde L^mpfangen haben. Nur eins will ich diessmal melden, 
davon ich schon Meldung in meinem vorigen gethan: Eine Pfeife, so einen 
Pariser Schuh lang, wenn solche gegen den Mund in diatantia unius vel 
duorum [lollicum gehalten und dagegen geblasen wird, gibt den Ton etwas 
hShcr als d UBd etwas niederer als dis. Nun aber haben Ew. in Dero 
Dieserttttion de sono^) ein experimentum, daraus folgt, daas das unterste 
C in einer Secunde IIG^ vibrationes mache; ich reclme also, dass die 

1) Siehe die Faßnote 2 auf Seite U7, 

2) Es bändelt sich natürlich um das Terttnmen novae theoriae muficae (St, Peten- 

g 1839) TOD ECLKD. 

S) L. El'Uer, Sissertatio pliysiea ih fO«o {Jiaaü 1727). 



156 ^- Eneström: Der Briefwechsel zwischen Leonhard Ealer und Daniel Bemonlli. 

schuhige Pfeife in einer Secunde 1050 Vibrationen respondire, müssie 
also nach meiner Theorie der sonus intra min. sec. per spatium 1050 
Pariser Schuh propagirt werden^ welches auch nach allen Experimenten 
wirklich die velocitas media soni ist. Nach Ew. theoria hätte die Pfeife 
müssen einen tiefem Ton geben als c. Ich aestimire aber velocitatem 
soni nicht secundum theorias, sondern secundum experimenta. Ich habe 
auch experimenta gemacht über die sonos von den prismatibus chaljbeis, 
so man zu den kleinem carillons pflegt zu gebrauchen und vermeine 
diese theoriam auch assequirt zu haben. Wenn Sie des Hrn. Moia'Re's 
Tractat werden gesehen haben^ bitte mir Dero Meinung darüber aus. 



r Biogrnphio C f! J, -lacobis. 



Ein Beitrag zur Biographie 0, G, J. Jacobis, 

Von W, AiinENS in Magdeburg. 
I. 
„Die Politik ist keine exakte Wisaenachaft" hat Bismahck einmul 
gesagt.') Erwägungen dieser Art haben jedoch nicht verhindert, daß eine 
ganze Heihe hervorragender Vertreter der mathematischen Wissen b eh aften 
— ich nenne nur Ainoo, Baiixy, Condoiu'ET, Oaiinot, Biuoschi, (.'remona, 
Oalots, Foi'HiER, Monge, Dri'is — sich der Politik in die Arme geworfen 
haben. Unter den deutsehen Mathematikern sind Beispiele von Männern, 
die zu Zelten im Vordertreffen politischen Streites gestanden haben, aller- 
dings weit spärlicher als bei den Romanen. Das bekannteste und be- 
rühmtest« Beispiel, zugleich dasjenige, welches hier näherer Betrachtung 
imUrzogen werden soll, ist das U, G. J. .Tacohih, und doch ist auch hier 
nocli zu l)edenkeu, daß einerseits ganz besondere ZeitverhäÜnisse erforderlich 
gewesen sind, um den YerfaBser äer Fttndamentavot'afuvctiomtm ellipticanim 
MiB seiner stillen Studierstube in die politische Arena zu locken und daß 
andererseits die eigentlich politische Betätigung nur eine verbältnismäßig 
recht kurze Periode im Leben Jacohib ausmacht und daß selbst diese 
wie wir sehen werden, fast nur eine zufällige gewesen ist. In den Jahren 
»iner größten wissenschaftlichen Iluhmestaten, jener Zeit, welche BerSei. 
einmal mit der Turiner Zeit Laghasgeb verglichen hat, in Königsberg^ 
Wte ,l.\coui von politischen Gescliriften sich gäuzlich fem gehalten. Zwar 
Wn kein Zweifel bestehen, daß der so vielseitig gebildete und so vielseitig 
leressierte Mann auch die politischen Vorgänge und Fragen der Zeit 
t Aufmerksamkeit und selbständigem Urteil verfolgt und hierbei stets 
i Ideen gehuldigt hat, daß er insbesondere stets für weiteste geistige 
wilieit auf wissenschaftlichem, auf literarischem Gebiet, auch im amtlichen 
T-eben eingetreten ist; doch diese Gesinnung nach außen zu betätigen, fehlte 
' cmnlasaung und Notwendigkeit. Die mit Beginn der vierziger Jahre des 
f Toijgen Jahrhunderts einsetzende liberale Bewegung in Preußen, deren 
■BeburteBtätte bekanntlich die Stadt der reinen Vernunft war und deren 



1; GogenfibcrRii 
ikaagi. Ber. p. 507). 



. Viuciiuiv, SiUiingde» preuBS Abgoorcin.-Hoi 



I. 18. Dei. 1863 



158 ^- AXBEHS. 

erste Anfange Jacoiii dort noch mit erlebte, wußte den großen Matlieuiatiker 
zu aktiver Beteiligung nicht anzuregen. Zwar gehorten die Häupter der 
Königeberger Liberalen zu seinen näheren Freunden, so vor allem der 
Oberpräsident der Provinz, der Minister Thkodou v. Schon, der bekannte 
liberale preußische Staatsmann, der des Freiherm v. Stein Mitarbeiter an 
der preußischen VerfassiuigBgesetzgebung der Jahre 1807 — 1810 gewesen 
war. Auch Johann Jacoby, der als Politiker so berühmt gewordene 
Königsberger Arzt, gehörte zu Jacoihs Umgang und wird durch seinen in- 
timen Freund,') den Physikprofesaor Ludwig Moser, vermutlieh schon früh- 
zeitig mit dem großen Mathematiker näher bekannt geworden sein. Anderer- 
seits waren es aber selbstverständlich nicht ausschließlich und auch keinen- 
falla in erster Linie politische Gesichtspunkte, nacli denen JacOhi seinen 
Umgang gewählt hätte. Huldigt« doch zum Beispiel Bgssel, mit welchem 
jA(-Om durch herzlichste Freundschaft verbunden war, zumal gegen Ende 
seines Lebens (f 184iJ) in der Politik extrem entgegengesetzten Anschauungen, 
die den schon genannten gemeinsamen Freund Th, v. Sch<'>n zu den leb- 
haftesten Klagen über ..diese BESSELsche Krankheit"') veranlaBten, Über-, 
haupt ist Jacobi — dies mag, um gleich von vorne herein etwiiigen falscl 
Vorstellungen vorzubeugen, schon hier bemerkt werden — niemals, am 
nicht in der Zeit, in welche sein politisches Quart d'heure fällt, ein eift- 
seitiger Parteimann gewesen. Erscheint es schon an sich unwahrscheinlielti 
und unnatürlich, daß ein solcher Geist sich in die Fesseln eines Pi 
programniB sollte schlagen lassen, um Welt und Menschen hinfort 
noch durch eine Parteibrille anzusehen, so läßt sich auch bei Jacoiii 
gerade Gegenteil sehr leicht erweisen. Ich beziehe mich hier z. B,, jedi 
ohne speziell auf einzelne Stellen hinzuweisen, auf den demnächst 
scheinenden Briefwechsel*') Ja(.obis mit seinem älteren Bruder MoiciTZ. 
dem Erfinder der Galvanoplastik, der anscheinend von jeher den Grund- 
sätzen des Liberalismus abhold gewesen war und diese seine politiB< 
GrundauffasBung, vielleicht nicht ohne Einwirkung des Petersburger Milii 
im Laufe der Jahre zu einem ziemlich feudal-ikristokratiechei 
reaktionären Bekenntnis entwickelt hatte.*) — Ein jugendlicher Freund 



1) FFBDiHimi Fii-BSOK, Bü liberale Beveginig in Königat-eri) ClSiO~1648J 
(Brealau 1886), p. 58. 

2) Britfw. ((m 3finrV[W« TuKfi'oir r. Sciiox mü G. H. Pkan unA J. O. Dxonvr, 
honusg V, FiLiNz BiiHi. iLps. 1896), p. 7S; vgl. a. p, 85 (Briefe vx G, Scmcwt«, emen 
Velter vuo Jacuiiib Frau), 

3) Bncfteeduel ttoisdiftt C- G. J. Jacohi und M. H J^con (Leipzig, B. G. Toubner). 
Die im folgenden nach laufenden NumiDem in rGmiacfaen Ziffern sitierl«)! Briefe ge- 
hören diesem Briefweclieel an. 

4) UoRiTK Jacuiii aabin, wie icb im GegenMtc KU KDEüiiisrnniriKii. C. Q. J. Jjcoai 
(Lps. 1904], p. 4-^2 (uuien^ bemerken niGcbte, an den poUtiscben Vorgingt 



nuMlr^H 



^^^^P Eiu Beitnifc zur Dio);raphie C (i, J. Jacobis, 159 

C. 6. J. Jacobis, der Philolog .1. Horkel, schreibt in einem Brief, in dem 
er sich in Politik und R.eligion für durehana konservativ, wenn auch ohne 
Intoleranz, bekennt: „Ähnliche Geaprüehe habe ich gar manches Mal mit 
Jacobi geführt, und er ist bis an sein Ende mein Preimd gebÜebeo" 
(Brief t. IH, Not. 1><51),^) und gerade dieser Freund war, wie andere 
Briefstellen^J beweisen, ein glühender Verehrer des berühmten Mathematikers, 
dessen politische Ansichten ihm also gewiß niemals in in Irans i genter oder 
unduldsamer Form erschienen sind. Vor allem beweist aber das weiter 
unten zu schildernde politische Auftreten Jacouib unsere Behauptung am 
deutlichsten; ja man darf sagen, daß unduldsames uud unwürdiges Ver- 
halten der eigenen Anhänger den Gegnern gegenüber, worüber Jacohi 
einige Male^) zu klagen hatte, für ihn der i)raktischen Politik einen un- 
angenehmen Beigeschmack gaben und neben anderen allerdings viel wesent- 
licheren Kaktoren mit dazu beitrugen, sein baldiges Wiederab treten von der 
politischen Bühne ihm nicht liedauerlich erscheinen zu lassen. 

IL 
War Jai'Ori in Königsberg eine „politische Jiiogfrau" geblieben, wie 
er Biet spiiter selbst ausdruckte, ho änderte sich dies iu Berlin um so mehr, 
je weiter die Bewegung fortsehritt, die in den Ereignissen der Jahre 1S48/1840 
üiren Abschluß und Höhepunkt fand. Während dieser Zeit selbst indiiferent 
ro bleiben war vollends unmÖghch. Inmitten der hochgehenden Wogen 
ier Volksbewegung nicht für oder wider Partei zu ergreifen, hätte völlige 
fiWhgiiltigkeit bedeutet. „Schon Ciceko", so schrieb C. G. J. Jacobi 
'lern Bruder In dieser Zeit einmal,') „schreibt den Untergang des römischen 
otiintea daher, daß sich die anständigen Leute zurückzogen und andern 
J«Peld fiberließen". In Frankreich nahmen Poncelet und J. Liowille 
usputiertenmandate an, in Königsberg trat Jacobis Freund und früherer 
Kollege Franz Nei;männ als Hedner iu ArbeiterTersaramlungen auf,*) aber 
Mch die Berliner mathematischen Fachgenossen Jacobis blieben nicht 

**lKcTolutioiiiioit (1848), «ehr regea und temperamentvollen Anteil; Beine dioibeiüg- 
<>un l''rt«ile mnten zwar tum Teil Bonderlich an, üum aadeien Teil zeigeu sie aber 
•ft gioBen Schwfbliok- 

1) Auigeu}. JIrieft von u. an Lobkck u. Lkhhs, horauag, v, A, Tjii>ivu-n (I.eipiig 
ISttl. T. n, p. 552/563. 

2) L.C. p. 426, 471, *72, 551. 

8) S. unten S. 185/6 re«p. Brief No. LXll (20. Juni 1848), sowie Bcief No, LXVII 
'Ä.Jto. 1849). 

*) llrief No. LXn f20. Juni 1848). — Der größte Teil diesea »uch weiterhin 
■*«ifig litierlen BriBfoB ist bereits bei KocciuntiKSum, C. O. J. Jacobi (Lps. 1904), p, 448 
-^% »bgedmckl. 

5) >•»..« NvwASK. ErmntrniujshUittcr von säncr Tochter I.i-ibb NM'ujxy 
WlbiBften n. Leipzig 1904), p, 3756. 



160 W. Acren«. 

unberührt von der ZeitstrÖmung. Am verhüngnisvollBten wurde diese, wie 
bekannt, für Eisknstein. Weniger bekannt dürfte sein, daß auch Steiner 
aicb politiech exponiert haben muß, da später, als bereits die Reaktion 
eingetreten war, (IIb Fama bald nach der Verhaftung des bekannten 
Oppositionsführers WalDECk auch von der des berühmten Geometers be- 
richtete. Varxiiages von Esse, der dies erzählt,') später aber widemifl, 
hat auch sogar von einigen weiteren noch bevorstehenden Inkarzerierungen 
Kunde bekommen und darunter neben seiner eigenen auch von der 
DluiCliLKTS.^) Wenn auch der Begründer der analytischen Zahlentheorie 
vor diesem Verhängnis und der preußische Staat glücklieherweise vor dieser 
Schmach bewahrt geblieben ist, so ist doch DiRrcHLETs entschieden frei- 
sinnige lind demokratische Sinn esr ich tuug bekannt und findet u. a. durch 
seinen Umgang mit dem bekanntlich ausgeprägt demokratischen VAKsnAfiES 
und das von diesem ihm in den „Tagebüchern" gespendete Loh^) ihre 
volle Bestätigung, Auch bezüglich der politischen Stellung Steiseus wird 
man nicht länger in Zweifel sein, wenn man hört, daß er wegen Unter- 
zeichnung einer an die Abgeordneten WalüEI'K und v. UniU'H gerichteten 
Adresse seinen Weg in ein von der politischen Polizei zuaammengeateUteB 
schwarzes Buch*) gefunden hat. Allerdings attestiert die politische Polizei 
dom berühmten Ueometer durch seine Aufcahme in die Abteilung IIl des 
Buches erfreulicherweise, daß er noch zu den „Männern von Intelligenz 
und Gesittung" gehöre, auf die nur „aufmerksam gemacht werden solle".*) 
— Kein Wunder, daß, wo alles fortgerissen wurde, auch Jai'OIII lebhaftes 
Interesse und Anteil nahm. Die Seite, auf welche er sieh stellte, war 
dieselbe wie bei den zuvor genannten Mathematikern „Ich finde"', so 
motivierte Jacohi später einmal seine Parteinahme dem Bruder gegenüber, 
„so viel gesunden und nüchternen Kinn unter den arbeitenden Klassen, 
so tiefe Verderbtheit unter den besitzenden, daß ich glaube, daß eine Auf- 
frischung der letztem durch die erstem wünsehenswerth wäre".') 



1) TagcbiidKr con K. .1. F^k.vj-.,m;.v iy..v E:.-sk. Bd. VI (Leipzig 1862) p. 186,7 
(2*. Mai 1849): „Mathematiker Profesaor StKiKKK" und 1. c p. 188 iWidotrot). 
8) L. c. p. 188 (35. Mai 1849 1. 

3) L. 0. Bd. V, p. 302i b. a. ibidem p, 292, 310, 349/50. 

4'i Aiueigtr für die politieclie Polüsei Deulschltttda auf die Zeit vom 1. Januar 
1848 bis iiir Gegentrart. Ein Handbuch für jeden tteutar^ben Pöli>ei6«aniieii. Heiaus- 
gegeben tod — r, Dresden. t_Ohne JahreBiahl, Vorwort von Sept. 1854), p. 330. — 
Du SuBersl Bolteue Bucli ist auf der Bcrlinci Magiatratsbibliothek vorhanden, die 
lerdwn in der „ Fri ed Ion d ersehen SammluDg" pine reichhaltige und vortrefflich ge- 
biete tJpeziaJbiblJothek über die Itevolutioosbewegimg von 184S beeitit; vgl. Ahkhd 
, Die Lilteratnr der BtiUtur MiirUnge: Deutgche ItnndBChau, Bd. »4, 



1, p, 426-438. 
&) L. c. Vorwort, J.. XI u. VI» 
6) Brief No, LXVII (22. Jan. 184 



d 



^^,1 



Kin Beitrag lur Biographie V. Ci, .T. Jacobia. ((jl 

ScboB vor Ausbruch der UevolutioD, bereita 1847 unter dem großen 
bileriiase, welches die Verhandlungen dea ersten rereinigten Landtags er- 
regten, hatte Jacobi, ohne selbst öfi'entlich ala Politiker aufzutreten, Be- 
/irliangen zu mehreren liberalen Führern angeknüpft und gepflogen. Be- 
loniiera svrapathisch und interessant war ihm der edle und humane Charakter 
Hermann v. BKiKEiariis, der auch, obwohl neben Geor«"; v. Vinckk 
Führer der Opposition, des Königs PitiKDBicH Wii.hei.ms IV. besonderes 
Tarirauen besaß.') Auch seine glänzenden rhetorischen Fähigkeiten zu 
Migeu, hatte Jäcobi in diesem Kreise bereits mehrfach Gelegenheit ge- 
funiJeu und z. B. auch nach einer Tischrede Beikebaths durch einen 
Toast „Überaus große Furore" zu erzielen gewaßt.') 



lU. 



Niich den Märztagen von 1^4*^ schössen bekanntlich in Berlin wie 
«oderawo Zeitungen und politische Klubs wie Pilze aus der Erde. Die 
wichtigsten dieser letzteren, in denen sich diis politische Treiben der 
Ril^erschaft konzentrierte, waren zunächst zwei: der „politische" und der 
-MüBtitütionelle" Klub. Von diesen war der erstere der Resonanzboden 
d« radikaleren Tonart, während der letztere „allgemein der Geheimeraths- 
Ünh genannt wurde", ^) da er zahlreiche höhere Beamte, manche berühmte 
ßel«lirte, Wele Juristen usw. zu den seinigen zählte. Jenem, dem „Club 
dff Begeisterung" stand dieser als der „Club des Verstandes"^} gegenüber. 
Wlhreud der politische Klub entschieden demokratisch gerichtet war, 
agte man dem konstitutionellen mit Recht nach, daß er der Aristokratie 
ilw Bourgeoisie bei den bevorstebenden Wahlen zum Siege zu verhelfen 
erütreW*) Ja, er s§h sich häufig sogar der Anklage ansgesetzt, das 
liendich begriffslüse Wort „Constitution" diene ihm oder doch vielen 
»iner Mitglieder nur als Deckmantel für aristokratische und reaktionäre 
BeBtrebungen "j Nicht zweifelhaft ist, daß der Vorstand dieses Klubs mit 
'ien Ministeru in Verbindung stand, wenn auch Vaknhauen sagt, daß 

1) Lüoi'ou) V. Rauke, Aan dem Jirieftceehiiel ^'i 
'l<i[iidg ]8TS<, |). 265. 

. «rief LIV (3. Juli 18471 uebat Wortlaut Ata TowteB. vgl. 
|Jtmi 1847.}, 

I tlie VlHbs tnui Volkever»ammlunge» Berlins bis rum Lindfnelub hinab oder 
r hinauf (Berlin 1S48), p. 24; s. a, s. B. MagdeburgiaDbe Zeitung No. 100, 
I 1848. 

tti) AuttcsT Bkahh, Genhiehte der Bemnkratie und JicvoSution in Berlin (Berlin 
>P-»- 

r()8. Hwji'i Locomi>tivo No, S7 t. 5. Mai 1848, p. 106. 
B) S. df« in vorstelieuiler Aaui. cit. Nummer der Locomotive, p. 105: vgl. a. 
1 Tiigehäehrr. Dd. V, p. 133. 

■ UkUieiullCL Hl. Fulge, VII. 11 



WiijitLiis IV. mit BvsiKK 
Brief Uü 



162 



W. Aiii.1 



diesen das Geschiek, reuhten Gebrauch hiervon zu machen, gefel 
Entsprechend diesem seinem ganzen Charakter und vor allem dem Um- 
stände, daß er die V^erfasBung auf sein Banner geschrieben hatte, legte er 
selbst bei seinen Verhandlungen auf strengste Beobachtung der Vorschriften 
parlamentarischer Ordnung und Verfassung großes Gewicht,') wofür der 
Leser in den folgenden Berichten übrigens auch Belege Snden wird.') 
Dieser Umstand wie auch der Name „Geheimeraths-C!ub" lassen bereits ver- 
muten, daß man sich von den Sitzungen dieses Klubs im allgemeinen nicht 
übermäßig viel Unterhaltung versprechen durfte imd versprach, ja seine Ver- 
handlungen waren sogar für ziemlich langweilig*) vcrsehrieen. Diese Lange- 
weile KU bannen hatte das Schicksal keinen geringeren auserseLen als den 
größten Mathematiker Preußens. .TaC'OIii hatte bereits einige Male die 
Hitzungen dieses Klubs besucht und zwar auf Anraten seines Arztes, der sich 
von solchem Besuch eine wohltuend stimulierende Wirkung auf .Iacobis ab- 
gespannte Nerven versprach, eine l^ognose, die der Patient bestätigt fand. 
Dabei hatte sich der große Forscher lediglich auf die Rolle des stummen Zu- 
hörers beschränkt. Nur ein kurzer Zwischenruf wird ihm an einer Stelle nach- 
gesagt, jedoch ist dieser insoforn nicht ohne Interesse, als er bereits zeigt, 
wie wenig ea .JACOitt darauf ankam, die aura popularis zu erhaschen und 
wie er weiter nichts erstrebte, als rücksichtslos seine persönliche Ansieht 
auszusprechen. Ein Redner hatte nämlich in die Versammlung hinein- 
gedonnert: Ist jemand in diesem Saal, der die Teilung I'olens nicht für 
ein schmähliches LTnrecht hält? AUes hatte geschwiegen, nur vo 
Platze aus hörte man in ruhigem und gleichgültigem Tone: Ich. 
war Jäcobi.') 

Mehr praktische Bedeutung erhielt das Klublel^n, ata die fUr deo' 
1. Mai IS-lS angesetzten Wahlen für die deutsche imd die preußische 
Nationalversammlung heranrückten und der konstitutionelle Klub es über- 
nahm, der Bürgerschaft Berlins geeignete Kandidaten vorzuschlagen. In 
die engere Wahl hierfür gelangten zunächst nicht nur diejenigen, welche 
von dem Vorstand des Klubs oder aus der Mitte des letzteren empfohlen 
waren, sondern es stand auch jedem frei, eich selbst vorzuschlagen. Alle 
Bewerber hatten sich dem Klub durch eine Rede vorzustellej] und in dieser 
ihr politisches Glaubensbekenntnis abzulegen. Hierbei forderte in dm. 






1) Toffebücher, B-\. V, p. 171 i23- Aug. 1648i. 

2) a AiKi. BBiM, 1, c. p, 9. 

3) Vgl. a. B. B. 179 Anm. S. 

4) itn-tAü Slhuidt in den GremboteD I84S, II. Quartal, p. 19. 
6) DioGroDEbotoD, 8. Jnhrg. I. Sem U. Bd. Leipzig 1849'. No 16: 

der Berliner Univorsität, 2. Jacobi", p. 179. — Indem Jlriefwedtgel iKisthm C.O.J.Jac 
uitd M. It. Jic'si wird (tioBet Artikel als Aohsog wiedcrabgednifkt worden. 



^H Ein Beitrag zur Bio^apLie C. G. J. Jnccibis. Ig3 

Vlranug V, 21. Ajiril H. W. Di.>ve, t!er dem Uoiuite des Klubs angehörte, 
im Vorbeigehen seinen Freund Jai'Obi, den er als glänzenden Stegreifredner 
kauntf, auf, auch eine Kandidatenrede au halten, und verkündete dies, als 
Jacoui nicht abgeneigt war, sofort von der Tribiine. A'erschiedene Ghvubena- 
bekenntnisse waren bereits abgelegt, ala an .TacOI» die Reihe kam. Der 
gewaltige Eindruck, den seine Hede hervorbrachte, erhellt aus einer 
Schilderung, welche die von jVfiKdLi) lluGK-Leipzig und H. B. Oi'i'ENHEIM- 
Berlin herausgegebene Hefurm entwarf. 

„Die einzelnen [Redner]", berichtet das genannte Blatt in No. '2b, 
Leip'^ig, 2^''. April 1H48, „treten nacheinander auf und halten ihre Rede, 
die Meisten riihnien sich edler, wohlwollender Gesinnungen für das Volk, 
«inea unbeugsamen l'harakters, und was dergleichen Bchüne Redensarten 
mehr sind. Glücklich, wer aus seinem Leben ein kleines C'ontlictchea 
mit irgend einer Staatsbehfirde, eine frühzeitige Entlassung aus dem Ötaats- 
lUenste, sonst eine Zurücksetzimg oder gar irgend einen PreÖprozeß eitiren 
kaim! Das anständige Martyrerthum der liberalen Gtittiuger Hofräthe, das 
T(ir einigen Jahren iu Deutschland ilude war, als ea Collecten von Tilsit 
lii« Wesel hervorrief, wird hier im Kleinen wieder aufgefrischt. Mass- 
HANN mit dem naiv umgelegten Hemdkragen erzählt seuie alten Tumer- 
^«schichten und rühmt sich, den baierischen und griechischen Ordens- 
bSadern entgangen zu sein (!!), der Major erklärt sich gegen die strenge 
DiBciiilin. Andere sprechen so, daß man sie schon oft gehört zu haben glaubt. 
Endlich wird der breite Strom der Alltäglichkeit und Gern ein plätzlichkeit 
durch Etwas unterbrochen, das uns überrascht, als ob ein Fels plötzlich 
"OB der Spree hervorragte. Das Präsidium meldet nämlich den Prof. 
Jacoui (Naturforscher) an, der auf der Wahlcandidatenliste vergessen sei. 
Seiue Rede hatte Mark und Nerv. Zwar merkte man ihr die Vorbereitung, 
die Studirtheit etwas an, zwar sprach er von Kant und Fichte, von der 
"iBSenschaft und von Athen; aber er hatte doch ausnahmsweise Gedanken^ 
wtrat doch mit Würde auf und suchte zu belehren, statt wie ein unver- 
whämter Bettler seine Leiden und obscuren Verdienste zu preisen, die 
'Niemand aufs Wort glaubt. Er entwickelte den Ifegritf der Gesetzlichkeit 
und Ordnung, kritisirte in dieser Beziehung manches gedankenlose Vor- 
urtheil, er wünschte, daß in unserm (.'abinot neben den redlichen Leuten 
ancli ein Staatsmann süße, daß an die Stelle der Gesetzlichkeit, die in der 
Thal jetzt gar nicht existirt, bis zur neuen Ordnung der Dinge, mehr das 
Motiv der Zweckmäßigkeit trete, er sprach gegen alimälige Entwickelung 
(ein Strom lasse sich im Laufe nicht aufhalten!) und für directe Wahlen, 
itenen die Uepublik, obgleich er vor dem Worte nicht zurückschrecke, 

k endigte mit einer Apologie der Wissenschaft. — Die Reden der 
rn habe ich nicht ausgehalten." 




164 



W. Ahhkn.". 



Auch ein „Berlin, 22. April" datierter Bericht der Mngilelmrg 
/eitnng (No, i*9, 26. April 1«4SJ mag hier herangezogen werden, in 
dem es nach abfälligen Bemerkungen über die vorhergegangenen Ueden 
heißt: „Um so erfrischender wirkte nunmehr auf die so sehr gedrangsalte 
Versammlung die Ansprache des berühmten I'rofeseor Jacoby aus Königs- 
berg, jetzt iritgiieds der hiesigen Hochschule, Er war der Held des Tages. 
Ale er in seiner, einem Gelehrten von Europäischem Rufe so wohl an- 
stehenden Bescheidenheit, damit schloß, zu sagen: Wenn er die Tielen 
Kräfte einer so großen und intelligenten Versammlung Überschaue, so 
Weibe ihm nichts übrig, als wie PHOc'ios, da er den Markt verließ, aas- 
zurufen: „mögen sich 1>^ bessere Männer finden'*; da, ja da wollte der 
Jubel kein Ende nehmen. Aber er hatte dem Feinde auch offen ine Auge 
geschaut. 8o erkannte er beispielsweise an, daß die jetzigen Minister brare 
Leute seien, daß sie auch ttnanzielle Talente besitzen möchten, aber er 
vermißte die große Behandlung großer Verhältnisse, die Kühnheit des 
Formbildners. die Kraft eines Steis." 

Iber den außerordentlichen und enthasiasis tischen Beifall, den die 
Rede Jacouis erntete, herrseht in der ganzen Tagespresse nur eine Stimme.') 
„Eine dreimal wiederholte Salve endlosen Beifalls." so schrieb Jacobi*| 
dem Bruder, „ertönte am Schluß; dreimal mußte ich rom Platz aufstehn 
und wie ein ComÖdiant mich nach allen Seiten verbeugen. ScHELLiSfi 
sagte mir, sein Sohn, der viel die alten griechischen Redner studirt, habe 
ihm gesagt, daß sie die größten Muster erreichte". — Wenn es in dem 
vorstehend abgedruckten Berieht der Reform übrigens heißt, die R«de sei 
„vorbereitet" gewesen, so ergibt sich aus der oben nach Jacobi angegebenen 
Entstehungsgeschichte bereits das Gegenteil, das Übrigens auch darin seine 
Bestätigung findet, daß der Redner dem von „12 Buchhändlern" au ihn 
gestellten Verlangen wegen Drucklegung der Rede nicht zu entsprechen 
vermochte, da er „durchaus nicht mehr genau'' wußte, was er gesagt, 
,Ja nicht einmal den Fadea. zumal da wohl keiner darin war".^) Anderer- 
seits darf man natürlich annehmen, daß Jaioih zumal unter den damaligen 
Zeit Verhältnissen sich mit denjenigen Fragen, die er erörterte, in Gedanken 
vorher oft und gründlich beschäftigt hatte. Wenn man also seine R*de 
als eine „wohldurchdachte" liezeichnet, so dürfte man das treffen, was iler 
Reporter vielleicht durch die Bezeichnungen „studirt" und „vorbereitet" 
andeuten wollte. 



1> S. insbesondere aiicb den Bericiit des oFSiiiell«n Kluborgui, der Coo- 
gtitutioaellon Club-Zoitnng, red. v. Rodkut Pnirri, Nr. 1, 22 April 1848. S. 4, 
sowie A. WiFi-K?, Jierlinrr Jl<!r>olations-Cltrr>nik; Bd. U Berlin 1852i, 

2) Brief No, I.XII il7, .Tuni 1849t. 



d 



Ein Beitrag lur Biograpliie C. G. J, Jncobis. 



165 



„Mir war gleich unmittelbar nach meiner Rede etwas bange geworden", 
8" heißt es in dem zuvor zitierten Briefe .Iacotiis „und ich hatte das 
nDbeatimntte Oefühl, daß eine große Anstrengung dagegen gemacht werden 

würde Meine Rede war Tollkommeu unabhiingig gewesen. Sie 

rühmte die Minister als edle und ehrliche Männer, im Finanzl'acb aus- 
gezeichnet, wünschte aber, daß sie sich durch einen Politiker ergänzten. 
Bedenklicher war noch ein anderer Punet, zuma! ich wohl in der Hast 
in Improvisation den Gedanken nicht ganz klar ausgesprochen haben 
mag. Wie ich ihn später entwickelte, war er so: Ich wäre zwar für eine 
konstitutionelle Munarcliie, lege aber auf die Verfassungen überhaupt nicht 
i1m t^oßao Werth. Absolute Monarchieen hätten Großes für die Volker 
fielfliBtet, aber auch bei dem Namen einer llepublik überliefe mich keine 
Usnaebaiit. £s käme immer am meisten atif den patriotischen Sinn des 
Volkes an. ..... . Da jetzt jeder Reactionär oder Republicajier heißt, 

BO bin ich dadurch ich weiß nicht wie in die letztre Klasse geworfen 
"onien." ... — Der Minister des Innern, Alfheu v. ArEüSWALU, war 
durch seinen Privatsekretär, einen studiosus Aegidi, den späteren bekannten 
IW iuris der Berliner Universität und Mitbegründer der freikonservativen 
I'urtei, welcher dem konstitutionellen Klub angehörte und dort als Sekretär 
ii«s Klubs fungierte, gewiß unterrichtet und mag au heim gegeben haben, bei 
dem liedenklichen Beifall, welchen die dem Minister gewiß nicht un- 
Menklieh erscheinenden Ausführungen JAroiiia gefunden hatten, eine 
liegpuliewegung einzuleiten.') Doch es scheint, daß in erster Linie nicht 
"lie entwickelten Anschauungen Jacohi verhängnisvoll wurden, als vielmehr 
8«ine glänzenden Talente, ohne welche sein Auftreten kaum weiter beachtet 
fürrfen wäre Jetzt erregte die Rede dagegen nicht nur die Aufmerksam- 
Iteit der politischen Gegner, sondern mußte ihm vor allem von selten der 
nplm ehrgeizigen Kandidaten des Klubs Neid und Eifersucht zuziehen, 
ihm, dem unbequemen Eindringling, mit dem bisher niemand gerechnet 
Mte, der gar nicht zu den offiziell vorgeschlagenen Kandidaten des Klubs, 
'ondem nur zu den freiwilligen Bewerbern gehörte, nichtsdestoweniger 
^Iwr sofort den allergrtiBten Beifall der Versammlung gefunden hatte 
^cUieBt doch z, B der oben zitierte Bericht aus der MagdeburgiscbcD 
Zeitung bereits mit der Prognose, daß nur .Iacoiu und MasSMASN von 
iJlfn Kandidaten Aussicht auf Krfolg zu haben schienen, „diese beiden 
"l'« auch eine sichere". 

Unter den Gegnern JacOHIb trat besonders hervor ein Triumvirat, 
''«tflhend aus den bekannten Dichtem Rodeüt Piutz und Wimiei-m 
J'iKDAN, von denen der zweite, politisch von recht zweifelhaftem Charakter '), 



I 



l\ Vgl. den mebrfhcfa zitierten J*cotitBohen Brief No. LXIF. 

" 8. Hwiraic'H I.Ai'HK, I)ai ei>ti- dtulaehe rarl'iwenl i Leipzig lÖlC), M. M 



lGi5 W. AuRKm 

seine elirgeizigeii l'Iäne später durch ein allerdings außerhalb Berlins i 
worbeneB Mandat znr Frankfurter NationalTereamramluDg gekrönt sah, iind 
als dem dritten und eigentlichen Führer in der nun beginnenden anti- 
jacobiechen lotrigue, dem Vorsitzenden des Klubs, Lidwig Crülingeil 
Dieser, ein ilann von gunz hervorragenden geistigen Fälligkeiten, war 
früher OberlandesgerJchtarat gewesen, liatte jedoch einer Verfehlung wegen 
diese SteUiing aufgeben miisBen, yrar dann Justizkommissar (B-echtsanmdt) 
in Königsberg geworden, hatte dort für eine „Kapaeität ersten Kanges"') 
gegolten und hatte vor allem durch sein Auftreten in dem berühmten 
Polenprozefl von lf<47, dem sugeaannten j.Riesenprozeü", sich ein dauerndes 
Gedächtnis in der Geschichte der preußischen Advokatur erworben.^) „Der 
kluge Hechtsanwalt Ckelinüeu, ein hagerer Herr mit großer Judennase, 
dem man den feinen, verwöhnten Gelehrten sofort ansah", so wird er bei 
Treitschke ■^) beschrieben; dazu ehrgeizig, erstrebte er doch, wie man 
sagte, die Stellung des Oberbürgermeisters von Berlin.*) Sachlich hatten nun 
Jacoiub Gegner gegen dessen Itede vermutlich nicht viel vorzubringen; vor 
allem bot auch bei dem ungeheuren Beifall, den seine Ausführungen bereits 
gefunden hatten, ein hiergegen gerichteter Angriff sehr wenig Aussiebt. 
Man spielte daher den Kampf vorwiegend auf das Gebiet des Persönlichen 
hinüber. Frühere Königsberger spielten damals in der politischen Be- 
wegung Berlins überhaupt eine große Rolle, Crelincieh war dort (in 
Königsberg) einer der Führer der liberalen Bewegung gewesen, Jorii.\n 
hatte an der „Albertina" studiert, der schon erwähnte stud. Aeoedi sich 
ebendort das consilium abeundi geholt. Während man selbst an der Wiege 
des preußischen Liberalismus gestanden hatte und sich mit Stolz seiner 
wirkliehen oder eingebildeten politischen Verdienste*) erinnern durfte, hatte 
der berühmte Mathematiker in derselben Zeit sich abseits gehalten. Ja, 
noch mehr als das: man glaubte allerlei für einen liberalen Politiker be- 
denkliche Antezedenzien aus Jacoiiis früherem Leben zu kennen. Dies 
war die Stelle, wo man ihn verwundbar wähnte, gegen sie mußte man also 
den Speer richten. — So entstanden jene denkwürdigen Debatten über 
die „JAfOmsche Angelegenheit", welche mehrere Sitzungen des konstitutio- 
nellen Klubs ausfüllten, welche den (.ilanzpunkt'') in der Geschichte dieses 
Klubs bilden und welche während emor Woche das Interesse der Berliner 



1) FujuOH, I. c. p. 87. 

2) S. Ad. WBIWI.XB, GesehUhle der SechtmniraltscJiiß (Leipzig 1905), p i 
8) Deutsche Gathichte im Neumehnten Jahrb., Tb. V (Leipzig 1894), p. S 

4) S. Die Reform Nr. 27, 28. April 1848. 

5) S. z. B, bezSglich Ckeukgerb und Johdanb Treitschkb a, a. 0. 

6) DU Viub» und VoScseeraammliingtn licrlim bis ncwi Liuilenklub hinab \ 
vielmehr hinauf {Berlin I848J. 



Ein Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobis. 167 

Bürgerschaft in solchem Grade fesselten, daß während dieser Zeit die Zahl 
der Mitglieder des Klubs rapide wuchs und z. B. von einer Sitzung 
(23. April) bis zur nächsten (25. April) um 200 (etwa 50 Prozent) stieg. 
In unserer Darstellung dieser Debatten werden wir uns auf die Berichte der 
Tageszeitungen stützen, besonders auf die der Berliner Zeitungs-Halle. 
Die Berichte dieses Blatts, das nach einem zeitgenössischen Autor ^) unter 
den Berliner Zeitungen die einzige war, die nach der Revolution das 
Panier der Freiheit aufsteckte, während die älteren Blätter (Vossische 
Zeitung, Haude u. Spenersche Zeitung) „wie der Gaul, der am Pfluge 
ergraut ist" von der Freiheit keinen Gebrauch machen wollten, sind bei 
weitem die eingehendsten^) und geben nach Jacobi^) „gute und un- 
partheiische Auszüge". Bevor wir jedoch zu den Einzelheiten übergehen, 
mag hier ein Stimmungsbild Platz finden, das dem Hauptquellenwerk der 
Berliner Revolutionsbewegung, der äußerst fleißigen, wenn auch nicht 
tendenzfreien*) Berliner Revolutions- Chronik von Adolph Wolff^) (3 Bände) 
entnommen ist (Bd. H, Berlin 1852, p. 265). 

„Jacobis Rede weniger", so heißt es dort, „als die Person des Redners 
beschäftigte den Club einige Sitzungen hindurch. Nie war hier eine auf- 
geregtere Debatte geführt, nie das Feld der Persönlichkeiten eifriger be- 
treten worden. Der berühmte Mathematiker, einer der gefeiertsten Ge- 
lehrten seiner Zeit, inmitten einer Schaar von Gegnern und Anklägern, die 
mit Heftigkeit und schonungslos erhobenen Angriffspunkte mit Ruhe und 
Humor widerlegend, dem kleinsten seiner Gegner Rede stehend, bald wie 
der Löwe mit der Maus spielend, bald nicht sowohl mit dem Ernste 
sittlicher Entrüstung, als vielmehr mit scheinbar harmlosem Spotte den 
Anklägern begegnend, endlich, nachdem er einen unwürdigen Kampf 
mit glänzenden Mitteln geführt, als vielbejubelter Sieger hervorgehend — 
das war das Schauspiel, dessen erster Theil am ersten Ostertage ^) im Club 
aufgeführt wurde" .... 



1) Robert Springer, Berlin' 8 Straßen^ Kneipen und Clubs im Jahre 1848 (Berlin 
1850), p. 144. 

2) Ohne den Drucker-Strike, unter dem einzelne Zeitungen während eines Teils 
jener Zeit zu leiden hatten, würden wohl noch mehr Berichte vorliegen. 

3) Brief No. LXU (20. Juni 1848). 

4) Vgl. W. Busch, Die Berliner Märztage von 1848 (München u. Leipzig 1899), 
p. 49. 

5) Die sehr verkürzte und lediglich durch Zusammenstreichen aus der ersten 
Ausgabe entstandene Jubiläums -Volksausgabe v. G. Gompertz in 1. Bd. (Berlin 1898) 
enthält zwar die hier abgedruckte Stelle, von den in der ersten Ausgabe abgedruckten 
und hier in Betracht kommenden Berichten der Zeitungs-Halle dagegen nichts. 

6) 23. April. 



IV. 

Sofort in der auf Jacoiiib Eandidaten-K^de folgendeu Klnhsitzong, 
bereits am nächsten Tage {2-i. April), war in Abwesenheit des berflhmten 
Mathematikers, der die Klubsitzangen nur sehr unregelmäßig besuchte, 
aus dem Klub der Antrag gestellt worden, die Hede Jacobib drucken zu 
lassen. Dies war das Alarmsignal für Jacohib Gegner, auf dem Plan zu 
erscheinen und zum Angriff vorzugehen: Der Sprecher des Klubg, LrpwiG 
CBEUSfiEii, ergriff sofort diese Gelegenheit, um „einige Bemerkungen über 
die allgemeine Bedeutung politischer GlauhenEbekenntnisse zn machen", 
wie es in dem Bericht des offiziellen Kluborgans Terschämt heißt. ..Die- 
selben [die politischen Glaubensbekenntnisse] seien meist unvollständig und 
böten, allein genommen, keine genügende Bürgschaft für die wahre Über- 
aeugung der (.'andidaten und am Allerwenigsten dafür, daß sie an der ge- 
äußerten Überzeugung auch für die Zukunft festhalten würden. Vielmehr 
za vollständiger Prüfung sei es ntithig auch auf die politische Vergangen- 
heit der (.'andidaten zurückzugehen Vor Allem aber habe man sich zu 
hüten, daß nicht die blendende Form einer Hede das Urtheil gefangen 
nehme und die bedächtige Prüfung des Inhalts verhindere. 

Crelixgeb hatte zwar Jacoiii nicht ausdrücklich genannt; der 
Bammenbang und eine Anspielung*) auf den Mann, dessen Rede den 
ordentlichsten Beifall der Versammlung erhalten hatte, schlössen jedoch 
jeden Zweifel aus. Die Folge war, daß nun auch .Iacoüis Anhänger sich 
zusammenschlössen und in einer Weißbierstnbe eine Leibgarde des be- 
rühmten Mathematikers begründeten.^} Jacohi war von der gegen ihn 
gesponnenen Intrigue verständigt worden und ging nun in die nächste, 
am 23. April, dem ersten Ostertage. stattfindende Kluhsitzung. nm eine 
Wiederholung der ihn betreffenden Bemerkungen aus der vorigen Sitzung 
zu fordern. Über diese Sitzung des 23. April berichtet die Berliner 
Zeitungs-Halle — nach Aufzählung der li* Kandidaten, für welche 
sich innerhalb des Klubs eine Majorität ergeben hatte, darunter Ckelinoek, 
Protz, Boitsin, Diesterweg, Jorpax, Jicobi, Dove, v. RaisieEj.t. Grol- 
MASN, V. Hi'MBOLDT — weiter folgendermaßen:^) 

„Der Sprecher Creukokr bemerkt: Prof Jaiori habe sich in einer 
persönlichen Angelegenheit an ihn wenden zu müssen erklärt, er gell^ 



mgea 



1) Conititutionelle Club-ZeitUDg No. 2, 26. April 1848, S, 9. ■ 

2) A, Wr.LFP, 1. c. p. 266. — 3) HuBBBT Sphisgkk, 1. c. p. 185. ■ 
4i Berliner Zf itnuga-Halle, No. S8, 26. April \M8. Beilage and No. 99, 

27. April 1848, Haiiptblatt ; abgedruckt bei A. Wotn-, 1. f. p. 266 ff, — Wir Mgen hierbei 
eteta dem Original Wortlaut der Zeitiiuga-Haile, \na dem der bei Wou-r tiiiweUl 



aller 



iQgs r 



itlicb, ab«eivbt. 



I 



Ein Beitrag zur Bingraphie C. G. J. Jaoobis 



1C9 



^^Rtalb für die Dauer dieeer Erörterung das Sprecteramt in die Hände 

dea PräB. Lktte Lette übernimmt das Sprecheramt. Prof. Jacoki: 

Er Bei von C'helinoek verdächtigt worden, <.'reuN(jeu habe auf Beine 
politischen iVutecedentien angespielt, er bitte zu wiederholen, was in seiner 
Abwesenheit über seine Person und seine Hede gesagt sei. Crelinoer: 
Weist den Vorwurf der Verdächtigung zurück; was er gesagt habe, gelte 
nicht der Person „des hochverehrten Mitbürgers". Eben so wenig habe er 
die glänzende Rede bemängeln wollen; aber er habe in ihr Gedanken und 
Tor Allem ein politisches Olaubensbekenntniss vermißt. Dr. BEKNiiABnT: 
Crelinger habe von den politischen Antecedentien JAfonis gesprochen. 
C'RKLINdER gibt dies zu. .Iacoüi: Eb sei gesagt, seine Rede habe der Ge- 
danken entbehrt; er (flaube allerdings (iedanken geäußert zu haben, einige 
ewige Gedanken und manche allerdings nur auf die Zeit bezügliche. Wenn 
man so lange spreche, könne es ohne allen Phrasen schmuck freilich nicht 
abgehen Ea sei nicht möglich, nur in Gedanken zu sprechen, und ein 
wohlge^ielter Pfeil treffe, auch wenn er mit bunten Federn geziert sei. 
Er glaube auch ein politifiches Glauben sbekenntniss abgelegt zu haben; er 
sei jedoch bereit, ein solebea noch einmal vorzutragen, wenn die Gesell- 
schaft es verlange, Lette bringt die Frage zur Abstimmung: Verlangt 
die Gesellschaft, daß Prof .Iacotii ein politisches Glaubensbekenntniss ab- 
lege (auf JAfOHiB Verlangen mit dem Zusatz), weil dies bisher nicht ge- 
nügend geschehen seiV Wiederholte Abstimmung durch Händeaufheben 
mit Gegenprobe und Rückprobe. Die Versammlung ist uneinig über das 
Resultat der Abstimmiuig. Lette erklärt: Die Majorität sei gegen ein 
neues Glaubensbekenntniss. Jai'Oih: Man habe von seinen politischen 
Antecedentien gesprochen. Dergleichen habe er nicht; er sei eine politische 
Jungfrau, er habe nicht in Zeitungen geschrieben, seine Wirksamkeit auf 
den Kreis seiner Wissenschaft beschränkt, die Zeiten seien zur Betbeiligung 
an der Politik nicht geeignet gewesen, er habe aber nachgedacht über 
Staatoverbältnisse und sich eine feste Ansicht gebildet und bewahrt. Wolle 
man seine Biographie wissen: sie sei die aller Geiehrteu. Wenn daher auf 
seine politischen Antecedentien eine Anklage gegründet werden solle, so 
müsse er erwarten, daß man diese näher substantiiere, er sei bereit, über 
alle Punkte Aufschluß zu geben. Pkutz: Er üai heiser, aber hier müsse 
er reden. Prof JAroin behaupte, keine politischen Antecedentien zu haben. 
Das sei ein übles Geständniss eines Caudidaten, .Iaciobi habe in Königsberg 
gelebt, „in Königsberg, der Geburtsstätte unserer Freiheit". Es habe dort 
an Veranlassung nicht gefehlt, sich an der Politik zu betheiligen. Wenn 
er dies unterlassen habe, so spreche das nicht zu seinen Gunsten, Aber 
es seien allerdings politische Antecedentien vorhanden. Prof JAcnni habe 
zunächst zu beantworten, nb er den Brief der Akademie an den König in 



170 



W. Am,f 



der KArwiiUschen Angelegenheit') mit unter Betrieben habe? Aul 
sei bekannt geworden, daQ Prüf. Jacoiii sich an die Machthaber heran- 
gedrängt, Gimstbezeugungen und Belnhnimgen von ihnen angenommen-) 
habe. Ihm (Dr. Prutz) sei dies auf Privatwegen bekannt geworden, er 
sei BUirh bereit seine Quelle zu nennen, sein (Jewähramann sei — f.'REi.iN'iEii. 
Hierüber werde Aufschluß erwartet. Dr, Glaser: Man klage hier eine 
PorHon an auf firund politischer Auteredentien Thue man dies bei Einem, 
ao müsse es bei Allen geschehen. Er beantrage: die politischen Ante- 
cedentien aller Canilidaten in gleicier Art zu erörtern. (Störmischer 
Beifall.) Prof. Schellbach: Meine Herren, Sie scheinen die Bedeutung 
des Mannes nicht zu kennen, den Sie richten wollen. Er ist der Spimiza 
seiner WisBenBchaft . . . (Furchtbarer Lärm unterbricht den ll«dner.) 
Lette läßt darüber abstimmen: ob die Versammlung den Prof Schellbach 
weiter hören wolle? Es erheben sich Hände, und der Sprecher theüt mit, 
die M^'orität wolle den Redner nicht höreu. ^ Jacoui: „ MWm Hr. 
CREUNfiRR Hrn. Prctz gesagt hat, ich habe mich an die Macht heran- 
gedrängt, so ist er ein Lügner". (Furchtbarer Tumult. „Zurücknehmen! 
Abbitten!" Eine Viertelstunde lang befindet sich der Club in vollständiger 
Auflösung. Endlich werden die Hammerschläge des Sprechers hörbar.) 
Letfe: Der Redner hat sieh eines Ausdruckes bedient, der für die gröbste 
Verletzung parlamentarischer Sitte gilt, namentlich in England. Ja(_Obi: 
,Ieh habe nur einen Widerspruch äußern wollen". (Neuer Sturm. „Zurück- 
nehmen! Zurücknehmen"!) Jacoui: ,,\Venn Hr. Cremncjer von mir ge- 
kränkt ist, so will ich den Ausdruck zurücknehmen". [Der Lärm wieder- 



1 1 Für dipse xumkl in lageBzeihiageii vielerörterte Augelegenheit muD auf 
Haknick, Geschiehle der KBnigl. PreuO. Akadeniie der WisieitKhaften ru Berlin, Auig. 
JD einem Bande iBerlin 190Ii, p 704lf. verwieaeD werden, wo zum ersten Male eine 
quelle nuiäßige Darstellung der ganzen Aug^legenbeit gegeben ist. Hier sei nnr kura 
folgendes bemeikt*. Kmueh hielt als Sekret&r der Atcademie 1847 am 28. Januar, dem 
Fried richa-Tage. eine Lobreite auf den großen EOnig, uorin er diesen gegen die damtiis 
von theologischer Seite erhobene Kritik in Schutz nahm. Dabei ging Raiheh jedoch 
selbst in zum Teil wenig angemeBscuer Form zum Angriff über und spielte mehrfach 
auf die der Fri de riciani sehen entgegengesetzte Religions-Politik Fbiedhich WiliiklusIT, 
an. Der KOnig flihlto sich, znmal das Publikum mehrfach gelacht hatte, tief gekränkt 
und äußerte dies sowohl zn Hi )iiioLt>T wie ztim Kultussiinittcr. Die Akademie nahm 
yemulassung, ein Eotscbuldigungasch reiben an den König zu richten, nachdem 
Kaihkb sich selbst der Akademie gegenüber entschuldigt hatte. Da die Tagespresse 
Kai'hek for^esetzt als Heros des Freisinus feierte, so ließ der Minister Eichqosh den 
auf Gniud des RiiuEDScben Schieibens erfolgten Brief der Akademie au den KOnig 
veröffentlichen, worauf sich in der Presse ein wahrer GutrOstungasturm gegen die 
Akademie and die Akademiker erhob. 



2) In dem Bericht der Coi 

„orstrebt". 



Bt. Club-Zeitung No, Z, 26. Aprrl 1848. S. 10 



)hyb 



Ein Beitrag zur Biographie C. G, J. Jacobis. 



171 



holt sich, ,,Abbitten! Abbitten!") CicEUNfiUR erkliirt, zwar tief gekränkt, 
durch Jacohis Erklärung jedoch befriedigt zu sein. Lette und mit 
ihm ein großer Theil der Verfiammlung: Wenn Hr, CaELINOKit befriedigt 
ist, HO hat die GeseUschaft noch keine Genugthuung. Der Redner muß die 
Gesellaehaft um Verzeihung bitten. JAfOBi: Ich bitte die Gesellschaft um 
Verzeihung. (Der Lärm legt sich allmäüg und Jacoiji fährt fort:) Eb sei 
geäugt, er habe sich an die Macht herangedrängt und Gunstbezeugungen 
empfangen, und doch Bei er nicht einmal Gehemralhl^) Wenn er Gunst- 
bezeugungen hätte erstreben wollen, bo würde er diese, das werde man 
ihm zugeben, durch die bloße Äußerung des Wunsches erlangt haben. 
Die Pariser Akademie habe acht Gelehrte zu ihren Associes ernannt; unter 
diesen Acht sei er Einer, als Geheimrath würde er Einer unter 80 oder 
800 oder f!*000 gewesen sein. Er habe diese Gunst aber nicht erlangt, er 
eei nur Professor. Von Orden habe er nur den rothen Adlerorden 
3ter Klasse bei der Huldigung in Königsberg erhalten, er würde vieUeieht, 
selbst ohne sich herandrängen ku müssen, die zweite Klasse haben er- 
langen können.^) äuaoo habe ihn dem Slinister Salvanpy für die Ehren- 
legion vorgeschlagen, der Minister habe ihn nicht decorirt wegen seiner 
politischen Gesinnung. Aber der „National'' habe ihn wegen eben derselben 
gelobt, und der „National" stehe nicht in dem Hufe, servile Ounstbewerber 
zu loben. (Lebhafter Beifall. Von anderen Seiten: „Aber der Brief, der 
RAUMERBche Brief!'*) Er müsse noch vom Orden pour le merite sprechen. 
Der Orden pour le merite, meine Herren, ist nicht sowohl eine Gimst- 
bezeugung, als eine Bequemlichlteit. Der König hat die Bequemlichkeit, 
die Gelehrten alte Jahre einmal bei sich zu sehen; die Gelehrten wissen 
jeden 24. Jan. im Voraus sicher; daß sie von Mittag bis Abends um ij Uhr 
beim König sind, und am Abend wissen sie gewiß, daß sie ihn vor dem 
nächsten 24. Jan. nicht wieder sehen. Er wisse nun nicht, in welcher Art 
er sich an die Machthaber herangedrängt habe. Vier Jahre sei er in Berlin 
und nur einmal beim Minister Eichhorn gewesen, um einem Feinde eine ihm 
wegen politischer Gesinnungen versagte Unterstützung zu einer Erholungs- 
reise auszuwirken. (Stürmisches Bravo.) Über sein Verhültniss zum König sei 
Alterlei gesagt worden, unter Anderem, daß er einen Tag um den andern 
heim Könige esse. Das sei nicht wahr, er habe nie eine l'rivat-Audienz 
gehabt^ einmal habe er eine solche nachgesucht, da sei er zu Tisch ge- 



1) Der Berliner Kr»kehler schrieb iu aeiner No. I (18. Mai I81B): „In dem 
Bauen Geietzbucb boII ilaa Wort Geheiiuerkth oiit unter den etSrksten Injurien etehen"; 
vgl. a. Ko. 2 nnil 4 deBH. Blatte«. 

2) Wio X B. <!ieBen Ord^n der Aatronom H. C. Schdhacheh damaU beeaB, der 
uiclit eiumal jireuß. Frofesaor umi vor lUleai kein — J*,.ii.i war. 



172 



W. Am 



beten wordL-n Mim mnelie ihm zuai Vorwurf, daQ pr eich in Königsbetl^* 
an den liberalen Bestrehungpn niclit betheÜigt habe. Er sei seit 4 Jahren') 
von dort entfernt und wisse nicht, daß his dahin in Königsberg Poütieches 
vorgegangen sei.*) Sein guter Freund, Dr. Jacoby. habe früher*^) die Vier 
Fragen geschrieben, auf welche jetxt erst die Antwort erfolgt sei. Ausserdem 
wiege er von politischen Bestrebungen in Königsberg während seines 
Aufenthalts dort Nichts. Dagegen wolle er auf Eins aufmerksam machen, 
•letzt liberal zu eeb, sei keine Kunst. In Zeiten, wo ea noch gefährlich 
gewesen, habe er in der deutschen Gesellschaft in Königsberg in (Gegenwart 
des Präsideuten Zander, der den Dr. Jacobv damals wegen I'reBvergehen 
zur Crimiualuntersuchung gezogen, über die kantiechen Prineipien von der 
Freiheit und namentlich von der Preßfreiheit gelesen. Jaciiiiy sei ebenfalls 
anwesend gewesen, und die Abhandlung habe so viel Aufsehen gemacht, daß 
der Minister v. SrHÖN sie abgeschrieben habe. Endlich wolle er noch 
eine Notiz geben, die vielleicht für die Unabhängigkeit seines ('barakters 
zeuge. Es sei ihm vor einiger Zeit zufällig eine bereits unterzeichnete 
Cabinetsordre zu Gesicht gekommen, weiche einen Mann in das Unterricht«- 
Ministertum berufen, von dem er die Gefährdung der freien Wisseoscbafl 
habe besorgen müssen. Sofort habe er an den Minister Ekhhokn nnd 
an den König geschrieben, die Gefahr geschildert, nnd gegen seine eigeue 
Erwartung seien Cabinetsordre und sämmtliche Ministerial - Verfügungen 
zurückgenommen worden. — Das sei Alles, was ihm einfalle. Wolle man 
das politische Anteeedentien nennen, uun so möge man ihn nach diesen 
beurtheilen. Er erwarte nun die Angabe von Thatsachen, durch welche 
sein Herandrängen an die Gewalt dargcthan werden könne. — Der Redner 
verläßt nnter unaufhörlichem Beifaliasturm die Trihflne. — Cbei.isger: 
Wenn es sich um den politischen <.Iharakter eines Mannes handele, so 
könne man denselben nach dem Gesanimte in druck, welchen man von dem 
Leben des Mannes empfangen habe, beurtheilen. Dieser Geaammteindruck 
werde durch kleine Züge, durch das Urtheil der Umgehung hervorgebracht, 

li L'nter Einieclinung der ilaliemBcheu Keiee 1843,44), uacii derea Beendiguiig 
Jacobi bekanntlich nach Berliu überüiedelte, sogai eoit faet 5 Jahren. 

2i FsHu. Fat.kson, a. a. 0. p. 109 hatrachlet »U AiisjtaogBpiuikt der Tomiäralichen 
liberalen Bewegung in KCniffsbcrg in der Tat erst die Gründung der „Bürgergesellachaft" 
r20. Dez. I844|. Keitienfalls gab es uLer vor den vierziger Jahren etne liberale Bewegung 
dort: die Juli- Revolution war an Eünigsberg spiuloe vorübergogaagea und zur Zeit der 
DemagogenTerfoIgungen hatte da» Ministoriuni noch in einem beeonderen Schreiben 
anerkannt, daß auf dieser Universität uichta von revolutionären Tendenzen so bemerken 
genesen i,fi. II. Phitz, Itie KiiniglicJie Albertus- Universifäl eu Königsbei'g i. Pr. in 
IS. Jahili. [Königsberg lööli, p. 107; »owie 1. Faiem.Äsi.Bn, Aus Königthrrger GcUhrltH- 
treum, Deutsche Rundschau, Bd. SH, 1896, p. 224; vgl. dazu auch D«ntwilr(Iri7X'<rä(!n 
atu dem Leben lUs Gmtrah Oimm >-. Nariuf.ii, heraiie^. v. (iheohaii Eknkt v Nat^mkh, 
Teil II i.Goth» ISSfii, p. 14B). — 1!) 1841. 



Eiu Keitrit); 7.ur [Üo^ruphie C, G. ,1 JuiMibia 



173 



entscheidend, ohne daß bestimmte Facta vorhiinde]! zu sein brauchten, 
«reiche ihn bewahrheiten. Es habe schon seit dem Regierungsantritt des 
jetzigen Königs eine Partei in Königsberg bestanden, die man die liberale 
^namit habe. Er selbst eei ihr beigezählt worden. Niemand habe ge- 
iweifelt, daß Professor Jacobi derselben gleichi'alls angehöre. Seine hohe 
g:eistigi} Begabung, Beine Verbiniiung mit dem Minister von Si'Hün'), 
einzelne Äußerungen, welche er diesem gemacht, haben diese Annahme 
unterstützt Trotzdem habe er sich von den Liberalen gesondert, er habe 
sich in der Umgebung des Königs Wohlgefallen und eine des freien 
Mannes unwürdige WelHC dem Könige gegenüber verrathen. (Lärm in der 
Versammlung. Man fordert „Thatsachen".) „Professor JacOüi hat vor Aller 
Augen dem Könige die Hand geküßt. Meine Herren, ea war ein Gefühl 
des tiefsten Schmerzes, das uns Alle übermannte, als wir dies vor unseren 
.Augen vorgehen sahen. Und nun ersuche ich den Herrn Spreeher, diesen 
Urief, den mir Herr Dr. Puvta gegeben, zu verlesen." Le'I"J'E verliest eiu 
I «Schreiben, mit welchem JAi'Obi dem Könige seine mathematischen Ab- 
handlungen zugeeignet hat. Man ruft nach dem Datum: es ist der 
2li, Aognst") l>i4(i. In dem Sehreiben ist charakteristisch die Anerkennung. 
-welche der Verfasser dem Könige für die Unterstützungen ausspricht, 
^^^dorch die es ihm möglich geworden sei, Kraft und Muße für seine wissen- 
^^■■fcKftliche Thätigkeit zu gewinnen. Verschiedenartige Rufe geben zu er- 
^^^Hknen, daß der Brief den beabsichtigten Eindruck auf die Versammlung 
^^*Meht hervorgebracht hat. Herr ('REUNttEit fahrt jedoch fort: „Kann, meine 
Herren, Jemand, der der Gewalt so entgegengekommen ist, Ihre Rechte 
»ertretenV" (Neuer Tumult.) Jacobi: ,, Meine Herren, mir wird vorgeworfen, 
(laß ich dem Könige die Hand geküßt; o, ich habe viel, viel Schlimmeres ge- 
than, ich habe sogar dem verstorbenen Papst'') die Hand geküßt". Der Reduer 

1) Doc äCiuittcr v. Scuön (vgl. oVen 3. 158) schätite Jacohi Bohr hoch. „Dieae Keru- 
i«r" sagt ei «inmol iu seiner Selbstbiographie von Btsniit^ Jtcuui, IliuuAitT uud einem 

IrVeund, mit denen er den Plan einer polyteohoiacbeQ Schule beraten hatie {Aus 
Papieren de» MinUUrt Tuk'wo» i-- Scbm, Bd lll (Berlin 1870), p. 104). Stoli dwauf, 
Schaler Kantb za sein, verkehrte ScHÜn mit Vorliebe mit ileu Gelehrten der KOuigs- 
bec^er üuiTsnität. „Be»rel, Moeeb, Jacobi, Ro^iekkbaiiz gehören xu ECiuem inlimeten 
rmgange", heißt eg in einer .Schrift l'retißcHs Staattmänntr. III, Snit-n (T.eipdg 
I&IS), p. 31, .,Bur seiner GeircbäftBreiee in der Provinz wird er gewöhnlich Ton einem 
Üacer Uelefarten bet'leitet". Vgl. a. einen IJrief SmöNs t. 25. Uoz. 1813 in der 
Tiarteljahiechr. für Volkawitthsch., Politik und KultiirgescL. GC (1880), 
p. S9, woDkch er eine stEuitewisBenfichsfClicbe PrRge mit seineu freunden : „BiuNtt. dem 
HhamUBcheo, Hiokk dem Staatawirlh, Jacouc dem großen Kalkulator, Muskn dem Lieht- 
frraid" besproehen hatte. 

2) 80. Aagiirt 18<6: s. C. G. J. Ji.oris Gt-i(\mmfllt Werke, Bd, VU, r- 3''5. 



tioScl) 



3) Gregor XVI. auf d 
fcte Pet. 184». 



eitcrliiii 



wähnten italioniachen RoiBe i 



r AudicuK 



174 W. Afue«.. ^m 

rechtfertigt den angefochtenen Handkuß als einen Ausdruck pereönlicSw 
Dankbarkeit; der König habe ihm die Mittel gewährt, zur Heretellung 
Beiner Gesundheit eine Reise nach Italien zu machen uaw. (Man ruft: „der 
[{AUMERache Brief!'") Er wolle eich auch über den Brief in der Haumeh- 
aclien Angelegenheit erklären. Man müsse niaaen, wie es hei der Unter- 
zeichnung zugegangen. Nach einer heißen Debatte von Tier Stunden, als 
AUe bereits ermüdet gewesen.') sei plötzlich ein ? ertrauen 8 wördiges Mit- 
glied*) mit dem Bemerken eingetreten, er habe einen Brief entworfen, 
man dürfe ihn nur unterschreiben, ,,lcb habe, wie alle meine Collegen, 
unterzeichnet, ohne zu lesen. ^) Erst durch die Zeitungen habe ich von 
dem Inhalt des Briefes Kenntniss erhalten." Sei ein Fehler begangen 
worden, so bestehe er darin, daß man Etwas, was man nicht gelesen, 
unterschrieben habe. Das sei nicht.'^ Unverzeihliches, Er wolle sich nicht 
damit entschuldigen, daß er nur gethan habe was vielen Anderen mit ihm 
zur Last falle. Aber man möge nicht vergessen, daß der Brief Nichts 
bezweckt habe, als dem Könige eine HÖfliehlteit zu bezeigen. Der König 
sei als Gast in die Akademie gekommen und verletzt worden durch 
PoUssonnerien. (Lärm. „Unparlamentarisch'.") Der Redner bittet um Ent- 
schuldigung, er sei heut unglücklich in der Wahl der Ausdrücke. Dem 
Könige sei aber jedenfalls mit Ünhöfliehkeit begegnet worden, und es 
habe sich nur darum gehandelt, eine Unhöfhchkeit durch eine Höllichkeit 
gut zu machen. Daß er, der Redner, nichts weiter gewollt habe, möge 
der Umstand zeigen, daß er am anderen Tage die Wegtassung der alt- 
hergebrachten weitschweifigen Redensarten in künftigen Briefen der 
Akademie an den König beantragt und durchgesetzt habe. Sein so eben 
verlesenes Zueignungsschreiben an den König enthalte nichts was seinen 
Charakter beflecke Es sei, wie ein großer Gelehrter schon gesagt habe, 
nützlich einem Könige zu sagen: Du bist der Vater des Volkes, damit er 
sich bemühe, es zu werden. Es sei ihm deshalb zweckmäßiger erschienen, 
dem Könige zu sagen: „Ew. Majestät stehen an der Spitze der Bewe.gungl'' 
als „Stellen Sie sieh an die Spitzel" (Hier erhebt sich in der Nähe der 
Tribüne ein furchtbarer Tumult; der Ruf: „Heraus. Heraus!" wird gehört, 
und die Frage fast aller Anwesenden, wem dieser Ruf gelte, steigert den 
Lärmen bis zur äußersten Höhe parlamentarischer Aufregung. Fünf 
Minuten limg ringt der Hammer des Sprechers vergeblich nach der ihm 
gebührenden Beachtung. Endlich legt sich der Sturm und mau hört den 

1) L'bec diese Akademie-Siteoug vom 4. Febr. 1S47 vgl. iIbb Nähere bei Uiumck. 
1. c. p, 70Bff. 

2) BötKif, vgl. dasu den Brief (No, LIV) Jacobib v. 3. Juli 1847 ao den Bruder. 
>Vh A. Habnaik, 1. c, p. 701 billigten »lle Akademiker dag Bi^cKuscbe Schreibet). 

3) „HeftigOB Murren" veraeiehnet hier der Bericht der Const. Clnb-Zeitiitij; 
Sr. 2, 26. Apr. 1848, S. 10. 



Ein Heitrni; zur Biograiihio f. U. .1. Jaroliis, 175 

Jpr«cher) Leite: Unser äecretair bat sicli eine durchaus unparlamentariüche 
ÄußeruDg zu Schulden komnion lassen. Er inuB die VerBiimtnlting um 
Verzeihung bitten. (Neuer Lärm: .^Welche Äußerung^") Er hat „Pfui!" 
gesagt. — Stud, Akciidi, Secr.: „Ich habe mich zu dem Ausruf fortreißen 
lassen, ich bitte um Verzeihung. Die Versammlung hat schon einmal Ab- 
solution ertheilt, sie wird sie mir nicht versageo. Was Einem recht ist etc." — 
Jac'Ohi: „Ich sehe, es will mit meiner Vertheidigimg nicht glücken, vielleicht 
fange ich es zu ungeschickt an. Ich bitte nur noch um die Gunst, aus 
der Gesellechaft scheiden zu dürfen". (Er will sich entfernen. Seine Freunde 
umringen ihn. Von vielen Seiten hört man: Nein, nein! Hierbleiben! 
Endlich winkt Hr. Jacohi mit dem Hute und setzt sich nieder.) Es wird 
wieder ruhiger. — Herr v. Barkki.Ehes tritt auf. Das Unterschreiben des 
Briefes der Akademie, ohne ihn durchzulesen, sei wenigstens Indifferenz, 
Leichtsinn , Eigenscbaften , die ein Volksvertreter nicht besitzen dürfe. 
Außerdem habe Hr. Jacohi kein genügendes Olaubensbekenntniss abgelegt 
Er habe zwar gesagt, er sei für die constitutionelle Monarchie, er bekomme, 
aber auch keine fiiineehaut, wenn er das Wort „Republik" nennen höre. 
Das sei eine sehr schwankende Meinungsäußerung. Auch er, der Kedner, 
halte die Republik für die vollkommenste Verfassungs-Form, aber für jetzt 
sei bei ans noch eine Kluft zwischen Monarchie und Republik, die nur 
mit Blut ausgefüllt werden könne. Dem Charakter des Prof, jAcoiti falle 
auch zur Last, daß er mit keinem Worte in seiner Rede der Person des 
Königs gedacht habe, des Königs, der ihn, wie er selbst zugestanden, in 
den Tagen seines Glückea zu Dank verpflichtet habe, und dessen jetzt zu 
gedenken um so mehr Pflicht eines Ehrenmannes sei, als jeder Buhe 
jetzt das Haupt des tiefgebeugten Monarchen mit Koth zu bewerfen wiige, 
(Stürmischer Applaus.) — Jacohi: Er müsse dem Redner in allen Stücken 
Kecbt geben. Allerdings sei es leichtsinnig, Etwas zu unterschreiben, das 
man nicht gelesen habe. Dieses Leichtsinns klage er selbst sich an. 
ÄQCh bekenne er das Unrecht, des Königs, seines edlen Herzens, Heines 
Bohen (reistes nicht gedacht zu haben. Er habe dies mit vielen andern 
Punkten, die er in seiner Rede zu berühren sieb vorgenommen,') bei der 
Überrascbnng, durch die er auf diese Tribüne geführt worden, vergessen 
Hierauf weist der Redner in beredter Entwicklung die Wohltbaten nach, 
welche die Völker der Monarchie verdanken; diese habe die Aristokratien- 
herrBchaft gehrochen und die Freiheit angebahnt Er macht hierbei auf 
die Milderung der Leibeigenschaft durch den Kaiser in Rußland auf- 
merksam Dr. Glaser: In den alten Republiken habe ein Gesetz 

Jeden mit Verbannung bedroht, der einen Bürger angeklagt buhe, ohne 

1) Auch in einem kurz zuvor (3. Apiil 1348) geBchriebenen Ilriet' an deu Uruder 
gitit J^fobi aeiuet pereäDUi'hcn Veiehrunft fCi den König AuHdnick (Brief Nu. LX). 



daß ein bereits bestehendeB Gesetz die Anklage gerechtfertigt bitte. Hier 
liege ein solcher Fall vor. Man klage den Professor JacOI» wegen so- 
genannter politiaclier Antecedentien an, dies müsse auch gegen Andere 
gesclielien; Aller Antecedentien müssen zur Sprache gebracht, alle l'imdi- 
daten zur Rechtfertigung angehalten werden. Erbeautrage: einen solchen 
Alle bindenden Beschluß zu fassen. Der Sprecher erklärt es für be- 
denklich, eine Entscheidung über einen so wichtigen Antrag sofort zu 
veranlassen. Er wünscht noch weitere Redner über den Antrag zu hören. 
Dr. Joitn.iK: Professor Jaioiii habe heute zu erkennen gegeben, dali er 
nicht den erforderlichen parlamentarischen Takt besitze: daher müsse et 
beantragen, den Professor Jaioki von der (.'andidatenliste zn streichen, 
(Tumult. Verschiedene ^''ersuche, über diese Anträge zur Abstimmung zu 
gelangen, scheitern an der leidenschaftlichen Erregtheit, in der die Ver- 
sammlung sich behndet.J Der Sprecher schlügt vor: die Abstimmung auf 
eine ruhigere Sitzung zu vertagen. ^^M 



Man wird dem oben zitierten Verfasser der Revolutions-Chronik darin 
helstimnien mÜBsen. daß ein Kampf, der J.vcoiti zwang, sich gegen persönliche 
Anklagen von jener Art zu rechtfertigen, des großen Mannes wenig würdig 
war. Man darf aber andererseits zunächst nicht unterlassen, alle diese 
Yorgfljige im Spiegel der Zeit zu betrachten. Ein Hinweis auf die hohe 
wissenschaftliche Stellung Jacühis, wie ihn St.iiELLi!Ai.'ii versuchte, an sich 
schon von fragwürdigem Wert für die zur Entscheidung stehende Frage, 
mußte in einer Zeit, die allen Autoritätsglauben ablehnte, wirkungslos 
hleihen oder nur noch mehr aufreizen, zumal dieser Versuch in wenig 
geschickter Form hervorgetreten zu sein scheint, wenn er auch gut gemeint 
war und ehrlicher und berechtigter Entrüstung über die dem großen 
Forscher aufgezwungene unwürdige Rolle entsprungen sein mochte. Ständen 
nun auch Angriff und Anklagen gewiß sehr tief, so verdient um so größere 
Beachtung die Übereinatimmung aller authentischen Berichte darin, daß 
jAioitis A' erhalten würdevoll und seiner hohen Stellung in der Aristokratie 
des 'Jeistes stets durchaus angemessen gewesen sei und er sich schon beim 
ersten Auftreten in der Hinsicht vorteilhaft von allen anderen Kandidaten 
unterscJaieden habe, die geflissentlich ihre früheren Händel mit der Regierung 
anbrachten und ihre Verdienste um die Volkssache priesen, auch ohne irgendwie 
hierzu gedrängt zu sein. Selbst Gelehrte von großem Ruf, wie Fk. v. Raimek, 
sind hiervon nicht freizusprechen. Nun war JAfOiii seiner Vergangen- 
heit wegen direkt m Anklagezuatand versetzt; er mußte, nachdem er 
einmal a gesagt hatte, auch b sagen und sich verteidigen, wollte er nicht 
den Eindruck erwecken, die erhobenen Anklagen seien berechtigt und er 



Eiu BoitrafT zur BiograpbiB C. G, .1. Jacobia, 



177 



fKhle eich diesen Angrifien und seinen Gegnern nicht mehr gewachsen. 
Zudem wird die begeisterte Anhängerschaft, iJle der große Matheniiitiker 
Brtfort gefunden hatte und die eine eigene Partei „Jiicobi" formierte, mit 
ajlen 5Jitteln dafür gewirkt haben, daß der aufgenötigte Kampf auch mit 
möglichster Entschiedenheit durchgeführt werde. Diese Anhängerschaft 
bestand, wie dies weiterhin auch in den Berichten hervorgehoben werden 
wird, aus der .Jugend", und zwar darf man dies Moment als besonders 
charakteristisch für den tatsächlichen Eindruclc, den jene Debatten hervor- 
gebracht haben und den verkürzte Zeitungsberichte doch nur höchst «n- 
vollkommeo wiederherzustellen imstande sind, bewerten. Denn die „Jugend", 
die hier vorwiegend die akademische Jugend gewesen sein wird, wie bei 
der Art des Klubs nicht zweifelhaft ist, hat zu allen Zeiten ein besonders 
feines Gefilhl für vornehme und unabhängige Besinnung gehabt.') In der 
Form scheint Jacoiji allerdings in dieser Sitzung (2'i. Apr.) nicht immer 
glücklieh gewesen zu sein. ,Jch war ermüdet", sagt er in dem mehr- 
fach zitierten ßrief^) an den Bruder, „und durch die Menge, die über 
mich herfiel, etwas verwildert." Die rücksichtslose, heftige, ja nieder- 
trächtige Art, wie er von fast allen Komiteeraitgliedem angegriffen wäre, 
habe auch seine Part«! erbittert. Die Wogen der Debatte gingen sehr 
hoch. „Es war ein furchtbarer Sturm, die höchste Aufregung", beißt es 
in demselben Brief. „Denke Dir immerfort gleichzeitig 30Ü klatschen und 
300 trommeln, und den Präsidenten mit dem Hammer die Tribüne zer- 
klopfen um Ruhe zu schaffen Gleichwohl wurde auch von den wüthendsten 
Gegnern immer meiner Hede, deren Eindruck mir noch heute unerklärlich 
ist, mit einer Art Bewunderung gedacht, 'Diese glänzende Rede, sagte 
CkelinoEK, und weil glänzend, desto gefährlichere, also diese geiatrliche 
Itede,' 'Das sei der Mann, sagte ein anderer, der in dem Moment wo 
in Francfnrt vielleicht alles auf dem Spiele stände, durch die Gewalt seiner 
Rede alles in den Verderben bringenden Abgrund mit sich fortreißen 
könnte,' Und so weiter" Der Reporter der National-Zeitung, die 
späterhin zu über seh wänglichem Lob für Jacoiii sich durchrang, fand 
sogar, er habe sich in der Sitzung des 23. April „gröBtentheils ungeschickt 
vertbeidigt, oder doch so, daß er den Kern der Ausstellung als berechtigt 
jmerkaonte". ^) Dies lag nan allerdings wohl vorwiegend an der Natur 
der Anklagen. „Ich stand unter dreierlei Anklage", sagt Jäcoih selbst 
(ibidem), „1. früher servil gewesen zu sein und nun eine plötzliche Schwenkung 
gemacht zu haben, 2. von jeher ein eingefleischter Jacobiner gewesen zu 
sein, und it. von CiiELiNdKit. der als kluger Mann allein das richtige traf, 
des politischen Indifferentismus. Dn siebst, da hieß es, incidit in Scyllam 

1) Vgl. a. S. 187 Anm. 1. - 2) Brief Nu. LXU (20. .Toni 1848). 

3) Nfttional-Zeitung. Nr. 24. 25, April 1848. 
Bibliotbeea Hatbeaiatiu. III. yolse, VO, 12 



178 



W Ali. 



qui Tult vitare Charybdim; es war unmöglich eich gegen eine 
zu vertheidigen ohne der andern Recht zu geben." 

So kann es nicht wunder nehmen, wenn nach diesem ersten Tags-ft 
(23, Apr.) die Stimmung im ganzen, wie Jacobi a. a. 0. sagt, gegen ihn 
die vorherrschende geblieben war. Der schon zitierte Bericht der National- 
Zeitung spiegelt dies wider, indem er meint, der größte Mißgriff Jacobis 
sei der gewesen, daß er sich überhaupt als Kandidaten angeboten habe, 
eine Behauptung, die das gesinnungstüchtige demokratische Blatt durch 
den Zusatz bekräftigt: „In den Parlamenten braucht man nicht Jungfrauen, 
sondern Männer, nicht Gelehrte von zweifelhafter politischer Überzeugung, 
sondern öffentlich bewährte politische Charaktere, und zwar solche, welche 
bereits früher das gestürzte H-egierungssyatem bekämpft-en". Andererseits 
muß jedem nur einigermaßen urteilsfähigen und unbefangenen Beobachter 
bereits an diesem 23. April unverkennbar der Eindruck einer gegen den 
gefährlichen Uivalen gesponnenen Intrigne sich aufgedrängt haben: der elir-' 
geizige (.'RKi.iS(iKi! hatte vorher in Jacohis Abwesenheit diesen 
Xennung des Namens zu verdächtigen gesucht, dann aber, von Ja( 
zur Rede gestellt, seine Bemerkungen so moderiert, daß der Angegriffen«, 
wie er dem Bruder schreibt {20. Juni li^4.'<), sich schon zufrieden gestellt 
erklären wollte, als nun, damit die ganze Aktion nicht einfach im tSaade 
verlief, der zweite Hanptakteur, Perrz, auftrat und trotz Heiserkeit dl 
Wort ergriff, wobei er sich auf private Äußerungen Cbelinrehb über Jacoi 
berief, eine Indiskretion, die jenem dann später (Sitzung v. 27. Apr.), als 
die betreffenden Äußerungen zurücknehmen mußte, berechtigten Anlaß zu 
einer Rüge gegen Pbitz gab. Umgekehrt hat nach dem obigen Bericht der 
Zeitungs-Halle Ckemnoeb, als er die Widmimg aus den Oimscula maihf- 
matica vorbrachte, sich auf Pkutz berufen, was diesen wieder zu einer 
dementierenden Erklärung in dem genannten Blatte') veranlaßte. Man 
sieht: die moralische Verantwortung der Anklage zu übernehmen getr: 
sich niemand recht; der eine suchte dem anderen die UoUe des Grol 
Inquisitors aufzuzwingen. Alan fürchtete offenbar Jac<'>hib geistige Über- 
legenheit und seinen darauf basierenden Einfluß auf die Zuhörerschaft seit 
seinem ersten Auftreten doch schon zu sehr, und vor allem fehlte auch der 
ganzen Anklage von vorne herein der innere Gehalt. Dies letztere hatte ßich 
am Ende der Debatten des 23. April bereits so weit gezeigt, daß, als nun 
der Dritte im Bunde, Wilhelm Jordan, auf dem Plan erschien mit dem 
Antrage. Jacohi wieder von der Kandidatenliste zu streichen, er zur 
Motivierung dieses Antrages nichts weiter als Jacübib angeblichen nnd in 
der betr. Sitzung bewiesenen Mangel an parlamentarischem Takt vorbrachte. 



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I) I 



iltii: 



i-Httlle No. 99, 27. April IMS, Beilage, 4, Seite. 



I 



Ein Beitrag tut Biogtaphio U. G. .1. Jacobia. 



179 



ibaj in der HoSiinng, bo die Erörterung dor politischen Äntecedeozien, 
die flieh .Iacohi gegenüber nun doch schon als wirkungslos erwiesen hatte, 
^Dz abachneiden zu können, um damit zugleich den gefiLhrlichen Gl..\äEK sehen 
I Antrag in der Versenkung verschwinden zu laHsen. Sehr richtig beobachtet 
I hatte der Berichterstatter der Uefiirm, der „Berlin, 25, April", noch Tor 
! der nächsten Klubsitzung, über die Verhandlungen des 23. April schrieb:^) 
„Es ist die ganze Sache eine bloße lutrigue, in der CRELiNdKit, Robert Phutz 
and Jordan spielen, die aber den Intriguanten thener zn stehen kommen wird." 
Für den Fall einer allgemeinen Untersuchung der Antecedenzien aller Kandi- 
daten geniäfl dem GLASERschen Antrage prophezeit dieser Bericht „eine große 
L Purifieation", bei der „Chelinoer, Jordan, Protesaor Keller, Dove, Kalmeh, 
b^tot''r2 uew. gestürzt werden" würden. 

B. 

^^" TTher die nächste Klnbaitznng, welche am Dienstag, den 25. April statt- 
fand und in der die Fortaetznng des Gerichts über den berühmten Mathe- 
matiker erfolgte, berichtet die Zeitunga-Halle:^) 

.... Dr. Jordans Antrag: Prof. Jaco/ii rdn der Gandidatetüiste zu 
I streichen, wird zur Berathung gestellt. Der Antrageteller bemerkt: der 
Cuidtdat sei weder aus der Vorwahl, noch aus dem Coraite hervor- 
' gegangen, er habe durch seine Rede die Herzen mit Sturm eingenommen. 
Später habe man bereut, daß man sich habe überrumpeln') lassen. (Lärm.) 
JArOItl habe früher andere politische Gesinnungen gehabt, in neuester 
Zeit aber eine Schwenkung gemacht; solche Candidaten könne man nicht 
branchen. Es haben sich Mehrere um das Wort gemeldet; ein Streit 
I entsteht darüber, Wer das Wort erhalten soll. Als der Sprecher Jacoiü 
1 auf die Tribüne ruft, bricht ein anhaltender Beifallssturm loa, Jacobi: 
ÜOT Ankläger spricht von einer politischen Schwenkung, also von einer 
SLimeaänderung, der Dennnciant dagegen hat seine Beschuldigung anders 
^wgTündet; er behauptet, ich hätte mich trotz meiner notorisch liberalen 
Owinnung in Königsberg von den Bestrebungen der Gesinnungsgenossen 
fem gehalten. Beide Behauptungen sind unwahr. Ich war immer unab- 
hängig, und wählte meine Freunde stete aus Männern, die einer liberalen 
Uit'btung angehören. Minister v, ScnÖN wäre, glaube ich, nicht mein 
freund gewesen, hätte ich einer servilen Richtung gefolgt. Ich habe auch 



l>Di. 

•i] Be, 



Uefon 



No, 27, 28. April 1848. 
itungB-HaUe No. 09, 27. April lS4ä, lieitage: abgeilruckt bei 



i.W„Lr,. I.e. p.271- 

3t .,D«r Clnbb sei überrumpelt oder überrascht, v 



*"^— ilenu der Cliibb bat eigentbüinliche Begriffe 

"^ hlit «treafi auf deren Ileachlung", heifit es im Bericht der Natio 

''f. 26, 27. April 184«. 



sich vcrbenBorn 
pBr1amDDt»ri«chea KomieD 



160 



W. AUREHS. 



nie den Regieruagsbev oll m ächtigten bei der Universität anerkannt;') aof 
die gefährUcbBten Posten, wo ea galt, gegen ilinisterialverfügungen zu 
remonatriren, sebob der iikademiHche Senat mich vor. Ich bin zwar jetet 
zum ersten Male genöthigt, luicb zu vertbeidigen, nicht aber bin ich zum 
ersten Male denunciirt. Das hat früher schon der bekannte Hr. V. DEitSCHAr 
in Königsberg gethan. Vielleicht ist er selbat hier. (Stimme aus der Ver- 
sammlimg: „Hisr bin ich. Das ist nicht wahr.'"' Tumult Raus! Ttaus!l 
Hr. V. D.^) ist sonst ein ehrenwertber Mann, nur vertieft er sieb zuweilen 
in besondere Richtungen. (Gelächter.) In Berlin hatte ich das Recht, 
zu Hoffeaten eingeladen zu werden, habe aber Nichts gethaJi, um dazu zu 
gelangen. Keinen Minister kenne ich persönlich. Jede Gelegenheit, die 
Unabhängigkeit meines Charakters zu zeigen, habe ich benutzt. Als ein 
gewisser Pkteub in Dresden wegen seiner dem Oultne minister wohlgefälligen 
„Moralitat" zum Prof. der Mathematik in Berlin gemacht werden sollte, 
habe ich dies rückgängig gemacht. Ich schrieb dem Minister damaU: 
„Unwissenheit im Bernfafache ist Immondität". Es ist wahr, der König 
hat mit mir bei Gelegenheit ein Wort mehr gesprochen als mit Andern. 
Warum? weiß ich mir nicht zu erklären; ich denke, weil ich ein Potsdamer 
bin. Was ist gegen mich vorgebracht? Man nenne mir doch nur ein 
Factum. Chei-ingek sagt, ich habe mich von den liberalen Bestrebungen 
zurückgezogen. M. IL, ich kann nur denken oder handeln, wenn mir 
eine bestimmte Aufgabe vorliegt. Ohne ein solches bestimmfea Ziel etwas 
zu unternehmen, zu agitiren, mich iin der Regierung zu reiben, das wider- 
strebt meiner innersten Natur. Wäre dies nicht, ich hätte es leicht er- 
reichen können. Politisch verfolgt zu werden aber war mir allzuwolfeiL 
(Stürmischer Applaus.) Was den Brief der Akademie an den König betriffl, 
so handelte sich's bei der Rede des Hm. v. RAniEH nur um die Fonn, 
nicht um den Inhalt. Ai.kxanoek v, Htmholdi- wohnte der Sitzung bei, 
und erklärte, mit« dem Inhalt ganz einverstanden zu eein. ^) Dem an dea 



asI-Zeitung Nr. 26, 27. April 1848: „er habe tnorrt die 
1 ihrer etwths uuwQrdigen Stellnng dem' ftegieruDgahevoll- 



k 



1) Nkcb der Nati 
I'rofeBSoren mit befreit ■ 
mScbtigtea gegeoäber". 

2) V. ÜKiiarHiu erließ in der Const. CInb-Zeitg. No. 3 (3. Mai 1848, S. 23t. i 
Erklärung gegen „die wahrheitswidrigBn Ausfalle" Jacubii; die dort voi ihm 
gekündigte beaoDdere Broschüre »cheint Dit^ht erBchieneD zu sein. 

3) Der Bericht der ZeituagB-Halle ist hier offenbar ungenau. Zntraffend 
richtet .iodBnfallBdieConBt.Cinb-Zeitg. No. 2, 26. April 1848), S. 11, wonach Ja< 
sagte, mit dem Inhalt der RiiMKüBchen Itede seien alle Mitglieder dot Akademie, 
unter ihnen Alkiihdeu v. HimiuLCT, ebenso einverstanden gewesen, als sie die Form 
gemifibilligt hätten. Dies Sndet, soweit es HcuHOL.nr betrifft, «eine BestStignug dui«h. 
deeien Brief an GUcns v. 23. MiLrz 1847; t, die von Briiiku herauBgegeb« 
«wmcAmi UuutaiMT und Qm-m (Leipzig 1877 1, p. 55. 



i-H 



S'^4^1 



^^^1 Ein Beitrag zar üiograpbie C. G. J. Jacobis. 181 

KCnig zu Bchreibenden Brief wurde ein reuevoller Brief, den Uaumku selbst 
an die Akademie gerichtet,') zum Grunde gelegt. Ralimkk selbst fand 
sich auch uicht durch den Brief verletzt. Noch drei Wochen behielt er 
die Leitung der Angelegenheiten der Akademie als Secretair und blieb 
mit nns im besten Vernehmen. Erst ala der Brief gedruckt war, erklürte 
er seiueu Aastritt, obgleich die Akademie ihn zu bleiben bat^) und seine 
Stelle ein ganzes Jahr für ihn offen hielt. Liegt noch Etwas gegen mich 
Tor? (Ruf: „das üedieationsschreiben".) M. H. Der König hat es nicht 
geleaen. Ich habe darin nur meinen Uank für die Unterstützung, die mir 
der Knnig hatte zu Theil werden lassen, aussprechen wollen,^) aber das Buch 
ist angelesen vom Könige an die Bibliothek gegeben. Wenn man übrigens 
Ton meiner Stellung zum Könige spricht, so muß man bedenken: die 
Minister Thile und BoDEiÄCiiwiNrin*J waren unerbittlich gegen unabhängige 
Männer. Xicht so der König.*) Das zeigt sein Verhältuiss zu Hi'MBOLDT 
nnd dessen Verhältniss zu Ait.ir.o Mein unubhängiger Charakter steht in 
keinem Widerspruch zu der Gunst, welche der König für mich hatte. 
DafQr spricht auch, mein berliner Umgang mit Männern wie Bkckkratii, 
Ai'ERSWALn. Bardeleben ") — dem Deputirten. (Gelächter.^)) Der Redner 
zählt noch Viele seiner Freunde auf, namentlich auch aus Italien,'*) und 

I) Dou Wortlaut b. bei H^RXArK, t. c. p. 708. 
FS) Jii'oiii bilde!« mit Duve und Iiacrhakh die EommiBsion, die dies Scbreiben 

e (Rajwack, !. c. p- 712), 
■■31 Nach dem ßoricht der CohbI Club-Zeitung Nr. 2, 26, Apr. 1S48, S. 11 
, „Zusobtirteu der Art würden mebr an daa deutsche Publikum, aU an 
klwhePenion gerichtet", und uacb der National-Zeitung No. 26, 27, Apr. 1848: 
1 werde wohl »ugebea, daß ei ihm eiu Leichtes goweieii wäre, sie dem Könige 
m Getichte lu bringen, wenn er auders gewollt hätte". — „Der König hat meine 
Dedication nicht geleecn : Hruni'i.nT hätte sie ihm vorgeleaeu. weuu der ihn betreffende 
pMiiu DJcht darin gewesen wäre. Die Freude und der Dank, den er mir dafür be- 
wigt hat, haben mich yolUtändig entschädigt", hatte Jacoui dem Bruder '11. Juni 
1^7. Brief No. LIII) geachrieben. 

4) Üer Bericht der Const. Club-Zeitung 1, c. S, 11 nennt hier — offenbar 
lutreffend — Ekttiikjhs gtatt B<^^KLBl■HWl!^^l^. 

5) Der Bericht der Const, Club-Zeitung 1. o, S. 11 läßt Jacohi sagen, „er liebo 
dtn KOnig, der jede diametrale Richtung einer anderen Meinung vertiageu habe". 

6i Im Berieht der Conet. Club-Zeitung 1. c. S. 11 sind hier ferner Muur und 
Mtvinui genumt. 

7i ., ,t)er Deputirte', wie Jai^obi eehr beißend hinzuaetzte, da der Eohn dieBea 
l^tputlrteu einer seiner Bauptonkiager ist", beißt ea in der National-Zeitung 
Sr,2B, 27. April 1848. — In dorn oben erwähnten Bchwareen Buch der Poliiei sind 
Uirigena Vater und Sohn aufgeführt, letzterer vermutlicb sogar sweimal, niLmlich als 
Student an der Univenität Berlin (p. 173) und als Redacteur der Constitotionelleu 
Ztilqng ip. 334), wUhrend der Vater als Depntirter und I.audrath p. 325 vorkommt, 

B| Im Bericht der Conat. Club-Zeitung 1. c. heißt es: „die liberalen Ue- 
■•Meii M..MOTT1. Mct.Losi etc." 




182 W, ÄlfBENS. 

verläßt dann unter dem rauachendsten Beitall die Tribüne. Asomi ' 
nicht gegen den Candidaten, sondern gegpn die vom Club empfohleu 
Candidiitur des großen Gelehrten sprechen. Er sei überzenf^, Jacodi m 
ein liopublikaner. Alle große'] Gelehrte seien Republikaner, das wisse er 
aus Erfahrung. Es fehle Jacoiii an Conseijuenz, an politischem i.'harakter 
(Fortwährende lärmende Unterbrechungen oöthigen den Redner, schnell zu 
schließen)') — pRrxz gegen JoiiiiAUB Antrag ,..:.. Die VersamraJuua; 
in ihrer gegenwärtigen Zusammensetzung sei nicht befugt, über die Can- 
didateu zu stimmen. Sie habe, seitdem die jACniiiache Angelegenheit rer- 
handelt werde, einen ungewöhnlichen Zuwachs erhalten, heute allein seien 
an 200 zugetreten. Diese könne er nur in il Kategorien theilen ; sie seien 
entweder Feinde von Jacohi, diese stimmen zu lassen, verbiete die Ehre 
der Versammlung; oder Freunde von JacOBI, diese werde er selbst nii^ht 
wünschen; oder Skandal süchtige, Frivole: solche hätten kein Recht lu 
stimmen. (Bravo!) . . . . ^ Joudax zieht den Antrag für jetst zurück. 
— Assessor Wolf macht ihn zu dem seinigeu') nur darum, weil man 
nicht dulden könne, daß Jemand angegriffen und dann die Entscheidung 
verhindert werde Beschlossen, die Debatte für heut zu schließen. 



VII. 
In dieser Sitzung (25. April), in der auch Jacobis Frau und Schwester 
sich unter d^r Zuhörerschaft befanden, sei es besser gegangen als in der 
ersten, berichtet Jacohi dem Bruder (Brief LXII, 20, .luni 1H4S). Der 
große Mathematiker hatte alle Anklagen niedergeschlagen. Bezfiglich der 
Königsberger politischen Vergangenheit führte daher später, nämlich in 
der nächsten Sitzung (27. April), einer der Redner, Olj>enuerg, die An- 
klage mit Recht auf ihren eigentlichen Kern znrück, indem er bemerkte, 
jAroiii habe dort „wohl dem Liberalismus, doch nicht den Liberalen ge- 
huldigt"*) oder wie es in einem späteren Artikel der Greuzboten*) heißt: 
Jacoiii habe sich in Königsberg, wo „ein reges politisches Leben, (d. h. eine 
rege politische Kannegießerei)" geherrscht habe, „in die stolze Einsamkeit 
des Gelehrten zurückgezogen," worin die Gegner, vor allem die früheren 



mst. Club-Zeitung 1. c: ,.Bin«am denkende Gelehrt«" 

i6t, Clab-Zeitung veraeicbueti „Tbeila Lärm, thmlsleb- 



. Club-; 



»gl. 



S. 11 vdJ 



1) Im Bericht der C< 

2) Der Beriebt der Coi 
hafter Beifall". 

&) S. die ftbweichende DaiBtellung iu Coi 
auch S. 19 (Nr. 3). 

4; In dem unten abgedruckten Bericht der ZeitungB-Halle fehlt dieser Pa£9U8 
der ÜLDKiciiKiiu sehen Rede; e. dagegeu Conat. Clnb-Zeitung Nr. 3, 3. Uni 1848. S. 13. 

5) Die Greniboteu, 8. Jahrg. I. Sem, 11. Bd. (Leipeig 1849), Nr. 18: „PortrH« 
r Berliner L'nivergität. 2 Jacoui", p. 177/178. 



Ein Beitrag znr Biographie C. 0. J. Jacobis. 183 

Königsberger, allerdings eine unverzeihliche Nichtachtung erblicken mochten. 
Mit Recht nannte die Augsburger Allgemeine Zeitung^) die Jacobi 
gemachten Vorwürfe ,,zum Teil ganz frivol, z. B. daß er einst dem Könige 
die Hand geküßt!" Der Vorgang hatte sich am Tage« nach der Huldigung 
in der alten Krönungsstadt (Sept. 1840) abgespielt; 2) der geistreiche und 
liebenswürdige Monarch hatte in diesen Tagen aller Herzen im Sturm ge- 
wonnen. Von einem „Herandrängen*^ an die Machthaber konnte bei Jacobi 
keine Rede sein. „Alles schwamm in Freuden, und noch einige Tage hin- 
durch währte der bacchantische Taumel" (Treitschke, Deutsche Geschichte 
im 19. Jahrh,y T. V, Lpz. 1894, p. 47). 3) Daß auch die gelehrten Herren 
der „Albertina" hiervon mit ergriffen wurden, ist an manchen Beispielen leicht 
zu zeigen: man lese z. B., auf jene Tage bezüglich, in der Autobiographie*) des 
Botanikers E. Meyer den allerdings „unwürdigen" Exkurs über „Hof luft" oder 
auch einen allerdings späteren Brief Bessels^) an Humboldt über ein Porträt 
des Königs usw. Das einzige, was Jacobi allenfalls noch hätte hinderlich sein 
können, wenn er ehrgeizige politische Pläne gehabt und diesen zu Liebe um 
Volksgunst sich hätte bemühen wollen, war die RAUMERsche Angelegenheit; 
doch mußte es hier versöhnend und sympathisch wirken, daß Jacobi unum- 
wunden die „Nachlässigkeit" — und mehr konnte ihm schlechterdings 
niemand vorwerfen — zugab. Wenn Die Reform^) ohne Nennung von 
Namen gegen jene Akademiker wettert, welche sich soweit vergäßen, die 
oft bejammerte Veröffentlichung jenes Schreibens anzuklagen, so kan; sie 
hiei-bei Jacobi nicht wohl gemeint haben, da dieser wenigstens den vor- 
liegenden Berichten zufolge eine derartige Äußerung nicht getan hat. 
Nach Harnack, a. a. 0. p. 715 hatte Jacobi seinerzeit im Verein mit 
DovE, PoGGENDORFF, RiESS und G. RosE sogar beantragt, um der öffent- 
lichen Meinung ein richtiges Urteil zu ermöglichen, sämtliche Protokolle 
in der RAUMERschen Sache in den Monatsberichten der Akademie zu 
publizieren, ein Antrag, der jedoch abgelehnt wurde. 

Jedenfalls entschied dieser Tag (25. April) die Niederlage der Gegner 
des berühmten Mathematikers: Prutz sprach, von der Aussichtslosigkeit 
des JoRDANschen Antrages bereits überzeugt, gegen den Antrag, wenn 
auch scheinbar nur aus formellen Gründen; der Antragsteller zog sodann 



1) Allgemeine Zeitung Nr. 122, p. 1942, 1. Mai 1848. 

2) Brief No. LXII (20. Juni 1848). 

3) Vgl. a. Falkson, 1. c. p. 41 ; von Jacobi ist dort anläßlich dieser Festlichkeiten 
nur in einer gleichgültigen Szene die Rede (p. 84). « 

4) Neue Preuß. Provinzial-Blätter Bd. XI (1857), p. 208/209. 

5) Brief V. 12. Febr. 1846; b. Briefe von Humboldt an Varnhagkn von Ensk, 
4. Aufl., Lpz. 1860, p. 198ff.; vgl. dazu Astron. Nachr. 24, No. 556 (S.April 1846). 

6) Die Reform Nr. 28 v. 29. April 1848 unter „Berlin, 26. April'*. 



184 ^^^^H 

den Antrag Torläofig zurück, bo daß dieser zur Erzwingung einer AltSaBOnOI^^ 

aus dem eigenen Lager JacOHIs wiederauigenonimeu werden mußte. Der 
Eindruck, den die IJebatten dieses Tages hinterlassen hatten, spiegelt sich 
auch in den Preß berichten wider. Die National-Zeitung, nrspriinglieh, 
wie wir sahen, gegen Jacohi eingenommen, schrieb ') über dessen Rede vom 
2ü. April: „Diese lange Rede, in ruhigem^) Tone gesprochen, mit scharfen 
Sarkasmeu untermischt, machte unleugbar großen Eindruck anf die Ver- 
sammlong; uns gewährte sie ein ähnliches Schauspiel, als wenn ein Löwe 
mit Mäusen spielt. Jacoiiy appellirte weder an den ConstitutionaUßmus, 
noch an die Intelligenz des Clnbbs. wie es so beliebt und so leicht ist; 
keinen Augenblick verbarg er das Bewußtsein seiner Bedeutung" . . . und 
in einem Artikel der Haude u. Spenerechen Zeitung^) beißt es von 
derselben Rede Jacobis u. a.: „Die Mittheilung dieser Rede durch den Druck 
würde ein sehr schätzbarer Beitrag zu der Biographie des großen Ge- 
lehrten seyn, und man kann nicht leugnen, daß sie sich in einzelnen Partieen 
zur Höhe der ('lassicität') erhob. Deutschland würde sich 'ilflck wünschen 
können, wenn es viele solcher Vertreter in seine Parlamente zu srrhicken 
hätte. Der Angriff des Hm. Aegipi, daß der Prof, Jacohi nicht als Ver- 
treter der constitutionellen Ansicht, und somit nieht als Empfohlener des 
Clubs gelten könne, war zu wenig geeignet über den Werth dieses be- 
deutenden Mannes ein genügejides Urtheil abzugeben, dem gewiß nichts 
gerauht ist, wenn ihn der constitutionelle Clubh auch nicht empfiehlt." 

\'Tn. 

In der nun folgenden Klubsitzung vom 27. April, der letzten in 
Sachen Jai om, wurde dessen 8ieg durch nahezu einstimmige Verwerfung 
des JoRitANschen Antrages besiegelt, so daß der große Mathematiker unter 
den Kandidaten verblieb, welche der konstitutionelle Klub der Bürgerschaft 
Berlins für die Wahlen empfahl, ohne daß diese Empfehlung für Jacciui 
jedoch weitere Konsequenzen gehabt hätte. „Die ganze Sache", sagt Jaijoui 
selbst, „war eigentlich eine Kinderei, da Beifall oder Tadel dieses Klubs 
die gleichgültigste Sache der Welt ist; sie war mir aber doch interessant 

1) National-Zeitung No. 26. 27. April 1848. 

2) Auch in dem obenzitierten GreDsboteiiartikel heißt es (1- c. p. 178). Jao.di 
habe inmitten der erbittertaten Anfregnng unter tausend Zuhörern mit der größten 
Ruhe mehr aU eine Stunde gegprocfaea, „ebeu eo laogiiBni und behäbig, wie gewöhnlich, 
auch nicht in dem Ton der Stimme war eine Spur der Aufregung lu entdecken". 
Im übrigen findet der anonyme Verfasser dieser Skizze, dafi Jac«)» nicht eigentlich 
ein Kedner sei (b. das Nähere dort). 

3) Hände u. Spenerscbe Zeitung Nr. 99, 27. Aprii 1848. 

4) „Wenn ea wahr ist", sagt Jaiobi hieran (Brief No. LXU), .soll es mir nngetirhm 
sein, doch ist dieser Cmiitand bei Partei arti kein Nebensache". 



Ein Beitrag «iir Biographie C. 0. .T. Jocobi«. 



185 



'uiid lehrreieL, indem ich dabei maiipherlei Erfahrungen machte"'). Welcher 
Art diese „Erfahrungen" gewesen seien, sagt der Brie fseh reiber nicht, doch 
ffiBt der Bruder dies auf die ihm genehme Art auf und schreibt: „Mit 
dem Pöbel Dich zu befassen, darin hast Du Gott sei Dank gleich beim 
debut ein Huar gefunden, und an Herzweh für das Wohl der ganzen 
Menschheit hast Du so viel ich weiß nie gelitten. Als Du Dich vom 
Kitzel eines bon-mots hinreißen ließest, dachtest Du gewiß in Erinnerung 
Deiner philologischen Studien an das Alterthum .... Wenu Du das (ilüek 
oder Unglück haben solltest, Depntirter zu werden (und warum solltest 
Du nicht daran denken?), so hotfe ich Dich im rechten Oentro glänzen, 
mit Sareaemen haushälterisch umgeJien, und Deinen edlen Charakter und 
Deine feste Gesinnung im schönsten Lichte zeigen zu sehen"^). Natürlich 
ist hier z. T. der Wunach der Vater des Gedankens: auch Mokit« Jaiobi 
wird kaum erwartet hüben, daß es ihm gelingen würde, den Bruder auf 
seinen Lehrer HEriEL und dessen Persiflage des „Ilerzwehs für das Wohl der 
ganzen Menschheit"*) einzuschwören und so die politische Differenz zwischen 
ihnen beiden zu ilberbrücken. In der Tat wilr<ie der große Mathematiker, 
wenn er in die preußische Kammer deputiert wäre, für die damalH ("zur Zeit des 
zit. Briefes) die Wahlen vorbereitet wnrden, sich jedenfaUs der Linken ange- 
schlossen haben, während, wenn eB ihm vorher bestimmt gewesen wäre, die 
Xamen der TG Professoren des Frankfurter „Professorenkonvente" noch um 
einen besonders glanzvollen zu vermehren, er vermutlich nicht im rechten, 
aundem im linken Centro seinen Platz genommen hätte.'') „Ein mittelmüßiger 
Mann wie unser eins", Bagt JAfOur'') allerdings selbst, „ist jetzt übel daran, 
weil alles gleich ins Gegentheil überschlägt, und man bald rechts bald links ist". 
Jacobis Hauptgegner Cuelinukh hatte durch seinen Vorstoß tatsächlich 
weiter nichts erreicht, als seine eigene Stellung zu untergraben, wozu vor 
allem auch beigetragen hatte, daß aus Erbitterung über den heftigen 
Angriff gegeo JA(.'om einer von dessen Anhängern in der Sitzung vom 
23. April die nicht unbedenklichen, schon oben erwähnten amtlichen und 
damit zusammenhängenden politischen Antecedenzien Crklis'.iekb an der 
Hand eines Artikels der Magdeburgischen Zeitung*) vorgebracht hatte, 
„eine etwas unwürdige Waffe", wie Jacohi in dem oft zitierten Briefe 

1) Brief No. l-XIl (20. Juni 1^48). - 2) Brief No. LXVI (Hudo Do«, 1S48). 

3) Vgl. auch Brief No. LSXIV {Petersburg. 30. Jnni 1849 n, St.). 

i) VoD dem Hervortreten iler .ÜBterreicbiBchen Frage" »n, welche bekauntlicb eine 
ganz neue Farteigtuppiening in Frankfurt tui Folge hatte, wird Jacoih mit der sogen 
„ErbkaiBerpartBi" („WcidenbuBchverein") Bjmpatbiaiert haben (für aeioe prenUiscb- 
deutsche Geainiiung Tgl. den Brief LXIV v. 4, Aug. 1848). 

5) Brief No. lA'lV (2. Aug. 1648), 

6) Magdeburg. Zeitung No. 9W, 23, April IHS unter „Berlin, 21. April"; 
s. ft. A. Wo[,FF, 1. c. pay, 270. 



186 



W. Ahhemb 



Ragt, in welcliein er zagleicb die betr. Verfehlung Crelisoers in aOM^^ 
ordentlich milder Beurteilung erzählt. Wenn auch Crelinger später eine 
darauf bezügliche Erklärung in den Zeitungen erließ, die VabnHA<jen 
„offen, freimöthig und recht brav" aennt^) und durch die er auch jeden 
Vorwurf tou Crelinger beseitigt gliiuht. so liest man doch bei dem- 
Bclben VAKXUAßEN bereits einige Tage zuvor-): „Herrn Justizrath Crelinoer 
gesprochen, über seine Kämpfe, sein Zurücktreten; er sagt, die neue Zeit 
gehöre der Jugend, dieser müsse man überlassen das Nötbige zu thnn. Auch 
seines Klubs ist er schon müde und lälJt Andre dort walten." — - Der Klub 
selbst sank nach Beendigung dieser denkwürdigen Debatten wieder in 
seine frühere Langweiligkeit zurück; wahrend in den Tagen der JAiomschen 
Angelegenheit die Zahl der Mitglieder ungeheuer, nach den Grenzboten*') 
sogar bis über lOW angeschwollen war {von vorher 424), waren später 
selten mehr als 100 anwesend. 

IX. 

Über die Einzelheiten der Sitzung vom 27, April, für welche wir 
noch den Bericht schuldig geblieben sind, sagt die Zeituugs-Halle 
folgendes:*) 

Tagesordnung: JACOBiBche Angelegenheit Dr. Pbutz: Er habe 

gegen den JOKDANschen Antrag: den Prof. Jaoibi vou der Liste der Can- 
didalen eu streicketi, in voriger Sitzung aus formdien Grönden gesprochen; 
er wolle jetzt seinen Widerspruch durch sachliche Gründe rechtfertigen. 
Der Club sei kein Wahlcomite. Die Bedeutung, welche die Aufstellung 
einer Candidatenliste habe, sei allein die, dem Candiduten eine Empfehlung, 
ein Zeugniss, einen Credttbrief auszustellen. Der Antrag verlange einen 
MiSkrediibrief. Das politische Zeugniss würde auch er deui Candidaten 
versagen, allein die tHordUscJte Frage sei von der poUtischen hier nicht zu 
trennen, die zur Sprache gekommenen Handlungen, obwohl ihm, dem 
Redner, persönhch mißfällig, seien jedoch nicht geeignet, den Candidaten 
in der öffentlichen Meinung moralisch zu ächten. Überdies sei die .Anklage 
nicht genügend substantürt, da sie sich nicht auf erhebliche Thataacben, 
vielmehr nur auf einen Totaleindruck gründe. — Der Redner bemerkt 
noch: er habe die Anklage veranlaßt, durch welche dar Club „einen un- 
geheuren Ruck'' erhalten habe. Überstehe man diesen nicht, so sei nichts 
daran gelegen. Der 1,'lub habe dann verdient zu faUen Überstehe man 
ihn, so habe man einen ungeheuren Fortschritt gemacht. Er habe den 

1] VAUCHAaEN, TagehOclKr, Bd. V, p. 11 (9. Mai 1848). ^^M 

2) Ibidem, p. 3 (2. Mfti 1848). ^^M 

3) Die Oreuxboten 8. Jahr^. (184S) I Sem. 11. ßd., p. 180. ^H 

4) Berliner Zeitungi-Hsllo Nr. 102, 3. Mai IMS, Hauptblatt; abgedruckt 
bei A, WouT, 1, o. p. 272-273. 



Eid Beitraf; zur Biographie C. G. J. Jacobis. 
Ihn I 



187 



Unth, die Anklage fallen ?,» lassen. Ihn bestimm 
Applaus, welchen die .lugend') dem Angeklagten gezollt habe. — v. Bakde- 
leuen: er sei gegen Jacobis (Kandidatur, aber nicht fiir den Antrag, ihn 
ZT] streichen. Moralisch habe er Nichts gegen JacObi, nur sein politischer 
Standpunkt genüge ihm nicht. Er glaube überdies nicht, daß die Empfehlung 
des Clnba einem Candidaten viel nützen werde. — v. WEHTmnt: Der (.'lab 
sei nun einmal in die (trenzen eines Maß igkeits Vereins zurückgetreten; er 
müsse deshalb consequent sein und die Anklage verfolgen. Es frage sich, 
ob die Thatsaehen, die man gegen JArom vorgebracht, eine politische 
Inconsequenz, eine Ach sei trägerei verrathen. Eb komme zuerst der Hand- 
kuß in Betracht, Unstreitig ist derselbe aus persönüchem Ättachement 
an den König hervorgegangen. Kann ein Mann, der dem König persönlich 
zugeneigt ist, constitutioneller Deputirter werden? (.Ta, ja!) Ich bin der- 
selben Meinung, Der Volksvertrag, der geschlosBen werden soll, hat die 
Person des Königs zu sichern, den Parteileidenschaften zu entheben. Der 
König wird jetzt aus Liebe eine desto freiere (.'onstitution geben, nicht 
mehr durch Stahl und Eisen, uieht durch Theorien von ÖTAHL. (Bravo. 
Heiterkeit ) Habe man dem Kandidaten vorgeworfen, er sei ein versteckter 
Uepublikaner, so sei das kein Vorwurf. Man könne Republikaner sein, 
ohne mit dem Königthum zu brechen. Deshalb sei er gegen den Antrag. 
— Dldeniierg: Die Mehrheit der Versammlung kennt Jacomi nicht, sie 
beurtheilt ihn nur nach dem Eindruck, den die Discussion hervorgebracht. 
Dem liedner geht es eben so. Ihm scheint Jacobl alle Angriffe glücklich 
abgewehrt zu haben, nur die Akademieangelegenheit nimmt er aus. Der 
Dedicatiooabrief sei so, daß er selbst ihn geschrieben zu haben witnache. 
So könne jeder freie Britte an seine Königin schreiben, der Brief der 
Akademie sei ein Hauch auf einer Spiegelfläche, aber keine moralische 
Verschuldung. Manchmal schläft auch der gute Homer, und damals hat 
mehr als ein Homkh geschlafen, (Beifall,) Auch die Lichter der Wissen- 
schaft setzen Kohle ab, die öffentliche Meinung muß sie putzen, aber nicht 
auslöschen. (Bravo.) .Iacodi muß eben als Mathematiker wahrhaft be- 
fruchtend auf eine gesetzgebende Versammlung wirken, die aus lauter 
Juristen, Nationalökonomen, Kaufleuten u. s. w, bestehen wird.^) Er. der 
Redner, sei nicht nur gegen den Antrag, sondern er beantrage jetzt, nach- 
dem die Gesinnungatüchtigkeit ihr MUthchen an dem Genius recht tüchtig 



D Hericlit 



1) „Mit ihrem leinea Itmtinkt für atlea OroBe und Geietifra" heißt e 
dar CouBt. Club-Zeitung Nr, 3, 3. Mai 1S48, S. 19 

2) In dem Bericht der CodbL Club-ZeitunK I. c, heiÜt es: „Der Mangel an 
politischem Talent, den rann bei dem Mathematiker angeregt, aei nicht erwiesen, er 
erinnere an Bailly, der als Mann derselben Wisgenschaft seinen I'rÜBidentenstuhl 
treflÜPh ausgefüllt habe, .ia es nei anzunehmen, daß eine so abatracte Intelligeni, 
befruchtend auf viele rein praktisohe Mrniiier einwirken werde". 



18S 



gekühlt habe, den Prof Jai'Obi für einen vom Club empfoblene 

didät«n ansdrilcklicb zu erklären. (Hjiuschender Applaus. )') 

Jacobi (Anhaltender Beifallssturm empfängt den Redner): Er danke 
zunächst für die Geduld, mit der man ihn bisher angehört. Seine An- 
gelegenheit erhalte einen eigenen Charakter dadurch, daß der Mann, der 
die Anklage gegen ihn vorgebracht, an der Spitze der Versammlung stehe 
und ihr volles Vertrauen genieße. Er bitte vor Allem, davon zu abstrahiren, 
daß der Leiter der Gesellschaft mit seinem Ankläger znsammeDlalle. 
Vielleicht sei dieser Mann selbst durch die Auseinandersetzung der An- 
gelegenheit befriedigt erklärt, und er richte dieserhalb eine Frage »n ihn. 
Es scheine nahe gelegen zu haben, ganz zurückzutreten. Obgleich indess 
seine Kräfte durch diese Verhandlungen erschöpft seien, habe er doch 
nicht zurücktreten wollen. Auch auf die Abstimmung verzichte er nicht. 
Er wolle die Meinung der Versammlung über ihn kennen lernen, er wolle, 
daß sie seine Lage würdige und die Nachtheile berücksichtige, welche ihm 
durch die hohe Autorität seines Klägers bereitet werden Man möge daran 
nicht denken, daß ein Votum für ihn zugleich eine Verurtheilung des 
Sprechers sei. Es sei ihm an der Meinung der Versammlung auch darum 
gelegen, weil dieselbe vielleicht über seine künftigen Entschlüsse bestimmen 
könne. Für das Publicum, welches über den Club vielleicht noch keine 
sichere Ansieht habe, werde es ein historisches Factum abgeben, daß der 
constitutionelle Klub über den und den Mann so oder so geurtheilt hat. 
(Ein Applaus, der nicht enden zu wollen scheint, geleitet den Redner von 
der Tribüne.) — Crelingeh: Was Jacobi eine Anklage nenne, bähe er 
nicht erhoben. Er habe nur eine bestimmtere und klarere Entwickelung 
der politischen Grundsätze gewünscht, Persönlichkeiten seien von ihm nicht 
angeregt worden. Man habe sein Zeugniss angerufen, und daa habe er 
nicht verweigern können. Er sei wider seinen Willen in die Discussion 
hineingezogen worden. Man habe Privatäu Benin gen, die nicht in den 
Bereich dieses Saales gehören, indiscret benutzt. Wenn man ihn frage, 
ob er die Meinung, die er nach seinen Frivatäußerungen über Jacobi 
gehegt, noch buhe, so antworte er: Nein (Beifall) und er danke Jacobi, 
mit dem er immer in den freund seh aftUchsteu Beziehungen gestanden, daß 
er ihm zu dieser Äußerung Gelegenheit gegeben. 

Die Abstivimung ergielt eine Minorität von 4 oder ß Stimmen für den 
Antrag. 



I) Auch Jai.'oui eagt in dem oCl utieiteD Briefe, Oldknbkko — vermutlich 
C. H. OLDBHaEHU, der Ende 1S48 Redakteur der dam&la gegrändeteti Deutecheu 
Iteform wurde — habe durch seine „im höchsteii Grude misgezei ebnete Rede alle 
entzückt". 



c DioRrapbie C. Q. J. .'atubiB. 



Bei der bäufigen Benutzung, welche wir im vorstehenden von der 

islitenitur machten und nincfaon muBt«n, würde eine Heite fehlen, wenn 

-^erir nicht wenigstens kurz auch jener Literaturgattung gedächten, welche 

isJi Preußen diesen Tsigen iLre Entstehong verdankt und damalB gleich 

t Tb gaonders üppig emporbliihte, der politischen Satire. Bei dem gro&en 

^^KLttffi^heii, welches die JACOBische Angelegenheit in Berlin erregte, konnte 

^^^Bb nicht fehlen, daß auch die Witzblätter und Broschüren sich dieser 

^^^3Uterie bemächtigten. So behandelt das in jenen Tagen gegründete und 

noch heute angesehenste Organ dieser Richtung, der Kladderadatsch, 

in seiner allerersten Nummer (7. Mai 184l*) unter der Rubrik „Hub b -Zeitung" 

^^^-^ „PolitiBchen Antecedenzien des Wahl-Candidaten, Arbeitsmann WaBch- 

^^BSyipen" in einem längeren Artikel, der zwar, wie man niieh dem Zusatz: 

^^^^pitzung vom 2>^9ten" annehmen darf, nicht gerade speziell oder uus- 

BcUießlich auf .Iacohi zielen soll, der aber doch ganz vorwiegend mit 

Anspielungen auf die Debatten über Jacobi reichlich gespickt ist. Auch 

ist in derselben Nummer .Iacohi unter denjenigen Müimern genannt, die 

(lus Blatt zu Mitarbeitern zu gewinnen hofft, indem durch die Zus.tmmen- 

Bt>«Uung ,jAri)i(Y und Akcüdi" kein Zweifel darüber gelassen iat, daß hier 

<i^ große Mathematiker und nicht .Ioiiann JAioitv gemeint war.') — Die 

damals sehr ^"iel gelesene Ewige Lampe brachte einen Bericht^) über die 

X>c)liti3che Hection, die der F'rosector d^s constitutionetlen Clubs, Herr 

i-»rmvi(i Creltwikk, an dem Ehrofessor der Mathematik Jacobi aus Königs- 

^*«rg vorgenommen habe und wobei sich folgender Befund herausgestellt 

^^^Ä^iibe: „1. ein« Lippenschwiele von einem servilen Handkuß; 2. an der 

^*^«oliten Hand ein nnanslÖschlicher DintenÜeck von der Unterschrift eines 

'^^^»DgeleBenen Briefes; 3, ein unterdrücktes Geheimeraths-Bewußtaein und 

~'^. mangelnde Strangulations-Marke von einem zweiten Ordenshalabande." 

Auch eine besondere kleine Broschüre mit dem Titel Eitie iMtzuny im 

^i^nglitatmuMm Club (Berlin 1848, 1.^ Seiten) parodierte z. T. jene Debatten 
■»md läßt „Aejüdleia" (äeciidi) auftreten, um „die geehrte Gesellschaft vor 
^lerm Prof. .lAititiRS,") den großen iMathematikus zu warnen," worauf dann 
die weitere Diskussion über ein wenig salonfähiges Thema nach „Prof. 
DovELtTiEN" auch „Prof. JA(:t;i*Es" auf die Tribüne führt. — Nicht 
ntUch höheren Grad von Ernst darf das schon oben erwähnte schwarze 
der politischen Polizei für sich in Anspruch nehmen und darf daher 

1) Dte hienu gegebone „Krläuteruiig' iu det unter dem Tit«l „Im tollen Jahi" 
1^8 crBcbieocDea Neu-Aue^abe JieaeH Jahrgangs ist Terbes»ermiggbedQrftig: bei dem 
nhenerwIihiiteD Artikel fehlt dagegen jede ErlauteruDg. 

2) Dio ewige Lampe, Nr. 3 i;i848), «. 4. 
S, Wohl als Anipielung sowohl »uf Jaioiiih Familieunameu wie auch aul seiueu 

gtvShalicheu Rufuamen (J.iu>ji:k:is) aufzufassen. 



190 

hier nochmalB erwähnt werdeo, um dem Lespr, der schon oben die Fra 
gestellt haben wird, ob denn nicht auch Jacoui in dem Buch fignriere, 
hierauf zu antworten. An tticb wäre Ja« oid allerdings schon deswegen 
von dem IiS54 erschienenen Buche ausgescblossen, weil er bekanntlich ISr»! 
starb Nun führt das Buch aber mehrfach Tote auf: die politische Polizei 
hielt ofi'enbar auch die Geister des Schattenreichs noch (lir so gefahrlich, 
um gegen sie zu wiiten, und so fehlt denn auch im Grunde genommeu 
Jacohi nicht, d. h. er ist dabei zu einer Art von Symbiose mit seinem 
Königsberger Namens?etter Jon. Jacobv Temrteilt, wobei denn der be- 
rühmte Mathematiker zu dieser Lebensgemeinschaft allerdings weiter nichts 
als seine abgelegte Königsherger Professur beigesteuert hat, während die 
übrigen Schändliehkeiten dem Johann Jäcoby zur Last fallen mit der 
Wirkung, daß das Zwitterwesen „Jakoiiy, Professor aus Königsberg" M 
nieht wie Jacob Steiner in der Abth. UI der Harmlosen, sondern neben 
Ahago u a. in die Abth. II des Buches geraten ist. welche „die einer 
strengeren Überwachung Bedürfenden, groBentheUs gefährliche Subjekte in 
sich faflt."^) ,Jeh fange jetzt erst an, meine Existenz von der des 
Dr. Jacobv zn detaehiren'', hatte ('. G, J. Jacobi dem Brnder am 
26. Jan. 1>*49 geschrieben: ■*) Dom Spürsinn der politischen Polizei muß 
dies Detachement ebenso wie der Tod des großen Mathematikers ent- 
gangen sein. 

• XI. 
JacOhis politisches Wirken hatte mit den Debatten im konstitutionellen 
Klub zwar noch nicht völlig,*) aber doch in der Hauptsache ihr Ende 
erreicht. Als glänzendes Meteor war er plötzlich und unerwartet am 
politischen Himmel aufgezogen, aber auch fast ebenso schnell verschwand 
er wieder. Zum A'olksführer fehlte dem großen Gelehrten doch mancherlei 
„Jacobi ist radikal"' heiBt es am Ende des mehrfach zitierten Grenz- 
botenartikels,*) „aber er verleugnet nie den vornehmen Geist, der mit 
den Edelsten seiner Zeit und aller Zeiten in stetem Verkehr steht, der 
dem Volke sich nicht nähert, um ihm zu schmeicheln, sondern um es zn 
der Höhe, die er selbst errungen, heranzubilden. Aber eben daran scheitern 
seine Bemühungen, eine politische Stellung zu erreichen; keine Partei 
tränt ihm. keine Partei lieht ihn. Für Geister, wie Jacobi. ist die 

- 8) Brief No. LXVn. 
seiner „Übung und Erffthnin);'', 
mehrfach, ebenso in Beeirlci- 

l, 0. p, 180). Auch anlaßlkh der 



1) L. c. p. IM. — 2) L. o. Vorwort, p. VIIL 

4) Im „Verein f^ Volksrechtd", b dem Jacobi 

jedoch uur kurze Zeit den Yoiettz führte, sprach 

1 rBrief No. LXII; vgl, auch fi 



Wahlen Anfang ltt49 hatte er „8 giofie Keden gebalten, die tax Kammenedcn bütten 
gelten kOnnen. uiid war imeTbittlicb gegvn die .Schmach des BelageruDguiusta 
gewesen" (Brief No. LXVII, 22, Jan, 1S49), S. ferner KoEswaniiinEii. 1. c, p. 479.J 
5) L. c, p, 181. 



4T9l^H 



1 Beitrag ziir Biographie 



191 



MoHarehie ein günstigerer Boden; er ist zu aelbattitändig und auch wieder 
itx anderer Art zu biegaam, um von den großen Maasen getragen und ge- 
Iioten zu werden." — Die berechtigten Forderungen des Volkes, das edle 
S^atreben, für materieUe und geistige Hebung der unteren Volks ach lebten 
KKL wirken, hatten Jacohi auf die Seite der Volkspartei geführt; Vor- 
eingenommenheit und Unduldsamkeit der Menge stießen ihn dagegen, wie 
Bclon erwähnt, wieder ab. Das Hecht der selbständigen Ansicht nahm 
er unter allen Umständen für sich in Anspruch und scheute sich daher 
nicht, eventuell die eigene Partei rücksichtslos vor den Kopf zu stoßen. 
so K, B., indem er in dem „Verein für Volksrechte" sich gegen das gleiche 
"Wahlrecht aussprach, eine Verletzung aller demokratiachen Grundsätze, 
die sofort von etwa 10 Rednern nacheinander bekämpft wurde.') Daß 
«jlehe t berraschungen das Vertrauen der eigenen Partei etwas angriffen, 
kann nicht wunder nehmen. Auch sonst fehlte -Iacoui bei seinem Auf- 
treten stets jede Berechnung peraönlichen Vorteils; so soll er nach der- 
«Iben tiuelle') bei den Wahlen des Jahres 1849 alle Aussichten dadurch 
»eraeherzt haben, daß er anf ebe an ihn gerichtete Interpellation hin 
iich eine Bedenkzeit erbat, ohne die Frage, wie offenbar erwartet war, 
»fort in dera gewünschten Sinne zu beantworten. „Daß ich jetzt nicht 
die Ijeringste Probabilität zum Deputirten habe," schrieb') er damals, 
lum Wahlmann gewühlt, unmittelbar vor den Deputierten wählen dera 
Bruder, „und daher über den einzunehmenden Platz nicht zu reflectiren 
brauche, scheint mir sicher Du haat gar keine Vorstellung, wie fern 
tuiBer eins dem Volke steht, und selbst aolchen, von denen man es doch 

meinen sollte, ist unsere Ksistenz ganz unbekannt Auch iat es 

mir unmöglich , Schritte zu thun, um mich hervorzndrängen, nicht aus 
mangelndem Ehrgeiz, sondern aus Beijuemhchkeit. Es ist mir vorläufig 
ganog, daß alle, die mich kennen, meinen, ich hätte die Qualification, und 
War mehr als die meisten. Ich werde auch keine Gelegenheit vorüber- 
l*88eii. wenn ich einmal in einer Wahlversammlung hin, meine Meinung 
mit allem Feuer, Beredsamkeit und Rücksichtslosigkeit eines klar erfaßten 
politlBchen Gedankens auszusprechen. Und so kann es wohl nUmiihlig 
im Laufe der Jahre, wenn ich nach und nach immer bekannter werde, 
iiMa kommen. Das Opfer, das ich durch Aufgabe meiner Arbeiten und 
und vielleicht durch meine Gesundheit bringen müßte, ist so groß, daß 
'ch mir deu Anfachub oder Aufbub gefallen lassen kann." Damit berührt 
Jacoui denn auch zugleich den Hauptpunkt, die Rücksicht auf seine 
'iBSensfihafUiche Tätigkeit. Schon in einer der obigen Reden des kon- 

1) Die GrenzboUn. I.e. p. ISO. 

2) FiLKsoN, 1. c. p. 87/88, fowie nreDshoteo, 1. c. x>. 180/1. 
8) Brief No. LXVIl (26 Ja« ia49), Antwort auf die S, 185 iitierte Stelle ftUBßriefLXVl. 



Iil2 



: Ein Beitrag zur Uiographio U. (j. J Jauobls. 



stitntionellen Klul)a hatte er, wie die Natioaal-Zeitung vorwurfsvoll 
berichtet,') bemerkt, Jie Liebe zur Wisaenachaft babe ilm wohl über 
Gebühr von der Politik fern gehalten; auch die KevolutJousbewegung hatte 
ihn in seinen wisBeuBchaftUchen Arbeiten, die damals vorzugsweise sinf 
iistronomischem Gebiete lagen, nicht zu stören vermocht, ja das Jahr 
1X48 war sogar besonders reich an wiasonschaftlicber Arbeit für ihn ge- 
wesen (vgl. Brief LXVU, 2ö Jan. 1H49) und selbst mitten in jener 
stürmiachen Aprilwoehe war er mit einem ungeheuer langen Brief an Vvss, 
den Sekretär der Petersburger Akademie, die Herausgabe der ELLJEKschen 
Schriften betreffend, beachäftigt. Die Wahlen dea nächsten Jahres und 
seine Mitwirkung dabei als W all 1 mann kosteten ihm „eine furchtbare 
Arbeit", wie er dem Bruder klagt,^) „ganze Tage", während er bis dahin 
nur einige späte Abende daran zu setzen gehabt habe. 

Hatte Jacobi ea einerseits nicht erreicht, vom Volke auf den Schild 
erhoben zu werden, so hatte sein Auftreten nach der anderen Seite noch 
weit mehr Anstoß erregt;'') er hatte, wie dies unabhängigen und aelbatämügeB 
Männern so oft geht, bei keiner von beiden Parteien Anklang gefunden. 
Die verhängnisvollen Konsequenzen, welche sich für seine amtliche Stellung 
hieraus ergaben und welche zeitweilig sein ferneres Verbleiben in FreuBen 
in Frage stellten, bis es dann HUMBOLDT gelang, „ihn ganz befriedigt und 
unter Verbältnissen , welche die Zartheit seiner Gefühle nicht verletzen 
konnten, dem Lande zu erhalten",^) sind bekannt^) und gehören zudem 
nicht mehr in den Rahmen unseres Themas. 



. bXXV (31, Sept. 1849). 



I 



1) NBtional-Zeitung No. 2*, 25, April 1848. 

2) Brief No. I.XVII (22. Jan. 1849). 

3) Vgl. a. oben S. 190 Aum. 4, sowie Urief N< 

KUESIOSSEKGEII, 1. c. p. 485. 

4) Spaterer Brief Rtunoi.nTB »n M. E. Ja.x.pi (19. Jaa. 1852). 

5) Vgl. besonders Kobnu.skkkqkm, I, c p. 462ff., wo auch (p. 470) eine von Jicosa 
Frau herrahrende gedränjifte Daratelluog der ganiBii Aligelegenheit »bgedmeltt ist: 
eine auf dieselbe Quelle zarSckgeheudo Darstellung ßudet sich auch in citim Äut rnvi 
Weltteüen (Stuttg. n. Leip». 1905, p. 15/16) betitelten Buche dor Viaa Mahik Hasskn. 
Txnau, einer Tochter des mit Jaccibi befreandeten Astronomen 1'. A. H.k)isE.>. 



r i.'bor Beftrbeitung t. Uauiiregietera iii mathem. Zoitachrifteu r 




Über Bearbeitung von Bandregistern za mathematischen 
Zeitschriften oder Sammelwerken. 

Von G. Eneströh in Stockholm. 

DiiB jeder Zeitschriften band mit einem InhaltsTerzeichnis versehen 

werden soU, ist eine Kegel, die wohl iiiisnuhniBloa beobiichtet wird, und 
wenn das Verzeichnis auf verständige Weise angeordnet ist, so wird es 
ohne Zweifel in vielen Fällen das Benutzen des BiindeB erleichtern. Durch 
dasselbe findet man nämlifh fast nnmittelbar eine Abhandlung auf, deren 
Verfasser oder Titel man kennt, und man kann auch ohne große Mühe 
ermitteln, welche Aufsätze einen gewissen (legenstand behandeln, sofern 
dieser Gegenstand in den Titeln der Aufsätze genannt oder wenigstens 
(inge deutet wird. 

Aber nicht selten kommt es vor, daß man wissen will, ob sieh in 
einer Zeitschrift Aufschlüsse über eine besondere Frage oder eine beson- 
dere Persönlichkeit finden, ohne daß man voraussetzen kann, daß es immer 
aus dem Titel hervorgeht, ob ein Aufsatz ÄufschlüSfie der erwünschten 
Art enthält, und in solchen Fällen genfigt nicht das Inhaltsverzeichnis. 
Zuweilen gibt es Generalregister, die nicht nur Inhaltsverzeichnisse einer 
Reihe von Bänden enthalten, sondern noch dazu den Benutzern ein Namen- 
und Sachregister bieten, und dadurch bekommt man natürlich sehr leicht 
die Aufschlüsse, von denen ich soeben gesprochen habe. Aber die General- 
register erscheinen erst, nachdem eine größere Anzahl von Bänden heraus- 
gegeben worden ist, und während der Zwischenzeit hat der Forscher 
keinen anderen Ausweg, als die Zeitschriftenhände nacheinimder durchzu- 
laufen; indessen ist dies Verfahren so zeitraubend, daß man oft auf die 
erwünschte Auskunft verzichtet. Für viele Benutzer einer Zeitschrift wäre 
es also von Interesse, daß jeder Band nicht nur luhaltsverzeichnis, sondern 
überdies Namen- und Sachregister enthielte. 

Sehen wir jetzt nach, wie es sich mit den mathematlBchsn Zeitschriften 
verhält, und beschränken wir uns zunächst auf JVawienregister, so finden 
wir, daß ea einige Zeitschriften gibt, die am Ende jedes Bandes ein solches 
Blbliotheca Matlumaau. UI, Falga, VIl. 13 



Register bringen. Hierzu gehören unter den noch existierenden Zeit- 
schriften: Bollettino di bibliografia e storia delle seienze mate- 
matiche^ Bulletin des seiences mathematiqnes^ Nonrelles annales 
de mathemati'qnes, Rendiconti del circolo matematico di 
Palermo^ Revue semestrielle des publications mathematiques, 
Wiadomo<^ei matematjczne, Bibliotheea Mathematica^). Dagegen 
enthalten die meisten mathematischen Zeitschriften keine Namenregister. 

Der Grund dieser Tatsache ist ohne Zweifel in einigen IWen, dafi 
der Herausgeber den Nutzen eines Namenregisters nicht erkannt hal In 
anderen Fällen ist es anzunehmen^ daß der Herausgeber nicht dazu ge- 
kommen ist^ ein solches Register anzufertigen oder anfertigen zu lassen, 
weil er nicht wußte, wie dasselbe zweckmäßig hergestellt werden konnte, 
und wie viele Zeit man dazu nötig hätte; sicherlich gibt es auch Heraus- 
geber, die in keinem Falle geneigt sind, sich mit der Anfertigung eines 
Registers zu beschäftigen. Mit diesen letzteren ist natürlich nichts anzu- 
fangen; dagegen ist es zu hoffen, daß einige der Übrigen angeregt werden, 
die Registerfrage in Aussicht zu nehmen, wenn ihre Aufmerksamkeit be- 
sonders darauf gelenkt wird, und daß sie auch bewogen werden können, 
ihre Zeitschriften mit Bandregistem zu versehen, wenn sie über das dies- 
bezügliche Verfahren nähere Auskunft bekommen. 

Anscheinend ist es am zweckmäßigsten, bei der Anfertigung von 
Namenregistern kleine Zettel zu benutzen, von denen jeder einen Namen 
mit allen dazu gehörenden Verweisen aufriimmt, denn auf diese Weise 
genügt es, die Druckseiten einmal durchzulaufen, und wenn man nach 
und nach die neuen Zettel in alphabetischer Folge einordnet, so ist das 
Namenregister nach der Durchsicht der letzten Druckseite des Bandes 
sofort fertig. Dieses Verfahrens habe ich mich auch anfangs bedient, 
aber ich entdeckte bald, daß es um so unbequemer wurde, je größer die 
Zahl der Namen war. In der Tat wurde es mir unmöglich, mich in vielen 
Fällen zu erinnern, ob ein gewisser Name früher vorgekommen war, so 
daß ich oft die schon geschriebenen Namenzettel erfolglos durchblättern 
mußte, und auch das Aufsuchen der wirklich vorhandenen Zettel, um 
neue Verweise einzutragen, sowie das Einordnen der neuen Namenzettel 
erforderte eine nicht unbedeutende Zeit. Seit vielen Jahren wende ich 
darum ein anderes Verfahren an. Zuerst fertige ich eine Namenliste ohne 
Verweise an, wobei ich auf vierspaltigen Schreibpapierbogen die Namen 
grob alphabetisch, d. h. nitr nach dem Anfangsbuchstaben ordne, und 

1) I/intermödiaire des m|ath^maticien8 bat am Ende jeden Bandes ein 
Namenregister, aber dies bezieht sich nur auf die Fragesteller und die Verfasser der 
Antworten. — Mathesis hat auch am Ende jeden Bandes ein solches Register, das 
aber nicht alle im Bande zitierten Namen enthält. 



tb« Bearbeitung v. Bamiregistem zu matliem. Zeitacliriftau oder SBiumcl werken. J95 

neit«r anf zweiapaltigen Bogen die also erhalteae NamenÜBte gen»u 

iJpliabetisch umordne. Dann sehe ich noch einmal die Drnekseiten durch 

lj AiBil filhre jetzt die Verweise (d. h. die Seitenzahlen) ei». Es ist für mich 

I also aötig, jede Druckseite zweimal diirchzii sehen und jeden Nitmen zwei- 

iUHiiKU schreiben, über dieser Mühe unterziehe ich mich viel lieber, als daß 
icli Nanienzettel anwende. Ich füge hinzu, daß ich nunmehr ein besonderes 
Nsnusnregister für jedes Heft der Bibliotheea Matheraaticn anfertige, 
lud zuletzt aus den vier Heftregistem ein Bandregister bearbeite; ich 
habe nämlich gefunden, daß dies Verfahren weniger Zeit erfordert, obgleich 
\ch dndurch genötigt bin, jeden Namen und jede Seitenzahl noch einmal 
111 selireiben. Ein anderer Vorteü dieses Verfahrens ist, daß das Band- 
register schon vor dem Abschließen des Bandes zum größten Teil fertig 
sein kann. 

I>ie anscheinend sehr einfache Sache, eine gegebene Anzahl von ver- - 
Bcliifrdenen Namen alphabetisch zu ordnen, ist bekanntlich in vielen Fällen 
gar nicht einfach, weil man nicht immer genau entscheiden kann, welcher 
N';inn> der eigentliche Zuname ist, und welche Buchstaben als dem Zu- 
namen angeliörig betrachtet werden sollen, aber auf diese Frage, die be- 
sonders in Iietrefi' arabischer und jüdischer Namen schwierig ist, werde 
ich mich nicht hier einlassen, da sie in jedem Handbuch der Bibliotbeks- 
"■issenschuft behandelt wird. Dagegen halte ich für angebracht, eine 
'inderp ziemlich schwierige Frage zu berühren, nämlich was man als Name 
""^'fachten soll. Kb kommen nämlich Fülle vor, in denen ein Name aus- 
dfilcltlich genannt wird (vgl. z. B, die Ausdrücke .^nicht-EuKLiDische 
'ie«njetrie", „l'KM.sche Gleichung"), ohne daß man den geringsten Grund 
"^tj einen Fachgenossen, der Aufschlüsse über den Träger dieses Namens 
""^hl, auf solche Stellen hinzuweisen. Es kommen andere Falle vor, in 
'Iwien ein Name zwar nicht ausdrücklich genannt, aber dennoch mehr 
"liftr weniger offen angedeutet wird, z. B. durch die Ausdrücke „Filius 
■"sia", „ein hochverdienter Fachgenosse", „Ich", ..meint: Abhandlung" usw- 
"ie soll man in diesen und ähnlichen Fällen verfahren? Eine allgemein 
fällige Antwort auf diese Frage gibt es natürlich nicht Man Uatin als 
''"indsatz aufstellen, im Namenregister nur auf solche Stellen hinzuweisen, 
"i" ein Name ausdrücklich angeführt wird uml AufschlüBse Über den 
'rüger dieses Namens gegeben werden; man kann sogar noch einen Schritt 
"'■iicr gehen und sich auf solche Aufschlüsse beschränken, die von größerem 

I Inlorwse sind. Dies letztere Verfahren scheint mir am wenigsten emp- 

II whlraawert, da es äußerst schwierig ist zu entscheiden, was für den Be- 
l nutzer eines Zeitschriftenbandes von Interesse ist oder nicht, und aus 
^H^^ttuier eigenen Erfahrung weiß ich, daß ein an sich sehr geringfügiger 
^^^Bftt.hlnfi niclit selten wertvoll werden kann, wenn er als Aoisgongspunkt 



196 ^- Unmtbüu 

für weitere NachforBchiingen benutzt wird. Diigegen gebe ich zu, 
man bei der Zusammen Stellung eines NamenregisterB sehr wohl von Bukhen 
Stellen absehen könnte, wo die (ileichung ax^ + 1 ^ ;/' uiit«r dem N^ameti 
jjPELLacbe Gleichung" angeführt wir<l. Auf der anderen Seite wird die 
BerQcksichtigung solcher Stelleu zum Teil das Fehlen eines wirklicheD 
Sachregisters ersetzen, und aus diesen und ähnlichen Gründen nehme ich 
in das Namenregister alle ausdrücklich angeführten Namen (mit Äusoahmp 
von denen der Verleger oder Buchdrucker) auf. sogar den Namen dee 
EmpfangerB einer zitierten „Festachrift", auch wenn dieser Gelehrt« gar 
nichts mit dem behandelten Gegenstande zu tun gehabt hat. Ist dagegen 
eine Peratinlichkeit nicht ausdrücklich genannt, sondern z. B. mit dem 
Ausdrucke „ein hochgeehrter Kollege" angedeutet, so kann die Featst«llinig 
seines Namens zuweilen besondere Nachforschungen nötig machen, und 
solche Nachforschungen gehören eigentlich nicht zur Bearbeitung des 
Namenregisters eines einzelnen ZeJtschriftenbandes; kann ich ohne Mühe 
den Namen ermitteln, so führe ich ihn gewöhnlich in das Register ein. 
sonst sehe ich von der fraglichen Stelle ab. Dagegen gebe ich mir be- 
sondere Mühe, um die Initialen der Vcirnamen angeben zu können, um 
dadurch zu vermeiden, daß zwei oder mehrere Persönlichkeiten ooter 
einem Namen zusammengeführt werden. 

Die Zeit, die erforderlich ist, nm ein Namenregister anzufertigen, 
hängt naturlieh nicht nur von dem Umfange des Bandes, sondern noch 
mehr von den behandelten Gegenständen ab. In dogmatisch -mathematischen 
Zeitschriften werden nur wenige Namen zitiert, und für die Herstellung 
des Namenregisters eines solchen Zeitschrlflenhandes genügen einige 
Stunden ^). WesenÜicb anders liegt die Sache in betreff der mathematischen 
Zeitschriften, die literariBche Artikel, Itezensionen und Schrift Verzeichnisse 
bringen; bier^kann zuweilen eine einzige Seite eine Viertelstimde oder 
mehr in Anspruch nehmen, während freilich andere Seiten in einer Minute 
erledigt werden. Die zur Herstellung des Namenregisters nötige Zeit 
wechselt also nicht nur für verschiedene Zeitschriften, sondern auch fiir 
einzelne Bände ein imil derselben Zeitschrift; die Bände Sa (1001) und 
63 (1904) der Bibliothecn Mathematica enthalten bezw. 23 und 13 
Druckseiten Namenregister, und die Anfertigung dos erat«n Namenregisters 



1) Als Stichprobe habe ich ein NamoaregiBter des Bandes 61 (1905} der Mklhe- 
mktischoD Annaleu angefertigt, und dies Register li»t mir 5 Stunden Arbeit 
gekostet (wovon ^ji Stunde für die FeststeUung der fehlenden Initialen von Vomamen). 
DtkKU kommt fQr die Korrektur) esung, wobei ich die Verweise durcb nodunaliges Durch- 
laufen der Seiten kontrolliert habe, 3 Stunden. Das Itegister drucke ich a\s Anliiiig 
dieses Ärtikeig ab; wet eich füi die Sache interessiert, kann dadurch leicht t 
tiollieren, üb die von luir angegebene Zeit genügt, um ein vollständiges und koi 
Namenregister anzufertigen. 



("her RcBibeitung t. Baudregisteni lU toathera. Zeitacliril'teu odec Smumel werken, 107 

hiit tuehr als zweimal die Zeit, die für dtia zweite Xikmenregister nötig 

war. im Anspruch genommen. Im Durchschnitt haben die Namenregister 

der 6 ersten Bände der dritten Folge der Bihliotheca Mitthematicn 

lSI>irtickseiten betragen, und da die Seitenzahl des Registera des 6. Bandes 

(1905^3 gerade mit der DarchBchnittszahl y.uaammenfällt, notiere ich hier, 

wie lange Zeit die Anfertigung dieses Uegiaters erfordert hat. Für die 

Tier tleftregister habe ich zusammen 30 Stunden, für das daraus ter- 

gest^Xlte definitive Bandregister 12 Stunden gebraucht. Aber Überdies 

hftba ich die Verweise durch nouhraaligea Darehlaui'en der Drnek- 

wito»:» des Bandes kontrolliert, und für diesen Zweck 10 Stunden ange- 

wea^Ä«t, wozu für diu Korrekturlesung 4 Stunden hinzukommen, so daß 

diiB T-legister im gimzen 56 Stunden Arbeit erfordert hat. Diese 50 Stunden 

wilr«^«Q ganz gewiß genügt haben, um einen wenigstens 18 Druckseiten 

UDgen mathomntisch-hiatoriBchen Aufsatz zu verfat^sen, aber ich für meinen 

Teil hetruchte dennoch die Zeit als wolil angewendet, die ich für die 

Anfertigung des Namenregisters gebraucht habe. 

Ich habe bisher nur von J^amcHregistem gesprochen. Pur den Be- 
nutzer eines Zeitechriftenbandes kann gewiß ein SacArogister von ebenso 
■^>B«ra Nutzen wie ein Namenregister sein, und insofern können die zwei 
ll«gister gleichgestellt werden, aber daß es in betreff der Anfertigung 
derselben einen wesentliclien Unterschied geben muß. dürfte schon aus 
ilfm Umstünde hervorgehen, daß keine einzige der mathematischen Zeit- 
whriftea, die mit Bandregistern versehen sind, daliei ein Sachregister 
"fingt. In der Tut ist es so schwer, ein gutes Sachregister zu bearbeiten, 
ii'iß es kaum der Mübe lohnt, für jeden Band ein solches anzufertigen, 
"ttue diiB nrnn im Voraus sicher ist, daß das ganze Register von sehr 
"•"len Personen benutzt werden wird. Aber oft werden in Zeitschriften- 
■'""tikeln nebenbei Gegenstände berührt, die von geringem Interesse sind 
i^^adü für den Leserkreis, an den sich die Zeitschrift wendet, und auf 
'bese (iegenstände ist es also eigentlich unnötig, im Bandregister hinzu- 
'^'^'sen. Will man aus diesem Grunde vou solchen Nebensachen absehen 
"^•1 sich auf das wesentlichste der Artikel des Bandes beschränken, so 
"ntstthen Schwierigkeiten hinsichtlich der Auswahl der im Itegister auf- 
zuführenden Stichworter, Zuweilen erfordert die Anfertigung des Uegisters 
^'Oe giinz besondere Sachkunde, die nicht jedem Herausgeber einer Zeit- 
'*'u»4rt immer zur Verfügung steht. Auch in sprachlieber Hinsicht bietet 
""^ Anfertigung eines Sachregisters Schwierigkeiten dar, wenn es sich um 
*iOe mehr oder weniger internationale Zeitschrift handelt, und für eine 
*^^p-hB Zeitschrift wird noch dazu der Wert des Begisters vermindert, 
"^il z. B ein Italiener ein Sachregister mit deutschen Stichwörtern nicht 
laicht benutzen kann. Aus dieseu Gründen habe ich den Bünden der 



198 



Bibliotheca M&thematica kein Sacfaregieter beigefügt ^), Dod t 
eelben Gründen will ich meine Kollegen zitr Anfertigung Bolfber Bau.«!- 
register nicht auffürdeni. Diigegen empfehle ich ihnen dringend bei il^Jr 
Bearbeitung von (reneralregistem auch Hachregifiter ZU bieten^. UIikX' 
Bichtlieb der Geoeralregister sind natürlich die Schwierigkeiten nicZxt 
kleioer, aber der Nutzen des yachregistera ist viel größer. 



Im Titel dieses Artikels habe ich auch mathematische Sammelwerke 
genannt. Darunter verstehe ich solche Werke, die in mehreren, nicht 
allzu schnell aufeinancier folgenden Bänden erscheinen und versclijedeii- 
artige Gegenstände behandeln, z. B. die Gesammelten Werke eines Mathe- 
matikers oder eine Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften 
Für solche Werke sind meines Erac.ht«ns Bandregister immer wünschens- 
wert, unabhängig davon, ob nach der Beendigung ein Gesamtregister be- 
arbeitet werden wird oder nicht. Für gesammelte Werke ist freilich dal)ei 
auf den Inhalt besondere Riicksicht zu nehmen. Handelt es sieh um einen 
moderen Mathematiker, der vorzugsweise anf einem beschränkten Gebiete 
gearbeitet hat, sind die Bandregister von geringerem Belang, aber besonders 
wertvoll werden sie in hetreif der gesammelten Werke älterer Mathematiker, 
und sogar fast notwendig, wenn Briefe darin verijffentlicbt werden. Da 
die Bände solcher Werke dazu bestimmt sind, unmittelbar nach dem Kr- 
scheinen von vielen Facbgenossen benutzt zu werden, so sollten die Band- 
register meiner Ansicht nach sowohl Namen- wie Sachregister bringen. 

Noch größere Bedeutung haben gute Bandregister hinsichtlich einer 
Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, wenn diese, wie die 
seit einigen Jiihren in Angriff genommene, „in knapper Form aber mit 
möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen 
WissenBchaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten 
zn gehen und zugleich durch sorgfMtige Literatnrangahen die geschicht- 
liche Entwickelung der niathematiacheu Methoden nachzuweisen" beal>- 
sichtigt. Daß das Sachregister hier das durchaus wichtigste sein mnß, 
ist ohne weiteres klar und ebenso klar ist es, daß das Sachregister um 
Bo nützlicher wird, je vollständiger es ist in betreff der mathematischen 
Stichwörter. Ob es dagegen nötig oder wenigstens nützlich ist, iu das 
Sachregister solche nicht mathematischen Stichwörter wie „Ablaufen" 
(einer Lebensversicherung), „Äbschlußprovision", „Aktiengesellsobaft'', 

1) All einen EraaU des SachrcgisterB der Artikel hriagt die Bibliotheca 
Hftthemfttioft «ia Sachregister zum InbaltiverzeichniMe , d. b, ein Sacfaregiatei d^: 
Tittl der Artikel. ^~ 

2) Ygl Biblioth. Msthem, «3, 1905, 8. 417. 



A 



über Bearbeitung v. Bandregistem zu mathem. ZeitBchriften oder Sammelwerken. 199 

„Aktionär^', ,^usgaben^' (einer Lebensversicherungsgesellscliaft), „Erschöp- 
fung'^ (der Nummern einer Ziehungsreihe) usw. einzuführen, scheint mir 
zweifelhafter. Jedenfalls will ich hier ausdrücklich hervorheben, daß ich 
das von Herrn W. Fr. Meyer bearbeitete Sachregister des ersten Bandes 
der EncyJUopädie der mathematischen Wissenschaften als eine sehr ver- 
dienstvolle Arbeit betrachte. 

Auf der anderen Seite bin ich gar nicht damit einverstanden, daß 
das Register dieses Bandes wesentlich nur ein Sachregister bringt. Freilich 
kommen darin Personennamen vor, aber eigentlich nur in solchen Fällen, 
in denen es sich um einen Satz oder eine Methode handelt, die im Texte 
einem bestimmten Mathematiker zugeschrieben werden. Sein Verfahren 
hat Herr W. Fr. Meyer in der Vorrede (S. XXVE) auf folgende Weise 
auseinandergesetzt und begründet: 

Mit einigen Ausnahmen sind hier bei den Stichworten nur solche 
Autoren berücksichtigt, die der Gegenwart nicht mehr angehören, und 
auch diese zumeist nur dann, wenn ihr mit einem bestimmten Begriffe 
oder Satze oder einer spezifischen Methode verbundener Name — oft 
freilich nur zufällig oder auch mißbräuchlich — zu einer Art gang- 
barer Münze geworden ist. Andererseits lag die Versuchung nahe, 
wenn ein Autor angeführt wurde, hinsichtlich seiner hervorstechenden 
Leistungen eine gewisse Vollständigkeit anzustreben. Der an sich 
berechtigte Wunsch, den Mancher gehegt haben wird, daß dies 
Prinzip auf möglichst viele oder gar alle Autoren hätte ausgedehnt 
werden sollen, konnte schon mit Rücksicht auf den zur Verfügung 
stehenden Raum nicht befriedigt werden. 

Der einzige ausdrücklich angegebene Grund, warum von einem voll- 
ständigen Namenregister Abstand genommen wurde, ist also, daß der zur 
Verfügung stehende Raum zu klein war. Nun möchte ich aber wissen, 
ob Herr W. Fr. Meyer wenigsens versucht hatte, die für das Namen- 
register nötige Seitenzahl abzuschätzen. Bis auf weiteres bin ich geneigt 
anzunehmen, daß er keinen erfolgreichen Versuch in dieser Hinsicht ge- 
macht hat, denn es ist äußerst schwer, eine solche Abschätzung auszu- 
führen, auch wenn man gewohnt ist, Namenregister anzufertigen. Aber 
dem sei wie ihm wolle, jedenfalls kann ich dem von Herrn W. Fr. Meyer 
angeführten Grunde keine eigentliche Bedeutimg beimessen. Ich habe für 
meinen eigenen Gebrauch ein Namenregister des ersten Bandes der En- 
cyJdopädie angefertigt; dies Register enthält etwa 1800 Namen, und nach 
meiner Schätzung würde es höchstens 32 zweispaltige Druckseiten in 
Anspruch nehmen. Aber wenn es sich um ein so wertvolles Unternehmen 
wie die Encyldopädie haiidelt, ist es höchst unwahrscheinlich, daß 
ein Raum von 32 Druckseiten von entscheidender Bedeutung gewesen 



rwo 



Q. Ehutböh. 



wilrt*'); im Oogenteü bin ich iüierzeugt, daß der rührige Yerleger der 
Kwgklupädic mit Vergadgen zwei Druckbogen für das Namenregister aur 
ViTflguiig gratollt hSttu, denn die Brauchbarkeit des Werkes würde durch 
flu MolohcB HegiHti>r viel größer als jetzt geworden sein. In der Tat 
kommt ew nieht Kelten vor, daß der Xiime eines jetzt lebenden Mathe- 
iniilikerR in orster Liuiu mit pinem gewissen Satz oder einer gewissen 
Methode verbtiudvn ist, so duB man den Satz oder die Methode sofort 
HUfHndcu küniite, wenn man wüßte, wo sein Name genannt wird. N 
kann mtui ja einwerfen, daß in der Enejfklopädic die Gegenstände in 
•vatemiitiacher Ordnungsfolge behandelt sind und daß es noch dazu ein Hach- 
re^ititer ^ibt, tio daß man direkt den Satz oder die Methode aiifünden 
kann, aber in W irkliehkeit ist es oft gar nicht leicht zu wis» 
|{v<wiM(<r tiei^n^tnud i^eineu l'latz hat. und für nicht deutsche Mathematiker 
int doü lt«>mitm«n dee Sachrej; isters auch nicht immer leicht. 

Aber abgesehen von dem soeben erwähnten Nutzen eines ToUstäodigen 
KHiuvarvgiiftpr«!. kann ein solches in rieira anderen Fallen brauchbar sein. 
Wenn il^h i H wissen will, ob eine gewisse Äbhandlong, die ich als 
«nKwill btftntcht«, in der Kuef/Uopätlie erwähnt wird oder nicht, so kann 
mir ein NawfinT^ister sofort hiertber AoFkonft gebca, währmd ich mir 
•omI auweileti groß» Mühe geh«« mnS, um diese Anakuift ra erhaltcoL 
EKnwm* BStxlifh wSr^ wir das Xamenro^ister, wvbb man mir i. B. ge- 
leg«<BUi<4i uitleüt«>, dofi ein g<^wts8«r Verbeser tue AbhaDdlasg üImt 
«UM« gvnimtn HwgaMha«! T«HtJSiiwttiebt Imt. aJt*r Am 



XwA vwi watk u M WiM fc- to toriae h iM OiaUil^aaU» «w vice < 

a» jaagw Ma^MHrikftw tnkaßkmm^ vaM* AiifttMiwn iTinm £• 1 
cyUflKldw ftVw ^ alWtw MatkMMfeikm UfM. S« i. R wn4e uk 

<b» Wort y^urina'^ MtprwvnArt t,^ S0\ <£» liihiiihmm,!» ^ -f ■ — m* 
[V- m^»^ btthmuMk ;.S. &Tvy-^Tt) uwt süki nül 

V AuvtL ^» X*iBmN$irt«r «rfikem UteMiit^ dit F. TAn. £» «ipattidMi 
[»MfciiwJiiiMintow» immltflihl ^^ ä^ rä ■■■iittii«! rMfakt Ar | 



über Bearbeitung y. Bandregisiem zu mathem. Zeitflchriften oder Sammelwerken. 201 



reclmeriscli erhaltener Ausdrücke zusammengestellt hat (S. 1007). Von 
diesen Sachen werden im Meyer sehen Register nur die rekurrente Reihe 
des Leonardo Pisano (S. 1147 unter „Fibonacci") und das unendliche 

Produkt für - des Viete (S. 1193) erwähnt. 

7t 

Es ist wohl kaum zu erwarten, daß die folgenden Bände der En- 
cyJdopädie der mathematischen Wissenschaften ein vollständiges Namen- 
register bringen werden. Dagegen hoffe ich, daß die Bände der fran- 
zösischen Auflage solche Register enthalten werden. Von mathematisch- 
historischem Gesichtspunkte aus wäre dies gewiß sehr zu wünschen, da 
die französische Ausgabe eine außerordentlich große Anzahl von wert- 
vollen historischen Notizen bringt. 

Anhang. 

Namenregister des Bandes Ol (1905) der Mathematischen Annalen 

(siehe oben Fußnote 1 Seite 196). 



Abel, N. H., 34, 87, 42, 49, 52, 869. 
Abraliam, M., 235, 247. 
d*Älembert,J., 237, 271,438, 439. 
Amiot, B., 5. 

Ampere, A. M., 109, 112—114, 116. 
Appell, P., 37. 
Archenhold, F. S., 72. 
Archimedes, 173. 
Aronhold, S. H., 13. 

Baire, R., 119, 146, 149, 2dl, 287. 

Bau, R., 1. 

Benzenberg, J. F., 72. 

Bemoulli, Joh. I, 425, 431, 434. 

Bernstein, F., 117, 121, 132, 146. 

Berry, A., 24. 

Bessel, F. W., 74, 398. 

Bianchi, L., 205, 367. 

Biermann, 0., 317. 

Blumenthal, 0., 235, 289, 325. 

Bohler, 0., 366. 

Boole, G., 5. 

Borel, E., 121, 271, 407, 415. 

Brendel. M., 73. 

Brianchon, C. J., 4. 

Brill, A., 77. 

Brioschi, F., 14, 51, 56, 57. 59. 

Brod6n, T., 282. 

Bromwich, T. J. FA., 95, 106. 

Bnrali-Forti, C, 160. 

Bycrly, W. E., 217. 

Cantor, G., 117—121, 134, 135, 
138, 143, 145-148, 150, 159, 
160, 406, 407, 410, 412, 4i:^. 

Casey, J., 3. 

Castelnuovo, U., 20, 21, 24, 26, 
37, 45, 47, 49, 50. 

Cauchy, A. L., 39. 

Cayley, A., 3, 5-18, J64. 



Cesaro, E., 529, 530, 533. 
Chasles, M., 3-5, 10. 
Christoffel, E. B., 437, 438. 
Clebsch, A., 15—18. 
Cremona, L., 11, 15. 

Darbonx, G., 206, 209, 431, 436. 

Dehn, ML, 173, 174, 561. 

De la Yallöe Ponssin, Gh. J., 

272, 527, 529. 
Del Pezzo, P., 20. 
Dersch, 0., 15. 
Desargues, Q., 161-164, 167, 169 

-171, 177, 178, 180, 183. 
Dini, ü., 208, 252-254, 261, 269. 
Dirichlet, P. G. L., 50, 230, 252 

—255, 260, 261, 451, 527, 533, 

534, 536-539, 543, 546, 551. 
Dodd, E. L., 95. 
Du Bois Raymond, P., 450, 451. 
Duhem, F., 438. 

Engel, F., 72, 109, 113, ia')-191, 

587. 
Enneper, A., 208. 
Enriques, F., 24, 40, 49. 
Euklides, 174, 177, 178, 180, 184, 

197, 199, 561 , 562, 577, 581-583, 

585-587. 
Ealer, L., 211, 432, 448, 449, 530, 

531, 558, 561—563, 565, 568— 

570, 574. 576, 577, 585, 586. 

Faber, G., 289. 

Fabry, E., 289. 

Faure, H. A., 17. 

Fej6r, L., 271, 273, 274, 277- 

280, 422, 560. 
Fiedler, W., 5, 18, 19. 
Föppl, A., 235. 



Förster, E., 422. 

Fourier, J.. 215,217,251—254,256 

—258, 262, 263, 269, 271-274, 

277, 278, 280, 552. 
Fricke, R., 52, 70, 217, 325, 357, 

364, 866, 368, 560. 
Fubini, G., 367. 
Fnrtwängler, Ph., 381. 
Fuss, P. H., 528-530. 
Filter, R., 72. 

Galois, E., 55, 60-62. 

Gauss, K. F., 60, 72-76, 164, 203, 

205. 209. 
Gerbaldi, F., 65, 454,457, 474, 518. 
Gergonne, J. D., 6. 
Gordan, P., iO, 60, 61, 65, 68, 

70. 71, 453. 
Goursat, £., 37. 
Graves, Ch , 3. 
Gray, A., 398. 

Green, G., 23G, 237, 249, 397, 447. 
Grube, F.. 239. 
Gutzmer, A., 535. 

Hadamard, J., 437, 448, 535. 

Hahn, H., 430. 

Hamilton, W. R., 3, 439—441, 

446, 449. 
Hansen, P. A., 72, 74. 
Hart, A. S., 3, 13. 
Hartogs, F., 289, 290,316,319-321. 
Harzer, P., 72. 
Hausdorff, F., 143. 
Heine, H. E., 407, 415. 
Hensel, K., 50, 369, 454. 
Herglotz, G., 551. 
Hermite, Gh., 14, 16, 331—333, 

359-363, 867. 
Hesse, 0., 5, 13—16, 18, 67, 68. 



202 ^* Ehbström: Über Bearbeitung v. BandregiBiem sa mathem. Zeitschriften us* 



Hessenberg, 0., 161, 173. 

Hubert, D., 158, 160-162, 164, 
173, 174, 176, 180, 182, 185, 
186, 199. 203, 205, 207, 208, 
380, 381, 437, 438, 443, 451. 

HUtebeitel, A. H., 72. 

Hirsch, A., 112, 113. 

Holder, 0., 192, 239. 

THöpital, G. F. de, 434. 

HugoDiot, A., 437. 

Hnmbert, G., 23, 49. 

HurwiU, A., 278, 325. 

Jacobi, C. G. J., 17,32,33,53,59,329. 
Jellett, J. H., 2. 
Joachimsthal, F., 7, 8, 13, 14. 
Jordan, C, 62, 252, 254, 282, 

284, 288, 830, 406. 
Jourdain, Ph., 151. 
Juel, C, 77, 86. 

KepiDski, S., 397, 402. 

Klein, F., 50, 72, 77, 82, 86, 325, 

357, 364, 366, 369, 454, 488, 560. 
Koch, H. von, 544, 546. 
König, J., 156. 
Kötter, £., 5. 
Kriloff, A.. 211. 
Kronecker, L., 51, 56, 57, 59— 

61, 551, 560. 
Krüger, L., 72, 73. 
Kürschäk, J., 109, 113. 

Lachtin, L. K , 50, 63, 69, 70, 

453, 526. 
Lagrmnge,J.L.,74,280.422,425,433. 
Landau, E., 527. 
Laplace, P. S., 74, 76. 
Laurent, P. A., 25. 
Lebesgae, U., 251. 
Legendre, A. M., 173, 561—563, 

584. 
Lemoine, E., 291. 
Levi, B., 20, 132, 146. 
Lie, S., 109, 113. 
Liebinann, H., 185, 587. 
Lietzmann, W., 372. 
Lindemann, 72. 

Lipschitz, R.. 252, 253, 2':0, 261. 
Lloya, H., % 3. 
Lobatcbcwskij, N. J., 1^5, IWJ 

—191, 194, 199, 587. 
London, F., 95, 108. 
Lüroth, J. 60. 

Mac Cullagh, J., 3—5. 
Mangoldt, U. von, 'JU5. 



Mason, M., 450. 

V athews (nicht Matthews), G. B., 

3v8. 
Maxwell, Gl., 235. 
Merian, P., 72. 
Mertens, F., 529, 531. 
Meyer, Adolf, 289. 
Meyer, Engen, 200. 
Minkowski. H., 367, 487, 551. 
Mlttag-Leffer, G., 238, 271. 
Möbins, A. F., 86. 
Monge, O., 109, 112-114, 116. 
Morehead, J. G., 72. 
Müller (Hauptmann), 72. 

Netto, E., 60, 88. 

Neumann, C., 422—425, 427,433. 

434. 
Newton. I., 259, 422, 425, 438, 519. 
Nöther, M., 1, 20, 28. 

Ostwald, W.. 422, 423, 425-429, 
431, 433, 435, 436, 560. 

Pascal, Bl., 4, 13, 161, 162, 164, 

166-168, ITO, 171, 173. 174, 

176, 177, 182, 183. 
Pellet, A., 533. 
Phragmön. E, 289, 528, 534, 

Ö44, 04(5, ö4o. 
Picard, E.. 20-25, 27, 36, 37, 

44, 49, 280, 825, 865-367. 
Plücker, J., 4-6, 14. 18. 
Poggendorff, J. G , 1. 
Poincar«, H., 22, 325, 331, 364, 

533, 569. 
Poisson, S. D., 111. 211, 212, 215, 

280. 
Polignac, A. de, 529. 
Poncelet, J. V., 4, 6. 
Prasad, G., 203. 
Pringsheim, A., 95, 534. 

lianke, J., 72. 

Rayleigh, J. W., 211, 212, 216. 

Rehnisch, J. E., 72. 

Rehnisch (Frau), 72. 

Repsold, J. G.. 72. 

Repsold, 72. 

R6thy, M., 422. 

Reye, Th., 200. 201. 

Riemann, B., 22, 70. 253, 256, 

261 ,262,271— 274, 2ö0, 322, 397. 

437, 438, 528, 532, 544, 551. 
Riesz, F., 406, 415. 



Roberts, M., 3. 
Roger, L^ 841. 

Saknon, G., 1—19. 
Seheibner, W., 560. 
Schlaf 11, L., 8. 
Schmidt, Erhard, 544-M6. 
Schdnllies, A., 118, 121, 281, ^ 

42L 
Schröder, E., 131. 
Schubert, G. H., 72. 
Schabert, H., 199. 
Schuh, F., 85. 
Schur, F., 167, 199. 
Schwarz, H. A., 280. 
Segre, C, 20, 31, 86. 
Severi, F., 20. 

Simart, G., 21, 23, 25. 27, 36,^ 
Simon, M., 587. 
Smith, H. J. S., 16. 
Stäckel, P., 4SI. 
Staude, 0., 392. 

SUndt, K. G. C. tod. 16, 7^ ^ 
StehUn, K. (?), 72. 
Stokes, G. G., 347, 441. 
Study, E., 368. 
Sturm, B., 15, 200—302. 
Sylvester, J.J., 10,12.14,16, 1 

Taylor, Br., 39, 5S4, 585, 549. 
Tchebychew, P., 527—^1, 

534, 542, 544, 546. 
Torem, G., 533. 533. 
Townsend. B., 3, 5. 

Yahlen, K. T., 164, 176. 
Yalentiner, H., 62-70, 453-456, 

458, 459, 513, 523. 
Vecchi, M., 538. 
Vivanü, G., 534, 585. 
Voigt, W., 235. 
Voss, A.. 422. 

Wallenberg, G., 177. 
Weber, H., 51, 60, 62, 558. 
Weber, W., 72. 
Weierstrass. K., 280, 321. 
Wiener, L. Ch , 167. 
Wiman, A., 51, 62, 63, 65, 68, 

453—456, 459. 485, 488. 
Wirtinger, W., 325. 

Young, W. H., 281, 287, 288. 

Zach, F. X. von, 74. 
Zenipl^n, G., 423, 4?7, 560. 
Zermelo, E., 131. 164, 430, 451. 
Zeuthen, H. G., 13. 88, 87. 



U. EnbstrÖm. — Kleine Mitteilungen. 203 



Kleine Mitteilimgen, 

Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Gantors „Vorlesungen über 

Oeschiclite der Mathematik'^ 

Die erste (fette) Zahl bezeichnet den Band^ die zweite die Seite der „Yorlesungen". 

BM = Bibliotheca Mathematioa. 

1:12, siehe BM Is, 1900, S. 265. — 1:15, siehe BM 83, 1902. S. 323. — 
1:22, 29, 34, siehe BM U, 1900, S. 265—266. — 1:36, 64, siehe BM 33. 1902, 
S. 137. — 1:103, siehe BM Is, 1900, S. 266. — 1:135, siehe BM Is, 1900, S. 266; 
83, 1902, S. 137. — 1:144, 155, 169, 171, siehe BM 83, 1902, S. 137—188. — 
1 : 189—190, siehe BM I3, 1900, S. 266; 63, 1905, S. 101. — 1 : 192, 193, siehe BM 
63, 1905, S. 101—102. — 1:195, siehe BM «3, 1902, S. 56; 63, 1905, S. 102. — 
1 : 196—197, siehe BM I3, 1900, S. 266; 63, 1905, S. 102—103. — 1 : 108, siehe BM «3, 
1905, S. 103. — 1:202, siehe BM I3, 1900, S. 266. — 1 : 207, siehe BM 43, 1903, S. 283. 

— 1 : 225. 234, siehe BM 33, 1902, S. 138. — 1 : 255, siehe BM Bz, 1902, S. 238. — 
1:272, siehe BM 43, 1903, S. 396; 63, 1905, S. 322. — 1:283, siehe BM I3, 1900, 
S. 499. — 1 1 284, 321, siehe BM I3, 1900, S. 266-267. — 1 : 335, siehe BM 63, 
1905, S. 305. — 1 : 370, siehe BM I3, 1900, S. 319. — 1 : 383, siehe BM I3, 1900, S. 267. 

— 1:386, siehe BM 53, 1904, S. 407. — 1:395, siehe BM 83, 1902, S. 323. 

— 1:400, siehe BM 13,1900, S. 267. — 1:429, siehe BM 83, 1902, S. 324.— 
1:432, siehe BM Is, 1900, S. 267. — 1 : 434-435, siehe BM 43, 1903, S. 396 
-397. — 1:436, siehe BM 83, 1902, S. 138. — 1:437, 440, siehe BM I3, 
1900, S. 267. — 1:457, siehe BM »a, 1902, S. 238. — 1:463, siehe BM «3, 
1902, S. 139, 324. — 1:466, siehe BM 43, 1903, S. 397. — 1:467, siehe BM I3, 
1900, S. 267. 

1 : 468. In betreff der Lebensumstände des Eutokios sollte in erster 
Linie auf den Aufsatz von Paul Tannery: Eutocius ei ses contemporains 
(Bullet, d. sc. mathöm. 82, 1884, 815 — 329) verwiesen werden. Tannery 
hebt zuerst hervor, daß von den vier Stellen, wo Eutokios anscheinend Isidoros 
seinen Lehrer nennt, drei einen solchen Wortlaut haben, daß ,mein* im Aus- 
drucke «mein Lehrer" sich kaum auf Eutokios bezieht, und daß auch die 
vierte Stelle sehr wohl ein von Eutokios gar nicht herrührender Zusatz sein 
kann. Dann sucht .Tannery nachzuweisen, daß Eutokios wahrscheinlich nicht 
jünger als Isidoros war, und also kaum Schüler von diesem gewesen ist. Auf 
der anderen Seite macht Tannery darauf aufmerksam, daß Ammonios (der etwa 
510 starb) offenbar als Lehrer des Eutokios betrachtet werden muß, und nach 
Heiberq (siehe W. Kroll, Die Altertumswissenscliaft 1 [1905], S. 131) ist 
die Richtigkeit dieser Angabe jetzt anderweitig bestätigt worden. Tannery 
setzt darum die Blütezeit des Eutokios in die erste Hälfte des 6. Jahrhunderts, 
und nimmt an, daß er etwa 480 geboren ist. G. Eneström. 



^04 G' EvBSTRÖlf. 

1 t 4«tt ifi(;h*j BM lg, 1900, S. 267. — 1 :475. siehe BM Is, 1900, S. 267—268; 
Mn, \Wl, H. 189; 43, 1903, S. 283. — 1:476, siehe BM I3, 1900, S. 268. — 1 : 479, 
IM), Mk'bo BM. 7z. 1906, 8. 80—81. 



1 : 480. In einer früheren Bemerkung habe ich behauptet (siehe BM 73, 
100<{, B. 81), daß ein gewisser Passus der Vorlesungen nicht gut redigiert ist, 
ttbftr ich hätte dabei auch hinzufügen sollen, warum ich dieser Ansicht bin 
(d(*nn an sich könnte dieser Passus sehr wohl richtig abgefaßt sein), nämlich 
weil meines Wissens keine Handschrift der Abhandlung des MoscHOPUiiOS aus 
der Zeit vor dem 15. Jahrhundert bekannt ist. Die zwei von Tannert unter- 
suchten Handschriften stammen sicherlich aus dem 15. Jahrhundert, und die 
von (UIntiirr benutzte Handschrift gehört einem Sammelbande, der zum großen 
Teil von Johann Murmureus aus Nauplia (15. Jahrhundert) geschrieben ist. 
Indessen wttre es vielleicht besser gewesen, wenn ich gesagt hätte: , Entweder 
ist die betreffende CANTORSche Angabe bisher unbestätigt, oder ist sie nicht gnt 
redigiert*. G. Eneström. 

1 |4HI, siehe BM 7s, 1906, S. 81. — 1:508, siehe BM 53, 1904, S. 68. — 
1 1 AlO, siehe BM Is, 1900, S. 314. ~ l:519->520, siehe BM 83, 1902, S. 239. — 
1 1 597, 540, 54:i, siehe BM I3. 1900, S. 268. 



1 : 550. Hier wird im Kapitel: ,Die spätere mathematische Literatur der 
Hömor* eiuo in einem Sammelbande in Chartres enthaltene Abhandlung über 
dns Abtiodsrochnon erwähnt. Aber die Handschrift stammt nach Chasles (6e- 
MvhicW Her Gfomdrie, übertr, von L. A, Sohncke, Halle 1839, S. 517) aus 
iloni 11, Jiihrhundert^ nach Bubnov {Gkrukrti Opera mathematica, Berlin 1899, 
H, XXVI) i%\iN dem 12. Jahrhundert her, und meines Wissens hat man gar 
kiMUi^n Anlaß anKunohmen, daß die Abhandlung von einem Römer verfaßt 
wordt^n inU G. Eneström. 

llAIS, »i0h<i HM m, 1905, S. 306-^7. — t:622, siehe BM ^3, 1901, 
8 \rx ^ I I AttM« $\x^\xf^ HM fh, 1905, S. 394, — 1 : Ml, siehe BM Sa, 1902, S. 139. — 
1 lOni« %\t\\t^ HM t^ mx\ 8. 499. — l:(M»t, siehe BM U 1900, S. 499; S3, 1902, 
S \m .. 1 1 n<UI, mU um 3.^, mtS, S 405. — l : 671, siehe BM I3, 1900, S. 499. — 
I inin, ntc^ho HM »1, VMK S»407--40S; «ji, 1905, S, 307, 



I iW 4 \\\ ilfvv M^^t^n^^hnnn«; d^r IMvisit^n 4(> 468 : 324 hat der Quotient 

1-1^ 143 

%\\\\i^\\ \\\\\\i>\\\\^\\ IMhU WKomw^n, i^Utl i^4--j> ^«ß nimlich 4^-1/50 stehen. 

\\\t^ Viwwsli^ ^ »c\hv \Äoh1 i>i« On^Vf^hVr ^i», ab«r da bei Friedlein (Die 
^t\-%h'f*i-kiH ^H^l (Ma^ i^hmmHrt Ktckmrm A^ Grkrk^m mmd B^mer und des 

..fc« *>//»,.*. ^ .|^r♦♦,^M♦♦^l.i *sm : . Us ?.C JAkr^mm^^ts Erlaugwi 1869, S, 137 — 138) 
«^w^>^Uuv tuMcMliAtlcs Aw*n\h\«uwi5 XxM^wwwts vwTOiui* ich, daß auch hier ein Miß- 
\f «xuiuUro \»\vlu^|51. \>\ »^1^1 l^fct ^w^i #«^ Ml dfT Tcv» Herm Oaxtor zitierten 
Mi\iU> .it>> hAVUUs> I. . .»JtANi-. ^ mvmfn\'^ Jm^/^rvm \S< \K iL. 12 — 14): ^Scribamus 
«M .v^i»!.. j\»,u«f »^*Ä;.>yv\iiir >»\^u>M\ s^tt^'i^^T vl^MTii diTidiiDitfv supeT numerum 
>«^|iri.«. 4M .|»«imv. »^.\ «,1h*u4n. .j^» >uul ,j))Ai^^ naviTO^, AWr ^miineras super 
.,.i.M. .1«% «.i<M.(«>* luvji t4M v*k»vv j^-rw i^ »^ t'^i^ ji?>*vi, diSKn eiiii^ Z^en weiter 



Kleine MitteiiuugOD 



205 



iben auf derselben Seite sleLt; .scribes suli eis imiiieruin, super quem dividis, 
scribesque ulümcini differentlsm uameri, Eoper quem dividis, quo est ti^ru 
triuiu . . . sub ultima diflereDtia nutueri supeiioris* ; auf der audereii Seite be- 
deutet .prima differentio' die leiste Stelle nach unserer Ausdrucks weise, also 
die Einerziffer. Die böchste Ziffer des Quotienten soll also über die Ziffer 4 des 
Divisors d. b. über die dritte Ziffer (4) des Dividenden gesetzt werden, und 
der Grund dazu int leicht einzoseben; sowohl die Ziffer des Quotienten wie die 
dritte Ziffer des Dividenden bezeichnen Hunderte. 

Dieselbe Anordnung haben übrigens alle mir bekannten AlgorismuB-Scbrirten 
des 12. lind 13. Jahrhunderts, die die Überwärtsdivision lehren, so z. B. der 
von Herrn Cantor selbst herausgegebene Liber algorUmi und die von Cuhtzb 
zum Abdruck gebrachte A Igorismusschrift ans dem 12. Jahrhundert (daB dort 
ein einzigesmal die erste Ziffer 1 des Quotienten durch eineu Druckfehler einen 
unrichtigen Platz bekommen hat, kann nicht irre leiten). 

Auch abgesehen von dieser Berichtigung, scheint mir die C,\NTOHSche Re- 
stitution der Musterrechnung nicht ganz gelungen. Soll überhaupt etwas über den 



14 



Quotientea gesetzt werden, so möchte ich 2 statt ,.q und 2 statt .ansetzen. 



2-1 „ 



12 



22 „, 



110 



140 



In der Heschieibung kommen nämlich gar nicht die Zahlen 24 und 22 vor, 
aber dagegen die Zahlen 14, 2, 12, 2, und es durfte uiebt leicht zu erklären 
sein, was jene Zahlen eigentlich bedeuteu sollten. Indessen scheint es mir aus 
der Beschreibung durchaus klar zu sein, dafl die Produkte 3.1,2.1, 4.1, usw. 
unmittelbar vom Dividenden 46 468 subtrahiert werden sollen, so daß dieser 
successiv die folgenden Werte bekommt (vgl. FRtEDLEis, a. a. 0. S. 137): 16468, 
14468. 14068. 2068, 1268, 1108. 208, 148, 136. Die erete Operation wird 
auf folgende Weise angegeben: «Multiplicemus ipsum [= unnm] in tribns, et 
minuemas eum de eo quod snpra ipsum [= tres] est, et remanebit unara", 
und dieselbe Ausdrtiuks weise wird für die folgenden Operationen angewendet. 
Übrigens wird dies Verfahren in allen oben von mir angedeuteten Algorismus- 
Schriften gebraucht. G. Eneströh, 



1 :(i15, siehe UM Ss, 1904. S. 408. — l:r>H7-~«S9. eiaha BH Sg,1901, S. 143 
—144; 43, 1903,8,205—200.— 1:BÖ4, siehe BM I3, 1900,S. 49B; 43, 1903, 8. 284; 
«s, 1905, S, 103. 

1 : 6£*il. In betreff des Buches der geometrischen Konstruktionen von Ahlii, 
Wafa Ware es nützlich, nicht nur auf den WoKrcKBSuhen Bericht, sondern auch 
auf die Auszüge von L, Rodet (Bullett. di bibiiogr. d. sc. matem. 10, 1H8:3, 
S; 528 — 544) hinzuweisen, Rodkt hat dasselbe Manuskript (Bibliothfeque nationiile, 
anc. fonds persan n" lli^) wie Woefcre benutzt, gibt aber selbst au, daß er an 
gewissen Stellen eine bessere Übersetzung bietet. G. ENBaTKÜsi. 



t ! 104, 70fi, 7(W, fliehe BM I3, IflOO, S. 499-500. — 1 : 712. siehe BM 7a, ÜIOG. 

S. 81-82. — 1j714, siehe BM Ig, 1900, S. 500, — 1 :723, sieho BM 63, lOOS, 

S. 807. — 1:735, 73«, 7J4, 748, siehe BM I3, 1900, S, 500. — 1 :749, siehe BM U. 

1800, S. 268. — 1 : 732, siehe BM «», 190,3, S. 104. — 1 : 753, siehe DM Sg. 1904, 

^^-408-409. — I :75J. »iehe BM 5», 1904, S- 409; «3, 190S. 8. 104, 308. 



206 



ti. Eniwtböii. 



1:754. Herr Ä, Stur« bnt schon (BM 63, 1906, S. 308) darauf 1 
gewiesen, daß das Iledieurälsel der Sclirifl Liber al/forismi de pratica arismelritus 
(ed, BoNL'OMPAGM S. IIa), wo der von Herru CANmit zitieile Ausdrauk .tnntiin} 
(|usntum* vorkommt, im Mittelalter ziemlich verbreitet war. Ich gebe hier 
ooch zwei weitere Belege hierfür. Im Cod. lat. Berol. 4" 510 findet sich Bl. 74^ 
unteu folgende Aufzeiebnang, die mit dem Teite (Demonstratio Jokdaki in 
algorismo) in keinem Zusammenhange steht: 

,Ad solvendtun istud problema: Si vixisti qunntaiu riiisti et itemm lantmn 
et dimidium tanti et dimidium dimidii, tandem .c. aiinos complevisses. Notuidi 
sunt ieti versus: 

,De numeri summa ei portio quinta secetur, ^^h 

Tercia de reliquo, nameras qaesitns hsbetar*. ^^^ 

In der Tat ist ja ^ (1 00 — i|«) = 2ti f ^H 

Fast derselbe Wortlaut des Ueuheurätsets findet sich im Cod. Ut. Hod^H 
14 684, fol. 31* (siehe M, Ciutze, Arithmetische Schereavfgaben aus ävm 
14. JtÜirhunihrt; Biblioth. Mathem. 1895, S. 80): 

fili, si tantum vixisses, quantum vixisti, et itomm tantum, et dimidiam 
tanti, et dimidium dimidii, ceutuiu unnos complevisses, aber dort lauten die 
Verse: 

Hie puer etate quantus fuil, arte probat«. 
Quinta recidatur, remanentJs tercia pars est. 

Von den tünf in der BM erwähnten Texte des EechenrUUuls enthält also 
nur eine einzige den Ausdruck .tantum qunntum', was wohl beweist, daß dieser 
nicht als ein Kunstausdi-uck betrachtet werden kann. G. Enxstrüu. 



]::5ß, aiebe EU I3, 1000, S. £00; G^, 1905, S. S08. — 1: 737, 767, «iehe 
BM I3, 1900, S, 500-501. — 1 ! ViA, siehe BM Sj, 1902. 8. 139. — 1 : SW, 80i, 907, 
HO», H\i, Eiehe BM ]», IDOO, S. 266—269. — 1 : SIG, siebe HM 7i. 1006, I 
— 1 : 833, siehe BH Ig, IDOO. S. 269. 



MI«, 907, 
;. 82—83. 



1 : 825. Nach A. Naol {Gkkbkkt und die Jtedienkunst des 10. JaJir- 
hunderls; Sitzungsber. der Akad. d. Wiss. in Wien, PhiL 01.116, 188«. 
3. 877) ist es gar nicht sicher, daC BERNeuNUS der Schule Geieberts un- 
mittelbar ungehSrt hat. NAnt. gibt an, daß Berkelikus zum ersten Mal im 
Jahre 1588 von einem frauzßsischen Verfasser als Schüler Gkrbeuts bezeichnet 
worden ist, daß es aber nicht möglich war, eine Bestätigung dieser Angab* 
aufzufinden. G. Ekeström. ^H 

l:St36, 848. siehe BM 73, 1906. S. 83-84. ^| 



1:848. In einer fmheron Bemerkung (BM 73, 1906, S. 83 — S4) habe 
ich einige Notizen über dos Vorkommen der Terme .divisio aurea' uod ,divislu 
ferrea' gegeben, und daraus gefolgert, daß diese Terme wahrscheinlich vor 
Atelhart von Bath bekannt waren. Kachdem diese ßemei'kung zum Absatz 
gebracht war, fand ich, daß Herr .\. Naül (Der arUhmettsche Tractat rfes 
IUhOi.ru von Law, AbhaudL zmv Gesch. der Mathem 5, 1890, S. 92) 



Kleine Mitteilungen. 207 

diese Terme als schon lange Zeit vor Radulph ,in der Schale zu rein technischen 
geworden '^ bezeichnet hat. Als Beleg verweist Herr Nagl auf eine von Chasles 
(Comptes rendus de l'acadömie des sciences [de Paris] 16, 1843, 
S. 237 — 246) herausgegebene Schrift über den Abacus, wo (S. 243) folgender 
Passus vorkommt: „divisio ... de ferrea redit ad auream, scilicet de ista cum 
differentiis ad illam sine differentiis". Aber die von Chasles benutzte Hand- 
schrift (Cod. lat. Paris. 15119) stammt nach Bübnov {Gerberti Opera mathe- 
matica, Berlin 1899, S. LXIV) aus dem Ende des 12. Jahrhunderts, und die 
andere bekannte Handschrift der von Chasles herausgegebenen Schrift (Cod. 
Vatic. 3123) rührt nach E. Narducci (Due trattati inediti d'ahaco; Bullett. 
di bibliogr. d. sc. matem. 15, 1882, S. 112) ebenfalls aus der 2. Hälfte 
des 12. Jahrhunderts her. Der von Herrn Naul zitierte Passus beweist also 
gar nicht, daß die Terme «divisio aurea" und «divisio ferrea '^ schon zu Radulph 
von Laons Zeit (also am Anfange des 12. Jahrhunderts) seit langem zu techr 
nischen Bezeichnungen geworden waren. Meines Wissens ist es noch nicht 
nachgewiesen, daß die Terme schon im 11. Jahrhundert benutzt worden sind, 
und nur aus den Worten des Badulph kann man schließen, daß sie wahr- 
scheinlich am Ende dieses Jahrhunderts bekannt waren. G. Eneström. 



1 : 852, siehe EM I3, 1900, S. 269. ~ 1 : 853, siehe EM I3, 1900, S. 501. — 
1:854, siehe EM Is, 1900, S. 501; 33, 1902, S. 324; 43, 1903, S. 206; 63, 1905r, 
S. 104. — 1 : 855, siehe EM Is, 1900, S. 501 ; Ts, 1906, S. 84. — 1 : 856, siehe EM 63, 
1905, S. 809. 

ft : 7, siehe EM fts, 1901, S. 851. — 2:8, siehe EM I3, 1900, S. 501'* O^r 1905, 
S. 309. — Ä:10, siehe EM I3, 1900, S. 502. — »:14— 15, siehe EM 83, 1901, 
S. 144; 03, 1904, S. 200; 63, 1905, S. 208-209. — »:20, siehe EM I3, 1900, S. 502; 
33, 1902, S. 289. — 2:25, siehe EM I3, 1900, S. 274. — 2:30, siehe EM 63, 1905, 
S. 105. — Ä:31, siehe EM »3. 1901, S. 351—862; 33, 1902, S. 239-240; 63, 1905, 
S. 809—310. — Ä:32, siehe EM 63, 1905, S. 105. — Ä:34, siehe EM A3, 1901, 
S. 144; 63, 1905, S. 810. — 2:37, siehe EM I3, 1900. S. 502; 63, 1905, S. 105. — 
2:38, siehe EM 23, 1901. S. 852. — 2:39, siehe EM I3, 1900, S. 502; 63, 1905, 
S. 209. — 2:41, siehe EM 23, 1901, S. 852. — 2:51, siehe EM 63. 1905, S. 106. — 
2 : 58, siehe EM 53, 1904, S. 201. — 2 : 57, siehe EM 23, 1901, S. 352. 



2 : 59. In meinem Aufsatze Über die ,, Demonstratio Jordäsi de algorismo*^ 
(BM 73, 1906, S. 24—37) habe ich erwähnt (S. 25), daß der Cod. Ottob. 309 
zwei dem Jordanus Nemokarius zugeschriebene Traktate „De numeris*^ und 
,De minutiis*^ enthält, und ich habe (S. 34) bemerkt, daß der erste Traktat, 
der mit den Worten , Communis et consuetus" beginnt, ein gewöhnlicher 
«Algorismus* zu sein scheint. Ich habe jetzt eine vollständige photographische 
Kopie dieses Traktates eingesehen, und bin darum in der Lage, meine Angabe 
zu präzisieren. Der Text „Communis et consuetus'^ enthält nach einer längeren 
Einleitung, die zum Teil den Definitionen der „Demonstratio Jordani de 
algorismo« entspricht, wörtlich die 25 Sätze I— VIII, X, XI, XX— XXXIV 
dieser „Demonstratio" ; im Vorübergehen sei bemerkt, daß Null nur „circulus* 
genannt sind, und daß weder „digitus* noch „articulus" vorkommt. Die Be- 
weise der Sätze stimmen in den meisten Fällen wörtlich mit der „Demonstratio" 
überein, in einigen Fällen sind sie kürzer und nur sehr selten (z. B. in 



208 



G. Ehehthöh, 



betreff der Wm-zelansziebung) weichen sie direkt, von Aev .Demonstratio* 
Der Text .Comiuuuis et coDsuetus' ist wesentlich ein gewöLulicber ,Algoris- 
mus*, obgleich die gon^e Anordnung zeigt, daü der Vevfnsser nicht atiescblieSlich 
einen pruktiscbea Zweck verfolgt«. So z. B. wird hinsichtlich der Wurzel- 
ttusziehung, zuerst das gewöhnliche Verrabren gelehrt etwa wie in den Anderen 
AlgorismuB-Schnften des 12. und I-l. Jahrhunderts, aber dann, am die Sache 
noch gründlicher zu behandeln, angenouiiuen, duU die gegebene Zuhl a.b.c .d .e .f 
und die gesuchte Wurzel g.h.f ist, worauf erläutert wird, warum die Pro- 
dukte g^, 2gh usw. gerade so, wie die Regel angibt, gesetüt werden sollen. 

Die Frage, ob die .Demonstratio Jühdani de algorismo' wirldicli von 
JoKUAKUS Ni:moiuiui!8 herrührt, ist durchaus unabhängig von d<^r Frage, wer 
der Verfasser des Textes .Communis et consuetus' ist, denn Joudan'U8 kann 
sehr wohl die beiden Traktate geschrieben haben-, in der Tat habe ich jetzt 
einen ganz bestimmten Anlaß zu vermuten, daß sich der Verweis der .Demon- 
stratio* ; .Hanc Bubtractionem docuimns in opcre exlrafiendi radicem* gerade 
auf den letzten Satz des Textes .Communis et consuetus* bezieht. 

Sollte es sich indessen herausstellen, daO in Wirklichkeit nur der Text 
.Communis et consuetus" von JfiRPANUS herrührt, während die .Demonstratio' 
eine spätere Bearbeitung ist, so hat dieser Umstand jedenfalls keine Bedeutung 
für die SuhluSfol gerungen meines oben zitierten Autsatzes. In diesem Falle 
wäre besonders darauf hinzuweisen, duQ der Text .Communis et consuetus* 
ebensowenig wie die , Demonstratio * die Araber erwähnt, sondern sich in der 
Einleitung mehr als einmal auf .die Alteu* beruft; doil kommen uiünlich die 
Ausdrücke , summa et adoranda anti'juorum diligentia* und .ad institueudum 
in singulis operationibus modum vestigiis antiquorum sit ins'istendum* vor, £to 
Mann, der so spricht, ist gewiQ nicht io arabischer Schulung zum Mathe- 
matiker geworden. 

Daß sowohl der Text , Communis et consuetus* wie die .Demonstratio* 
mit Unrecht dem Jori>aniis zugeschrieben wurde, ist wohl kaum anzunehmen. 

0. Eneströ«. 



1. 502; 6a, 1905, .S, 310-Sll. — «:6I, 



2:61. Ob die Angabe (Z. 14 — 15), JonDAsr« habe in seiner Arithmetica 
ein dem grieebischeu dgiai/iaTa nachgebildetes Wort .Dignitates* gobranchl., 
etwas mehr als lediglich eine Vermutung des Herrn Cantor ist? Herr Cant<ir 
zitiert die zwei Auflagen der LEt'fcvuESchen Ausgabe der Arit/imetica, und in 
der Tat findet sich in dieser Ausgabe das Wort .Dignitates*. unmittelbar 
nach dem Spezialtitel: Jorciaxi Nemiikasii darissimi viri Elementa arithmelica 
cum dcmonstrationibus Javidi Fabhi Staptilensts folgen nämlich teils l;i De- 
finitionen (nicht numeriert und ohne Rubrik), dann 20 numerierte .Dignitates* 
und 6 ebenfalls numerierte .Petitioues", woi-anf LEi-iivRE bemerkt: .Dignitates 
atque petitiones paucas . . . adiecimus, quas . . . author suppressit*. Offenbar 
kann diese Bemerkung bedeuten, entweder daß LefAviie die wenigen bei Jor- 
UANus nicht vorkommenden .Dignitates' und .Petitiones* hinzugefügt hat 
oder daß einige der .Dignitates* und .Petitiones* von Lef(;vre herrühren. 
Im ei;sten Falle, der meines Erachtens schon aus typographischen Gründen 



Kleine Mitteilungen. 209 

die größere Wahrscheinlichkeit besitzt, hat Jordänus keine „Dignitates* 
aufgeführt, und also keinen Anlaß gehabt, das Wort «Dignitates* zu ge- 
brauchen. Im zweiten Falle ist es möglich, daß dies Wort von Joroanus her- 
rührt, aber sicher ist es nicht, denn das Wort kann sehr wohl entweder von 
Lef£viie hinzugefügt worden, oder von ihm aus einer von unbekannter Hand her- 
rührenden Bandbemerkung seiner Handschrift der Ärithmetica entnommen sein. 

6. Eneström. 

1t 1 63, siehe 6M 43, 1908, S. 206. 



2:67. Herr Cantor hat selbst in seinem Vorwort (S. IV) die Angaben 
der Fußnote 2 in betreff der Ausgaben des Traktates De numeris datis ergänzt, 
indem er auf einen Aufsatz des Herrn R. von Sternegk aus dem Jahre 1896 
verweist. Da Herr v. Sternegk in seinem Aufsatz bemerkt hat, daß die zwei 
von ihm benutzten vollständigen Handschriften des Traktates (von denen freilich 
die eine wertlos ist, weil sie nur eine wörtliche Abschrift der anderen bringt) 
vielleicht die einzigen sind, welche das vollständige Werk enthalten, so erlaube 
ich mir zu erwähnen, daß sich im Cod. Mazarin. 1258 der Nationalbibliothek 
in Paris eine vollständige Abschrift des Traktates, der hier „Data Jordanis 
secundum operationem numerorum* genannt wird, findet. Um einen Vergleich 
dieses Textes mit dem von Herrn v. Sterneck benutzten zu ermöglichen, drucke 
ich hier den Beweis des Satzes IV: 34 ab, welcher Satz bekanntlich besagt, daß, 
wenn {a^x + a^fp^x — ^2) = ^^^ ^^^^ = ^^ ^st, so sind x^ und x gegeben. 
Die Klammem bedeuten, daß sich die eingeklammerte Stelle zwar in der Hand- 
schrift findet, aber meiner Ansicht nach gestrichen werden soll, um den rich- 
tigen Sinn des Textes wieder herzustellen. 

Si productus ad quadratuip datus fuerit, cumque alter cum sibi ad- 
dito in detractum a reliquo faciat numerum ad radicem datum et numerum 
datum [erit ut ipse cum sibi addito in reliquum totum faciat numerum 
ad quadratum datum et numerum ad radicem datum et item numerum 
datum]. Sed reliquus totus in illum et additum ductus facit totum nu- 
merum ad quadratum datum et alium ad radicem datum. Minoribus igitur 
de majoribus detractis, vel relinquetur numerus datus equalis dato ad ra« 
dicem vel ad quadratum datus (! soll wohl „dato* sein) vel numerus datus 
equalis numero ad radicem dato et numero ad quadratum dato, vel nu- 
merus ad radicem datus equalis numero dato et numero ad quadratum 
dato, vel numerus ad quadratum datus equalis numero dato et numero 
ad radicem dato. Quodcumque fuerit, erit radix et quadratus datus. 

Si productus ad radicem fuerit datus, erit eadem ratione, ducto toto 
in totum, numerus conjunctus ad radicem datus cum numero dato tam- 
quam numerus ad radicem datus et numerus ad quadratum datus. Demptis 
ergo Omnibus vel erit numerus datus equalis numero ad quadratum dato, 
vel equalis numero ad quadratum dato cum numero ad radicem dato, vel 
numerus ad quadratum datus tamquam numerus datus et numerus ad ra- 
dicem datus. Et sie etiam radix data est. 

Sieht man von der eingeklammerten Stelle ab, so ist dieser Text (ich habe 
nichts geändert, aber nur die zwei Kursiv gedruckten Worte numerus datus 
hinzugefügt) offenbar besser, als der von Herrn v. Sterneck benutzte. Die im 
Texte angegebenen Operationen sind: 

Bibliotheoa Mathematioa. in. Folge. Yll. 14 



210 



G. EnistsSh. 



also, wenn (oiz + 03) (feja: — t») ^ ca:^, 

welche Gleichnng unter eine der fünf folgenden Formen gesetzt werden ku 
3.-^ßx, xi= yix^, )tj ^ ßix + yiX^, xgx^ 03+ /j«*, xjt^ ^ß^+y^ 
wodurcb iu jedem Falle x und dftdoroh auch x^ besUmmt ist. 
Ist dagegen {aix + oj)(ftix — ij) = ex, so bekommt mau 
ex + üibj = (ojfii — a|!i() X -(- fli^iir*, 
welche Gleicbung unter eine der drei iolgenden Formen gesetzt werden I 

y^xx^, yi= «il» + ßiX. X2X- ^y3+ ßt^. 
wodurch in jedem Falle x bestimmt ist. Q. Enestböm. 



9:70, siehe BH lg, 1900. S. 417. — 9:7», Hi, S;, siehe BM 1,, 19O0, S. '. 
— K:SS, Biebe DM I3, 1900, S. 503; «3. 190^, S.395. — «:ä9, 9U, aiehe UH | 
1900, S 503,— «:!tt— «3, siehe UM 1», 1900. 8. 503; Sa, 1004, S. 409-410; 
1905, 8. 895— 896. — S : 97, siehe BM 33. 1902, S. 406. 



2:98. Der hier genanute Scb&ler Rik.er Bacoks Jouakkes von Lotn 
hat zwei bondschriftlicb erhaltene Traktate verfaßt, nKmlich ,I>e trigonio t 
cinoque* und ,De specnüs combnrentjbus libri qninqne* (siehe S. Vom., Die 
PfeysiA RooKM Bactis, Erlangen 1906, S. II). — Es ist wenig wahischeinlidi, 
duß der von Bockk Bai-on im 11. Kapitel des Opv$ tertiam eiwühnte ,Jo- 
HAüNüs von London* mit seinem soeben genanuteu Schüler identisch ist, veraia 
lieh meint Roüek Bacos entweder Johannes PEt-KHAM oder JoBAttNBS J 
STOCKE (vgl. Ö. VtKiL. B. a. 0. 8. 10—11). 



S : 98—99, siehe BM la. 1900, S. 269—270; «3, 1905. S. 106—107. — S : 100, eieh« 
UM Sa. 1902, &!. 140. — 3B : KU, wehe BM Sj, 190S. S. 325; 63, 1905, S. 396. — 
»:104— HI5, siehe BM la, löOO. S, 503; 43, 1903, S. 397—398. — «illl, 
siehe BM £3, 1901, S. 352. — ;e:Il&, uehe BH 3], 1902, S. 406. — 8:117 
-118. siehe UM «3, 1905, S. 107, 311. — 8:132, siehe BH Ij. 19O0, £.503—504; 
63, 1905, S.397. — S:12fl, siehe BM »3. 1903. S.406: «3, 1905, S. 210. — X:12<, 
siehe BM S», 1902, S. 406. — X : 12S, siebe BM I3. 1900, S. 504. — 8:13«, 
siebe BM I3, 1900, S. 515—516. — S:1J3, siehe BM Ij, 1900, S. 504. — S:I5J 
—156, siehe BM 59, 1904, & 410—411: Vs. 190<>. fi. 86-S7. — 8:137, 158, siehe 
DM £3, 1901. S. 35S. — aslfiO— ICÜ, siebe BM &3, 1905, S. 311—312; Tg, 190C, 
S- 87-88, — 8:168, siebe BM Ij. J900. S. 504; «3. 1905. S. 812. — «:184, siehe 
BM 63, 1905. S, 313. — 2 : 166, siehe BM I3, 1900, & 504. — 8 ; 17-3, siebe BM 3^. 
1902, 8. 140. — S:30C. giehe UM «3. 1905, S. 313. — 8:210, aiebe BM 83. IDOi, 
S. 352-358. — a:3IS, «ehe BM 4^, im*!. S- 284. — 8:219, siehe BM 81. 1901. 
S. S-W. — «j2Sf, siehe UM «,, ÜHW. S. 397-391?, — g:*-», 242, üehe BM I3. 
1900, S. 504-505. — 8:243. siebe UM I3, 1900, S. 505; «3, 1905. S. 398 — 
8:233, siehe BM 83. iSOl. ä. 353. — 8:273, ^iehe UM I3, 1900. S. 505. — 
8:274, cieheBMSs. 1902. ij. 325. — 8:3SI. stehe UM 5», 1904. S. 411 — S:2S2, 

283, siebe BM I " ''' ~ - - - 

, uehe BM 
8:303, siebe BM~ Ta. 1906, S. 8». — 8:313, ciebe BM I3, 1900, g. 507. — 8:317, 
siehe BM S3, 1904, 8. 69. — 8:320, siehe BM 7], 1906, :^-8i(— 89 — 8:322, siebe 
BM 63, 1<.>U5. 8. S99 — 8:3S3, si«be BM 63, 1905, S. 313— 314. — a:a2.<i, siehe 
BM Si. 1902. 8. 140; -Iu. 1903. 8. 2.^. — 8:334, siehe BM I3. 1900, S. 507. — 
8: «AI, siebe BM «j. 1905. 8.399. — 8:35», siehe BM Ij, 1900, S. 507; 4s. 1903, 
S. 87. — 8:S&3. 8&T, siehe BM «», 1905. 8, 809—400. — 8;34(^ 360, nebe 



r Kleine Mittel langen. 1 

BM ^n, 1903, 8. 87. — S i 371, siebe BM ti^, 1905, S. 314. — S 1 839, 8H0, liehe 
BM «3, I»05, ä. 400—401, — 2 : :iäl, »iahe BM Ig, 1900, S. 507. — 2:385, »iebe 
BM 3». 1902, S. 81; 4s, 1903, S. 207. — 2:38», siehe BM I3, 1900, 8. S07; $3, 

ÄS, 306, — 2 ! 395, siehe BM Ig, 1900, S. 507-508. 
2 : 3V7. Da Herr Caktor hier über die vou Gramm.\teüs angewendeten 
laisclieu Zeiuheu berichtet, benutze ich die Gelegenheit, um auf einen 
hoiiandisühen Cossisten aus der Zeit von 1500 — lö50 binzuweisea, der von 
GsAMHATEua beeinöolit zu sein scheint; eigentlich gibt es ja in dieBem Ab- 
sclmitte der Vorlesungen keinen Plat» für Holländer, sondern nur für fran- 
KS&ische, spanische, portugiesiacbe, deutsche, englische und italieniache Mathe- 
matiker. 

Der betreffeude Cossist ist Gielis van der Uogckb, der im Jahre 1537 
in Antweipeu ein Rechenbuch nebst Algebra veröflentlicht«. Der Titel des 
Buches lautet; In arilhmetica \ een Sonderlinge exixÜH boeck | leerende veel 
schoone ende perfecie rcgtilen der selven Conste \ eenen neghelijcken seer profijte- 
lyik ende van noodc te weten. Eiae neue Ausgabe erschien 1545; Bierbms de 
Haas (Bibliographie nierlandaise . . . sur les sciences mathematiques et phgsigues, 
Roiue 18t:i3, S. 127) verzeichnet eine Ausgabe von 1544 (vielleicht identisch 
mit der aoebea genannten?), und auch eine Ausgabe von 1548 wird zitiert 
(^i«lie n. BosMANS, Lc fragmenl du commcnlairc d'AtutrK.t Riuain sur l'algirbre de 
Mauomkd BEN Mpsa EL-GBii\iJmt:y:sii; Annales de la socift^ scientifiriue de 
Braxelles, 30: 2, 1006, S. 8 des Sonderabzuges). Angeblich sollte das British 
UuseQui eine Ausgabe vom Jahre 1514 beBit7.eD, aber schon aus den üezeicb- 
DanjjKQ des Rechenbuches des van deh Hoel'ke ist es offenbar, daÜ das Buch 
niclst vor 1521 erschienen sein kann, und in der Tat ist es leicht zu erklären, 
warum der Katalog des British Museum eine Ausgabe von 1514 verzeichnet. 
Äa.f dem Tilelblatt der Ausgabe von 1545 steht nümlich, wie ich einer freundlichen 
Uit-tailuDg des Herrn H, Bosmans entnehme, ,Gbeprent . . . M . CCOCI' . XLT*, 
über uach Herrn Bosmans ist jL' so undeutlich, daä man ebenso gut XIV 
tie XLV lesen kann, 

Tür die Potenzen der unbekannten Großen wendet van dkk Hoecke die 
"^ichsn Pri, 2*, 3*, 4', 5* an und benutzt auch die Zeichen ■\- und — (vgl. 
SuzAs K. Benedict, 'Hie development of algebruic si/mbolism from Pacivolo lo 
^i^HTPiv; Teachers College, Columbia university, New York, Courses 
torteachers of mathematics 100(3—1907, W, 19). G. Esbbtröm. 



rTsoi 



«1, 401), 


siehe BM la 


, 1900, 


2:425, 


fliehe BM la, 


1900, 


2:42», 


fliehe BM Sa 


, 1904, 



2:399, Eiehe BM 63, 1905. S, 107^108. — 2; 
JII, in, siebe BM 7,, 1U06. S. 89. ■ 
— .,. _ ,,427. siehe BM «3, 1905, S. 314—315. ■ 
f- SOI-202. — 2:430, siebe BM 23, 1901, S. 145.— 2:440,' aiehe BM 4a. 1908, 
^- 2ti5. — g : 443. siehe BM 3», 1902, S. 325. — 2 : 44», siehe BM 3», 1902, S. 140. 
~~ 2 : 454, siebe BM Sg, 1902, ä. 242. — 2 : 474, 4H«, siehe BM 3;,, 1902, S. 140— 
Ul. — 2 : 481, siehe BM I3, 1900, S. 508. — 2 : 483, siehe BH l:j, 1900, B. 508; 
«9. 1901, H. :ihA: »3, 1902, S. 240; «3, 1905, S. 401. — 2:4N4, aiehe BH 3». 1902, 
ü, 141. — 2 ; 4f^ 489, 490, siehe BM 1», 1900, S, 509. — 2 : 497, siehe BM I3, 1900, 
»■ SüBi 43. 1903. 8. 87. — S ! W9, siebe BM 1s, 1900, 8. 270, 509, — 2: 510, siehe 
Bll,, 1900,8.509. — 2:513, siehe UM 83, 190S, S. 141. — 2:514, 51«, 517, siehe 
BM Itt, 1900, 8.509, — Ä:.W4f 539. siehp BM 7.,. 1906, 8, 90-91, — 2:530, siehe 
BM 8,, 1901, S. 354-355; 83, 1902, S. 141. 

14« 



212 G. Enbström. 

2 : 581. Für die Gescbicbte der algebraischen Terminologie ist der 6. Teil 
des Oeneral trattato di numeri e misure von Interesse, weil darin die erste 
bekannte Erweiterung der Bedeutung des Termes , Binom'' zu finden ist. Im 
5. Buche des 2. Teiles (Bl. 87*— 95^) hatte Tartaglia dies Wort in der damals 
geläufigen, auf Euklides zurückgehenden Bedeutung angewendet, und dabei auch 
(Bl. 94* — 94^) die Terme .Trinom", »Multinom* auf ähnliche Weise gebraucht. 
Im 1. Buche des 6. Teiles (Bl. 4* — 5*) führte er die Benennung ,binomio de 
dignitä algebratice* für Ausdrücke von der Form ax^ + hx^ (m, n ganze 
positive Zahlen oder Null) ein, und benutzte auch den Term ,trinomio de 
dignitä algebratice*' in ähnlicher Bedeutung. Dagegen nannte er Ausdrücke 
von der Form ax^ — hx^ nicht .binomio* sondern .residuo*. 

G. Enbström. 



1t : 532, 535, siehe BM Is, 1900, S. 509. 



2 : 536. In betreff des 5. Kapitels der Regula Aliza von Cardano wird 
bemerkt, daß, wenn auch nicht in klarsten Worten gesagt, die Entstehung der 
Gieichungskonstante als Produkt der Wurzelwerte hier mindestens angedeutet 
ist, und die betreffende Stelle lautet, wie in der Fußnote 2 richtig angegeben 
wird: „Videmus, numerum aequationis si sit compositus. ut 18, 12, 24 facile 
habere aestimationem et plures etiam, si autem primus difficile est invenire unam 
solam^. Liest man diese Zeilen, ohne sich die Mühe zu geben, von dem Inhalt 
des betreffenden Kapitels Kenntnis zu nehmen, wird man ohne Zweifel versucht 
sein können, die Angabe des Herrn Cantor als richtig anzusehen. In Wahr- 
heit aber ist diese Angabe durchaus unbegründet. Das 5. Kapitel der Regula 
Aliza bezieht sich nämlich auf solche kubische Gleichungen von der Form 
x^ -\- h a X {a und h rationale Zahlen), die als Wurzel ein .binomium* oder 
.recisum* haben. Zuerst bemerkt Cardano, daß es nicht angebracht ist, 
X = \rn ± ^n zu setzen, weil in diesem Falle a und b nicht gleichzeitig rational 
werden. Dann gibt er folgende Beispiele der fraglichen Art von Gleichungen 
(das lelzte Beispiel ist unrichtig, und wird identisch mit dem ersten, wenn man 
den Fehler berichtigt, d. h. 32 statt 34 setzt). 

Gleichung : Wurzel : 

a;3 + 24 = 32 a;, a^i = 3 + Vs", a^g = 3 — Vs". 

a;3 + 12 = 34 x, Xi = 3_+ y? , arj = 3 - yf, 

x^ + 8 = 18 a;, a;i = V6— 2, 

x^ + is=25x, ^l=y^—^1 

x^ + 21 = 16x, aJi=V9l — Hl 

:rS+18 = 19^, a;i = yi7f-i, 

a;3+18 = 15a;, a^i^Vgj— H, 

a?s + 18 = 39 X, ici = Vl2 — 3, 

rc3 + 24 = 34 a;. ^n = 3 + Vs", X2 = S — '^. 

In keinem Falle ist also die von Cardano angegebene Wurzel ein ratio- 
naler ganzer Faktor der Gleichungskonstante und in keinem Falle hat er auch 
nur angedeutet, daß die Gleichungskonstante das Produkt der drei Wurzeln ist 
Der Sinn der von Herrn Cantor falsch mißverstandenen Stelle ist offenbar der 
folgende. Nimmt man an, daß eine Wurael der Gleichung x^ -{- b = a x von 



Kleine Mitteilungen. 213 

der Form yw + n {m und w rationale Zahlen, aber '^ irrational) ist, so wird 

m^m ^ 3mn + 3 yWw^ -^ n^ -\- b = a Vm + an, 
also ist 

3ww + w^ + ft = aw, m + 3n^ = a, 
weil sonst eine rationale Zahl gleich einer irrationalen sein würde. Folglich wird 

h = an — 3 m w — n^ = (m + 3 n^) n — 3 m w — n^ = 2 n (n^ — m). 
Sind m und n ganze Zahlen, kann h offenbar nie eine Primzahl sein, und man 
versteht also leicht, was Cardano meint mit dem Ausdrucke: ,si autem primus, 
difficile est invenire unam solam*. Beiläufig sei bemerkt, daß die Wurzeln der 

Gleichung 0?^ '\-2n{n^ — m) == (m + 3 n^) x offenbar ySt + w, — "j/m + ♦», — 2 w 
sind, so daß immer, wenn n eine ganze Zahl ist, eine Wurzel der Gleichung 
eine ganze (freilich negative) rationale Zahl wird, deren numerischer Wert gleich 
der Summe der zwei irrationalen Wurzeln ist. Daß dem Cardano selbst dieser 
Umstand nicht unbekannt war, scheint daraus hervorzugehen, daß er in betreff 
der Gleichungen a?^ + 24 — 32 a? und a;^ + 12 = 34 a; im Vorübergehen be- 
merkt, die Wurzel der Gleichung a?^ — 32 a; + 24 sei gleich 3 + y5 + 3 — 
V5"= 6 und die Wurzel der Gleichung a;^ - 34 a: + 12 sei gleich 3 + ^7~+ 3 

— y7 = 6. In keinem Falle gibt er aber die drei Wurzeln der von ihm be- 
handelten neun Gleichungen an. 

Als Beweis dafür, daß Herr Cantor die zitierte Stelle richtig verstanden 
hat, wird von 4hm auf das 17. Kapitel der Regula Aliea hingewiesen, aber da 
in diesem Kapitel gar nicht von irgend einer Gleichung gesprochen wird, ist 
es schwer zu begreifen, wie es überhaupt möglich war, hier den Satz von der 
Gleichungskoustante hineinzulesen (vgl. die folgende Bemerkung). 

G. Eneström. 

2:536. Z. 8 — 9 wird die Überschrift des 17. Kapitels der Regula Alisa: 
,Quot modis numerus possit produci ex non numero* erwähnt und übersetzt, 

und dann gibt Herr Cantor als Beispiel (3J^ + V^) (3^ — y^^)=10an. 
Aber dies Beispiel bringt ja gar keinen Aufschluß über die Frage, auf wie 
viele Arten die Zahl 10 das Produkt in*ationaler Faktoren sein kann. In der 
Tat ist diese Frage am Anfange des Kapitels behandelt, während das Cantor- 
sehe Beispiel aus dem Absatz «Tertio* gegen das Ende des Kapitels entnommen 
ist, und meines Erachtens ist gerade der Anfang, den Herr Cantor still- 
schweigend übergeht, das interessanteste. Hier bemerkt nämlich Cardano, daß 
kein Faktor einer rationalen Zahl aus mehr als vier einfachen Quadratwurzel- 
ausdrücken (oder aus mehr als einer rationalen Zahl und drei einfachen Wurzel- 
ausdrücken) bestehen kann^ und diese Bemerkung ist offenbar identisch mit dem 
Satz, daß der Nenner des Bruches 



nicht rational gemacht werden kann, sofern n ^ 4 ist Noch dazu bemerkt 
Cardano, daß kein Faktor einer rationalen Zahl aus mehr als drei einfachen 
Kubikwurzel ausdrücken bestehen kann. Diese Bemerkungen enthalten die Ant- 
wort auf die Frage, auf wie viele Arten eine ganze Zahl das Produkt irrationaler 
Faktoren sein kann. G. Eneström. 



214 



H. BoBUiiis, — G. EnmtuÖu. 



«: 541, 54S siebe BM I3, 190O. S 509—510. — iS : 5JB, eiebe BM lg, l&OO^. 510: •«, 
1905. S. 401- — S : 550. »iefae BM »3. 1901, 8. U5S. — « : 554, siehe BM I3, 1900. S. 510. 
— Ä : 555, Fiehe BM *,. 1903, S. 285; 6s. 1905. S. 322. — » ; 561. siehe BM Ja, 1906, 
S. 91 — a : öfiS, 507, 5ßS, EJehe BH 43, 1903. S. ?85-28ß-—X: 569, Hielte BK I3. I90ti, 
S, 510. — « : 572-573, «eha BM I3. 1800, S. 510; Sa. 1902. S. 141. — S ! 57«, siehe 
BMS3, 1901,8. 355— 351;. —a:579,BieheBM Sa, 1901, S. 145. — 8 : SSO— 581, «iehe 
BM 43, 1903, S. 207. — S 1 S83, siehe BM Ig, 1900, S. 510. — S : T^m, siehe BM I3, 1900. 
S. 270; »s, 1901, S. 856. — K : SR'., siehe BM 5s, 1904, S. 69— 70. — »:&»ä, siehe 
BMSy, 1901. S. 146. — 8:594, siehe BM h, 1900, 8.270. — 2:ä97, siehe BM I3, 
1900, 8. 270; Äj, 1901. S. 146, — a:591t— GOÜ, aiehe BM «j. 1901. S. 146. — 
»Ifi02, siehe BM I;l. 1900. S. 270, — 8:(i0»-604, siehe BM Ig, I9U0, Ö. J70— 271; 
63. 1905, S. lOÖ. — 8 : 611, siehe BM «3, 1901. S. 356—357, — 8 ! tili, siehe BM h, 
1900, 8. 277; »t, 1901, S, I4Ü, — a!OI2~C13. siehe BM Tg. 1906, S. 91—92. — 
8:013, siehe BM 8», 1901. 8. 357; S3, 1904, Ü. 306. — 8:r>14, siebe SM Sa, 1902. 
S. 141. — 8:6i;, 61», siehe BM6fl, 1905, 8. 10Ü—I09, —8:6^11, siehe BM 3,1, 1902. 
S. 141. — 8:eSl, siehe BM Ij, 1900, 8. 277; 83, 1901, S. 146; «3, 1905, 8. 402. 

2;621. Dans son tralW De occulta parte nutnerorum quam algehntm vocant 
libri duo (Paris 15H0) mentionoe pur M. G, ENESTitOM & In BM Q^, 1905, 
p. 402, J. Pbletier donne auBsi en paasant des ^quationa doiit le secood menibre 
est iga\6 ü z6ro. En effet, au f^ 10 r" de oe traitä se trouve le passage 
Buivant: ,Sint (> A aequales 12 7f m. 24. Vhinqne ftaforo IJ J{: Tum 61ltti.2i 
aequaDtur seu nihilo; vt necesse sit tiÄ et 24 simul aeijuarj, quuin H H et 
24 se mutuo toUant'. Autre eiceinple an f^ SS 1". H, Bosmans. 



8:63S, siehe BM 1», 1900, 8. 277; 83, 1901. S. 146-147. — 8:032, siehe 
BM «s, 1905, 3. 109. — 8:634. 637, siehe BM 6a. 1905, 8. 315-S16 — 8:B3f, 
siehe BH 83, 1901, S. 147. — 8:643, 643, siebe BM I3, 1900, S. 271. — 8:6*4, 
siehe BM 69, 1905, ä. 402—403. — 8:655, siehe BM 83. 1901, 8. 357. — 8:ß3fi. 
siehe BM 43, 1903, S. 286. — 8:65», 660, siehe BM 83, 1901, S. 147—148. — 
8:661, siehe BM Kg. 1905, S. 403. — 8:665, siehe BM Ig, 1900, S. S7l. — 
8:069, siebe BM Sg, 1904, S. 203. — 8:670, siebe BM 63, 1905, S. 403. — 
8 : 674, siehe BM «a, 1908, S. 83. — 8 : 6S3, siebe BM 8», 1901, 8. 148. — 8 : «93, 
siehe BM 4g, 1908, 8. 287. — 8:700, 7UI, 703, 704, 705, siehe BM Ig, 1900. 
8. 271-273. — 8: 71S, siehe BM Sa, 1904, 8. 412. — 8: 71», siebe BM fig, 1905, 
8.404. — 8:717, 718, siehe BH 73, 1906, 8.92—93. — 8:719, siehe BM 8g, 1901, 
8. 357. — 8:720, siehe BM 4g, 1903, 8.287; 63, 1905, ü. 404. — 8:721, siehe 
BM Ig, 1900, 8. 273; 6,, 1905, S. 404—405. — 8:743, siehe BM Is, 1900, 
S. 273; 33. 1902, 8. 142, — 8:746, aiehe BM la, 1900. S. 273. — 8:747, siehe 
BM I3, 1900, 8. 173; 83, 1901, S. 225. — a:74», siehe BM 4a. 1903, 8. gS. 
— 8:766, siehe BM 3a, 1902, S. 142; Sa. 1904, 8. 412-413. — 8t7«7, siehe 
BM 83. 1901, 8. 148, 357-358.-8:770, siehe BM 43, 190J. S, 208. — 8:774, 
775, siehe BM 83, 1901, 8. 358—359. — 8:777, siehe UM 8a. 1901, 8. 148; Sa. 
1902, S. 204. — Ä:7S3, siehe BM 8a, 1901, S. 350; 4a, 1903, 8. S.'i— 89. — 
8:7S4, siehe BM 8g. 1901, S US. — 8: 787, 7i>l, siehe BM 63, 1905. S. 405. — 
8:788-794, siehe BM Sg, 1904, 8. 307; 63, 1905. 8. 316—317, 405—406. — 
8:795, siehe BM «3. 1905, 8. 317. — 8:797-798, riebe BM Sa, 1904:. 8. 307; 6a. 
1905, 8. 317. — 8 : 79», siehe BM 5g, 1904, S. 307. — 8 : 803, siehe BM 4g, 1903, 
8.208.— 8:812, siehe B!» 4a, 1903, S. 37. — 81 820, siehe BM 83, 1901, 8. 148; 3g. 
1904, S.307. — 8:825, siehe BM 83, 1901. 8. 148. — 8:832, siehe BM Sa, 1904, 
S. 203—204; ög, 1905, 8.211.-8:840, siehe BM 83, 1901, 8.148—149.-8:843, 
siehe BM 3g, 1902, 8.328. — 8:850, siebe BM 6g, 1905, 8.109-110. — 8:856,865, 
siehe BM 83, 1901, S. 149. — 8 : 876, 878, 870, siehe BM Ig, 1900, 8. 511. — 8 : 891, 
siehe BM 1», 1900, 8. 273. — 8:897, siehe BM 63, 1905. S. 406, — 8:898, siehe 
BM 4a, 1903, S. 37, 208. — 8 : 901. siehe BM I3, 1900. 8. 511. — 8 : »19, siehe 
BM 53, 1904, 8. 204. — S:VI11 (Vorwort), siehe BM Sa, 1902, 8. 142. — 8:IX, 
X (Vorwoit), siehe BM I3, 1900, 8. 511—512. 



J 



Kleiue ätitteilungeu. 



S15 



8 : », siebe BM «3, 1901, S. 3Ö9. — 3:10, liehe BM ]», 1900. 8. 516; 0.^, 1905, 
S. 211. — 3:11, siehe HM 43. 1903, S. 209. — S : 12, 17, siehe BM la, 1900, S. 512. 
— 3:23, Biebu BM Is, 1900, S. Slä; 4», 1903, S. 209. — 3:24, siebe BM 43, 1903, 
S. 209. — 3:25, aieho BM 43, 1903, S. 209. 399. — 3:26, siehe BM »3, 1901, 
S.3ä9. — 3:S», BLohe BM O3, 1905, S. 407. — 3 :45-48, J9, .^0, siehs BM lg. 

1900, S. 512~öia. — 3:(i3, siehe BM 7.i, 1906, S. 93-94. — 3:70, siehe BM «3, 

1901, S. Seo. — 3:H2, siehe BM S3, 1904, S. 308. — 3:100, siehe BM S3, 1901, 
S. 149. — 3:102, siebe BM «3, 1905, ä. 316. — 3:112, siehe BH 4a, 1903, 
8, 20S-210; 63, l'JOS. S. 318, — 3 : IIB, stehe BM I5, 1900, S. 513. — 3 : 117, siehe 
BMIg, 1900,S. 618. — 3:123, siehe BM la. 1900, B. 513; 4j, 1903, S. 399. — 3:124, 
siebe BM 83. 1902, S. 407—408; 43, 1903, S. 400. — 3i 120, siehe BM 4:i, 1903, 
S. 288. — 3: 131, fliehe BM 43, 19011. ÜJ. 210. — 3 : 151, siebe BM 33, 1902, S, 32S.— 
3:lfI7, 172-173, siehe BM 4;;, 1903, ä. 400. — 3:174, siehe BM »3, 1901, 
a. 149—150. — St im, siebe BM I3, 1900, H. 482, — 3 : 18»4, siebe BM Sa, 1902, 
S. 241. — 3:201, siehe BM I3, 1900, S. 513. — 3 : 20T, siehe BM I3, 1900, S. 519. — 
3:213, fliehe BM Sj. 1901, S. 160. — 3:218, idehe BM U. 1900, 8. 513.-3:220, 
siehe BM 33. 1902, S. 326. ~ 3:224, siehe BM I3. 1900, -S, 514. — 3:223, 22S, 
siehe BM S3, 1901, S. 150. — 3:200, siehe BM «a, 1905, 8. 211-213. — 8:232, 
siehe BM Ij. 1900. S, 514: 63, 1905, S. 212. — 3 : 244—245, siehe BM Sa. 1904, 
S. 205, 413. — 3:246, siebe BM Ig, 1900, S. 514; »3. 1901, 8.151.-3:230, siehe 
BM I3, 1900, S. 514. — 3 : 30», siehe BM 83, 1901 , 8. 155, — 3 : 330—331, siehe 
BM 3». 1902, ä. 341-242. — 3: 837, siehe BM 3i, 1904, S. 206. — 3:3r>5, 
siehe BM Tj, 1906. S. 91. 



8i3ti7. Da diese Seite die einzige Stelle der Vorlesungen ist, wo A. är- 
sAiiLD genannt wird, bemerke ich in betreff der Zeiten 27 — 30, daß Aiisaih-d 
in den späteren Auflagen der Nouveaux elemens de geomctrie seine Ansicht über 
Proportionen, wo negative Hablen vorkommen, modifizierte (vgl. z. Ü. die 7;weite 
Änitage, S. 19). Über die Gründe, welche äknauui dazu veranlaßt«, findet man 
Auskunft in einem von Phestet [Nouveaux elemens de mathirmUiques, Paris 
l(i89, S. 3(it) — 371) veröffentlicbten, wahrscheinlich aus dem Jahre 1676 her- 
rührenden, Briefwechsel zwischen ihm selbst und Aknaulu. 

G. Enbstböm. 



3:370-871, siehe BM Ha, 1904, 8. 303. — 3:382, siehe BM tt«, 1905, 
8. 213. — 3:384, siehe BM 63, 1905, S, 319. — 3:m siehe BM A3, 1905, 
S. 213. — 3:447, 4ö;>, siehe BM Sy, 1901, 8. 151. — 3:473, siehe BM 83, 1901, 
S. 154-155; 43, 1903, S. 401. — 3:477, 479, siehe BM «a, taOl. 8. 151-152. — 
3:497, 498, siehe BM Ss, 1904, S. 309, — 3:307, aiehe BM 83, 1904, 8. 71-72. 

— 3:521, siebe BM 83, 1901, S. 441. — 3:327, siehe BM 73, 1906, S. 95. — 
3:335, siehe BM 4», 1903, 8. 401. — 3:386, siehe BM 5», 1904, S. 206. — 
3 : 560, siehe BM 6.1. 1905, S. 319—321. — 3 : 565, siehe BM 83. 1902, S. 326—327. — 
3 : ■'i71, siehe BM %, 1902, 3. 327 ; 53, 1904, 8. 72. — 3 : 578, siehe BM 3^, 1902, 8. 327 ; 
33, 1904, 8. 309. — 3:58«, 609, siehe BM £3, 1904, 8. 309-310. — 3:014, siebe 
BM 43, 1903, 8, 89-90. — 3:fil6, siehe BM «3, 190-"), S. 214, 408.-3:636-637, 
siehe BM «3, 1901. 8. 441, — 3:«4«-«47, siehe BM 53, 1904, 8, 206-207. 

— 3:632, siehe BM S.-,, 1901, 8. 446; Ss, 1904, 8. 207. — 3:660, siehe BM 83, 
1901, 8. 441. — 3!e*i7, siehe BM «3, 1901, S. 441—442; au, 1904. 8. 207— 
208, 310. — 3:»S2, siehe BM «3, 1905, S. 408. — 3:680, siebe BM 5y, 1904. 
S. 208. — 3:689, «95, siehe BM 83, 1901, S. 442. — 3 : 736, siehe BM «,, 
1905, 8. 111. — 3:73«, 758, siebe BM »j, 1901, 8, 446. — 3:76», siehe BM 5». 
1904. S. 308. — 3:76«, 766, siehe BM «3, 1901, 8. «6-447. — 3:774, 798, siehe 
BM Äa, 1901. 8. 442—443. — 3:81», siehe BM «3, 1905, S 321. — 3:K45, siehe 
BM 83, 1901, 8. 447; 83, 1902, S. 327—328, — 3:84s, 881. siehe BM X:,, l'JOl. 
8. 448. — 3:882, siehe BM 83, 1901, 8. 447; 5;i. 1904, S. 414. — 3:h!HI. siehe 
BM 4.-,, 1903, 8. 401. — 3:892, siehe BM »3, 1902, 8. 143. — 3: IV (Vorwort), 
siehe BM »g, 1901, 8.443. 



2\fi Q, Evmtbom: Kleine Mitteüimgeii. 

Anfragen nnd Antworten« 

127. über den italieniechen Arithmetiker Giovanni Antonio da 
Oomo. In nmnem Aufsätze Nuove ricerche sul matematico Leonardo Cremosese 
(lliblioth. Maihem. 63, 1904, S. 326—341) hat A« Favaro einige Notizen 
ttlinr den italieuinchen Mathematiker Leonardo Cremomese oder Leonardo de' 
Antonii und »eine Hcbriften mitgeteilt. Indessen wäre es erwünscht, noch 
weitere Untersuchungen über diesen Mathematiker des 15. Jahrhunderts anzu- 
stitllftn, und fttr diesen Zweck könnte es nützlich sein, Aufschlüsse über einen 
liinhor fast unbekannten italienischen Mathematiker Giovanni Antonio da Como 
xu hüben. Noch I). Doncompaoni {Intorno ad un traüaio d'arümeHca stam- 
pato nel 147H; Atti delT accademia pontificia de' Nuovi Lincei 16| 
180», H. 517—511)) fand sich nämlich 1863 in der «Biblioteca del monasterio 
di H. Halviiiore de' canonici regolari Lateranensi'^ in Bologna eine (von Herrn 
Favauo nicht erwlihnte) Handschrift aus dem 15. Jahrhundert mit dem Titel: 
«Aritniotioa di (ho. Ant" da Como e Leonardo da Cremona.'^ Es scheint 
uImo, alM ob die zwei in dem Titel genannten Persönlichkeiten, von denen der 
btxtent wohl mit Leonardo de* Antonu identisch ist, vielleicht gleichzeitig ge- 
lobt batton, 

Ist t^ niögliüb, einige biographische Notizen über Giovanni Antonio da 
(I0M0 aufVtullndon? G. Eneström. 

Addition 4 la rtfponse 4 la question 110 sur les firöres Fran^ais. 
A U pago 40 du Bulletin de bibliographie, d'histoire et de bio- 
graphio matht^matique l (1855), on trouve le renseignement que les fir^res 
Fhanvmm t^taitMit uoveux de Ariiogast; le fr^re mort en 1810 est appele 
b\ Khanvaiss <^t 'IVuQrKM dit qu*il ^tait professeur ik l'^cole d'artillerie de 
Mi^>*<^iuH«, G. Eneström. 



Rezensionen. 217 



Kezensionen. 

L« Koiilgsberger. Carl Gustav Jacob Jacobi. Festsclinft zur Feier der 
hundertsten Wiederkehr seines Gehurtstages. Leipzig, Teuhner 1904. 
8» XVIII + 554 S. + Porträt + Facsim. JC 16. 

Ch, Lucas de Pesloüan. N.-H. Abel. Sa vie et son ceuvre. Paris, Gau- 
thier-Villars 1906. 8«, XIII + 168 + (1) S. + Porträt. Francs 5. 

Die Namen Jacobi und Abel gehören in der Geschichte der Mathematik 
fast ehenso sehr zusammen wie Newton und Leibniz; die gleichzeige An- 
zeige der zwei ohen genannten Bücher kann also von diesem Gesichtspunkte 
aus gerechtfertigt sein. Auch die Darstellungsweise ist in heiden Fällen in- 
sofern dieselbe, als die Schilderung sowohl der Lebensumstände wie der wissen- 
schaftlichen Wirksamkeit in eine einzige Abteilung zusammengeführt wurde, 
wo die chronologische Ordnungsfolge der Tatsachen oder Schriften maßgebend 
ist. Aber sonst verfolgen die zwei Biographien wesentlich verschiedene Zwecke, 
was man ja auch schon aus den Angaben über die Seitenzahlen erraten kann. 

Herr Königsberger hat nicht nur die jedem Fachgenossen unmittelbar 
zugänglichen Quellen zu Rate gezogen, sondern noch dazu teils Briefe und 
Mitteilungen von Seiten der Angehörigen Jacobis, teils andere ungedruckte' 
oder schwer zugängliche Aktenstücke benutzt, und sein Buch bietet darum eine 
Fülle von neuem Material zur Biographie Jacobis. Herr Lucas de Pesloüan hat 
dagegen, wie er selbst im Vorworte hervorhebt, all sein Material aus den ge- 
sammelten Werken von Abel sowie dem , Memorial du centenaire" und der 
bekannten Arbeit von C. A. Bjerknes entnommen. Er hat sich so wenig 
darum bekümmert, weitere Nachforschungen anzustellen, daß er S. 109 die 
.Recherches sur les fonctions elliptiques; seconde memoire* als verloren angibt, 
obgleich es allgemein bekannt sein dürfte, daß diese Abhandlung von Herrn 
G. Mittag -Leffler im Jahre 1894 wiedergefunden und im Jahre 1902 in den 
Acta Mathematica (26, S. 1 — 42) zum Abdruck gebracht wurde. 

Die Arbeit des Herrn Königsberger hat sieben Abteilungen, nämlich: 

1. Carl Gustav Jacob Jacobis Jugendjahre 1804 — 1821 (S. 1 — 5). — 

2. Jacobi als Student an der Universität in Berlin von Ostern 1821 — Ostern 
1825 (S. 6 — 17). — 3. Jacobi als Privatdozent an der Universität zu Königs- 
berg von Ostern 1826 — Dezember 1827 (S. 18 — 58). — 4. Jacobi als 
außerordentlicher Professor an der Universität in Königsberg vom Januar 1827 

— Juli 1832 (S. 59—136). — 5. Jacobi als ordentlicher Professor an der 
Universität in Königsberg vom Juli 1832 — Michaelis 1844 (S. 137—330). 

— 6. Jacobi als Mitglied der Akademie in Berlin vom Oktober 1844 bis 
zu seinem Tode am 18. Februar 1851 (S. 331—523). — 7. Rückblick (S. 524 

— 543). Am Ende findet sich ein Personen-Register (S. 544 — 549). 



218 



ReiöDBioi 



Daß Herr KüNiCiSBEBciEu liioGtchtlich der Würdigung der Wissenschaft] iohen 

Wirksamkeit Jacobjs nichts weseutlich neues bieteu kann, ist leicht zu ver- 
stehen, aber auch wenn mau die berühmte Gedächtnisrede 7on Dikichlet ge- 
leseu bat, kaon man mit Vergnügeu vom „Riickbliuk'- des Herrn KöNUiSBERiiER 
Kenntnis nehmen. Indessen bat, wie schon bemerkt wurde, die KÖniusbcquer- 
sche Arbeit seinen entschiedenen Wert hauptsächlich als eine zuverlässige und 
übersichtlicb geordnete Molerialsammlung zur Biographie JAronis, und von 
diesem Gesichtspunkte aus braucht sie keine besondere Empfehlung. 

Auch über Ja(jusis inatheruaiiscb- historische Forschungen bringt die Arbeitin- 
leressante Aufschlüsse. Daß sich Jacoui schon als Jüngling eingebend mit solchen For- 
schungen beschäftigt hat, wußten wir ja schon aus dem Aufsiitxe von Fk. Hui.tscu 
im Kepertorium der literarischen Arbeiten aus dem Gebiete der 
reinen und angewandten Mathematik {ß. Leip/.ig 1879. S. 324—334), 
und daß er sich immer für dies Forschungsgebiet interessiert hat, ist auch wohl 
bekannt, aber Merr Köniosbbrüer gibt uns noch weitere Belege hierzu (vgl. 
S. 386 — b!'l, 414, 473). Freilich macht es einen etwas eigentümlichen Ein- 
druck, wenn man S. 49fi liest; .Jacobi bespricht ... die .. im Jahre 1503 
gedruckte kleine Schrift Opusculum etc., worin schon die Regeln für die Aus- 
Kiehung der Kubikwurzeln gegeben werden". Bekanntlich ist die betreffende 
kleine Schrift gerade der Algorismus des Sackahosco, der etwa 1250 verfaßt 
wurde, so daß die Erwähnung des Druckjafares 15U3 nicht nur bedeutungslos 
ist, sondern sogar irreleitend sein kann; der nicht sachkundige Leser könnte 
nämlich leicht die Auffassung bekommen, daß im Jahre 1603 die Ausziebung 
von Kubikwurzeln etwas ungewChulicbes war. 

Wenn es also klar ist, daß und warum die Veröffentlichung der KÖkigs- 
BEiwEKSchen Arbeit durchaus berechtigt ist, so liegt die Sache etwas anders 
inbetreff der neuesten Biographie Auei.b. Daß der Verfasser nicht die Absicht 
hat, den Lesern etwas neues zu bieten, gibt er schon im Voi'worte an, und daU 
er eigentlich keine objektive Schilderung der Bedeutung seines Helden bieten 
will, sieht man am deutlichsten aus der folgenden gelegentlichen Bemerkung 
inbetrefi der Bjkkknbs scheu Biographie (S. 147^148): ,Ce qui fait la beautä 
de son livre, c'est le sentiment d'affection pour son compatriot«, dans leijuel il 
est ^crit. Dieu nous pröserve de l'historieu tjui n'est d'nucun temps, ni d'aucun 
pajsl", sowie aus den zwei folgenden Zeilen des Vorwortes (S, XIl): ,0n ex- 
cusera ce qu'il ; a dans ce travail d'imaginatif, de romanesque meme*. Aber 
meiner Ansicht nach hat auch dos Buch des Herrn Lucas ue Pesloüan eine 
Existeuiberechtigung, und zwar als ein Versnch, die Bedeutung AiiBt.s für das 
gebildete Publikum gemeinverständlich darzulegen, und von diesem Gesichts- 
punkt« aus wäre es gut, wenn dos Buch recht bald viele Nachfolger bekäme 
Freilich wllre es /u wünschen, daß solche Bücher vor dem Erscheinen von einer 
kompetenten Persou durchgesehen werden, so daß nicht unnötigerweise Schreib- 
fehler oder andere Ungenauigkeiten vorkommen. Ziemlich schlecht sind von 
Herrn Lucas de Pesloltan einige Personennamen behandelt, so z. B. schreibt 
er (S. 18, 19, 20, 34, 127, 167) .Shumacher", obgleich er weiß (S. 35, 100, 
107. 112, 113), daß der Name Scuumal-iiek heißt, ebenso schreibt er (S. 50, 52, 
54) .Litrow' statt LrrrKOw und (S. 65) .Gergone' statt Gekuokng. Inbetreff 
der Dngeuauigkeiten erwähne ich hier zwei Stellen, worauf mich ein geschützter 
Mitarbeiter der Bibliotheca Uathematica aufmerksam gemacht hat. 



Reseniionen. 219 

S. 14. Hinsichtlich der Bemerkung von Abel in einem Briefe an Le- 
gendre: ,,Je ne peux m'emp^cher de transcrire le th^or^me suivant qui s j 
[chez Legendre] trouve et qui est, certes, le plus merveilleux des Math^matiques'^, 
fügt der Verfasser hinzu: »Ce th^or^me sur la th^orie des nombres n*a plus 
rien qui nous ^merveille aujourd'bui*. Es handelt sich hier um Legendres 

Näherungsformel y s=3 aqooo ^ür die Anzahl der Primzahlen < x 

log X -— 1,UOODO = 

Aber der Nachweis dieser Gleichung gelang weder Gauss, noch Abel, noch 
DnucHLET, die sich alle drei damit beschäftigt haben; erst vor einigen Jahren 
hat Ch. de LA Yall^e Poussin die Frage erledigt, und dabei die Legendre- 
sche Gleichung modifiziert. 

S. 97. Hier wird ein wohlbekannter AsELScher Satz über unendliche 
Reihen in folgender ofiPenbar unsinnigen Form zitiert: gUn ^tant un terme 
d une s6rie et (p (n) une fonction du rang n, on ne saurait trouver une teile 
fonction q) qui permette d'affirmer que Z Un soit convergent quand ii„ (p (n) 
tend vers z6ro*. Aber das tut z. B. q) (w) = n. Der springende Punkt ist, 
daß für lim Unq>{n) = und nur hierfür 27 ti^ konvergiert. Überdies 
sollen die Un > sein. 

Ein Personen-Register am Ende des Buches wäre sehr willkommen. 

Stockholm, G. Eneström. 



220 



Nenerachienene Schriften. 



Neuerschienene Schriften. 



Das Zeichen * bedeutet, daß die betreffende Schrift der Redaktion nicht vorgelegen hat. 



Autoren-Register. 



Almagiä, 16. 
Amodeo, 13. 
Appel, 15. 
fialdanf, 31. 
Ball, 10. 
Berr. 33. 
Bliedner, 40. 
Bobynin, 11. 
Bosmans, 20. 
Cantor, 8. 
Carracido, 51. 
Oayley. 43. 
Claparede, 5. 



Duhem, 14. 

Bnestrom, 2, 6, 25, 26, 29. 
Freund, 10. 
Gmeiner, 49. 
Graf, 43. 
Haidane, 32. 
Harzer, 18. 
Heiberg, 20. 
Hellmann, 28. 
Heron, 21. 
Kepler, 31. 
Krazer, 4. 
La Cour, 15. 



a) Zeitschriften. Allgemeines. 

Abhandlungen zur Oeschlohte der mathematischen 
Wissenschaften 18 (1904). [Rezension:] Monatsh. 
für Mathem. 17, 1906 ; Lit.-ßer. 37—38. (R. v. 8t.) 

[1 

Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für 
Geschichte der mathematiechen Wissen- 
schaften. Herausgegeben von 6. Ehe- 
STRÖM. Leipzig (Stockholm). 8^. [2 
73 (1906) : 1. 

Bollettino di bibliogiafia e storia delle 
scienze matematiche pubblicato per cara 
di G. LüRiA. Torino (Genova). S». [3 
1906: 1. 

Verhandlungen des dritten internationalen Mathe- 
matiker-Kongresses, herausgegeben von A. 
Krazek (1905). [Rezension:] Aei^ For/f, Americ. 
mathem. soc, Bulletin 12,, 1906, 409—410. 
(U. S. WniTB.) [4 

CoDgres international d'histoire des sciences. 

Ulme section. Tenue ä Geneve du 4 au 

8 septembre 1904. Kapports et comptes 

rendus publies par les soins de Ed. 

Claparkde. Geneve 1906. [5 

80, VIII S. -h S. 775 — 959 + (3) 8. + Porträt 
(Paul, Tannkry). — [Rezension Bullet, d. 
sc. math6m. 8O2, 1906, 46--50. (J. T.) 



Eneströni, G., Die Geschichte der Mathe- 
matik als Bestandteil der Geschichte 
der Wissenschaften. [6 

Biblioth. Mathem. "3, 1906, 1-5. 



Landau, 35. 
Lebon, 17. 
Loria, 3, 34. 
Lucas de Pesloüan, 41. 
Marcolongo, 38. 
Meier, 22. 
Mentr6, 7. 
Mikami, 18. 
Müller, Conrad, 37. 
Rados, 45. 
Schläfii, 43. 
Schöne, H., 21. 



Siebert, 15. 
Stäckel, 46. 
Streit, 42. 
Sturm, A., 9. 
Teixeira, 12. 
Valentin, 36. 
Vogl, 27. 
Vogt, 19. 
Whittemore, 49. 
Wiedemann, 23, 24. 
Wieleitner, 44. 
Zanotti-Bianco, 39. 



Meiitr^9 F.9 La simultaneitä des d^coavertes 

Bcientifiques. [7 

Deuxiöme congr^ international de Philosophie 
(Qen^ve 1904), Comptes rendus 190d, 916-924. 

Cantor, M., Vorlesungen über Geschichte der 
Mathematik. ■■ 1S(1894). [Kleine Bemerkungen :] 
Biblioth. Mathem. 7], 1906. 80—84. (G. Enk- 
STRÖM.) ■■ 23 (1900). [Kleine Bemerkungen:] 
Biblioth. Mathem. 73, 1906, 85—93. (O. Eni- 
STRÖM, H. B08MAK8.) ■■ 3> (1901). [Kleine Be- 
merkungen :] Biblioth. Mathem. 73, 19U6, 93—95. 
(O. EnkstrOm.) [8 

Sturm, B. , Geschichte der Mathematik (1904). 
[Rezension:] Monatsh. für Mathem. 17, 1906; 
Lit-Ber. 36-37. (R. v. St.) [9 

Ball, W. W. B. , Histoire des math^matiques. 
Traduite par L. Frbund. 1(1906). [Rezension:] 
L'enseignement mathöm. 8, 1906, 242—244. (H. 

SUTBB.) [10 

Bobynin, T. V., Methode experimentale 
dans la science des nombres et principaux 
r^sultats obtenus. [11 

L'enseignement mathöm. 8, 1906, 177—190. 

Teixeira. F. G., Tratado de las curvas especiales 
notables ( 1905). [Rezension :] Deutsche Mathem.- 
Verein., Jahresber. 15, 1906, 282-283. [12 

Aniodeo, F.^ I trattati delle sezioni coniche 
da Apollonio a Simson. Discorso inaugu- 
rale della cattedra di storia delle scienze 
matematiche della regia uniyersita di 
Napoli (16 dicembre 1905). [13 

Napoli, Istituto lecnico, Annali 23, 1905. 51 8. 

Duhem, P., Les origines de la statique. I (1905). 
[Rezension :] Bollett. di bibliogr. d. sc. matem.«. 
1906 1.3-18. (G. Vailati.) — Bullet, d. sc. 
math6m 30,, 1906, 150—160. (J. T.) [14 



Neuerach ienene Schriften. 



^] KOOBtl 

«1. |Bt. 



1. 17, 



11, IBbi 
19Cd; 1 



Alu^k^^li, B., U dottrlna dolla 

«"t*^!" antichit^ e nnl medio evo- [16 
rs--:TMna. Amüd. d.Lincei, Komorie Sj. 19a\ 

Lekk«» ^1, j;,^ Ponr Thiftoire des hypothi:aeB 

^■»»;Är 1» aatuic des teches dn boIoÜ. [17 

^K^^^^% nxir'me cohrtc» international de iibllo- 

^«:>'Kifaie lOen^Te 19011. Comntra rendiu \9Xi, 

5* * **- ^^ mi. Y., l>n reftding P. HanwrR papar 

***=»- the tnBthematica b Japan. [18 

l^^^^ulschc MatUem. -Verein., Jabresber, IG, 
»•^Njt, aia-W2. - [Beiuarkang :) Daselbst 15. 
»-■^"Cl 330. (P. H-HiKM.) 



\j) OeBohlchte des AltertumB. 
^'%, n., Haben die ulten Inder 
"■^i- thagorei sehen Lehrsatz und 



d) aeBühichte der neueren Zeit. 

EoeslrAm, G-, Hat Tartaglin seine Lögung i 
der kiibiicbeo Gleichung Tun del Ferro 

entlehnt'/ ['2S 

Bibllolb. Hnthem. 1,, 1900, 3B-43. 

Le .De arte macna' del 
[30 1 

Bibliolb. Hatbem. 7,. 1906. '(4-ltl. 
*BaldAiir, €1., Keplers Neue Aitrunouiie 
im AoBzuge und io l'borsetzung der 
wicbtigsten Äbtcbnitle. Freiburg i. flc 
190 j. (31 

4", 40 8. — Gynina9i»1-Pn)(;»niin. — |Be- 

ncQsiQn:] ZeitMbr, fUr nathem. Unt«rr. 31, 

lUO;, 320-221. lU, KiL'UTiE.) 

'Ilftldaiie, E. ft., Deackrtcs, hiB life and 
times, New York, Dutton 1905. [32 



»-«».tiouolD gekannt; [19 

^^Ibliotb. Hatbm. T], 1906, »-33. 

^ *^^rt. J. h: UatbemaUBcbea eu Arlstutelta 

*.*?>*'«> ia««enPiioii:l Monalub, fUr Hfttbfm. 17, 

»«**jfl; Ltl.-Bar. 37. (R. .. Si.) |'M 

**^(»sil>vii>en.Ill. VcrmManiigilebreuiidDlopIra. 

« K-icoKliob Uud Deoteoh von H. Sck»»« (lÄB-. 

t K.«ieiialDn:| Blbliotb.DaUiem.Ti, 1906. 9H- 104. 

- '- -;T.M.t 121 

*^S*r, B., De PBeudo-Ileronianis. ['22 

Stbeiniacbe» Huaenm fdr Pbilulagie Ol,. 1604, 



c) Oeachlchte dea Mittelalters. 

^^ t^ileinaun, E., HeiträKC lur Geschichte 

■"1 er Nntiirwiaseu sc haften. IV. über 

^Vageu bei den Arobcro. V. Anszöge 

a-118 arahi gehen Encjklupftdten und .lüde- 

»•««. Vi. Zur Meubanik und Technik bei 

*leu Arabern, 123 

KrUiigfT,. Pbysik.-MediE. 8oci«Ut. Sitxunga- 

Iwr, »7, lÄÖ, J88— iS5; K, 19t«, l-SB. 

^ 1 «deniaiiii, E., tjbei die Lage der MÜch- 
BtraSe nach Ibn %\ Haitam. ['24 

fllriiM iLeipilg) 1906. 3 H. 

"•»•stnlni, O., ("her Spuren der komple- 
»uentäreD Multiplikation bei arabischen 
.Mathematikern- ['25 

llilplloib. «aihcin, 7„ lOOfl. »5-97. - Anfrage. 

'^■»•fdritn«, ii., über die „Domoustratio 
•Surdani de algoriBmo*. [26 

Ubliatb. Kutheui. I,. 1906, M-37. 

~«>?I. 8., Die PhTBik llogor Bacos. 

CU. Johrh) Erlangen 1906. [37 

». X + (11 4- 106 + (1(8. - iHaugural Dissoi- 

**«"llffltBii, 0., I'bor die Kenntni» der 
«n»ßn «tischen Deklination vor Cliristoph 
lelumbus [28 

»•LMTalD^, Zeiluchr. 1«K, 110—149 + Tthi. 



[4.50 d. 



Berr, U.y Gassendi, hietorien des bi 

[33 

Deiul^iDD congtt» intt-rnatlunal de iibilosopbla 
(Oen^va 1904), Coniplea rendus 1905, BftS— föS 

Lorla, 6., Per la preistorin della teoria 
delle trasforinaxioni di cuntntto, [34 . 
Iiibliotb. Halbem. 1,, I 

Laudan, E., Euler nnd die Funktional- J 
gleichuug der HiomuiQ sehen Zetafuak- j 

Biblloth. Uatbem, 7^, IBOB, 69-79, 

Taleotln, ti-t Leonbard Gulere Wohnhaut ] 
in Berlin. [36 | 

Deeificb« HaUiem.-Veretu.. J*br«sber. II, i 

1906, 370-271. 
Kllltr, Ceind B., ... _ 

UattaHmatlk an der Dnivsnitlil OfiltiDgBn In* ] 
B. JibrbuDderl (19 4). [Kenuaion ;J Monittsb. 
niT Matbem. 17, läW; Lit -Ber. 37-% (B. 
,. St ) [37 

Marci>l«n|rO) K., Sul (eorema della c 
poeidoue delle lotazioni iitautanee. , 
Appunti per la storia della meccanioi 
seoolo XVm. [3S 

BolletL di bililiogr. il. Bc matsm. 9, 1906, .f 

Zaiiottl-Blanco, 0., I concetti modemi 
snlla Ügura matematica della terra 
Appunti per la stvria della geodeeia. 
lll-IV. [S9 

Torini,, Accad, d. sc , Attl [sc, urntem.) 41, 

isus-ivoe, 21—43, -äR-aos. 

BIKdaer, PliUDsai>hie i 

I1U04J. [l!s2>BBleD:J 
Dnterr. «7, 190«. 2ia 

Abel, 
ulhier- 

Villara 1906. [41 

»■, xrn + Iß8 + (1) 8, + PortrUt, - [S 
'Streit, H., Die Fortschritte auf dem 
Gebiete der Tbermoclokttizit&t. III V 



.. _ _ bri FtIm 

Zcitichr. fUi matbem, 
(H. Bii-'KTEa.) 140 



Lacag de PesloUati, Ch., 



em ^^M 



222 



NeueiBchienene Schriften. 



der Mitie des vorigen Jahrhunderts bis 
zur Neuzeit. Wittenberge 1905. [42 

8», 104 S. — Realschal- Programm. — [R^ 
zension:] Zeitsohr. fär mathem. Unten. 37, 
1906, 216—217. (Stxokmakx.) 

Graf. J. H., Briefwechsel von Ludwig Schläfli 
mit Arthur Cayley (1905). [Rezension :] BoUett. 
dl bibliogr. d. so. matem. 9, 1906, 29. (O. L.) 

[43 

Wieleitner, H., Bibliographie der höheren alge- 
braischen Kurven 1890—1904 (1901). [Rezension :] 
Zeitschr. für mathem. Unterr. 87, 1906, 295—296. 
(H. Wiklsitkkb). [44 

Bados^ G., Rapport sur le prix Bolyai (1906). 
[Wiederabgedruckt:] Po^mno, Circolo matem., 
RendiconÜ 21, 1906, 367-385. [45 

Släckely P.9 Das Archiv der Mathematik 
und Physik, ein Geleitwort zu den ersten 
zehn Bänden der dritten Folge. [46 

Deutsche Mathem. -Verein., Jahresber. li, 
1906, 323-329. 



e) Nekrolog^. 

Franz Michael Kariiaski (1830-1906). 
Wiadomosci matem. 10, 1906, 123. 

James MiUs Pierce (1834—1906). 

New York, Americ. mathem. soc., Bulleti 
1906, 417. — Science 23s, 1906, 637-638 
1906, 40-48 (J. K. Whittkmokb). 

Otto Stolz (1842—1905). 

Monatsh. für Mathem. 17, 1906, 161 
(J. A. OxjciHKB.) — Deutsche Mathem.-V( 
Jahi^ber. 15, 1906, 909—322. (Auasn 
dem Maohrufe von Gmkikek mit hinzngefl 
Schriftenverzeichnis.) 

f) Aktuelle Fragen. 

Enquete sur la methode de travail 
math^maticiens. IV. 
L'enseignemet mathem. 8, 1906, 217— 3S 

CarracidOy J. R.^ Catalogo intemac 

de literatura cientifica. 

Madrid. Acad. de oiencias, Revista S, 
587-602. 



Wisse neuLiirtlicbi! Chronik. 



WiBsenschaftliche Chronik. 



Ithaca zum 
der „Georgia 

II ProfesBor 



Ernenntingeu. 

— ProfeBBorW.P.ALEXEJKnsKij in Charkow 
zum ProfoBBor der Bogewandtev Mathematik 
am TechuolDgiaabon Inatitut in l'uniak. 

— Dr. K. B. Allen iu Worceater zum 
FrofeBBOi iler Mathematik am KenyoD 
College in Gambier, Ohio. 

— Dr. H- T. Bahnks an der .Mc Gill 
uuiverBity' in Montreal zum Professor der 
Physik daselbBt. 

— Dr. n, S. B. 
Universität, Cal. 
matik daaelbBt. 

— Lektor T, Buoi.kn in F 
ProfeSBOT der Mathomati 
Teisitüt in Limd. 

— Dr. C. E. C-LPiTT» 
Piofeasor der Mathematik 
BChool of toclinology". 

— Dr. 8. Ei'STEKninBoatder' 
der Mathematik an der Universität von 
Colorado daeelbet. 

— A. S. EvK an der „Mc Gill univeraity"' 
in Montreal zum Professor der Matliematik 
daaelbsl, 

— Dr. G. i.K Fban.:his in Cagliari mm 
Profeaiior der Mathematik an der L'ai- 
versib&t dnaelbet. 

— Profeesor G. l-'i bini in Catanift zum 
ProCeeeor der Mathematik an der Üni- 
Tersität in Genua, 

— N. H. Geukük zum Professer der Mathe- 
matik am , Maasach ussetta inetitute of 
technologj'' in Boaton. 

— Dr. J. Gbauau zum ProfesBor der 
Mathematik am (Williams College". 

— Privatdoient F, Griiseb in Bern sinm 
Professor der uiathematiBuhon Phjsik an 
der Universimt daeelbat. 

— Dr. i. G. H.\iini am „Williams College" 
«im Profeesor der Mathematik daselbst, 



— Dr. G. N. llA.Krss in Ithaca «um Pro- 
fesBor der Mathematik an der UniverflitSt 
von Illinois in Urbana. 

— ProfeaBor H. Jitonr zum Direktor der 
Sternwarte der „Columbia uiiirersity' in 
New York. 

— Dr. E. Ka-ner in New York lum Pro- 
fessor der Mathematik au der „Columbia 
uuivertity* daselbst. 

— Dr. J. L. LovK in Cambridge, Mass, 
zum FrofeBsoc der Mathematik an der 
„Harvard universitj" daselbst. 

— I'rivatdozont A, Mauit.^k in Berlin 
zum ProfeiBUT der Astronomie und mathe- 
matischen Geographie au der HandeU- 
h och schule daselbst. 

— Privatdozeut F. MiRtEMs in Berlin 
zum ProfoHBor der Physik an der Handels- 
hochEchule daselbst. 

— Profeaaor G, A.Mu.i.Eitander „Stauford 
univeraity" zum Professor der Mathematik 
an der Universität von lllionis in Urbana. 

— Professor J. A. Mili.bb iu Bloomiugton 
zum PrüfesBOr der Mathematik und Astro- 
nomie am .Swarthmore coUege", 

— Dr. J. M. Pi..,]t in Manöver, N. H. zum 
Professor der Mulhematik am „Dartmoutb 
College' daselbüt. 

— Dr. J. T. P.,BTEK am ^Williams coUoge" 
zum Professor der Physik am .Bandolph- 
MacoD coUege". 

— Professor N. S*t.TVKoirif in Kiew zum 
Professor der Matbemutik an der Uni- 
vereität in Charkow. 

— ProfesBörS. E, Slocü« in Urbau» zum 
Profeaaor der angewandten Mathematik 
an der Universität in Cincinnati. 

— Privatdozent J. Stark in Gültingen 
tum etatsmäßigen Dozenten der Physik 
an der Technischen Hochschule in Danzig. 



h 



224 



WiBsenschaftliche Chronik. 



— Dr. II. F. Stkckkk am „Pennsylvaula 
iStute College* zum ProfesBor der Mathe- 
matik daselbst. 

— Professor W. A. Stekloff in Charkow 
zum Professor der Mathematik an der 
Universität in St. Petersburg. 

— Professor K. B. van Vi.kck in Middle- 
towu, Conu. zum Professor der Mathematik 
au der Universität von Wisconsin. 

— J. K. WiiiTTEMuiiK in Cambridge, Mass. 
zum Professor der Mathematik an der 
„Harvard uuivcrsity'' daselbst. 

— Privatdozent G. Wik<j»ari)t in Aachen 
zum Professor der Mechanik an der Tech- 
nischen Hochschule in Braunschweig. 

Todesfälle. 

— FiiiKi»Ri('ii HrLT.««ii, früher Rektor der 
Krouzschulo in Dresden, geboren in Dresden 
den 22. Juli 1S33, gestorben daselbst den 
6. April 1906. 

— FuANz Mit iiAEL Kahi.in.ski, frühcr Pro- 
fessor der Mathematik und Astronomie an 
der Universität in Krakun, geboren in 
Krakau den 4. Oktober 1830, gestorben 
daselbst den 21. März 1906. 

— Kari. Patk, früher Professor der Physik 
an der Universität in Königsberg, geboren 
in Iluiiuover den 20. Januar 1836, ge- 
storben im Mai 1906. 

— (ieor<;e Ai.itERT Wkntworth, frülicr 
Trofessor der Mathematik am l'hillips 
Exetcr acadcmy, gestorben in Exeter den 
24. Mai 1906, 71 Jahre alt. 



I 



I 



Yorlesungen Aber Geseklehto der 
mathematischen WIsseiiBeluiften. 

— At ihe „Columbia univeisity* (New 
York) Professor D. E. Smitu will d^irer 
during the academic year 1906 — 1907 a 
course (two lectures each week) on the 
history of maihematics. 

— An der Universitfit StiaBlnirg hat fto- 
fessor M. Simox für das Sommenemeetoc 
1906 eine zweiständige Vorlesung über 
Geschichte der Mathematik im Mittelalter 

angekündigt. 

— At the university of Wisconsin (Madi- 
son) Professor G. S. Slichteb will deliTer 
during the summer session 1906 a conzae 
(two lectures each week) on the hiatozy 
of mathematics. 



Yermisehtes. 

— Der Vorstand der Deutschen Math^ 
maiiker- Voreinigung hat beschlossen, in 
diesem Jahre ein ausführliches Mitglieder^ 
Verzeichnis mit biographischen Notiaeii 
herzustellen, und für diesen Zweck hat der 
Schriftführer Herr A. Krazeb einen be- 
sonderen Fragebogen an die Mitglieder 
versandt. Da die Vereinigung am Anfange 
des Jahres 664 Mitglieder hatte, von denen 
freilich etwa 30 nicht Personen sondern 
Institutionen sind, muß ein solcher bio- 
graphischer Spezial-Kalender von grofiem 
Interesse werden. 



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ZEITSCHfilPT FOK GESCHICHTI 

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^.THEMATISOHEN ■WISSENSCHAFTEN. 



neHAOSOKOKlIEH 



GUSTAF ENE8TRÖM 



J. rOlOE. 7. BANS. 3. BEFT. 

im It tSXTFUlIIlLKN 



AOBOBOIJBini AU BC. rilllUt'Ali l»07. 



LEIPZIG, 

BBDOK DSD VXBLAO VOM B. 0. TIDSNIB 
1!)0T. 



BIBLIOTHEGA HATHSUATIGA. 

^UlfflCSBtn fItB 6BfiCHIC8TB USB S&TflnUIISCHSN VUSBHHOStfTOI ■ 
»KITTI rvlVL 

ÜBiMuiraKCben *vn B. CimMb in dioekholm, Gi«ltiiRg«tBa IT^ 
Dnefc ■Uli VftrtkK raa B. 6. IVvhfler in Letpiig, I 



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INHALT DK8 VüRLIEQSNDEN USrTBB. 



'11 Afftagt MM OiMMra _ PorhniMym 4b«r 0eftM(Aie 
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UMktdU* «M lUIUUlM*. - Clusbhhi« te wtm Sali - Kakrnlnca. - 
UtnitlU rn««n. 

K.-ti I TbaiaanA« a*ii«iiiftttMta • UtanMute 

W * VditH-raiicnit. — TkImsm«* D^M 

(.1 ! . 




T. L HuTH^ The fragment of AnthemiuB on burning t 



The fragment of Änthemius on burning mirrors and the 
„Fragmentum mathematicum Bobiense". 

By T. L. Heath in London. 

The fragment of ÄNTHEMd!» (6th. v.. A D.) on burning mirrors is 
the Hubject of frequeot reference in books dealing with the history of 
Greek geometry. But it ia soraewhat innccessible, sinee it is not every 
ooe who can consult the original edition of it by L DlFirY (1777) or 
the reprodiiction in the Memoirea de l'acaderaie des inscriptions 
et des beließ lettre« [de Harie] 42 (1786), p. 392—451, or even the 
reprint of the Greek text in A. Wi-ätebmann'b UaQaöo^oyQäifiot (Scriptores 
rerum mirabUium Graecl), BraimBchneig 1839, p. 149 — 153. The resiilt 
ia that the actual contenta of the fragment appear to be little known or 
even completely overlooked, although the firat and third portions of it 
{ed. Westkrmann, p. 145 — 152 and p. 157—158) niake it a document of 
great importauce in the history of conic sections. The objeet of thie 
pMper is to make these extracts once inore aceessible, to draw attention 
to the points oF gri^atest historical interest, and incidentally to eon- 
sider afreah the retation (if any) between änthemu's and the Fragmen- 
tum m(Uhematicum Bobiense, as to wbich reference should also be made 
to Hkihkros artiole in the Zeitaehrift für Mathematik und Physik 
28 (1883), Hiat-litt, Abt. p. 121 — 129. 

The following is a literal translation of the fragment of Anthemiiis 

Ifar US it relatea to the conic seetiona. 
hm 
.-■ 
■igl 
« t< 
■Mb 



„I in a given spot io conirive that a ray of the mn shall faU, 

t movitxg axcag, at any hour and season. 
„Let the given apot be that at the point A |Fig. 1], and through 
[ lot A meridiau atraight üne be drawn parallel to the borizOQ, the 
■ight line] reacUing to the hole or window through whieh the rays 
yr« to b« ciirried to A, us AB. 

Mbtlotheu MMbMnitK'i. Ilt Folg. VII l'> 



22r> 



T. L. Heath. 



Q\ 




jy 



\ 



Fig. 1. 



Let HC be drawn 
through B at right angles 
io AB %o that it will he 
equinoctial. 

„knA let there be also 
through the point B another 
straight line BD belonging 
to the Summer solstioe, and 
likewise let BE through B 
be a winter-ray. 

y^et there be taken, at 
a suitable distanee from B, 
according to the size that 
we wish to make the in- 
strumenta on the winter 
straight line first, a point F, 
let FA be joined, and let 
the angle BFA be biseeted 
by tho straight line FG, the point ß being coneeived between the winter 
and the equiucetial rays, as [lying] on the bisector of the angle EBCj 
and GF being produeed as for as the point H. 

„If tlien we conceive a plane mirror in the position of the straight 
line (}F, I say that the ray BFE faUing on FGH will be reflected to 
tlie })oint A. 

„For, sinee the angle EFG is equal to the angle GFA, and the 
anj^le f^FG is equal to its vertieal angle II FB, it is elear that the 
anirle (rFA ia also equal to the angle HFB. 

,/rherefore the ray BF will be reflected, at equal angles, to A in 
the straight line A F. 

„Siniilarly also we sliall eoutrive that the equinoctial ray is reflected, 
in the tollowint^ manner. 

„Let the straight line GA be joined; and, as it were drawing a 
eirele with centr«» and distanee, let GK [with its extremity K^ on the 
strai^rht line BC be made equal to GA. 

,,An<] siniilarly let the angle KG A be biseeted by the straight line 

ULM euttinti: the straight line 11 KC in L, and teruiinated at the point 

.1/ hy the straight lin»» hisecting the angle CBD\ and let L^ be joined. 

„Th«Mi, sinee GK is equal to GA, aud the angle KGA is biseeted 

bv the straifjht line GLM, 

„thereture the base KL is equal to LA^ so that the angle KLM 
is also equal to the angle MLA. 



Tbe frogmeut <il' Aulbemius oii buraiug i 



2271 



,,But the angle KLM is equal to the angle GLB, l'or they are 
verticai; therefore also the angle MLA is eqnal to the angle GLB. 

„Hence, if sirnüarly :i plane uiirror be poneeived, GLM, belng con- 
tinuona and connected with the aforesaid iiiirror GEH, the eqninoctial : 
my LB will be reflected to Ä along the straight üne LA. 

„Sirnüarly. doing the same with the straight Une DB, we Bhall | 
prove that the summer ray ISN falling on the plane mirror through ' 
MOP is reflected to Ä along the straight line OA 

„If therefore we eoneeive at the point B a hole symnietrical aboot 
the same centre, all the rays falling through the hole, that is, through 
the point B, upon the said inirrore eontinuous with one another will be 
reflected to the point A. 

„ßut it is possible also, by contlnually bisecting the said angleg, 
and proceeding in the same way by meana of more and smaller niirrorB, 
to describe the line HFGLMOP which, if it were eonceived to be 
carried round BA as axis, will form the eo-called pot^ahaped {K^ißaroeiöäg) 
mirror, which, being bisected and covered with a lid parallel to the 
horizon, and receiving the raya through B only. the point at the hole, 
will send them, whatever their direction, to the point A. 

„But, in Order that we may not bare to construct and pnt together con- 

ttuual diTiBiona and plane niirrors " (here there are gaps in the text, the 

probable effect of the passage being, „<we will show how>, immediately after 
the drawing of the straight line itself [as A B]. a surCaee of irapact can 
be constructed to it, ao aa to make a mirror with the required property'"). 

„For, if we eoneeive QF made eqnal to the straight line FA, the 
straight line QG itt equal to GA. 

„Since, then, the straight line QF was made equal to FA 

therefore the whole QB is equal to KB, because QG is eqnal to GK, i 
and the angle QBK is bisected; therefore BK is equal to BF, FA. 

„But BK is equal to BL, LA, because KL ta eqnal to LA, and 1 
LB \a common. 

„For the same reason it will also be proved that BN is equal to i 
BK^aA QB; and BO, OA are equal to BL, LA, and BF, FA to both. 

„ThuB from this it may be proved that the [broken] raya aent through 
the point B and reflected to A are equal to all the rest which have the same 
property. ' 

,^f then we streich a string pasaed round the pointa A, B, and 
through the iirst point tukeu on the rays which are to be reflected, the 
Said line will he described, which is part of the ao-called ellipse, with 
reference to which the aurface of impact of the suid mirror haa there- 
fore to be conatructed," 



T. L. 



q2L 



We ean now take stock of the important faete which 
the t'oregoing extraet. 

1) ÄNTiiEtiiiis gives In it an elegant niethod oF coHstrucHng an 
eUipse hy vieatis of tatiffents. 

2) Two tangent-propertieg of the ellipse formed the basis from «rbidi 
the construction was evolved. These propertiee are: a) The focal dislances 
of any point on att eUipse make eqtial angles wttk the tangettt at tltal 
point, which U proved in ArOLLONirs III. 48, b) The straight Une joining 
the focus to the paint of intersection of two tangents bisecls the 
beiweeti the straight lines joining the said focris to the two points of 
tact respectivelt/, a. propositjon not found in AfoiLuxiua. 

3) The fundamental property used as the crJterion for determining 
that a niimber of points are on an elüpae is the fact that Ihe sunt of 
the focal distances of any point on the ellipse is eonstaiit 

41 We have here nientioned, for the ßrat Urne on rccord apparentip. 
the well-known construction for an ellipse by nsiBg an endless string 
paBsed round two öxed points. and a pencil keeping the string taut and 
describing the curve by its motion round the two points. 

On the construction as n whole it may be remarked that it has the 
appearanee of being a Solution of an „inverse tangeat-problem". It ia bo 
however only in appearanee; for ÄNTHKMiua obvionalj kiiew that an 
ellipse had the property desired and that it was fully determlned when 
the foci and the one assumed point were given: hence he merely addressed 
himseli" to the construction of a number of tangents to Ikat particiUar 
ellipse, using as bis criteria for such tangents the two propertiee quoted 
ander a) and b) above, The construction had the »dvantage thnt the 
drawing of each tangent in the particular way determlned automatically 
the point of contact as weit, 

There can be no doubt that the fact that an ellipse has the pro- 
perty of retlecting all rays throngh one focus to the other focus wae 
known to Apollonil's. For it is so easy a deduction from Apollonius 
III, 48, and we shall see from the Fragme^itum Bohieitse that he wroi 
book on buming-glasses {jieqI t6v TTogiov). 



■laes«^ 



We will now pass lo the third part of the fragment of Anthei 
which is 08 follows: 

„in. Since the ancients also mcntioned the usual buming-glae 
[describing] how the construction of their surfaces of impaot should be 
effected. [bot dealing with them] mechanically only and not setting out 
any geometrical proof to this end, all of theni saying that such fignres 
are conic sections but not specifying which, and how prodoced, for thia 



The fisfinneiit nf Authec 



d &e. 



229 



reaBon we will trv to set out some eonstructions for such aurfaces of 
impact, tind theee not without (lemonstration but confirined by geometrical 
methods. 

„For let the diameter of the bamingglass for whicli we wish to 
find a constraction he AB [fig- 2], and the point to which we wish 
Ihe reflection to take- offect thß point D on the straiglit line VED at 
right angles io Ali nnil bisecting it, E being supposed nt the biKection 
of AB; and let BD be joined. 

„Let BT'' be drawn through B 
parallel io DEC, being eqaal to BD, 
and through F let FC be dravm 
parallcJ to BA nieeting DEC at 
the point C-y let CD be bisected at 
the point H. 

,,Then UE will be the depth of 
the surface of impaet iibout AB as 
diameter, na will preseutly be elear. 

„Let the straight line BE be 
divided iuto any number of equal 
Segments whatever; Buppoae they are 
three in the preseut construction, 

EK, KL, LB- and through E, L ^,^ ^ 

let LM, KN be drawn parallel to 

HF, EC\ let the angle FBD be bisected by the straight line OB, the 
poiot being conceived midway between the parallels BF, LM. 

„Let all the eaid parallels be produced in the direction of D to the 
its Q, -ff. 

„I Biiy that the ray QB, ocoupying a position parallel to the axis, 
tliat is to ED, and falling at the point B on the mirror through OB, 
will be reilected to D, because the angle FBD is bisected, and reflection 
takes place at equal angles, as has before been proved. 

,Sinii1arly also we shall make the ray RL be reflected to D in this 





£ a 


~Z^^^^^^^^^ 


L R 


~y^// 


K 


^/ 


f 











poiot 
r lliat 



„For let the etraight line OZ* be joined, and likewise OM, OF, 

,JVud it ie clear that OD is equal to /)/'' because of thn bisection 
F the angle at B. 

„But OF is equal to OM beeanee they are carried to the pointa F, 
l from which lies midway; and [therefore] MO ia equal to OD. 

„Let then the angle MOD be bisected by OTP, (P being con- 
lÜTed midway betweeu the parallels ML, NK), cuttiu}; the parallel 

Irr. at T. 



230 



T, L. U«*t«. 



„For tlie saiiie reason it will theu bp proTpii tliat MT Is also 
to TD\ 
and TD [here the fragment endöj. 



Ätthough the frsgment ends here. it \s easj to Bee, ^om tbe anologj 
of the case of the ellipee, how the argument proeeeded. By biBecting 
the angle NPD a pomt r^ would be t'oimd ou NK snch that a ray in 
the directiou KN would be refleeted from a mirror through PU at the 
poist U to D. and NU would be equal to UD. 

Similarly, if parallels to the axis were drawn bisecting FM, MN, 
NC respectively. points on theiii and iniirorB through theni would be 
determined auch that rays along tbe parallels would he rellecteiL tn D: 
and 80 on continually. 

Tlien all the points so füimd, ns D, T, U, H, are on a piiraboln 
with focns D and directrix FC. Thus the coDStrnction of separate plane 
mirrors eould be avoided by drawing the parabola, which then by its 
revolution about CE gives the reflecting surface reqnlred. 

The Balient facta hrought out hj the extraet are the^e. 

1) We have here, correspondiug to the earlier conatruction for the 
ellipae, an elegant niethod of constructing a parabola htj means of tan- 
gcnis, the method having here also the advantage that the drawing of 
each tangent nutomatically detemiinea the pntut of oontact as well. 

2^ Tbe properties of the parabola forming the basig of the method 
are a) that the tangent at any poini makes equal aiighs with the aj-is 
and icilh the foctü distance of the point and b) that the distancf of 
any point on the curve from the focns is equal to its distance front the 
directrix. 

3) Most important of all, we have here the first inslnnc« on record 
of the praclical tise of tite directrix, though tbe property of conics witli 
reference to the focus and directrix was known to Papi'Ch (lemma on 
Eitcliü'b Surface-loci) and possibly to Ei'CLin himaelf 

It is clear that AsTHorirs knew beforehaud that the parabola had 
the desired property of rpflecting to the focus all rays parallel to the 
axia. and further that a parabola was fully deterniiued if only the focus 
and a double Ordinate were given; and bis construction was siniplv 
directed to ilrawing the particular parabola. Nothing that he says proves 
that the property of a parabola brought out by bis construction had not 
been proved before. He says that „the ancients" stated that curves 
having the property of reflecting rays to a point were conic sections, 
withnut proviag the fact gpouietrically or specifying ichick conics. But 
if the properties were so commonly known and quoted, they niust haye 



The fragment of Anthemius on burning mirrors &c. 



231 






been proved^ and possibly so long before that the book containing the 
proofs had already been lost wben Anthemius wrote. 

It is now necessary to compare Anthemius' proposition about the 
parabola with the portion of the Fragmefitum mathematicum Bohiense 
dealing with the same subject. 

It is as foUows, the first part of it 
being the conclusion of a proof that, if 
a tangent he draum [Fig 3] to a parabola 
at a point E and meet the axis in D, 
and if along the axis AB he measured 
equal to one-fourth of the parameter, then 
BE= BD. 

„[For since the rectangle AG, AG 
is equal to the Square on] EG, and 
CA 18 quadruple oi AB, therefore four 
times the rectangle BA, AG, that is, 
four times the rectangle 2?u4, AD^ is 
equal to the Square on GE, that is, to 
four times the Square on AF, 

„Therefore also the rectangle BA^ 
AD is equal to the Square on -4JP. 

„Therefore the angle at F is right. And FE is equal to DF. 

„Therefore also DB is equal to BE. 




Fig. 3. 



„This being proved, let there again be a section of a cone, a para- 
bola, of which AB iH the diamcter and AC the parameter; let AB be 
one-fourth of AC, and froln any point on the section let EK be drawn 
parallel to AB, and let EB be joined. 

„It is to be proved that KE is reflected at the section at an equal angle. 

„For let the tangent DEL be drawn. 

„Now, by what was before shown, DB is equal to BE\ so that the 
angles at the points D, E are also equal. 

„So are the angles DEA^ LEU, 

„Let the diflference between the angles be taken; therefore the angles 
BEA, II EK which remain are equal. 

„Similarly we shall show that all the lines drawn parallel to AB 
wiU be reflected at equal angles to the point JB." 



[The above is quoted from HKniEim's article in the Zeitschrift für 
Mathematik und Physik; the remainder is translated from Belukk's 
original edition in Hermes 16 (1881), p. 2(51 seqq.] 



232 



T. L. Hb*th 



„Thus buming-glaaaeB conatructed with the surface of impact [in t 
form] of the section of a right-angled (ont- may easilr. in the 
above shown, lie proved tu bring aboiit ignition at the polnt indicated. 
But now it ifi necessary again to sbow the facts with reference to the 
arCB of B circle, how large the circumference of the mirror miist be and 
wbere it will e£Fect ignition. Now the ancients assumed that the ignition 
ie effected abont the (rentre of the mirror; hitt this Apolhikics proted, as 
waa very necessary, to be false .... [in his tractj against the Caioptnei, 
avd he frirUiei; in his hook on the huming-glass, made it dear nhoui 

what point t!ie ignition will take place His proof ie difficult 

and Bomewhat long Let hb therefore pass over the demonstrations given 
by him and try to set out those which we have to add. not as deairing 
to aet np oiirB against his (which would really be like Bwallows vying 
with awana) but as elainiing to be able to add something for the benefit 

of students of the aubject referred to. 

„Let [Fig, 4] tbecircunjferenCB ofa circle j4BC 

be aet out, in which A C is the aide of a sqaare 

[inBcribed], while D is the centre of the circle; 

and let DEB be drawn perpendicular to AC, let 

BD be bisected in //, and from any pomt let FG 

be drawn parallel to DB. 

„I Bay that FG will be reflected at an equal 

angle between E, H " 

[The proof, which follows, it is unnecessary to reproduce.J 
HEiniCK« (1, c.) conjectured that the Fraijtnentum mathematicum 
Bobiense ig also by ÄNTiitiMirs, and that the part of it qnoted above 
ia the eonclusion of the argument conceming the paraboüc mirror begnn 
in the fragment edited by DuprY. So far as thiß conjecture is based on 
the passage in wbich äxthemius statea that the aniiienta had only con- 
atructed such niirrors and said they were conic Boctions withont nny 
geometrical proof of the fact, Zeütben (Die Lehre von den Kegelschttitlen 
im Altertum, 1886) had already shown it to be unsafe and evea impro- 
bable. But in fact it will be easily seen that the contenta of the Frag- 
mentunt Bobiense do not fit on to the fragment of Anthkmus, the con- 
clüsion of whieh is eaaily siipplied by the analogy of the previous case 
of the ellipse, as above ahown. On the nther band, the proof in the 
Fragmentjim Bobiense makes no uae of or allusion to the property of the 
parabola with reference to the foeus and directrix unmistakeably aasiimed by 
AHTHKMirs; und, BB the property proved in the Friignientnm Bolie*ise is more 
eaaily (nay, almoat inatantaneously"! proved froni tlie focus dirpctrix property, 
it seems morp likely tbal An'Tiikmus wouM bnve naed the latter niethod 




Fie-4. 



Tho frattment of AnthemiuB ou biirnins mirror 



233 



But llEinERö also expressed eoncurrence in the view of Bki.drr 
that the language of the FragmentuiH Bobiense suggests ByüaiitJDe author- 
ship. It is with reference to this idea that a re-examination of the two 
frugments Beeras called for, since I think it will show, on the contrurj', 
that the language of the two is very different, and that the Frayinmtuni 
Bobiense iimst belong to a miieh earlier date tham the other. I would 
ilraw attention to the followiiig differencea. Anthkmii.'S epeaks of the 
„ellipse"' and „paraboln'', the Frafjmentum Bobiense of .,a section of tt 
cone, a parabola'' and of „the sedion of a right-angled cone", The latter 
iB the pre-Äpollonian term and could hardlj- have survived in a treatise 
so late as supposed. Simüarly the Fragmentum Bobiense epeaks of the 
„diametw" (meaning the „axis") of a parabola, like ÄucniMKnES; A\thk- 
«n's speaks of the „axis", like Ai'ou-okrts: the Fragmcntum aleo brings 
in the „parameter'" of which there is no word in ANTifESiirs. Lastly the 
Friigmentum Bobiense uaes eurvilinear angles, assuining na known that 
the angles between the tangent to a parabola and the portione of the 
corve on eac.h side of the point of contact respectively are etjual. Now 
it is clenr froni Ei'CLId'b Elements that tlie uee of such imglea wae already 
dving out in bis tiiue, the caaes in whieh they are inentioned in the 
Elements being ohvionsly mere aarvivals. 

AU theae circumstances indicate that the Fragmetiiuni Bobiense is 
maeh older than Asthemils, and we natiirally tum nest to the hypo- 
tbesis of Can'tor (Hermes 16, p. i)3T eqq.), that its aiithor might he 
DirtCLES, whoni we know to have written on bnrning-glaSBes (^Eßl jn'gfojv). 
Eirroctrs (Comm. on Aih^himedes, ed. Heiiiei»! IU, p, 188 sqq.) quotes 
from this treatise Diocles' Solution of the problem left unsolred in 
ARrrmtKriEa, On the sphere and cylinder II, 4, and prefaces it with 
words which suggest that he is quoting word for word. But in this 
Bolation IJtoci.EK speak» of an „elUpae" and a „hyperhola", not of „septioDS 
if an acute-angied'" and „obtuse-angled eone" reapectively. Hence it 
Beems probable that our fragment waa anterior even to üiocuos {t\. pro- 
ily ubont 180 B. C). As its author also quotes ApoLixtsirs (bom 
262 B, C.i, the neceaaary inference would appear to be that he 

a younger eontemporary of Apollonius. This agrees well with bis 
lodest comparison of hiniBelf with AroU-ONirs. which is more likely, 
it aeems to me, to beloug to the time when the conteniporaries of the 
latter were speaking of him as „the great geonieter*' thon to any luter 
time. For geometers aoon came to mention him without any pxaggerated 
respect, as witneas PAPi'U.t, and even (Jrmini:k, to judge by I'u'mli-s' 
^■MMOtiitions from him in which Api')l.r.n\|rs ja tiientionp<). 



nl an 

I Beems 

Kjkbly 
^^^MOat 
^■vw a 



234 Heuiricu Sutkr. 



über den Kommentar des Muhammed ben 'Abdelbäqi 

zum zehnten Buche des Euklides. 

Von Heinrich Suter in Zürich. 

Euklides nennt bekanntlich n und ^m (oder \n und Vw) zwei rationale 
Größen (Gerade), kommensurabel bloß in Potenz; sie bilden ein mediales 

Rechteck n^m (oder ]nm)y und die Seite des Quadrates, das diesem Rechteck 

inhaltsgleich ist, also |wym (oder \]^nm) wird Mediallinie oder kurzweg 
Mediale genannt. Aus je zwei solchen Linien setzt nun Euklides durch 
Addition und Subtraktion neue Linien zusammen, und erhalt so folgende 
sechs (bezw. zwölf) erste Irrationallinien: 

a) n + Vm oder ]'n + ^m heißt Binomium (absolutum), 

b) n — ^m oder \n — Vm oder Vm — n heißt Apotome oder 

Residuum (absolutum). 

a) y^Vw + y^V» oder jmVw + ^n^'^' heißt erste Bimediale, 

o 

b) ^m'^n — ymVw oder y^V« — ^~;^^n heißt erste Medialapotome. 

Beide Mediale sind in Potenz kommensurabel und ihr Produkt ist 
rational. 

)Vmyw+J^irVM oder \' m'^ n -\- ^ ^] n heißt zweite Bimediale. 

b) ym yjn — y Ww oder ^m Vn — ^^m^n heißt zweite Medialapotome 

Beide Mediale sind in Potenz kommensurabel und ihr Produkt ist 
medial. 



a 
3. 



a) ym + Vmw + yw — ^mn heißt Major (größere Lrationale), 

4. — 

b) )m + ][mn — ]^m — \m~ii heißt Minor (kleinere Irrationale). 

Beide Irrationallinien sind in Potenz inkommensurabel, die Summe 
ihrer Quadrate ist rational, ihr Produkt ist medial. 



I Dber d. Kommentar 'i. Muliar 



reimten Buche (tes Euklidea. 235 



n) \(»i + V«) Vm^ — M + y(»i — V») V»»' — " 
o.ler \(im + fn) \m~ n + ^^ — ^n) Vm^^ 



heiQtdipeinUatio- 

nalea und Mediales 

Potenziereade. ') 

heißt die mit 

einem llationalen 

ein mediales 
Ganzes gebende.*) 
Beide Irrationallinien sind in Potenz inkommensurabel, die Summ«" 



h) V(m + V«) Vi^— n — VCw — V") y 



oder \{\m + ]n)^m 



- V(Vm_y„)V»t 



I ilkxer Quadrate ist medial, ihr Produkt rational. 



I )'(»■ + v^Tt^ + \V__ 

oder V(V»» + yp) V" + \iy»i 
I oder \{\m + Vpj« + VlV™ - 



Vp)V« 



-Vi')V" 



y (m + Vp) V« 



b) Dd6rV(V»^ + V;))Vn 



■ V'fm — VpTVn I 



Pißt die zwei Mediale 
Potenzierende *) 



heißt die mit einem 
Medialen ein mediales 

Ganges gebende.^) 



urabel, die Snmuie 
beide Mediale aber 



I oder V(Vm + \p) « 
Beide Irratio u allin ien sind in Potenz inkommei 
irer Quadrate ist medial, ihr Produkt ist medial. 
^-flind inkommensurabel. 

Von diesen znsammengeaetzten Irrationallinien, die ich im allgi 
Idtireh die Wurzelausdrücke wiedergegeben habe, die Nerselmann in seiner 
mOesckichte der Algebra bei den Griechen aufgestellt hat, bandeln die 
■fifttze 2!> — 47 und 73-84 des zehnten Bnches [Heihkr(18 Ausgabe); der 

■ jambische Kommentator (mit größter Wahrscbeinlicbkeit MrHAMMED ßBS 
j *ABDEi.RA(ii KirBAiiHAiii, vergl. Biblioth, Matbem. 4.i, 1903, p. 24—27) 

■ gibt zu denselben folgende Zahlenbeispiele (vergl. Eccr.ii-is opera omnia. 

%pptrment«m: Anarith in decem lif/ros priores commentarii , edid. M. 
IBTZE, 1899, p. 317-321, 345-354, 360-362 und 370—379): 
Binominm (absolutum): fiO + ^8 
Apotome oder liesidunm (absolutnm): VlO — )/>* 

Erste Bimediale: fl92 + f 108 = fi^ + ^3 VB 

' Erste Medialapotome: {'192 — ^WÄ = ^4^12 — ^3712 

1) d. h dtk» (joadrat der Linie ist gleich der Summe &uR einem rationalen und 
mediulea Keohteck. 

2) d h. du Quadrat <lcr Linie ist gleich der lÜfTerenz aiia einem medialen und 
ntioDalen Rei^liteck. 

S) d. h. diM Qnodrat der Linie ist ßleich der Summe aus iwei medialen Itechtecken. 
4) d.h. das Quadrat der Linie ittRleich der nifieietix nue iwei medialen RechteckoD. 



236 Hkimrich Sdter. 

geht aus der ersten der oben unter 2. genannten Formeln hervor für n =12 
und w = 4; p. 347 und 374 finden wir ein anderes Beispiel für diese 

Irrationallinien, nämlich ^108 ± f'12 = ]k^ ± ]/¥ß, das sich fQrn = 3 
und m = 6 aus der zweiten daselbst genannten Formel ergibt. 

Zweite Bimediale: ^12 + Vs = ivl^ + VV^ 

Zweite Medialapotome: Vl2 — \S = \2}/^ — vVl 

geht aus der oben unter 3. genannten Formel hervor für w = 2, n = 3 

3 
und p= —'^ p. 349 und 376 finden wir für diese Irrationalzahl das Bei- 



spiel: V72±f8 = V6V2±V2V2, das sich aus derselben Formel für 



2 
m = 6, n = 2 und p = ^ ergibt. 



4. 



3 
Major: Vs + ^32 + Vs — V32 



Minor: Vs + y32 — Vs — V32 
geht aus der oben unter 4. gegebenen Formel hervor für m = 8 und 

n = 4; p. 350 und 377 finden wir für diese Zahl das Beispiel: Vl2 + V96 

±|'12 — y96, welches sich aus der gleichen Formel für m = 12 und 
n == 8 ergibt. 

^ Die ein Rationales und Mediales Potenzierende: yy32 + 4 + VVSä — 4 
Die mit einem Rationalen ein mediales Ganzes gebende: 

yV3^ + 4 — yy32-4 

geht aus der oben unter 5. gegebenen zweiten Formel hervor für m = 8 
und n = 4; p. 352 und 378 findet man für diese Irrationale das Beispiel: 

^\iS + y32 ± Vy48 — y32, das sich aus derselben zweiten Formel für 
w = 12 und n = 8 ergibt. 

Die zwei Mediale Potenzierende: VV^S + y24 + Vy48 — y24 
Die mit einem Medialen ein mediales Ganzes gebende: 

yy4r-M^24 — vv^^ y2i 

geht aus der oben unter 6. genannten ersten Formel hervor für m = 4, 
n = 3 und p = 8; p. 354 und 379 findet sich für diese Irrationale das 

Beispiel: VV^Ö + V48 ± |V8Ö — V48, das sich aus der dritten Formel 
für ni = 5, n = 4 und p = 3 ergibt. 

Eine zweite Doppelhexade von Sätzen über andere Irrationallinien 
findet sich bei Euklides (ed. Heiberg) in den Sätzen 54 — 65 und 91 — 102. 
Voraus gehen (p. 137 und 255) die Definitionen dieser neuen Irrational- 
linien und die Aufgaben, jede einzelne derselben zu finden (Sätze 48 — 53 



über il Kommeutar d. Muhaiumci] ben 'Abdelbnqi i 



iehjtt«ii Uiicbe den Kuklidi?«. 



nnd 85— ÖO). 
asd Namen: 

I ») 1» + v-.?^= 

■ b) m — Vi»' — «' 



neuen IrrationallJnien haben die folgenden Formen 



= erate Binomiale (Binomiimi primiim) 
= erste Äpotome (Residuum prinium) 
!^ zweite Binomiale 
= zweite Apotome 



a) V»! + l^'A^^S^ = dritte Binomiale 



' 1>) im — -\''^'^^^ = dritte Apotome 

. a) IM + Vm' — n = vierte Binomiale 

b) m — ^m^— « =: vierte Apotome 

a) ym^-fn -}- m = fünfte Binomiale 

b) ym^ + n — ™ = fünfte Apotome 

a) Vm 4- V*» — » = sechete Binomiale 

b) Vm — Vm — M = sechBte Apotome 
I und n im allgemeinen keine Quadratzahlen sein sollen und Über- 

Edies 80 beschaffen sein müssen, daß die Quadratwurzeln stets irrational 

Iwerden. 

Wir sahen, daß diese Beehs (bezw. zwölf) Irrationallinien in die 

l£ategorie 1. der ersten Doppelhesade gehören, es sind alles Binomiale 

P(bezw, Apotomeen), e.s kommt keine MediaUinie in denselben vor; aber 
es sind keine Binomia (bezw, Restdua) absoluta, bei denen die beiden 
Teile nur der Bedingung genügen müssen, daß sie zu einander inkommen- 
Burabel seien, sondern die beiden Teile jeder Linie imterliegen not^h 
anderen speziellen Bedingungen, diese sind die folgenden. 

Bei den ersten drei Linien potenziert der größere Teil über den 
kleineren um das Quadrat einer der größeren in Länge kommensurabeln 
Linie, d. h. es ist z. B. bei 1. ym'^ — (m* — n^) ^n kommensurabel zu 
m, und 80 entsprechend bei 2. und 3. Die drei Fälle unterscheiden sich 
dadurch voneinander, daß bei 1. der größere Teil rational, der kleinere 
irrational (diese Begriffe im heutigen Sinne genommen) ist, bei 2. der 
größere irrational, der kleinere rational, bei 3. beide irrational sind. 

Bei den letzten drei Linien potenziert der größere Teil über den 

I Uetneren um das Quadrat einer der größeren in Länge inkomniensurabeln 
Linie, d. h.'es ist z. U. 4. y'm^ — (»/' — «) = ^h inkommensurabel zu m, 
nnd Bo entsprechend bei 5 und 6, Die drei Fülle 4., 5. und fi. unter- 
scheiden sich wieder in gleicher Weise voneinander wie 1., 2. und 3. 
Der Kommentar des Arabers gibt p. 332 — 335 und p. 366 — 36H 

t folgende Zahlenbeispiele für diese zweite Doppelhesade: 



Heinbicu Sil 



: 3 iinil n = 2ji 



, II = 3 tun 



■( = 108, 



j Erste Binomiale: 3 + 16 

Erste Äpotome: 3 — \t^ 
^eht. aus der oben gegebenen Formel 1. hervor für i 
p. 3ti6 heißt das Beispiel für die Apotome I}— VäD. 

Zweite BiDomiale: V-^ö + ^ 

Zweite Apotome: V45 — 5 
geht aiiH der oben gegebenen Formel 'J. hervor fiir m = 
l' =^ i?; p 3ti7 steht fiir die Apotome das Beispiel Vl80 - 
., Dritte Binomiale: ylÜS + 160 

Dritte Apotome: VT08 — lÖO 
geht ans der oben genannten Formel 3. hervor für : 
und jj ^ 2, 

Vierte Binomiale: 4 + lÖ 

Vierte Apotome: 4 — Vi 
geht aus der Formel 4 hervor für m = 4 und n = 10 

Fünfte Binomiale: V24 + 3 
' Fünfte Apotome: V24 — 3 
i der Formel 5. hervor für m ^= 3 und n = 15, 

. Sechste Binomiale: VS + V3 
''■ ■■ '- 

Sechste Apotome: V^ — V^ 

i der Formel 6. hervor für f» = 8 und > 
folgenden noch eine zweite Reihe von Beispielen ttir diese Irrational- 
iinieii finden. 

In welcher Beziehung stehen nun die Linien dieser zweiten Doppel- 
hesade zu denjenigen der ersten? Für uns, die wir diese IrrationalgröBen 
nls absolute Zahlen ohne geometrifiohe Bedeutung auffassen, heißt diese 
Beziehung einfach: die Größen der ersten Doppethexade sind die Quadrat- 
wurzeln der entsprechenden der zweiten Doppelhexnde, oder umgekehrt, 
diejenigen der zweiten die Quadrate von denen der ersten. 

Ei'KMiiES mußte nach seiner Auffassungs weise diese Beziehungen 
anders aussprechen; als Beispiel gebe ich nur je den ersten Satz beider 
Hexaden in der EiKLiDischen Form: a) Wenn ein ß«chteck aus einer 
rationalen Linie und einer ersten Binomiale gebildet ist, so ist die Linie, 
die dasselbe potenziert (d. h. die Seite des Quadrates, das ' gleich dem — 
Rechteck ist), ein Binoraium (absolutum). b) Wenn einer rational 
Linie ein Rechteck angelegt wird, dtis gleich dem Quadrate eines ] 
nomiums (absol.) ist, so ist die zweite Rechteckseite eine erste Bioomid 
(Heiberc, Satze 54 und fiO). Beide Sütze gehen in Rndizierung ( 



gebt 1 



geht B 



1 = 5. Wir werden im 



Cbcr il KouimeutiLr <l. MiihKiuiiieii lica 'Abdi'lbilqi ) 



edBBKuküilM a39 



Quadrierimg) der betreffenden Irrationiillmie über, wenn die rationale 
Linie = 1 gesetzt wird. 

Her arabische Kommentator gibt für die Itadizierung zwei Heihen 
i Tou Zul den bei spielen {p. 342 — 344 und p, 340 — 354}, filr die (iiiadrieriing 
I nur eiiie Keibe (p. 355 — 3Ö8) In der ersten Reihe der Wurzelbeispiele 
setzt er etillsohweigend die rationale Linie = 1 und gibt eine rein 
algebraische B«gel für die Wurzelausziehung; in der zweiten Reibe setzt 
er die rationale Linie •= 4 und wendet die geometrische I )arBtellting8- 
weise des ErKUDK» an. 

Erste Reihe der Wureelmiseiehungtn. 
I 1. Uie Wurzel') aus einer ersten Binomiale (Äputoiue) Ist ein Binomium 
(Kesidnum) absol. 

y6± V2Ö -= V" ± 1 
[ 2- Die Wmzel aus einer zweiten Binomiale (Apotome) ist eine erste Bi- 
mediale (Medialapotome): 

V'Vis ± 3 = VVej + VVj 

l'S. Die Wurzel aus einer dritten Binomiale (Apotome) ist eine zweite 
Bimediale (Medialapotome): 

ViTTVö = VV4i±Vll 

Die Wurzel aus einer vierten Binomiale (Apotome) ist eiue Major 
(Minor): _^ ^ 

yj^'^n^ = >'3 + V6 ± Vs — \G 

\ 5. Die Wurzel ans einer fünften Binomiale (Apotome) ist eine ein 
(tationales und Mediales Potenzierende (mit einem Itationalen ein 
mediales Ganzes gebende): 

V'VisTä = VVä + \2 ± VVs - V2 

Die Wurzel aus einer sechsten Binomiale (Apotome) ist eine zwei 
Mediale Potenzierende (mit einem Medialen ein mediales Oauzee gebende) : 

im ± V8 = V'V^ + V3 ± VVft - V3 

Wir zeigen das Verfahren der WurzelauBziehung des arabischen 

rKcmmentators an Beispiel 4. Man teile li in zwei Teile, deren Produkt 

gleich dem (Quadrat der Hälfte von V'l2 sei. Die ijuadratiscbe Gleichung, 

die sich hierbei ergibt, nilmlicli j;'' — li j^ + 3 =^ 0, wird vom Kommentator 

nicht aufgestellt, sondern es werden einfach die Lösungen 3 + |(i und 

8 — Vö angegeben; die Wurzeln aus diesen Lösungen bilden zusammen 

' eine Major, und diese ist die Wurzel der gegebenen vierten Binomiale 



'} Der Kfit 



eibe icli atolt .QumltatwiirKel' nur .Wureel". 



240 Heinrich Sutbb. 

6 4- V^2; voneinander abgezogen bilden sie eine Minor^ und diese ist die 
Wurzel der gegebenen vierten Apotome 6 — Vi 2.^) 

Zweite Reihe der Wuredauseiehungen, 

1. V4 (6 ±Viö) = V24 ± iS = V2Ö ± 2 

2. V 4 (Vr2 ± 3) = vvili^iä = vYIöl ± "^^ 

3. V4 fVs ± V6) = VVl28 ± V96 = VVYI ± Vl^ 

4. V 4 (6 ± VTä) = V24 ± Vr92 = V12 + V96 ± Vl2 — V96 



5. V4 (V12 ± 2) = VV192 ± 8 = yV48 + V32 ± VV^S — V82 

Da die rationale Linie ^a 4 ist^ so sind natürlich die Wurzeln das 
doppelte von denen der ersten Reihe. 

Die ümkehrungen dieser Sätze ^ d. h. die Quadrierungen der ersten 
sechs (bezw. zwölf) Irrationallinien finden sich bei Euklides (ed. Hbiberg) 
in den Sätzen 60—65 und 97 — 102; die Zahlenbeispiele dazu gibt der 
Kommentator p. 355 — 858 und p. 882 — 883; da dieselben die nämlichen 
sind wie diejenigen bei der Wurzelausziehung^ so geben wir nur von 
jeder Reihe das erste Beispiel (in einer Gleichung vereinigt): 

(V2Ö ± 2)*«= 24 ± V32Ö «= 4 (6 ± V2Ö) 
die rationale Linie ist wieder wie bei der Radizierung = 4 gesetzt. 

Da die CuRTZEsche Ausgabe der Gerhard sehen Übersetzung dieses 
arabischen Kommentars (1. c. p. 252 — 386), sowie auch die Ausgabe 
BoNCOMPA(iNis {de nnmei'is et lineis, s. 1. 1868/64?) viele Fehler ent- 
halten^), so mag es vielleicht Denjenigen, die sich mit dem Studium 
dieses Gebietes beschäftigen, willkommen sein, hier eine Richtigstellung 
der störendsten dieser Fehler zu finden, die mir durch Vergleichung der 
beiden genannten Ausgaben wesentlich erleichtert worden ist^). 
Seite u. Zeile. CuRTZE. | Richtig. 

comparatione ad 1 separatione ab altera 

alteram 
Dicuntur vero cum di- Üiscreta vero est diminutio 
minutione I 



254, li» 

255, 7-8 



I) Die WurzelauBziehung wiid also nach der bekannten Formel aoBgeführt: 



-Va«-6 



2) Besonders in den Zahlenbeispielen; auch sind sehr oft ganze Sätse ausgelassen, 
was das Verständnis wesentlich erschwert. 

3) Die sehr seltene BoMcoMPAONische Ausgabe hat mir Herr G. Enbstköm bereit- 
willig zur Verfugung gestellt, wofür ich ihm meinen besten Dank ausspreche. 



über d. Eommeniar d. Mohammed ben ^Abdelb&qi zum zehnten Buche des Euklides. 241 



Seite u. Zeile. 

255, 9 
255,18-19 

— 20 

— Note 2 

— Note 3 

259, 8 

260, 2 



260, 4 

— 12 

— 21 

— 30 

— 31 



261, 30 

262, 33 

263, 4—5 

264, 13 

265, 1 



265, 13 



266, 30 

267, 2 
— 12 



269, 7 



CURTZE. 

diminutione (bis) 

determinantur 

compositio 

V^ ± yä¥ 

quoniam 

communis in loco suo 



at 

Quodsi qx fuerint partes 
et ideo 
ab 

incommunicantes et sint 
surde 



aq 

tantum 

communicantes 

per res 

hb, et . . . 



voliierimus ex numeris 



dividam, est 
preteritis 

ergo unum <in se>, 
cuius 

e ad g, ergo 



Bibliotbeca Mathemaüoa. Ul. Folge. TU. 



Richtig, 
diminutio 
derivantur 
compositio et separatio 

i ^ ± yiw od. v^ + f^ 

ia\'b±-^W}ß od. V^±V^ 

quod 

communis eis, que est pars cuiusque 

earum. Jam ergo prima quantitas 

diversificata est, et sit pars erecta 

in loco suo 
ao 

Quodsi rx fuerit pars 

aut ao 

at 

incommunicantes et quod una earum 
est rationalis et altera surda; quod 
ai ab non fuerit numerans aliquam 
earum, dicemus quod ipse sunt in- 
communicantes et sint surde 

ax 

iterum 

(fallt weg) 

in rem bis 

hb^ est equale multiplicationi a& in 
bh duabus vicibus; jam igitur osten- 
sum est, quod, cum quadrato ab 
additur quadratum bhy et . . , 

voluerimuSy dicemus quod sunt centum 
et census additus exceptis viginti 
rebus; et similiter erit quicquid 
multiplicare voluerimus ex numeris 

diminutum est 

pluribus 

ergo mediedatem sex in se ipsum et 
provenit novem, ex quo minue 
octo et remanebit unus, cuius 

e ad jjT, sed jam fuit proportio b Skd d 
sicut proportio a ad e, ergo pro- 
portio a ad e est sicut proportio 

e ad g, ergo 

16 



242 



EEbdirich Scteb. 



Seite u. Zeile. 

272, 12 
— 13—14 

274, Fig. 

275, 4 



281, Note 



282, 19 
286, 1 
— 31 

291, 4 



294, 11 

295, 8—9 



297, 3 
— 18 

298, 14 



CüRTZE. 

asBumpte 
assumptis 

ad hoc ducere, multi- 
plicabimus 



Heibergu X, 31: Duas 
lineas mediales po- 
tentia tanium com- 
municantes superfici- 
emque rationalemcon- 
tinentes, quarum . . . 

th ad th 

linearum 

addit 

quinqae, quod est 



Richtig. 

coniuncte 

coniunctis 

h 

ad hoc ducere^ ut fiat linea una, re- 
movebimus additam com diminuto 
qui sunt duo postremi, postea 
multipUcahimus 

Heibergu X, 29: Duas lineas ratio- 
nales potentia tantam communi- 
cantes, quaram . . . 



erit triginta sex 

Remanet ergo proportio 
secundum earum habi- 
tudines et quantitas 
similiter 

conversam 

Quod 

a et bg, <Ponam autem> 
superficiem 



— 23—24 



— 25 

- 25 



Sed dg est equalis de: 
ergo quadratum a 



duplo 
quadrato de. 



th ad hh 
fignramm 
cadit 

quinque, cam ergo voluerimus scire 
radicem superficiei contente a linea 
rationali et superfiuo quod est inter 
novem et quadraginta quinque, 
quod est 

erit radix triginta sex 

Remanent ergo proportiones secundum 
earum habitudines et quadrata si- 
militer 

conversionem 
Et 

a et bgy quas ponam novem et radi- 
cem 45, sitque a minor, et adiun- 
gam ad longitudinem longiorem bg 
superficiem 

Sed dg est equalis de: ergo quadra- 
tum a est qnadruplnm superficiei 
bd in de; ipsa vero est undecim 
et quarta, sit ergo quadratum be 

I commune, ergo quadratum a 

I quadruple 
quudruto b r 



über d. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 243 



Seite u. Zeile. 
299,21—22 



— 25-26 



CüRTZE. 

Quinti decimi exemplum 



que sit 4 



Richtig. 
Quarto decimo nihil additur, nisi quod 

figura per numeros hoc modo notatur. 

Quinti decimi exemplum 
que sint 4 et 6 

Über die Figuren auf p. 298 und 299 habe ich folgendes zu 
bemerken: die Figur p. 298 gehört zu Theor. XIV und 
unter der Linie a soll stehen: radix radicis 128 statt radix 
radicis 11; die Figur zu Theor. XIII fehlt, sie ist folgende: 

a d 6 b 



radix qnadraginta quinque 



9\ 



'S 

B 

O 

3 



VI 



XI et quarta 



YII et med. 



300, Note 1 Heibergius X, 19 
— Note 2 Heibergius X, 20 



309, 22 



310, 12 

313, 23 

— 27 

314, Fig. 

— 4 

— 5 

— 8 



cui communicat g in 
longitudine, et g est 
medialis: 



315, Fig. 

- Fig. 

— 22—23 

316, 14 
319, 19 



supra b 

equale quadrato ^z 

medietas 

An der Höhe djsf soll 

ab et bg 

tantum communicantes 

Exponam, ui ab 



radix radicis 32 

An der Höhe djs: soll 

et designatio sunt ra- 

tionalis 
communicat 
secundum, et est 



Heibergius X, 20 

Heibergius X, 30 

cui communicat a in longitudine, ergo 
g communicat d in potentia et potest 
supra eam cum augmento quadrati 
linee cui communicat g in longitu- 
dine, et g est medialis: 

supra g 

equale superficiei a;e^ in ;e^&, et superficies 
ajg in /sb est equalis quadrato de 

(fallt weg) 

stehen: radix radicis duorum 

(fällt weg) 

incommunicantes 

Signabo igitur duas lineas ab et bg 
mediales, in potentia tantum com- 
municantes et continentes super- 
ficiem rationalem, et ponam, ut ab 

radix radicis 48 

stehen: radix radicis 3 

et disgregatio sunt, videlicet 

incommunicat 

secundum^ hoc est summa que fit ex 

radice radicis duodecim et radice 

radicis trium, et est 

16 • 



244 



Heinbich Suter. 



Seite u. Zeile. 
319,24—26 



320, 17 
320, 20 



— 22 



— 30—31 



321, 17 

— Notel 

— Note 2 

322, 10 



— 20 



— 21 



CüRTZE. i 

Summa, que fit ex ra- 1 (fallt weg) 

dice radice 

earam accepta 
mediale. 



Richtig. 



mediale 



Sed cum 



mediale, et coniunctam cum rationali 
facientem totum mediale. 

mediale^ que sint a& et ftjjr, cum ergo 
coniungentur, erit potens super 
rationale et mediale. Sed cum 

Hier fehlt das Zahlenbeispiel, es ist: 

</./iyck A \l\i^ 7 / ^^® ^^ Rationales und Mediales 

V132 + 4 + VV32 -4 = j Potenzierende 

_ / die mit einem Rationalen ein 
l mediales Ganzes gebende. 

ex radice 48 et radice 24 accepta 
radice eins quod aggregatur, cum 
additur supra eam radix 48 absque 
radice 24 accepta radice residui. 



n 



ITf^ 



yy32 + 4 — VV32 — 4 



ex radice <ex> 48 et 
radice 28, cum addi- 
tur supra eam radix 
<ex> 48 absque ra- 
dice 28 

ponuntur 

V48+V2"8 ± V48-V'28 
Heibergii X, 32 
communicantes, et 
assumam 



potentia primam 
secundam, et assumam 



— 25 — 26 , erit ergo linea alia as- 

sumpta, quam quere- 
bamus 

323, 7 precessit; <et> acci- 

piam . . 



- 13 



premittetur 



posui 

VVlö -f V24 ± VVl§~-^'2i 

HEroERon X, 30. 

communicantes^ eins modi ut maior 
supra minorem possit cum aug- 
mento quadrati linee, cui maior in 
longitudine communicat, et assumam 

potentia tantum communicantes, pri- 
mam 

secundam^ et tertiam, eins modi, ut 
prima supra tertiam possit cum aug- 
mento quadrati linee, cui prima in 
longitudine communicat, et assumam 

erit ergo linea primo assumpta et 
linea illa alia assumpta quod quere- 
bamus. 

precessit; et commendabo memorie duas 
sectiones, et multiplicabo unam- 
quamque earum in longiorem lineam 
et eorum que proveniunt accipiam 

premitteretur 



^^^Mr a. Kommetitar d. Muhammed beu 'ÄbdelbHqi zum zehctien ßuche des Euklides. 245 ^^| 


^^oite n. ZeUe. 


CüRTZK- 


Richtig. ^H 


323,14-15 


Noatri tarnen libri in- 


heißt bei Boncomkagni bo: unde cum ^H 




ceptio est a nota, id 


Ubri inceptio est a nota in h. 98, ^^M 




est nili, Quod scias 


seias ergo hoc: ^H 




ergo hoc: 


Aus beiden weiü ich nichts zu machen. ^^^ 


324, 5 


mediale 


(fällt weg) ^M 


^L_ 


qnod est 


^^M 


^K» 27 


eisdem insiguttiB lineie 


eisdem insignitur Uteris ^^H 


^m— 29 


linee in potentia 


linee mediales in potentia ^^^H 


^^■^6 


Muß in der unteren Figur sowohl unter radii 48 abaque ^^H 


^^F 


radice 24 als auch unter radli iS et radix 24 stehen: ^^M 


^H 


accepta radice eius. ^H 


^^^BT 


In der Figur müssen die Worte unter der Linie bg lauten: ^H 


^^F 


radis 32 siue 4, accepta radice eins. Die unter der Linie ^H 


^^L 


ag: radix 32 et 4, accepta radice eiua Nach dieser Figur ^^H 


^^H 


fehlt folgendes: In 39' nihil mutatur nisi quod linea hoc ^^H 


^^^H 


modo uumeris insignitur: ^^^| 


^B 


^M 


radii 48 eine radice 24 radii 4t) et radix 24 <,^H 


^^IP 


accepta radice eine acoepta radice eius ^^^| 


' 328, 3 


binomium, et fuerit 


binomium et recta rationalis, et fuerit ^^H 


329, 1 


quod est 13 


quod est r> ^H 


- (i 


radici 4 


^H 


^H^ 12-13 


Vs ip.in. 20^ N.m in 


^Is radici B ipsius. 20 nam in 45 ^^H 




45 novem quinquies 


nongenti fuerit ^^H 




fuerit 


^^H 


— 26 


quadratum 


superficiem ^^H 


1 330, 1 


que 


^H 


^m — 13 


per longiorem 


per quadratum longior is ^^^H 


^H ~ 14 


longior 


quadratum longioris ^^H 


^^- 19 


2 et Vi 


et Vs ^H 


^K- 28 


quadrata, et eruot 


qnudrata, est enim eius radix unna ^^H 
et medium, et similiter si multi- ^H 
plicaverimus unum eorum in alte- ^^| 
rum, erit quod pioveniet, super- ^H 
öcies quadrata, et erunt ^^M 


^K- au-so 


com quadratum miuoris 


cum es quadrato maioris minuitur, ^^H 




<ex eo,' minuitur, 


remanet 5, ^H 




remonet, 


^H 


^^K- 35 


minoris 


(faUt weg) ^M 


^^ftl, 28 


brevior 


^^^M 









246 


HRINBICn SUTKR. 


Seite u. Zeile. 


CüRTZE. 


Richtig. 


333, Fig. 


radix 168 (bis) 


radix 108 


334, 8 


de ad ee 


ee ad de 


337, 8 


incommanicat 


communicat 


339, 3 


quadratum: ergo jsh 


quadratum: ergo proportio quadrati 






jsh ad quadratum ht non est sicut 
proportio numeri quadrati ad nu- 
merum quadratum^ ergo eh 


340, 23 


secunduin 


sedecim 


342, 3 


ßeiungitur; <Beiuiigitur> 


seiungitur, et unaqueque duarum line- 
ar um hg gh seiungiiur 


— 5 


sextum; et illud est 


sextum; et superfiuum inter eas^ quod 
est radix octo sine radice trium 
est residuum sextum^ et ülud est 


— 7 


namerantur 


inveniuntur 


14 


ostendittins 


ostendemus 


25 26 


quadrato quarte 20 


quarte quadrati radicis 20 


343, 1 


quadrato quarte 


quarte quadrati 


11 


radix 8 et medü 


radix 4 et medü 


12 


radix unius et medietatis 


radix unius medietatis 


345, 9 10 


namqne est multipli- 
catio 16 


namque est radix multiplicationis 16 


346, 32 


Zn, et superficies ml 


Im, et ... . superficies nl 


351, 6 


<at> 


rationalis 


— 9 


et ad est) rationalis 


(ßllt weg) 


352, 17 


et earum 


et quadratorum earum 


356, 2 3 


et est adiuncta ai gd 






rationalem 


(fallt weg) 


10 


el 


eo 


10 11 


ergo kt seiungilur le 


ergo leg seiungitur Jce 


357, Fig. 


Über der Geraden ab 


(rechts oben) muß stehen: radix 96, 



358, Fig. 



359 



360, 8 
— 11 



statt radix 6. In den beiden Figuren 55 und 56 sind 
diese Nummern zu vertauschen. 

Unter den Geraden ae und he (rechts oben) muß stehen: 
radice eins accepta. In den beiden Figuren 57 und 58 
sind diese Nummern zu vertauschen. 

Die beiden Figuren sind mit falschen Zahlen besetzt, es war 
mir aber unmöglich, herauszufinden, welches die ursprüng- 
lichen richtigen gewesen sein mögen. 

adiuncte, sicut secunde | adinvicem, sicut surde 

sequuntur in termino \ sequuntur, non sunt in termino 



^^Mbcr A. KommenUr >l. Muhammod beu 'Abdelb&qi tum zehnten Buche des Euklide». 247 ^^| 


^^klto u. 


CURTZE. 


Richtig ^B 


^^PO, 21 


HoiuB vero reeidui est 


HuiuB veru modi residuum est se- ^H 


^^H 


paratio 


paratio ^^M 


^B- Fig. 


Die Zahlen 92 and IQS sind zu ereetzen darcli lOl^ und 192, ^H 




statt residuum abBolntum boU etehen: residuum bimediale ^^H 


^^B 


primum; die Figur gehurt uämlich zu Theor. LXIX, die ^H 


^H 


Figur zu LXVIU fehlt, dus Zahlen beiapiel wäre VID — VS ^^M 


^nei, 24 


hg coniuncta sunt ra- bg coniiiMCta erunt incommunioastia ^^^| 


^^B 


tionale quadrato ag, et duo quodrata ah ^^^M 


^^^1 


bg coniuncta sunt rationale ^^M 


^■1- 24 


quadratum gd \ quadratum ag ^^H 


1 - Fig. 


Diese Figur gehört zu Theor. LXXD. ^H 


362, 8 


punctis 1 principio ^^^ 


^-" 


Hier feUt das Zahlenb 
Hier fehlt das Zahlenb 


ispiel: p2 — V3 ^H 


B-16 


ispiel: yV48 + V'24 — VV48 - V24 ^H 


^r9^> 24 


snrda 


^^H 


364, 7 


inde 


^^H 


- 14 


paravirnue 


perTenimuB ^^^H 


1 365, 2 


cuiua in 


tota in ^^H 


K-^6 




(fäUt weg) ^M 


H- 6 


Burda 


secunda ^^^| 


^860, 28 


a et b^rsignabo, que sit 12 


a et gh signabo, que sint 2 et 10 ^^H 


367, Fig. 


Die obere Figur ist teilweise unrichtig, sie aoU folgende sein: ^^^| 




i~ ' radix 180 ^^^H 






J-^ * regjd. aecnnd. = ^180 — 10 ^H 


^1 


308, 18 


eh; et similiter eis; et eit proportio de ad es sicut pro- ^H 




portio quadrati bg ad quadratum ^A ^^H 


- Pig. 


Über der Liaie ed iet das h links durch n zu ersetzen, das ^H 




h rechts füllt weg- ^| 


371, 2 


<radix> 32 [ radix 8 ^H 


— 3 


ipee duo radices 32 ipse due radices sunt radix 32 ^^M 


- !l— 10 


in quadratum, . in quadratum mf, ^^H 


— 13—22 


Est ergo radix H ' (fällt weg) ^M 


- 29—30 


que est 2 et radix 2 | et est 2 sine radice 2 ^H 


- Fig. 


An dieser Figur und den folgenden bis p. 380 fehlen die ^^| 




Zahlen, sie sind vom Leser nach dem berichtigten Texte ^H 


^ 


leicht zu erganzen. ^^| 



248 



Heinbicu Sutku. 



Seite u. Zeile. 

372, 13 
— Note 

373, 13 



— 23 

— 23 



374, 22 

375, 13 

— 29 

— 31 

376, 1 

— 20 

— 21 

377, 3 

378, 16 

— 16 

— Fig. 

380, 3 

— 4 

— 4 

— 23 



381 



382, 13 
— 25 

383, 12 



CüRTZE. 

equale bd 

lila OBtendit St'ius 

eä ad de, ergo 



ergo be 
gnomoni. Erit 



quadrati radix 108 

ergo dt 

gd 

area earum 

sit radix 72 

48 

48 

quadrati est 

92 

et <area quadrati est) 8 



Richtig. 

equale td 

BOKCOMPAGNI hat: 
Ita OBtendit sensus 

ed ad de, sed proportio ae ad ed 
est sicut proportio superficiei &jer ad 
superficiem dA, et proportio eä ad 
de est sicut proportio superficiei 
dh ad superficiem dtj ergo 

ergo fs 

gnomoni; sed be equatur ii, et fe 
equatur gnomoni, ergo bg est equa- 
lis Im, sed quadratum sq est equale 
Im, erit 

quadrati Icl radix 108 

ergo dh 

area duarum 

quadrate Tel sit radix 72 

12 

12 

quadrati Jcl est 

192 



superficiei 
radix 180 
quadrati sit 
numerationem 



(fallt weg) 

An der unteren linken Ecke des Rechteckes muß 6 stehen, 
ebenso p. 379. 

superficiei totius 
radix 320 
quadrati hl sit 

BoNCOMPAGNi hat: onum genus, ich 
glaube, daß es heißen muß: muta- 
genibem (vergl. p. 321) 
In dieser Tafel müssen in den Rubriken „Radices^* überall die 
auf „Radix" folgenden Worte im Genetiv stehen, also z. B. 
Radix Binomii primi statt Radix Binomium primum; es 
sind eben die in den Rubriken „Coniuncta^' und „Residua" 
stehenden Irrationallinien die Quadratwurzeln derjenigen, 
die in den Rubriken „Radices" stehen. 
est residuum i est residuum secundum 

inde { itidem 

residuum quartum ' residuum quintum 



Cbcr (1. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 249 



Die Figuren zu den sechs Sätzen (p. 382 und 383), welche nachweisen 
sollen, daß die sechs Residua die Quadrate der sechs ersten Irrational- 
apotomeen sind, sind voll von Fehlem in bezug auf die eingeschriebenen 
Zahlen, unvollständig und nicht in richtiger Reihenfolge, es ist des- 
halb nötig, dieselben hier richtig wiederzugeben: 



m 



resid. prim. 
e 6 — V2Ö g 




■\a 



"V/^ 



V20 



k 



m 



II 



resid. «ecund. 
e yi2 — 3 g 



H 



H 



yi92 — 12 4 



t n 



fl2 b 

z\ -— I- 



\a 



V1O8 



III 



Vi] 



V24 



m 



m 



>^4 



n 



« /- 



ZI 



Vs h 



resid. tert. 

e V8 - V^ 



d 



\a 



■v./^ 



V72 



A: h m 



resid. quart. 
e 6 — V12 g 



V3 



Vl28 — V96 4 IV V48 



V3 



V48 



24 — Vr92 :4 



t n 



Vl2-V96 6 



\a 



V12 + V96 



m 



resid. quint. 
e Vi2 — 2 g 






k 



m 



V'2 



V2 



V192 — 8 4 VI V32 



resid. sext. 

€ V2Ö-V8 g 



132 1 V320 - VI28 4 



t n 



d 



t n 



VV48 — f62 h 

z\- - - - 1- 



irt 



V\hÖ-V48 b 



la 



VH5^+i32 



\ V80 + ^ 48 



250 



Heinrich Sutek. 



Wir geben hier die Erklärung zu Fig. I^ zu den übrigen ist sie dieser 
analog. Man legt an die rationale Seite gd = ^ das Rechteck kd 
an, das gleich ae^ + be^ = 20 + 4 = 24, also ist ^i == 6; dann 
subtrahiert man von diesem Rechteck die beiden gleichen Rechtecke 
Jen und ml, die zusamen »= 2aa ,bjg = 2V80 sind, so ist das übrig 
bleibende Rechteck ed == az^ + bjs^ — 2az ,bj8 = (ae — bey = 
24 — V320, und da ^d =- 4 ist, so ist eg = ß — |^, und dies ist 
ein residuum primum (erste ^potome). — Wäre jrd — 1, so wäre 
eg selbst = (ae — 6ir)2 = Q/20 — 2)^. Die Linie ht teilt das ganze 
Rechteck so, daß gt = az^ = 20, und kt = bs^ = 4 ist. 

Richtig. 



Seite Q. Zeile. 


CUBTZE. 




384, 19 


toto 


toti 


385, 20 


conreniret 


eveniret 


25 


de (bis) 


dg 


— 25 


be 


de 



- Fig. 



386, 2 

— 9 

— 12—13 



386, Fig. 



z 



Die richtige Figur ist: 






de de 

est itaque radix est itaque bd radix 

Deinde multiplicabo . . . Dies ist ganz unverständlich, es soUte 
.... surda. wohl heißen: deinde multiplicabo 

illud in 48, et est radix radicis 
radicis radicis illius quod proyenerit 
surda de. 

Die beiden Figuren sind mit denselben Buchstaben zu be- 
zeichnen, wie die vorhergehende, an die Seite ag ist 2 zu 
schreiben, im mittleren Rechteck ist bei beiden das Wort 
;,radicis^' einmal, im vorderen zweimal hinzuzufügen. 



Zum Schlüsse sehen wir uns noch zu folgender Bemerkung veran- 
laßt: Der letzte Satz des Kommentars (p 385—886) bezieht sich auf 
Satz 115 bei EuKLroES (Edit. Heiberg) und nicht, wie Curtze in Note 1 
p. 885 andeutet, auf das Porisma p. 852/353. EiivLIDES will nämlich am 
Schlüsse des 10. Buches noch darauf hinweisen, daß es noch höhere 

Mediallinien gebe, als die von ihm im 21. Satze des 10. Buches definierte 

1' • 

und dann durch das ganze Buch hin benutzte erste Mediallinie ym^fi; 



über d. Kommentar d. Muhammed ben ^Abdelb&qi zum zehnten Buche des Euklides. 251 

konstruiert man nämlicli ein Rechteck^ dessen eine Seite ab (Fig. p. 385) 
gleich dieser Mediallinie^ die andere Seite ag gleich der rationalen Linie 

p ist, so ist die Linie, die dieses Rechteck potenziert = fp \fn Vn = 
^nm^p^] dies ist eine zweite MediaUinie, sie sei in der Figar =» hd] 

dann ist die Linie, die das Rechteck de potenziert = \ p}/ pym\'n = 

Vnw^p^ eine dritte Mediallinie, sie sei in der Figur djB-^ so könnte man bis 
ins Unendliche weiter gehen. Wir sind daher der Ansicht, daß dieser 
Satz 115 entgegen der Meinung von Heiberg {Euclidis Elementa, VoL V, 
Proleg. LXXXV) wohl von Euklides herstamme, in bezug auf die Sätze 
112 — 114 können wir dagegen mit Heiberg übereinstimmen; diese unsere 
Ansicht scheint auch NAStR ED-DiN el-Tüs! gehabt zu haben, indem er 
in seiner Ecklid -Rezension die Sätze 112 — 114 weggelassen, dagegen 
115 aufgenommen hat. Freilich sind jene fraglichen Sätze nicht so weit 
von dem Gegenstande abgelegen, der in den vorhergehenden Sätzen des 
10. Buches behandelt wird, wie dies Heiberg (1. c.) darstellt; in 114 

wird der Satz bewiesen, daß (Vn + Vw) (V^ "" ]^) rational sei. 



über zwei angebliche mathematische Schulen im 
christlichen Mittelalter. 

Von G. Enestroh in Stockholm. 

„Wir haben dae Ende des XIV. Jahrhimderte erreicht, Überbllcl 
wir dasselbe mit nach rückwärts gewandten Augen , so sind es etwa 
folgende Punkte, die vorzugsweise sich bemerkbar machen. Die beiden 
Schulen, deren Vorhandensein im XIII. Jahrhundert wir erkannten, sind 
noch immer getrennt vorhanden. Die geistliche Schale der Universitäten, 
an Zahl und Bedeutung der ihr angehörenden Peraönliehkeiten über- 
wiegend, bringt in England einen BradmaküinL'S, in Frankreich einen 
DoMlNicus DE Clavasio, einen Oresme hervor, schickt Sendboten einer 
künftigen Größe nach Deutschland. Die weltliche oder kaufmännische 
Schule bleibt noch in Italien haften, ohne durch diese Einengung dM 
Bodens ganz zu verkümmern. Sie zählt auch Persönlichkeiten toh( 
geistiger Bedeutung, wenn auch keineswegs dem Gründer der Schale^' 
LeonaiU) von Pisa, nur annähernd gleichzustellen." 

So äußert sich Herr L'antor an einer Stelle seiner Vorlestingeri.*) 
und aus einigen anderen Stellen bekommt man nähere Auskauft über 
diese zwei Schulen, deren Vorhandensein meines Wissens vor Herrn CanTOK 
unbekannt war.") Der Gründer der ersten Schule war nach Herrn Cantob 
JoKDASL's Nemokakius^), ond ein Vertreter dieser Schule war auch 
SacrObosco.^) Als Gründer der zweiten Schule ist schon in dem o1 
zitierten Passus Leonardo Pisano genannt, und derselben Schule gehi 



M 



>U(SJ1 



1 1 M. Caktob, Vorhiungen über OanAiAU der Mathematik 2*. Leipiig 1900, S. 166, 
2; Wenn LmBi (Hittoire de» scieneti mathitmtiquei en ÜaUe 3, ?Mi» 1B38, S. 44> 
behauptet, daß Leonibpu „erat en Toscaue une ecole floriBBaate*, eo ist dies kaum 
mehr nU eine Redeweise. Berr Cantob macht selbst a. a. 0. S. 55 darauf aufmerksam, 
daD für Italien eine Nachwirkung Leomhdub sich nicht eher all mehr als 200 Jahre 
nach aeiiiem Tode mit Deutlichkeit erteuneu läßt. 



3) M. CA!«T»i 

4) M. Castuü 



i, 0- S. 81 



205. 



■. 2U5, 



rier 



rei angeblichö math ein a tische Schuleu im divigtliflioii MIUpIäIUiv, yflS 



■ftch Herrn Castor') der iinbekanute Verlasspr eines von LiiiKl*) teil- 
lireise veröffentlichten, angeblich aus dem 14. JnIirhimdDrt liertttnmniendon 
algebraischen Traktatea in italienischer Sprache, 

Daß man im allgemeinen, wenn es mehrere rniversitüten )(il>t, die 
mathematischen l'uterricht erteilen, von einer mathematischen Hchiile der 
Universitäten reden isann. wiU ich nicht verneinen. Es ist ja klar, daß 
der Univereitütsunterricht fast notwendigerweise eine mehr oder weniger 
feste Form annehmen muß, deren allgemeine Züge durt-h die Hatiungon 
[«stimmt werden, und es kommt oft vor, daß der Unterricht oder die 
Satzungen einer hervorragenden Universität wenigstens bis zu einem ge- 
wissen Grade für die übrigen maßgebend werden Oh dies wirklich für den 
mathematischen Umversitätannterricht im christliehen Mittelalter gilt, 
werde ich später untersachen, aber jedenfalls scheint es mir nicht ganz 
angebracht, die betreffende Schule „geistlich" zu nennen, Hftrr (lANroit 
' macht selbst darauf aufmerksam^), daß die Universitäten zwar oft aui 
KSloEterschnlen und ähnlichen von fieiatliehen geleiteten Anstalten heraus- 
■gewachsen sind, daß aber dies nicht ihre einzige Entsteh iingswoisc war. 
bvon den angeblichen Vertretern der fraglichen Hchule starben freilieb 
LADWARDiN Und Oresme als Bischöfe, aber Saciiokonco und Dominici'B 
i Clavasio waren meines Wissens nicht Geistliche; jener wird allgemein 
Lehrer der Mathematik und Astronomie an der Univeroität in Paris 
maunt^), and dieser gehörte zuerst der Artistenrnkultät, dann der medi- 
Biniechen Fakultiit derselben Universität an ^). 

Nnn ist ja möglich, daß Herr Oantob die Rchnle geistlich genannt 
hat, weil seiner Aneicht nach der Ordensgeneral JoBlUNl's Nkuokahiuh 
ihr Gründer war, aber dann ist die Benennung meinen Krachten« noch 
weniger angebracht. Herr Caxi'or geht nämlich von der Vorausiietsung 
aus, daß der Algorithmus demonstratus von Jordaxih verfaßt ist, und 
bebt besonders den Inhalt dieser Schrift als filr die Kchol« kirnnzeichnend 
hervor''). Aber bekanntlich hat es sich herflnsgestellt, daß der V«rffii»OT 
dee Algorithmus demonstratus höchst wahrscheinlich nicht .loHrtAKtiH, 



>■ ttalU %. FftrU IH40, » »(K— 849 



1) H. CxnoR, ■. B. O. 6. 157, 1S7. 
2} G. toKKi. JKftotr« dt* »ätnea matlthnatvpifj) r 
3* M. Cjutob, ft. k. O. S. M 

4) Pber Sioomowo vgl P. Tinnv, I.'iDteriD<(il. d- laatli^iii. I. IMO. H. i04 

1901, S. 2<8~2«5. - n Bf-'tsi., I.'int«c~<(<i d. mkl!i«a> I. lOOS, 

\. S7&~277; 10. 190S, S. ^SX—t^ kn Att nilMd sili«rt«i HMU «rwUMil \lm 

■D «IDCD VerfMWt ma» ilen Kwla Je« 17. JalulmadMto, der Marh«r*{rt, iJaA niMi 

) GiuDi) hkt, üuntasoK« sla gcütli«)) an betosdileD 

.V V^l H- Com, ChtT 4tm n^,t«t±» i-n (:i4<ui« dtr .OeomltHa f 

pibliotfa. Hktbaa USfi, S. 107-11«. 

6} II. Caxt«>, k. k. O. K. 84-eS. 



254 



G. Ekk9TsSii. 



sondern ein bisher unbekannter „Magister Geknardiis" ist'), und ei; 
lieb sollte mnn also diesen als Gründer der Schule der Universitäten be- 
trachten. Nimmt man noch hinzu, daß es bisher nicht ganz sicher ge- 
stellt ist, daß der Mathematiker JoniUNi'S Nemobaril'S wirklich mit dem 
Ordensgeneral Jokdam's Saxo identisch ist, so kann man kaum umbin, 
die Annahme, daß dieser Ordensgeneral Gründer einer matheniatiscben 
Scbule der Universitäten im christlichen Mittelalter war, als höclist 
sicher oder sogar uDwahrscbeinlicb zu bezeichnen. 

Meiner Ansicht nach war .Toudanis Semorakips Vertreter 
Richtung, die icb der Kürze halber die neneuklidische nennen möchteT 
An einer anderen Stelle^) habe ich die Demonstratio Jokuasi de ulgorismo 
charakterisiert als einen Versuch, das ErKLioische Lehrgebäude unter 
Bezugnahme auf die arabische Rechenkunst zu ergänzen, und etwas ähn- 
liches könnte man von den zwei Traktaten De ntimcns datis und De 
iria^äis sagen. Der erste Traktat kann eine Ergänzung der Aeöofiiva unter 
Bezugnahme auf die arabische Algebra genannt werden, und der zweite 
Traktat hat einen entsprechenden Zweck hinsichtlich gewisser Abschnitte 
der EL'KLiDischen Planimetrie. Durch seine Schriften hat JOUDANVS ohne 
Zweifel einen nicht unbedeutenden Einfluß auf die späteren mittelalter- 
lichen Mathematiker gehabt, aber Tatsachen, die bestätigen, daß er eine 
wirkliche Schule bildete, habe ich noch nicht entdecken können. 

In betreff der Frage, ob es im christlichen Mittelalter eine mathe- 
matische Scbule der Universitäten gegeben hat, muß ich zuerst hervor- 
heben, daß diese Schule, auch wenn sie existierte, keineswegs eine be- 
sonders feste Form hatte; es ist also jedenfalls kaum erlaubt, zu sagen, 
daß sie in England und Frankreich Vertreter hervorbrachte und daß sie 
Sendboten nach Deutschland schickte. Auf dem rechnerischen Gebiete 
gab es wohl eine solche Schule, und als die ersten Vertreter derselben 
möchte ich SacrobüSCo und „Magister CJeunarül's" nennen; in einem 
gewissen Sinne konnte man vielleicht auch Bradwabüis und Okesme zu 
dieser Scbule rechnen. Dagegen sehe ich nicht ein, wie man aus dem 
Inhalte der Practica geometriae des Dominicas de Olavasio und der 
Oeometria Culmensis folgern kann, daß die Verfasser dieser zwei Schriften 
der Schule angehörten. Dominicü.'j de Clavasio vertritt ja vielmehr eine 
praktische Richtung, un<l der Umstand, daß er ein paar Jahre Lehrer der 
Pariser Artistenfakultät war, genügt kaum, um zu motivieren, warum Herr 
Oantor ihn zu der mathematischen Schule der Universitäten gerechnet hat. 






i) Vgl. r. Dt 

1905, S. 9-15. 

2) G. EnESTR.iM, Ülw die „Dnu 
Mathem. Tj, 1906, S,31— 32. 



Sur V Algorithmuii danonsCrtüus ; Biblioth. Mathem. 63, 

Jim::. in ,Ie nlgorildilO''; ßibliol 



Ai 



1 



■ Iber iwei angebliclie mathematiBche Schulen im cliristHcheii Mittelalter. 255 

Wenn ich also nur bis zu eineni gewissen Orade mit den Aus- 
führungen des Herrn Cantok in betreff der ersten von ihm angegebenen 
Schule einverstanden sein kann, so bin ich noch weniger mit ibm einig, 
wenn es sich um die angebliche kaufmännische Schale handelt. In 

I der Tat muß ich in Abrede stellen, nicht nur, daß Leonardo Pisano 
eine solche Schule gegründet, sondern sogar, daß sie nachweislich 
existiert hat. 

So viel ich sehen kann, hat Herr Cantor die feste Überzeugung, 
daß LeosardO Kaufmann '1 war, und teils hieraus, teils aus dem Umstände, 
daß der Liber ahact Gegenstände behandelt, welche der Kaufmann braachen 
maßte oder wenigstens konnte*), hat er wohl unmittelbar gefolgert, daß 
Leosahdo Vertreter einer kaufmännischen mathematischen Schule war. 
Ich will zunächst untersuchen, ob die erste Voraussetzung dieser Folgerung 
richtig ist. 

Wer zuerst behauptet hat, daß Leonardo Pisano Kaufmann war, 
habe ich nicht mit Sicherheit ermitteln können, aber ich hin geneigt an- 
znnehmen, daß die Angabe aus der zweiten Hälfte des l!^. Jahrhunderts 
herrflhrt. Jedenfalls habe ich bei den älteren Verfassern keine Bestätigung 
derselben auffinden können. So z. B, bemerkt der anonyme Verfasser 

I «ines Lihro di pralicka darismetricha aus der ersten Hälfte des lö. Jahr- 

^nnderts^) „Lionahdo pisano . . . fu da! suo padre tirato asse, che era 

rittore nella ghabella di doghana di broggia, e quindi in egitto, e chaldea 

n india navichando, e per alchunu tempo riposandosi usö le schuole loro". 

['Etwa ein Jahrhundert später schreibt im Jahre 1506 der Pisaner 8er 

r Perizolo*): „Liokaudo Fiiionacci fue nostro concive, e vivette nelli 
anni 1203. Vidde tutto el mondo; tomoe a Pisa e reeö i numeri arabichi 
e Taritmetica, e ne compose un libro . . .". Hier ist also gar nicht davon 

_ die Rede, daß Leonahuo Kaufmann war. Ebenso unbekannt scheint 

• Umstand gewesen zu sein am Ende des \G. Jahrhunderts, als B. 

Saldi seine Muthematiker-Ohronik verfaßte, denn darin wird nur gesagt, 

'dftB Leonardo ein großer Mathematiker war und lange Reisen gemacht 
,') Die Angabe, daß Leokakdo Kaufmann war, habe ich zuerst hei 

1) AufßltigerweiHe fehlt S. 5 des achou zitierten Bandes der Vorlautigen , wo 
ei sich um LEuüAEinus L ebene umetäu de imudelt, jede genaue Angabe über Htnen 
Beruf; es wird nur gesitgt, daß er viele HandelBreieen vurgenommen bat. Aber 

ti vielen Bpäteren Stellen nennt Herr Cühtou LsuwiEuu Buadrücklich „Kauftnkiin'', 
B. 8. 85, »6, 1Ü4, 1&6, 
2) M. CiMTi.R, a. k. 0. 8. 35. 
8) B. Büxrovr*tisi, Intomo ad alcane opere di Lkisjsiw Pua.\-:, Borna 1854, 8. 128. 
4) F. BoNjiiKi, Memoria unica sincrona di Lhohäuho Fii-ohjcc^ Pisa 18SS, S. VI 
5) B, Baidi, Cronica de' maleuiatki, ürbino 1707, 8.68—89. 



P. CosSALi gefunden '}, und vom Anfange des 19. Jahrhnnderts an^^mmH 
selbe bei den meisten matbematiBch-hiBtorischen Verfassern vor, die Anlaß 
gehabt haben, sieb mit Leonardos Lebenaum ständen zu beschäftigen-') 
Nur bei B. BoS(.;OMi'AftNi fehlt die Angabe^), und in der Tat bin ich Über- 
zeugt, daß sie auf einem Mißreratündnis beruht. Bis auf unsere Tage war 
nämlich die einzige Queue, aus der man authentische AufschlÜBse über 
LeonäKBOs Lebensumstände bekommen konnte, sein Widmungsscb reiben 
nn „Magister IIichäei, St'oiTi's" am Anfange des Liber abaci, und in 
den älteren Abdrücken dieses Schreibens kommt der Ausdruck: „ad que 
loca negotiationis causa prius ea peragran" vor*); aus diesem Ausdrucke 
folgerte man nun, daß Leonardos Reisen Handelsreisen waren. Aber in 
BoNCOMPAGNiB Ausgabe des Liber abnct, die einen besseren Text bietet, 
lautet der PasBUB^): „ad que loca negotiationis tam postea peragrari", 
und Leosakdo deutet also gar nicht an, daß er als Kaufmann seine 
[leisen vomahni. Daß er vorzugsweise oder vielleicht ansschließlieh 
Handelsstädte besuchte, ist sehr leicht zu erklären, ohne daß man die 
willkürliche Annahme, daß er Kaufmann war, gebraucht. Herr Cantür 
hat selbst hervorgehoben"), daß die Stellung des Vaters Leosarhos, 
mochte er auch nur Schreiber („publicus acriba'") heißen, keineswegs eine 
untergeordnete gewesen ist, und daß ea eich in betreff der pisaniscben 
Faktoreien zuweilen um ganz wichtige Sachen handelte, z. B. um den 
Abschluß neuer Verträge. Es ist darum sehr wohl möglieh, daß Leonardo, 
der Sohn des hoben /Zollbeamten in Bugia, seine Reisen im Auftrage 
seiner Vaterstadt vornahm. Es ist ebenso möglich, daß Leonardo gerade 
die ,,loca negotiationis'" besuchte, weil sein Vater dort Bekannte hatte, 



1} Sielio P. CoKBALi, Scritti ineilüi pubblicati da B. B-.xroMrMis,, Roma 1857, S. 1: 
pColä chiamoüo il padre per {irocurai^li pane oel ieivigio del cammercio*, vgl. 
S. S43: „il net^easario commerciale tragitto dej mari*. fbei eine äbnlicbe ÄnBening 
von O. Ghiiui.!» (Memoiie istorielie dt piii vomini Ulnstri Puiihi 1 |1T&0], 3. 163) 
siehe 6. BoNcourAcxi, Della rita e drlle npere di LtosAtun Pimaso, Homa 1652, S. 72. 
-~ Dagegen lutbe ich die Angabe, daB Leönji&iio {Cnurinuiti war, nicht in Oossiljb Arbeit: 
fMgine, tnuporto in Ilalia, primi progresei in ««» delV algebra (Parma 1797—1799) 
anßUiden kflnoeti. 

3) Siebe e. B. Cr. Boanur, Essai sur l'hiitoire ginefoie des malhematiquet I, Pkris 
1802, S. 237 („un riebe nägociant de Pise, appele Leonabi)"). — G. B. GrouzLMcn, 
Elogio di Liosjum PmA.-.-o, Bologna 1813, S. T (,Non ai ba tosto il Mercatante affeialo 
il Poito"), -~ LinRi, a. a, 0. 2, S. 20 (,c'est v, un marcband de Fise, LiosiMo Fibosacci, 
qne noua derons 1» connaisaance de Talgäbre*). 

S) Siehe G. Bokcoupaom, Delta vita e dtile opert di Lkokiki-o Pisjku, 8. I 
— Ober den Augdruck .per cagione di kaflico" (S. ß) Biebe weitet onten S. 2i% 

4) Siehe t. B. Liuni, a. a. O. 2, S, 268, 

5) Scritti di Lsosini,» Pia^no, pubblicati da B. Boxrom-Ai-si 1, Roma 1857, I 

6) M.CiaTOB, ». a. 0, S. 4— 5 



Ober iwei angebliche matheniBtiache Schulen im chriütliohen Mittelalter. 257 

* £e dem Sohne die Bekanntscliaft mit den arabischen und griecbiBcben 
Gelehrten vermitteln konnten. Aber auch wenn man annimmt, daß der 
üitere Text „que loca negotiationia causa peragravi" richtig ist, so folgt 
daraus gar nicht mit Sicherheit, daß Leonardo Kaufmann war. Bos- 
coMPÄdNi übersetzt') ..negotiatiünis causa" mit „per cagione di traffloo". 
und man kann sehr wohl sagen, daß ein Beamter, der Reisen macht, uui 
neue Handelsverträge abzuschließen, „per cagione di traffico" reist. Darch 
den älteren Test wird also Leonakdob kaufmännische Tätigkeit bestätigt, 
nur unter der Vorauseetzang, daß man anderweitig etwas hierüber er- 
fahren hat. Nimmt man Jetzt hinzu, daß Leonarijo, so weit bekannt ist, 
an keiner Stelle seiner Schriften auch nur andeutet, daß er Kaufmann 
war, 80 darf man wohl behaupten, daß die gewöhnliche Angabe auf 
einem Mißverständnisse beruht. 

Außer dem erwähnten Widmungaachreiben gibt es meines Wissens 
nur zwei authentische Aktenstücke, woraus man etwas über Lkonakdob 
Lebensumstände erfährt. Das erste Aktenstück rührt aus dem Jahre 122Ö 
her und ist von G. Milanksi im Jahre 1807 veröffentlicht worden*), gibt 
aber keine Auskunft über LEONARDna Beruf Das zweite Aktenstück, ein 
wahrscheinlich um 1241 ausgefertigtes fiskalisches Dokument, ist von 

IV. BoNAiNT im Jahre 1S58 zum Abdruck gebracht'*), und dort heißt es: 
Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectnm, 
I qui eis, tarn per doctrinani quam per sedula nbsequia discreti et 
L sapientia viri magistri Leonakdi Bioolli, in abbacandis estima- 
L tionibuB et rationibus civitatis eiusque officialium et aliis quoties 
k expedit, conferuntur; ut eidem Lkonakdo, merito dilectionie et 
L gratie, et scientie sue prerogativa in recompensationem laboris sni 
B quem substinet in audiendis et consoHdandie estimationibus et 
P rationibus supradictis ... 
Aber den Mann, der „sapiens vir magister Leonakdo Bigollo" ge- 
nannt und als hervorragender Mathematiker bezeichnet wird, hat man gar 
keinen Anlaß ztim Kaufmann zu machen. Was hier mit „obsequia in 
abbacandis estimationibus et rationibus" gemeint wurde, ist mir nicht 
näher bekannt, aber die Worte acheinen mir darauf hinzudeuten, daß 
(EONARDO als KassenkontroUeur der Stadt Pisa tätig gewesen ist.*) 

r, I)e!Ia vüa t Hellt opere di LtomtDo Pisaho, 8. 6. 
DoeumetUo inedite e sconoeeiuto inlorno n Lwxjsno FiBovtcci 




Bo«..-.., a ».0. S.VU~VIU. 

M, Lix?!J>kiMt (Luinttnn Fiiontiri, It sut opere t la sna famujUn; Bolle lt. 
A. Bc. matem. 7, 1904, S. h) sollte mus den zitierten Worten liervor- 
dafi LioMAKuo .coutaliile" (aUo R«chDUDg8falirer) der Stadt Pisa war. 
Unthenuitic&. Il[ FoIkb Vit li 



258 



. t^MlUTHÖU, 



Es ist ju denkbar, daß Leonaudo sich als Jüngling der kuufniännisehi 
Tätigkeit gewidmet hatte, und erst nach der Rückkehr von eeinen Reisen 
ein „sapiens niagister" wurde, aber auch in diesem Falle wäre es meiner 
Ansieht mich unrichtig, ihn Kaufmann zu nennen; mit ebenso gut 
IWhte könnte man in einer Geschichte der ÄBtronomie von den 
deckungen des „HandeSalehrlings" F. W. Bkssei, sprechen. 

Dagegen ist es ohne Zweifel richtig, daB Lkonardo in seinem Liber 
ahaci Gegenstände behandelte, „welche der Kaufmann mitten im Verkehre 
des Lehens brauchen konnte, mitunter brauchen mußte"'); so z. B. bezieht 
sich der Abschnitt auf Umtausch von Waren und der 10. Abschnitt auf 
Genossen Schaft unter Gesellachaftern. Aber aus diesem Umstände darf man 
weder schließen, daß Leonardo Kaufmann war, noch daß er in erster Linie 
fUr Kaufieute schrieb. Bekanntlich haben viele arabische und jüdische 
^fathomatiker in ihren Schriften Probleme dieser Art behandelt, ohue 
daß man daraus gefolgert hat. diese Schriften seien von Kaufmännern 
oder für Kaufmilnner verfaßt. Es ist auch längst darauf hingewiesen 
worden, daß LeoxsiuiO seme Vor^Jiger, z. B, At.KiiWArctZMi und Alkarriii 
ausgiebig benutzt hat'), und es ist darum leicht erklärlich, daß seine 
außerordentlich große Sammlung von Problemen viele kaufmännische 
Gegenstände behandelt Auch nach LKONAnnn hat es viele Arbeiten ge- 
geben, worin eine Menge von ähnlichen Problemen vorkommen, obgleich 
ihre Verfasser nachweislich nichts mit Handel zu tun gehabt haben, und 
ebensowenig einer kaufmännischen Schule angehört haben; als Beispiele 
nenne ich L. PAtiroLO und N. Tartaoi,ia. Übrigens muß wohl der 
Leser von Leonakhos Schriften ziemlich bald zu der Einsicht gelangen, 
daß diese nicht in erster Linie einen praktischen Zweck verfolgen*) 
Auch in solchen Fällen, in denen es sich um kaufmännische Gegenstände 
handelt, ist die Hehandlitntf gar nicht kaufmännisch. Als Beleg erlaube 
ich mir auf die Probleme über Vögelkäufe hinzuweisen. Ein Mann kauft 
'M) Vögel verschiedener Gattung um 30 Geldstücke, nämlich Rebhühner, 
Tauben und Sperlinge; ein Rebhuhn kostet 3, eine Taube 2, ein Sperling 
1 Geldstück. Wie viele Vögel jeder Gattung hat er gekauft?*) Ein 
andrer Hann soll auch für 30 Geldstücke 30 Vögel kaufen, nämlich 
zahme und wilde Tauben sowie Sperlinge; die zahme Taube kostet 2, die 
wilde Taube ^, der Sperling J Geldstück. Wie viele Vögel jeder Gattung 
soll dieser Kann kaufen?'') Ich hin überzeugt, daß der Eautinann am 

1> M C*>TOK, a-a, 0, S. 35. 

2| Vgl e. B. F. W..KP01I». Extrail da Fnkhri, l'ari» 1853, S, 24— 3B. 

3) Vgl. was Herr CAirron selbrt ft. u. O. S. 36 in betrolf der Praetiea /fnirnttriae at 

4) :irritti rfi LA.i^AH,.o i>«j.v.t i, s. les. 

5) Scrilti di Ls<.sasi.o Pm..,v.: piMdieftti da B. BocroKwi.vi 2. Roma 1863, 



Tber a 



iQKeblichu iiiatlieiuiitlache Sübule 



259 



Anfange des 11). Jahrhunderts obenBowenig als der Kaufmiinn am An- 
fange des 2(1. Jahrhunderts die Lösung solcher Fragen im Verkehre des 
Lebens anwenden konnte. 

Als Vertreter der augeblieh von Leonaudo PisAsn gegründeten 
kuufmänniBcben mathematischen Schule nennt Herr Cäntok, wie ich schon 
erwähnt habe, den Verfasser eines von LiiiUi teilweise verÖffeDÜichten 
algebraischen Traktates. Die Handschrift dieses Traktates soll nach Lmiti 
aus dem 14. Jahrhundert herrühren, aber die. Ltititiache Angabe ist gar 
nicht belegt; meiner Ansicht nach kann man eher vermuten, daß der 
Traktat aus dem Ende des 15 Jahrhunderts stammt'), also auB einer Zeit, 
da es wohl nicht mehr eine kaufmännische mathematische Schule gab*), 
librigens erinnert der Inhalt der von Linki veriJtFentlichen Auszüge kaum 
an die Kauf leute ■'), und der einzige Grund, warum man den Traktat zar 
kaufmännischen Richtung rechnen könnte, ist eine Stelle, wo es nach 
t.IHIti heißt*): .jEssendo io pregato di dovere scrivere alcune cose di 
abaco necessarie a' mercatanti, da tale che i preghi suoi mi sono oomanda- 
menti, non come prosuntuoso ma per ubbidire mi sforzero . . . '" Aber 
(lieser fimnd ist sehr schwach, solange man nicht weiß, welche Gegen- 
stände aurch den Ausdruck „alcune cose di abaco necessarie a' mercatanti" 
bezeichnet werden. 

Sonst habe ich in den Vorlesungen des Herrn f'ANTOR nur einen 
ithematiker auffinden können, der als Vertreter der kaufmännischen 
betrachtet werden kann, nämlich Paolo DA'iOMARi, der a!a Ver- 
Binea fQr Kaufleute verfaßten Traktates erwähnt wird *). Aber von 
Traktat s^ Liiiri an der von Herrn rfifJT'Hi zitierten Stelle nicht, 
daß er fiir • Kauf leute geschrieben ist, sondern ..tju'il est aussi ecrit poor 
les negocians" und aus dem. was I.irri sonst mitteilt, z B. daß der 
Traktat „la Solution de plusieurs probli'mes assez difficiles d'analyse in- 
determinee" enthält, geht ea nicht hervor, daß der Traktat t» erster Linie 
fiir Kaufleute verfaßt war, und als" auch nicht, daß der Verfasser des- 
selben Vertreter einer kaufmännischen Schule war 

Aus dem voriingehendfln dürfte klar sein, daß die Annahme einer 
knafmännischen mathematischen Schule des christlichen Mittelalters zum 

1) Vgl. E\E»iKü«, Remarqve «ur Fepoque oü le mot ,plt«* a Hi tnftodu»{> 
M»M»r Imn« d'additton: Biblioth, Muthem, 1899, S. 105—106. 

2) DaB ei um Kode des 15, Jahrbunderta EechcDbÜcfaer ^b, die för junge Leute, 
•Birhe (l«m KkulnaniifatBiide iiich wMmen wolltea rrgl. Cantob, b. a. 0. S. S03\ be- 
■limmt «raroD. beweist QfttOrHch nicht, daB <laui»ls oiue kaufiugtiniäche aatUctuatiiohp 
Scliule forfaanden war. 

3) Vgl. M. CiNTCR, a. ». U, S, 158 

4) I.ii»i. s. a. 3. S 214. 

5) M. Uaxtob, a, a. i^. 164. 

17* 



stände 
^^-, bezeicl 



aeo 



G, Eni 



mindeaten auf sehr schwachen Füßen steht, aber damit ist nw 
gesagt, daß es nicht im chriBtüchen Mittelalter eine Schule gab, die einen 
entschiedenen Gegensatz zu der Schule der Universitäten bildete In der 
Tat glaubt Herr Caxtok einen solchen Uegensatz bei Lkosardo Pisaso 
entdeckt zu haben, nnd wenn dies wirklich zutrifft, so ist es ja nur der 
Name der von Leosarho vertretenen Hichtung, der modifiziert werden soll. 
Nach Herrn Cantoh gebiirt der Gegensatz zwischen Leoxakik» 
PlSÄNO und der Schule der Universitäten zumeist den rechnenden Ab- 
Bchnitteu an; ich drucke hier die Begründung des Herrn Caxtok') ab, 
indem ich nur bemerke, daß ,,Joiii)ANrs" den Verfasser der Algorithnus 
demonstratus bedeutet, so daß man eigentlich überall, wo Joroanus steht, 
„Magister Gersahdc-s" lesen soll: 

JOKlMNUS führt Verdoppelung und Halbierung als besondere 
Rechnungaarten an, Leonahdo kennt sie nicht als solche. Leonardo 
lehrt die Neimerprobe, für Joi{da>ts ist sie nicht rorhajiden. 
JoRDANis besitzt eine Art complementarer Multiplication (ob freilich 
aus arabischer Quelle bezweifeln wir), bei Leonardo nichts Ähn- 
liches. . . }) Fast am Auffallendsten ist der Gegensatz beider Schrift- 
steller, wo es sich um die Ansziebung von Kubikwurzeln "handelt, 
JoRDANi'S lehrt dieselbe, soweit sie ganzzahlig möglich ist, genau 
in der gleichen unbefangenen Weise wie vorher die (Quadratwurzel. 
Leonardo rühmt sich der Erfindung der KubikwurzelauBziehung 
und lehrt dabei eine Naherungsmethode, welche es gestattet, den 
rohesten ganzzahligen Annäherungen noch Brüche beizufügen. 
Meines Erachtens genügt diese Begründung kanm, um „schroffe 
Gegensätze" ■*) zwischen der Schule der Universitäten und Lkunariio 
nachzuweisen. Daß bei diesem weder Verdoppelung und Halbierung noch 
komplementäre Multiplikation vorkommt, scheint mir nur zu beweisen, daß 
Leonardo diese Rechnungsarten als unnlitig betrachtete, während auf 
der anderen Seite die Schule der Universitäten dieselben ohne weiteres 
aufuabni. nur aus dem Grunde, weil sie in älteren lateinischen AlgorismuE- 
schriften vorkamen. Wenig wichtig scheint mir auch der Umstand, daß 
Leonardo aber nicht die Schule der Universitäten die Neunerprobe lehrte: 



1) M. C*xT(,k, B s. 0. S. 84—85. 

2) Ich habe hier des Pssent- ,Le')nabdo gebraucht föi das (Jaddrat der unbe- 
kannten Größe daa Wort crneus, bei Jikdahuk ist e« nicht eu finden, sondern ntJi 
qiuidraltu" ansReechloBBen, der eich wirklich auf JoROiity» nnd nicht uaf MciBtcf 
GsHM-MiM-» bwieht. Der von Herrn Castqh bemeikle Unterecbied in betreff der Tot- 



miDOlogie hängt wohl damit 

oben „neuenklidisch* geaanot habe, ^ 

lum Mathematiker geworden war. 

3) Vgl, M. C»KTOB, a a. 0. 8 84 Z. 



dab JOEÜ.JM'» 

väbreud X^tott 



9 Itichhmg vertrat, die 
I in arabiaober Schub 






Diaober bclmln^^ 



übet zwei aogeblicho matliematiiche Schulen im cliriatlicheu Mittelalter. 261 

nm Vorübergehen hebe ich hervor, daß die Siitze, die der Neunerprobe 

1 ZugruBd«; liegen, in der „Demonstratio Jordani de algorismo" vorkommen '), 

flo daß die Neuner{)robe eigentlich nicht für Lbonauoo kennzeichnend 

war, Wae zuletzt die Kubikwnrzelausziebung betrifft, so kann ja der 

Umstand, daß die von Lkoxabdo wohl zum Teil den Arabern^) ent- 

Domuiene Nähernngsmethode nicht bei Sachohosco oder Meister Gek- 

fSAUiHis vorkommt, darauf beruhen, daß diese die Rechnung mit ganzen 

^'^lilen besonders behandelten, imd dabei nicht die Kenntnis der Brüche 

^ voraussetzen wollten. 

Auf der anderen Seite ist es ohne Zweifel richtig, daß Leonaudo 
IPlSAXO eine Richtong vertrat, die von der der meisten Mathematiker im 
lohristlichen Mittelalter verschieden war, und der Grund dazu ist sehr 
l'-leiL'ht anfzuhnden. Auf seinen R«isen bekam Lbonakdo Gelegenheit, mit 
* fem damaligen Stand der arabischen Mathematik bekannt zu werden, 
während die Mathemutiker, die nach Herrn Cantoh der Schule der 
Universitäten angehörten, ihre Kenntnisse der arabischen Mathematik aus 
älteren Übersetzungen oder Bearbeitungen entnehmen mußten. Am deut- 
lichsten zeigt sich wühl der Gegensatz auf dem zahlentheo rot i sehen Ge- 
I Iiiete, abpr auch in betreif der Algebra scheint mir dieser Gegensatz 
I «aebgewiesen werden zu können. Weniger wichtig ist dagegen meines 
1 Erachtene dae bei Leonardo eigentümliche, wenn es sich um die rech- 
pBerischen und geometrischen Gebiete handelt. In bezug hierauf verdient 
pindessen hervorgehoben zu werden, daß LEorJARr>o besonderes Gewicht 
wvat die praktische Arithmetik gelegt hat, während sich die Algorithmiker 
m^iae Mittelalters sonst mit diesem Gegenstände weniger beschäftigten. 

Übrigens gibt es auch einen anderen Umstand, der dazu beitrügt, 
lie Gegensätze zwischen Leonauuo und den anderen Mathematikern des 
kristliehen Mittel altere besonders ersichtlich zu machen. Der Zweck, 
den Lkosahdo durch seine zwei Hauptwerke verfolgte, war offenbar, eine 
Enzyklopädie der .Mathematik zu bearbeiten, während ?.. B. S,\(l£OlioßCO, 
BiiAUWAHDiN und Oke.sme für einen gLinz anderen Zweck literarisch tätig 
Waren. Dadurch erklärt es sich, warum in vielen Fällen der Stoff bei 
Lkonauuo von dem der anderen so verschieden ist. 

Schluß erianbe ich mir, die hauptsächlichsten Resultate der 
t Torangehenden Untersuchung auf folgende Weise zusammenzufassen: 

! . Man kann freilich von einer mathematischen Schule der Universitäten 
min christlichen Mittelalter sprechen, aber es ist kaum möglich, diese Schule 



1) SisliB G, Eniwtkö«, Ülier die „Üenioml ratio J-»:. 
ivtheii). ?s. 1906. S. 3-2, 

2) Vg!. n. SiTKn, Ühtv .hm lln-hrnhiich ,hs Ai.i r«.y 
ilslhem. 7:t, 190B, H 117 



I de alyurin 



>": tliblioth. 
/,- Uiblioth. 



262 G' Enkütböm: Über zwei angebliche mathem. Schulen im chriBtlichen Mittelalter. 

näher zu charakterisieren, sofern man sich nicht auf das rechnerische 
Gebiet beschränkt 

2. Es gab im christlichen Mittelalter keine kaufmännische mathe- 
matische Schale. Der angebliche Gründer derselben, Leonardo Pisano, 
war nicht Kaufmann und hat auch nicht besonders f&r Eaufleute 
geschrieben. 

3. Leonardo Pisano vertrat eine besondere mathematische Richtung 
auf Grund seiner eingehenden Bekanntschaft mit dem Stand der arabischen 
Mathematik am Ende des 12. Jahrhunderts, hat aber keine wirklichen 
Nachfolger im christlichen Mittelalter gehabt. 



G. Ensstböm: Die geometrische Darstellung imaginärer Größen bei Wallis. 263 



Die geometrische Darstellung imaginärer Größen bei Wallis. 

Von G. Eneström in Stockholm. 

Es ist eine wohlbekannte Sache, daß sich Walus in seiner Algebra 
mit der Versinnlichung imaginärer Lösungen von Gleichungen zweiten Grades 
beschäftigt hat, und zwar in den vier Kapiteln 60— G(M), die die Über- 
schriften tragen: „Of negative Squares, and their imaginary roots in algebra"; 
„the same exemplified in geometry"; „the geometrical construction ac- 
commodated thereunto'^; „other geometrical constructions thereunto relating". 
Dagegen scheint es fast, als ob kein Historiker der Mathematik sich der 
Mühe unterzogen hätte, diese vier Kapitel wirklich durchzuarbeiten. 
Freilich haben die Herren I. Timtchenko^) (1892) und W. W. Beman^) 
(1897) ziemlich ausführliche Auszüge aus diesen Kapiteln veröffentlicht, 
aber in den Auszügen fehlen die Figuren imd Erläuterungen sind nicht 
hinzugefügt, so daß es kaum möglich ist, daraus auszufinden, inwieweit 
es Wallis wirklich geglückt ist, imaginäre Größen geometrisch darzu- 
stellen. Was man aus den Auszügen ersieht, ist eigentlich nur, daß 
Wallis die reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Punkte 
auf einer gewissen Gerade, die imaginären Wurzeln dagegen durch Punkte 
außerhalb der Gerade darstellte, und daß er sich dabei eines Verfahrens 
bediente, das an Addition von Vektoren erinnert. Noch weniger Aus- 
kunft über die Fragen bringen die kurzen Bemerkungen, die ich in 
anderen mathematisch-historischen Arbeiten gefunden habe^). 

1) J. Wallis, A treattse of algebra hoth historical and practicalj London 1685, 
S. 264—273. — J. Wallis, Opera mathematica II, Oxford 1693, S. 286—295. 

2) H« TuimeHKOy OcuoBaiii« leopiü aHa.iiiTU'ietKHxi, (|)yiiKuiH. 1. IkrropiiMei'Kiii iBtvi'lini« 
pa:)HiiTiii uouiiTiH II 3ieT(aou'i> .icxaiuiixT» b'i> ociiOBauin xeopiii aiia.iinii4e('k-iix-i> <])yHKii,ui. 
ToMi. 1. «{aiiHcini MaTeiiaiii'iecKaro oiAli-ieuifl uoBopocciiicKaro oöiuorrBa ecTecTBomniJiaie.it'ri 
12, (Uecca 1892, S. 107—170. 

3) W. W. Bkman, A cfMpter in the history of mail^niatics; Proceediugs of 
the American associatiou for the advaucement of scieuce 40, 18li7, S. 85 
— 86; vgl. die Übersetzung in L'enseignement mathem. 1, 1899, S. 164 — 167, 

4) Siehe z. B. D. E Smith, History of modern mathemaiics in „Higher mathc- 
matics", New York 1896, S. 515: ,Tho idea of the graphic rei>reBontation of complcx 



264 



G. Enkstrü«. 



Wie schon gesagt, betajjdelt Wallis die Versinnliehnng imaginärer 
Großen in den 66. — 69. Kapiteln, aber das 66 Kapitel besieht eich eigent- 
lieh nicht auf die geonietrisclie Darsteltong solcher Grüßen, sondern darin 
wird nur bemerkt, daB y ^ 6c als die mittlere Proportionale zwischen 
— h und c aufgefaßt werden kann. Am Anfange des 67. Kapitels ver- 
ainnlicht Wallis geometrisch eine solche mittlere Proportionale, indem 
er vom Punkte j; ^ — h eine Tangente nach dem Kreise zieht, dessen 
Mittelpunkt auf der X-Achse liegt und der die Achse in den Punkten 
1 = 0, X = c — h schneidet. Diese Tangente macht offenbar mit der 
X-Achse einen Winkel ^ arc sin -jji "nd ihre Länge iat \be. Indessen 
ist diese Verainnlichung^) von wenig Interesse, denn teils ersieht man 
daraus nicht, wie eine imaginäre Grüße von der Form a -\-hi konstruiert 
werden soll, teils folgt aus der KonfitruktioD, daß \ — 1 jeden Punkt 
auf der Peripherie eines Kreises mit dem Halbmesser 1 darBtellen kann, 
mit Ausnahme der zwei Schnittpunkte des Kreises und der X-Achse, 
Man hat nämlich för jedes k identisch 1=1-;, und man kann folglich 
nach dem WALUSschen Verfahren V^ 1 so konstruieren, daß man vom 
Punkte x^ — -r aus eine Gerade zieht, die mit der X-Achse den Winkel 






macht, und auf dieser Gerade eine Strecke ^ ! absetzt, 
Anlaß, irgend einen besonderen Wert von 



Hierbei hat man aber keü 
k vorzuziehen. 

Viel interessanter sind die folgenden Absätze des 67. Kapitels, wo 
Wallis versucht, eine Große von der Form « -{- hi geometrisch darzn- 



Dumbere had appeared, bowevor, ai earlj at 1685, in Walus'b De Algebra tractatus* 
(vgl. unt«Q S. 269 FaSoote 1). — Emai nur la repreaentation anali/tique de la directum 
par CAsr.,j, M'sfSEi. Traduction, Copeahaffne 1897, S. III: .D^jä vere la fin du ITe iü-cle, 
WxLua a oesaje de doDnei aux nombres imaginairei imo aignificatioD räetle". Da- 
gegen behauptet Herr U, Cahtur noch in der zweiten Auflage seiner Torle^angen 
über Oeschkhle der Mathematik (3, Leipzig 1901, S. 726). daß H Ki'tis (geboren 16901 
der erste geweseu ist, der einen VerBUch nmcbte, die ima^näreu Zublen zu versimi- 
lichen. wa» ja bedeuten muß, daß Wai-lij" nach der -Ansicht Aee Herrn Cistou nicht 
einmal einen Versuch in diener Hineiclit (jentaclit hat Die Erklärung dieses auf- 
lalligoQ Umetandeg bietet wolil eine Bemerkung auf ä. 726 des zitierten Baades der 
Vorlesungen, woraus hervorzugehen scheint, daß Herr Cautub nur das 66, Kapitel der 
W*T.Msechen Algebra gelesen bat. 

1} Vgl. hierüber A, Mirrjiii.iXK. Tlie imaginanj of algebra; Proceedings of 
the American associatinn Tor tbe ndvancetnent of fcience 41, 1S93. S. 38. 



Die geometrische Darstellung imaginärer Größen bei Wallis. 



265 



stellen y und ich gebe zuerst die wichtigsten Stellen derselben wörtlich 
wieder. ^) 

Suppose now (for further Dlustration) A Triaugle standing |Fig. IJ od the 
Line A C (of indefinite length ;) whose one Leg AP = 20 is given ; together with 
(the Angle PAB, and consequentlj) 
the Height P C= 12 ; and the length 
of the other Leg PB = 15: By 

which we are to find the length ^^^-^ 

of the Base AB. ^ 




Oj 



Fig. 1. 




Bat if we shall Suppose, A P 
= 20, VB = 12, PC= 15, (and therofore ^4 C = V^175:) When we come to Subtract 
as before, the Square of PC (225,) out of the Square PB (144,) to find the Square 
of jBC, we find that cannot be done without a Negative Remainder, 144—225 = — 81. 

So that the Square of BC is (indoed) [Fig. 2J the Difference of the Squares of 
P-B, PC\ but a defective Deferonce; (that of PC proving the greater, which was 
supposed the Lesser; and r» 

the Triangle P-BC, Rectan- 
gled, not as was supposed 
at 0, but at -B.) And 

therefore jBC = V — 81. 

Which gives indeed 

(as before) a double value 

of^B, yi75, +V — 81, ^~ ß C 

and Vl75,.— V — 81 : But Fig. 2. 

such as requires a new 

Impossibilitv in Algebra. — — — — — — — — — 

Vet are there Two Points designod (out of that Line, but) in the same Piain; 
to either of which, if we draw the Lines AB^ BP^ we have a Triangle; whose Sides 
ilP, PB are such as were required: And the Angle PAC\ and Altitude PC\ (above 
AC, though not above AB,) such as was proposed; And the Difi'erenco of Squares 
of PB, PC, is that of CB. 

This I have the more largelj insisted on, because the Notion (I think) is uow; 
and this, the plainest Declaration that at present I can think of, to cxplicato what 
we commonly call the Imaginary Boots of Quadratick Equationt«. 

Es handelt sich also hier um die Konstruktion eines Dreiecks, wenn 

zwei Seiten m, n und der Gegenwinkel ju der Seite m gegeben sind. 

Berechnet man die Länge der dritten Seite, wird das Resultat 

n cos JU ± ]m^ — 7i^ sin^ //, 
und wenn n sin juy>m, so ist diese dritte Seite imaginär. In diesem Falle kon- 
struiert Wallis die Seite auf folgende Weise. Er uimmt AC=n cos //, 
zieht vom Punkte C aus eine Gerade, die mit der Verlängerung von A C 



m 



den Winkel W = are cos — - — , 

^ n am fi 



bzw. = 7t 



are cos 



m 



n Bin ft 



bildet, und 



1) Wallt», a. s. 0. S. 260-208. 



266 G- ESEÜTBÖU. 

nimmt auf dieser Gerade eine Strecke ^(7= Vn^ sin^ yu — m^. Dann ist ul£ 
die gesuchte Seite. Setzt man jetzt n cos fji=s a, yn^ sin^ fi — w^ = 6, 



so ist die zu konstruierende Oröße a ±hi und 



{p s= arc sin V ] 



n* Bin* fi 



= arc sin — r — , bzw. = n — arc sin — r — . Folglich ist nach Wallis 

a ig (i^ a ig fi ^ 

AB= a + ih wenn AC = a, BC = 6, A a CB = arc sin — r — ; u 

muß 5- *rc tg — sein, kann aber sonst nach Belieben gewählt werden. 

Es ist offenbar, daß Wallis durch diese Konstruktion wirklich einen 
Versuch gemacht hat, imaginäre Größen von der Form a -\-bi vermittelst 
Addition von Vektoren geometrisch darzustellen, und daß die Darstellung 

für ju = arc tg - in die Gauss sehe übergeht. Dagegen sieht man sofort, 

daß sein Versuch nicht besonders gelungen ist. Zuerst benutzt er für 

die Darstellung von a — ii den Winkel (p = n — arc sin — r — , so daß 

im Spezialfälle fi = arc tg — sowohl a + J* als a — 6t durch denselben Punkt 

repräsentiert werden, was ein großer Übelstand ist. Kaum geringer ist 
der Übelstand, daß nach dem WALLisschen Verfahren a + ft* + «' + *'* 
im allgemeinen nicht = a + « ' + (^ + &')* wird; ja nicht einmal die 
Gleichung a + hi -{- a + ii=2a -{- 2b i findet im allgemeinen statt, 
denn auch wenn a und b gegeben sind, kann yu und folglich q> ver- 
schiedene Werte haben. Hierzu kommt noch derselbe Übelstand wie bei 
der ersten Darstellung, nämlich, daß a -{- bi jeden nicht reellen Punkt 
auf der Peripherie des Kreises mit C als Mittelpunkt und b als Radius 
darstellen kann. 

Den letzten Übelstand hat Wallis versucht durch eine dritte Kon- 



struktion zu beseitigen, wo in der Tat ju den Wert arc tg hat; 

freilich bezeichnet Wallis nicht diese dritte Konstruktion als einen 

Spezialfall des zweiten, sondern als eine selbständige Konstruktion. Er 

äußert sich dabei auf folgende Weise ^): 

The Geometrical Effection, therefore answcring to this Equation aa^^ha 4-rf* = 0, 
(so as to take in both cases at once, Possible and Impossible; that is, whether j 66 be 
or be not lese than (C;) may be this. 

On ACa = h, bisected in C, erect [Fig. 3, 4J a Perpendicular CV = ^(F. And 
taking PJ? = ^ 6 make (on whether Side you please of OP,) PBC, a Rectangled 
Triangle. Whose Right Angle will therefore be at C or B, according as PB or 



1) Walijm, a. a. 0. S 268—269. 



Die geometrische DarstelluDg imaginärer Größen bei Wallis. 



267 



PC is bigger; and accordingly, BCa, Sine 
or a Tangen t (to the Radius PB,) terminated 
in PC. 

The Streight Lines AB, Ba are the 





Fig. 3. 

two values of a, Both Affirmative if (in the Equation,) it be — ba: Both negative, 
if+ba. Which valnes be (what we call) Real, if the Right- Angle be at C: Bat 
Imaginary if at B. 

Es handelt sich hier im zweiten Falle um die Konstruktion 

der imaginären Größe AC ± i iPC^ — ÄC^. Setzt man ^C = a, 

fFC^ — A(ß'^BC=l, wird der Winkel 7.CB für a + 6f gleich 

arctg— und der Winkel AGB für a — hi gleich n — arc tg-. Die dritte Kon- 
struktion fallt folglich mit der zweiten zusammen^ wenn man arc tg — statt 

arc sin — — setzt, d. h. wenn tg /i = - — "^ — . Im Vorübergehen mache 

ich auf den Umstand aufmerksam, daß Wallis durch einen merkwürdigen 
Zufall gerade den Winkel benutzt, der bei unserer Darstellung der kom- 
plexen Größen unter der Normalform vorkommt. Auch in betreff 
dieser Konstruktion gilt indessen die Bemerkung, daß im allgemeinen 

nicht a -j- hi + a' + Vi = a + a + (h + t')«; nur wenn - = j, ist die 

Formel anwendbar. Ebenso sieht man sofort, daß für o = die Dar- 
stellung von bi mit der Gauss sehen identisch wird, daß aber in diesem 
Falle — hi denselben Punkt als -^ hi repräsentiert. 

Im 69. Kapitel gibt Wallis noch viele andere Konstruktionen ima- 
ginärer Größen an, aber die meisten sind entweder Modifikationen der 
Schon erwähnten oder ohne Interesse; beispielsweise wird einmal die 

Größe VI — x^ für a; < 1 als Ordinate des Kreises x^ + y^ = 1, für 
^ > 1 dagegen als Ordinate der Hyperbel x^ — y^ = 1 dargestellt. Nur 
eine einzige Konstruktion verdient hier angeführt zu werden^). Diese 
bezieht sich auf die Wurzeln der Gleichung aa — ha — (e = i) und 
^ird von Wallis selbst mit folgenden Worten angegeben, nachdem er 
JFig. 5] AC = GoL = \h gemacht und auf Aa einen Halbkreis ge- 
zeichnet hat: 



1) Wallis, a. a. U. S. 270. 



G. Enkb 





Tliough V"' (if grefttlier than i 6) omuioI ly« « ft 

witln» thc Semicircle. in Uie Mme Plaia: Vet 

I thc Semicircle. we suppose a Cyliuder to Iw 

wboae heigbt iihall be TP^ f : 1 66 -{- ic: 

(or V; i 66 — fT: the Rout of s Negative Square:) 

= Vf »li»ll be (in that Cjlinder,) n Slope-Une; t 

"•'■"' Üroiind-Liiie ßhall be tT=lfc. And Ihe Sqi 

TP, the meaauro ol' tho Impossibilitj, 

Setzt mau hier \b = k, ]»■ — ^b- = Je', so bezieht sich 

WALLLSscht Konstruktion auf k + h'i und sein Verfahren ist wesentl 

folgendes. Er versetzt eti lisch wei gen d den Nullpunkt der reellen Wi 

nach C nnd betrachtet als Gerade der reellen Punkte die Senkrechte ia 

C auf j4a. Femer nimmt er auf dieser Senkrechte eine Strecke CT = k. 

zieht durch CT die Vertikalebene und in dieser Ebene eine Senkrechte 

in T auf CT und nimmt endlich auf der letzten Senkrechte die Stri 

TP = h'. Dann ist nach Waij.is C'P = ä + k'i. 

£b ist offenbar, daß diese DarBtellung wesentlich mit der Gai'ssbcI 
zusammenfällt. Der Untt^rsehied ist nur. dnß sich Wallis nicht 
Horizontal- sondern der Vertikalebene bedient. Wie man auf diese Weise 
A — k'i darstellen kann, sagt Wallis nicht, aber da ihm unsere Dar- 
stellung negativer reeller Größen geläufig war, hätte er wohl leicht finden 
können, daß k — k'i durch einen Punkt unterhalb der Horizontal ebene 
dargestellt werden sollte. Dagegen hat er den Wert seines Verfahrens^ 
nicht verstanden, denn er erwähnt dasselbe nur ganz beiläufig imd 
hinzu, daß es nur wenig von einem vorangehenden abweicht, das 
Darstellung in der Horizontalebene bietet und wesentlich mit der zweil 
der oben angeführten Konstruktionen identisch ist. 

Aus der vorangehenden Untersuchung findet man: 

1. daß Wallis wirklich versucht hat, imaginäre Großen') di 
Addition von Vektoren geometrisch darzustellen; 

2. daß seine Darstellung rein imaginärer Größen von der Fori 
mit der GAi'ssschen identisch ist; 

3. daß seine Versuche Größen von der Form — hi in der Horizonts 
ebene darzustellen, nicht geglückt sind, weil er nur Punkte olierhtM ( 
Gerade der reellen Werte in Betracht zog; 

4. daß seine Versuche imaginäre Größen von der Form h -[- lii 
der Horizontalebene darzustellen auch nicht erfolgreich waren. Dagej 

1) Eigentlich betieht sich WiLi.i.u' geometritche Daratellung nur aaf Quadn 
wurzeln negativer UröBea und ima^näre Wurzeln von Gleichungeu cweiteu Oradflf 
aber Wallih hat aetbst in seine)' Algebra (S. 2T8) herrurgelioben, daß bei der LCsni 
Ton Oleicbuugen hitherer Orade keine anderen imiigio&ren OrOltea auftreten- 



•cnie 
eck^^— 



Die geometrische Darstellung imaginärer Größen bei Wallis. 269 

hat er eine Darstellung in der Vertikalebene angegeben, die weiter ent- 
wickelt mit der Gauss sehen zusammenfällt^), aber dies Verfaliren ist nur 
im Vorübergehen erwähnt, und gar nicht verwertet. 

Vergleicht man die Wallis sehen Versuche mit dem von H. Ki'HN^) 
etwa 70 Jahre später veröffentlichten, so sind jene entschieden die belang- 
reichsten, und sie hätten ohne Zweifel, als Ausgangspunkt benutzt, sehr 
leicht an die von Wessel, Gauss und Argand erfundene Darstellung 
komplexer Größen führen können. Indessen hat man keinen Anlaß anzu- 
nehmen, daß irgend einer dieser Mathematiker von Wallis beeinflußt war. 



1) Die Bemerkung des Herrn D. E. Smith a. a. 0. S. 516, daß , Wallis had 

snggested the idea, that ± V — 1 sbould represent a unit line^ and its negative, 
perpendicular to the real axis* ist also nicht unrichtig, hebt aber einen Umstand 
besonders hervor, worauf Wallis kein Gewicht legte, nämlich daß die Richtung der 
rein imaginären Größen senkrecht gegen die reelle Achse ist, und die Bemerkung 
kann darum leicht irreleitend werden. 

2) H. Kühn, Meditationes de quantitatibus imaginariis construendis et radicibiis 
imaginariis exhibendis; Novi comment. acad. sc. Petrop. 3 (1750;5I), gedruckt 
1753, S. 170—223. Vgl. hierüber M. Cantor, a. a. 0. S. 726—728. 



270 GiMo LoBu. 



Gurve plane speciali nel carteggio di C. Haygens. 

Di Ging Loria a Genova. 

Le numerose citazioni di lettere scambiatesi nel periodo 1638 — 1684 
fra C. Hutgens ed i piü eminenti matematici del suo tempo, che si 
trovano nella mia opera Spezielle algehraische und transscendente ebene 
Kurven (Leipzig, 1902)^), fa nascere la fiducia che anche gli ultimi due 
volumi^) della corrispondenza di quel grande possano somministrare qaalche 
ulteriore notizia salla storia di quelle figure. Tale fiducia appare tanto 
piü giustificata ove si rifletta che darante Tultimo periodo della vita del 
sommo olandese — quello cio^ che corre fra la pubblicazione del Tratte 
de la lumiere (161)1) e la deplorata sua morte (1695) — egli si disinteressö 
dalle ricerche di astronomia e fisica, che tanta luce di gloria arevano 
SU di lui projettata, per consacrare tutte le forze del suo ancor robusto 
intelletto ai nuovi calcoli, dei quali Leibniz e Newton, col concorso di 
eminenti discepoli, stavan allora dimostrando, sopra memorabili esempi, lo 
straordinario potere. Di tali nuovi metodi egli non fu un ammiratore 
della prima ora; ma, convintosi in prosieguo di tempo del loro indiscuti- 
bile valore*^), si dimostro capace di usarli con avvedutezza ed originalita, 
almeno nei casi in cui entrano soltanto difierenziali primi*), onde in 

1) Indicheremo in eeguito qnesto volume coli' abbreviatura Ebene Kurven, 

2) Oeuvres compUtes de Christiaas Uui-oens puhliies par la societe hoüandaise 
des Sciences. T. IX. Correspondanco 1685 — 1690 (La Haye 1901). T. X. CorrespoDdance 
1691 — 1695 (La Haye 1905). Qucsti volumi vcrranno da noi citati coi soll numeri IX e X. 

3) ,f . . . j'ay fait qnelque progres dans Ich subtilitcz goometriques et dans votre 
cxcellent calcul differentiel, dont je goute de plus en plus rutUite". Lcttera di 
HiYGENs a Lkibniz del 17 Settembre 1693 (v. X, p. 510). 

4) ,,J'admire de plus en plus la beaute de la geometrie dans ces noaveaux 
progres qu'on j fait tous les jours, ou vous avoz si grande part, Monsieur, quand ce 
ne seroit que par votre merveillcux calcul. M'y voila maintenant mediocrement 
verse, si uoii que je n'entens rien aux ddx^ et je voudrois bion savoir si vous aves 
rencontre des problemes im])ortaDts ou il faillo Ics employer, afin que cela me donne 
l'envie de les etudier^\ Lcttera di Huycjkns a Leibniz del 17 Settembre 1693 (X, p. 511). 
In conseguenza uu' asserzione di Zkitokn (Geschichte der Mathematik im XVI. und 
XVII. Jahrhundert^ Leipzig, 1903, j». 47) sembra esigere qualche modificasione. 



Ciirre {liaoe Bpecisli uel uacteggio <li C. UujgeuB. 



271 



^fllim<iue Btoria del calcolo inänitesimale un paragrafo importaut« der'essere 
dedicato ai procedimenti Buggeriti otl applieatj da Hcygkns per öBeguire 
qimdratiire od integrare uqiiazioni differenziali, le iine e le altre collegate 
a problemi di geometria. 

MoUe delle ((uestlotti da lui trattate concenioiio la determinazione di 
curve dotate di assegnate proprietä delle ta&genti (t. T. IX, p. 473, 517, 
532, 5315, 54!), 555, 573—76; T. X, p. 50, 51), 58, 60), mentre altre hanno 
per fine la determinazione delle aree di eubiche, quartiche e seatiche 
apecitili. Inoltre ima folla Tariopinta di usserrazioni toocano curve particolari 
giä not« e di esse ci piace dar qni pifl precisa notizia, a coiuplemento 
di «luanto si legge nelV opera aaccitata. 



1. Foglia di DKsriUTES. La qnestione {v. Ebene Kurven p. 5) di 

chi per prlmo abbia eaattameate delineata la curva di equazione carteeiana 
jr^ + y" =, nxy , sembra risoliita dalla lettera diretta da llirvcENS al 
nmrcheae de l'Hopri'AL il 2'.' Dicembre 16i'2, ove trovaBi (X, p 352) la 
figura qni riprodotta, aecompagnata (ivi p. 351 — 352) dalle seguenti parole: 
„Mr. Dem Cartes en parle couinie ai ^ 
eile Bvait plusieurB feuilles, quoy qu'elle 
E'en ait qn'une, comme daua cette figure 
«st AB('H, Bon trait continuant en 
AK, AL, le long de l'asymptote F.FQ, 
jerpendioulaire au diametre VA, prolonge 

rf'na tier§ AF:' Tale osaeT&zione parre 

nnova ed interessante al l'HnriTAL, il quäle 

nelln eua riaposta, in data 12. Febbriijo 

16!I3, Boggiunse (X, p. 390) che 1' errore 

di Descaute.s pnö renderei paleae osaer- 

vando clie l'equazione y' — axy +j:^=0, 

eonsiderata come una equazione di terzo grado in y. amniette una o tre 

radici reali secondo che J.$ — y*. 

La surriferita oflBervazione venne in domiuio del pubblico grazie ad ona 
lettera diretta da Huvgens a Basnaue de Beai-vai- e da costui pubblicata 
ael Faacicolo Dicembre 16£l2— Gennajo e Febbrajo 11)93 dell' Histoire dea 
'lurrageB des Bavants (v. X, p. 407 -417, apecialmente p. 417), lettera in 
cui (come in quella giä citata diretta all' Hopital) Hi'VtiENf; ha di pifi 
iudicata la quadratura della curva di cui ai tratta; eeco come egli si 
«sprime: „Je troiive le contenu de feuille ABCH 4gal ä 1/6 nn ou 1/6 
do carr« du dtametre Ä('\ et l'eapace infini des deui costez pntre AK, 
Ah ei raayniptote, encore de la mesme grandeur" (X, p. 851). E nella 




i 



ö.» 






pnr guccitata, repUca dell' Hi'iPlTAL, queeti afferma di avere ottennta, 
trois difi'erentos nianieres" (X, p 3(11), la quadrattiru indefinita della foglia 
ittmimziata da HrvrtRNs, usando le parole: „On ne B'imagmeroit pas que 
cvUe courbe dnst avoir nne quadrature ai reguliure et si Himple. ("eile 
qiii est generale poitr les segments l'eGtant de inesme, qiü s'exprime par 
im seul terme" (X, p. S51 — 352) Ad occaparsi di taii problemi HI'Tuens 
fu probaliLlmeote indotto etudiando i metodi di quadratura inveutati da 
Fkkmat'), il quäle anzi avera affermata^) la quadrabilitä della cnrva in 
esame. In qnale modo poi HrvuEKS abbia proceduto per ginngere a qu*i 
riBultati ai appreode da un interessante brano degli „Adversaria" (raccotta 
di appimti di HrV(iKNs) intitolato ,,21. Nov. 10i)2 hanc e teuebria erai 
quadraturam" e pabblicato in appendice alle lettere di cui ci eiaiuo teste 
occnpati (X, p. 374—380). Di queste sue scoperte HuygbnS diede uotixia 
a Lkiüniz con lettera del 12 Gennajo 16SI3 (X. p. 383—389; v. special- 
mente p, 3X8^")); esse fecero una profonda impreaaione sopra Temnlo di 
Newton, il quäle non esitö a dichiamrle (lett«ra del 10/20 Marzo 161)3; 
V. X, p. 429) „estremement beließ" e fu tentato di troTame per cont« 
Buo una formola di quadratura indefinita. Hl'VGENS credette di scoprire 
in tale formola un errore*), ohe si affrettö a segnalare al marchese de 
l'Hni'iTAi. con lettera del 9 Marzo 1693 (v. X, p. 437— 43><;; piii tardi 
perii BL uccorse del proprio torto e lo dichiari") tanto all' iliHTfAL (let 
del lU Settembre 1693; X, p. 499}, quanto a Leiuniz medeaimo (let 
del 17 Settembre 1()93; X, p. filO). 

Riguardo ai tre metodi ueati dall' H<')PITal (t, piü eopra) per qnadrare 
la foglia, dne di easi Bimo esposti per eBt«ao nella lettera ad HrvoBSS 
del 2 Luglio 16113 (v. X, p, 452); e poiche Bono di nntevole elegausa e, 
a differenza di qiielli uggi preferiti '), ripOBano sull' iiao, non di coordinate 
polari, ma di coordinate cartesiane, ci sia lecito rilerirne l'eBeenza ooo 
simboli moderni: 

1. Dali' equazione 

-c" +!/* = wxy, 
ditt'erenxiando e poi moltiplicando per y si ottieae 

3 x'yilx + %y^dt) = axydy + ai/*dx\ 



1) Alladefi qni all' opuscolo poetumo De ae^uatitmt 
■( tmeudittione. 



I loeoh'un 



tranamt 



tardi 



I 



2) Oturre* dt Filbuat, od. Takki«« et Hümif. T. I, p, 276 e T. ni. p. 276- 

3) V anthe Lkibnikkhf Mnlhemattsche Schriften, oil. Geuiunut, U. Bd., p. US— ISS. 

4) V. im coinmenlo a qiiet paaso dell& iettcra di I.kimiu jmbblicftto !□ X, p 432 
notn U). 

5) V. p. M. SsHBET, Cukut inUgrnl (U ed ; Pari» 1880), p. 234—236; P. MiaBios. 
Sur ffciiiitif« courtir» currabUi algibriquemeitt (Somv. eorreip. math^iD. 1, 1878)> 



Curvc pianc Bpeciali nel carleggio «HC. HuTgens. 273 

e da questa, snrrogando y' col suo valore axy — .r', 

, ay^dx^2axyd_y xdy j-ydx 
yax g--3 + -^ 

Ognuno dei termini al secondo membro essendo un dift'erenziale esatto, 
si conclude 

^ydx = \xy-"- f 

2. Alle y si sostituisca nelF equazione della curva la £ definita dalla 
relazione 

ZX' 

y = ~-, 

si otterrä 

X^ = 



Ora si differdnzi e si avra 



r' 



ossia 



öx^dx = 2 «'8', 



o -^ dx = 3a* 2a3 -^, 



onde 

, 2a.r» .r* 



f 



Sul terzo dei suoi metodi di quadratura I'Höpital dice soltanto ehe 
riposa sali' introduzione come nuovi assi delle bisettrici degli angoli 
formati dagli antichi. 

Nella sua risposta, in data 23 Luglio 161)3 (v. X, p. 401) Huygexs 
chiese spiegazione suU' essere, come affermö THciPiTAL (v. sopra), 

aydx — 2axydy ,/ (uf\ 

6^^ = "^ l^ Tx'r 

propose iina correzione all' ultima formola comimicatagli dal suo abile 
corrispondente e chiese ulteriori partieolari sul terzo metodo di quadratura 
della foglia. Ma poco dopo (v. lettere dei 5 Settembre e dei 3 Ottobre 
16(>3; X, p. 474 e 401) riusci a rendersi ragione di quella formola ed a 
riconoscere l'esattezza anche di quell' ultimo risultato. E per quanto 
concerne il terzo dei procedimenti usati dall' Hopitai. per quadrare la 
foglia^ tutti i desiderabili partieolari dei relative caleolo si trovano nella 
lettera dei 25 Novembre 1693 (X, p. 566; efr. anche un passo della 
lettera ad Huygens dei 18 Gennajo 1694; X, p. 580). 

Altri metodi di quadratura della foglia dovuti al de Vorder, pro- 
fessore a Leida, si apprendono pure nel carteggio ehe stiamo studiando 
(v. lettera di Huygens all' Hopital dei 16 Giugno 1694; X, p. 623, 630 
e637); anche tali metodi, come Tultimo di quelli dell' H<')PITAl, poggiano 

Bibliotheea Mathematica. III. Folge. Vir. 18 



soUa Bostitozione x, y = 






che Descartks ftveva posta in ■ 



Berrendosene nella aus dieputa con Roiiehval {Ebene Kurven p. 55). 

Da tutto ciö rtsulta stabilito come sin dalla fine del Secolo WT 
questione di (jnadrare la togUa di Destartes era oniai risolata 
tinitivamente ed in vari modi. 

2. VersierH od Iperversiera. L'equazione {Ebene Kur 

delli» versiera ei trova giä in Febmat^) eotto la forma Be aequalis Aq 
in E + Bq in E, eioe^) t»= a^e -J- li^e-^ a tale carva il somiuo tolo- 
snno applicö il suo metodo di quadratura e conclnse esser IWea totale 
della carva nota quando lo sia quella del cerchio^). Ora, appunto 
eommentando le idee di Fermat, ia un lavoro poBtumo (X, p. 3(>4 — 373), 
HrvfjENS (v. X, p. 3T<) -371) ta, non soltanto confermato tale conclusione, 
ma l'ha precisata, trovimdo quell' espressione dell' areu compreea fra la 
versiera ed il proprio asintoto a cui cosi facilmente guidn il calcolo 
integrale (v. Ebene Kurveti p. 76—77). Emerge da ciö che, per quanto 
conc«me la quadratura della versiera, la prioritä non puö essere, col 
Vacca*), attribuita a Guiuo Grandi, ma dev" eaaerlo a Febmat ed 
HDvr.EX.s^). ^ 

Analoga alla versiera c la curva avente la seguente equazione ^H 

•J - -TT'---.^ ■• 
ae e &ttä menzioue nella lettera saritta da IIurtiENS a Leuimiz il 
Febbrajo 1601 (v. X, p. 1(J) e prima nel celebre Discours sur la i 
de la pesanteur, letto dinnanzi all' Accademia di Parigt il 2>* ÄgO| 
1669"). Scritta quell' equazione aotto la forma 

. . = l{^ + ^|' 

ai vede che la cnrva da essa rappreaentata puii rigaardarsi come la „fid 
moyenue" {Ebene Kurven p. 710) dßdotta dalle due iperbole 

,j{a± x) = uK 
E notevole pero che quella curva si puö ottenere applicando all' ipei 
equüatera 

1) Oeueres rfe F>:iimji T, I, p, 279. - 2) Id. T, 111, p, 

4) 0, Vacca, SuBa rerekra (Boüett. di bibliofir. e -. 
1901, p. 33-34). 

5) KiguBxdo allu quadistura della „Tcnioria." di G. Qaiym si vogga anche i 
dottö volume di P. FüRaoM, J)e caiculo integralium exereitalio mathematien (Flownt 
1792). p. 182 e seg. 

6) Cfr. IX, p. 96. 



latiea lFlor«iitt|^^^ 



B Biicciali nel cartaggio di C HuygenB 



27ö 



— x^ + ij^ —atf^O 
gaella coßtruzione che, applicata al cerchio 

■*■* + y' — ay = 0, 

eontluce a!la versiera (Ebene Kurven p. IQ). Peroiö quella curva si potrebbe 
OOnvenientemente chiamare iperversiera. 

3. Logaritmica e Logiatlcn. Lo studio degli scritti di Hitthens nei 
qnali 91 trovano enuneiate dimostrate le piü insigni proprietä della curva 

y = be" 
(oioe il Burricordato Dmouia sur la cause di- la pesanfair ed il Traitc de la 
Jttmihre) induesero il marchese de l'HnpiTAi. a teutore la rettificazione della 
logaritmica e cobi gitmse ad im risultato che si affi-ettö a coniunicare ad 
HuYOESS oon lettera 26 Luglio 1002 (v. X, p. 305). L'euimctato datone 
da l'HtipiTAi- contiene un „lapeus ciilami", che HimiENS non manci) di 
rilevare (lettera del :i7 Agosto 16','!^; X, p. y07) e che rilrh'iTAL ai affrettii 
di correggere (lettera del H' Settembre U>92; X, p. 31ä), (ndicando in 
pari tempo una nuova forma del suo teorema e la relativa dimostrazione. 
L'interesse di HuviiENS per siffatte indagini e atteatato dalla auccesBiva 
Bna lettera all' Hüi'ITAl (in data 22 Ottobre l(i02; X, p. 325), ove leggesi 
In noiizia che egli appliuö il metodo usato da I'FIöpital al calcolo dell' 
iirea geaerata dalla rotazioue della logaritmica attorno al proprio aeintoto 
e che iBoItre trovö il masaimo della curvatura della linea in questione. 
In quäl modo egli vi sia pervenuto ^ completaniente indicato in due 
brani. datati daU" Ottobre \W2, ma solo ora pubblicati (X, p. 330 e 333), 
nei qitali c dimoatrato che l'urea generata dalla rotaziooe della curva 
attomo iil 8110 aaintoto e espreflsa da 



Jth ^a' + 6* H- T«* log 



b + ]/,i' + v 



e che ü massimo del mggio di carvatura e —5— a, risultati di cui i> assai 
agevole rendersi conto coi procedimenti moderni. 

Un' altra procedura per rettiöcare la logaritmica leggesi in una lettera 
dell' IJoi'lTAL, in data 23 Xovembre 1602 (X, p. 342—344)'), ove inoltre 
e iudicata reepreSBione generale seguente pel raggio di curvatura di 
quella linea 



Xotiamo da ultimo che udo dei metodi di rettificazione dell' HÖPItat. 
conBiiit« nel ridurre tal problema alla quadratura della curva di equazione 



1) V. ADcbs la lettn» d«ir H'.pjtü. a L. 
di LniaintEKB Malheinatische Sütrifitn, p, 217. 



276 



ora in aaa lettera resa di pabblica ragione di HrvtiENS r BagnaoB D8 
Bkauval e che gia citammo (v. X, p. 407), Huvüens ridnce invece la 
detta queatione alla quadratura della ßurva 

a* =^ f ^y* — o^y^ 
in an modo che h oggi noto, graasie ad un brano inedito di reeenlf 
pnbblicato (X, p. 358—360). ') 

4, Curve d! Dkbe»ise. Gli fe nella lettera ad Hhvhens del 10 Setteuibre 
imi'J (X, p. 31:;) che il marchese de I'Hi'h'JTai. mmimeii) di avere risoluto 
il noto problema che Deueauxe avevii proposto u Descaktes (cfr. Efme 
Kurven p. 516); ma e soltanto nella segnente lettera del 12 Febbmjo 
1693 (X, p 3S}1 — 3!'2) che fa aotn la soluzione da lui trovata, ciof-, non 
solo la coatruzione delJa curva domandata, ma anche la quadratnra dellii 
porzione di piano conipreea fra un arco di easa, le Ordinate degli estremi 
e Tasse delle r, noncbe il haricentro di tal pomoiie^). E' noto ehe 
fiiovANsiBERNOLLLi rivendicö pubbljcamente (cioe negli Acta eruditorum 
del Maggie 16li3) la paternitä di tale eostnizione '). Tale fatto trovaai 
rilevato in una lettera dt HuYfiENS del 5 Ägosto 16','3 (X, p. 476), in 
risposta alla qunle I'Höpital in data 10 Agosto 1693 (X, p. 484), dichiara 
quanto Begue: „Loraqne Mr. Beknoii.li etoit h Paria ü me vint voir et 
m'uyant dit qn'ils avoient fort travaille Bon frere et lui sur Tinveree de» 
tiingentea, je Ini propose d'abord le probleme de Mr. de BkavNE, dont 
il est vrai qu'il m'apporta la Solution quelque temps apres qui n'etoit 
paa beaucoup differente de la mienne que je fis inserer depuis dans le 34' 
.Toarnal des Sfavants eoua le noni de Mr. G***, qui est la 1" lettre 
de Dion nom de baptesiue m'appellivnt Guilleaunie et ujant des raisons 
alora pour cacher mon nom. 11 y a apparance que Mr. Beknoulli uvant 
vü dans votre lettre*) que vous m'attribuyez eette invention et voulant 



1) V, l'ftQaloga riduaiouo dolls qmilratara della curva a;'iy' = »' — o'v' & qnella 
dellk Durra x'^' = 4(i' — j*. eapoBta in un briuio a p. 541 — ö43 del tomo IX. 

2) Cfr. Mche Ift lettera dell' H6pit.i. ad HiT.iBSS del 12 Maggio 1693 (X, p. 446 
^450), ovo pziacdio ei pari» di un' altra questione piopoata da DniKiuiiti, cioe della 
determinazione della curra avente per suttangeute ^—- — '-; tale problema rinviene all' 
integrazione dell' equaeione ditFerenziale adx = <idy ^ xdy, che ei effettua mediante 
la sostitnzioue i/ — .c = t. 

3) V l'articolo Soliitio prohlemntis CAXTESh. pi-opo»iti a Dil. <te Biur.iK. V» inoltre 
notato che quetlo pubblicatu dal marchese de t'HüFiTii. vonue ripiodutto in Joiiaxxu 
Bmmui.ua Opera omnia (T. 1. 1742, p. 62—63), actowpagnato dalla »egiieot» nnta 
esplicativa: „Cette piÖce a €te faite eu commiin par Mr. le Marquis de rHöriTAi. et 
par Hr. Bkbnoulu. C'est pouiquot Tun et l'autre a crü etre en droit de ee l'attribui^r". 

4) 3i allude alla giä citata lettera di Hut<i(;;»i a BAniunK ui: Hk\i i Mi. pubblii-jita 
neir Histoire des onTragee doB eavauta 1692-1693. 



Curvc piaiie «peciuli ncl partegffin rii ('. HiiyRena 



277 



avoir part ü la gloire qui me paroist tres petite, il s'eat depeeehe de faire 
mettre dans les actes de Leipsic ce que vous y verreü". HrvdENS risiiose 
dicbiarando : „Maintenant apreB ee que voub m'en dites je suis Bcandalize, 
par s'il a est«? fasche de ce qu'aiant donni? la Solution du Probleme de 
Mr. DK Beai'sk, vous n'avez pas fait mention de luv, il pouvoit dire ee 
(jui en estoit, saus faire de supereliierie" (lettera del 3 Setterabre 1693; 
y, p. 4114), Ci sia lecito oservare che nelle riferite spiegazioni dell' 
HöpiTAI, noi troviauo parecchi puuti oscuri, oode, aUo stato degli atti, 
non ci eenibra poterai ritenere del tutto ingiuBtificato ü reclnmo di prioritä 
sporto dal BERNon.rj ed indiBcutibile il suo torto, Priraa di lasciare tali 
curife noteremo ancora che di eaee e fatto cenno nella letteni che Lriiiniz 
diresae ad HirvGKNS il 10/20 Marzo 1693 (X, p. 429), in modo perü che 
r|aesti giudicö „exprime asBez obscurement" nella lettera che diresge al 
marcheae de I'Höpital il 9 Aprile ItiÜS (X, p. 43.S— 43!t), onde tu indotto 
11 „douter ai Leibniz n'a paa forme cette conatructioii sur Tostre premiere, 
qui eat depuia le mois de Sept. de l'annee paasee dans le Journal des 
Scavanta"; e, quasi per giustificare tal maligna insinuazione, Boggiunge: 
„Mons^. Lkiiinitk est nasurement trea habüe, maia il a avec cela une envie 
ioimoderöe de paroistre, comme cela ee voit encore daus le 13" Journal 
de la mesnie anne'e loraqu'ü parle de son Analyse des infinis". 

5. Cnrve per le quali ^ eostante il rapporto fra tangente e 
SUttangento- I! prohlema avente per iacopo la ricercn di tali carve ö quel 
„Problema nb emditis aolvendum" che Giovanni Bernoill! enuncift negÜ 
Acta eruditorum del Maggio 11593 (cfr. Ebene Kurven p, 520). Oiä 
nella lettera scritta a Huycen.s il 2 Luglio dello ateeso anno il marchese 
de rHiiMiTAL affenna (v, X, p, 454) di essere in grado di riaolverlo. La 
qnestione intereasi') subito Huyokns (v. la aua rispoata in data 23 di detto 
meae; X, p. 4(50), aicehi- riliifiTAL ei a&ettö (lettera del lU Agoeto 1(>1>3; 
X, p. 484) a dargli qualche cenno dei risultati otteuuti, in particolare a 
fargli noto che le curve richieBte Bono algebriche o traacendenti aecondo 
che quel rapporto eo staute e o non razionale. Intanto era üb cito il 
faecicolo di (liugno 1693 degli Acta eruditorum coutonente Tarticolo 
Jacobj liKHN'irtLi.i Solutio prol'lematis frnterni ante ocHdttum Lipsiam 
transmiesi e di esao HrviiENS prima eegnala l'eaiatenza all' Hni'iTAr. 
(lettwa del 3 Settembre 1693; X, p. 494) e poi gliene da un buccoso 
riassiinto (lettera del 10 Settembre 1693; X, p, 497—499). Ma nella 
settimana che intercode fra le date di queate due lottere HrVdENS ai 
occupö per conto auo del problema bemoulliano (cfr. X, p. 500 — 508) e 
di tali Btudi diede notizia con la nota C. H. Z. Deproblemata Bnjf/oniuAKo 
m Actis Lipsiensihiis hujus anni proposito, pubblicata nel fascicolo di 
Ottobre 1693 degli atessi Acta. Delle iudagini del marchese de t'Hi'iriTAI. 



k 



27a Gi^o i"'«"- 

aopra lo etesso tema ai attingono piü precise nutizie non soltanto 1 
una memoria da lui presentata all' Aecademia francese ü 30 Giagno 1693'), 
ma aDcbe in una lettera a (iIOvakni Beknoilli pubblicata nel fasctoolo 
di Settembre 169'6 di quel periodico ed in una iodirizsata ad Hinfttos 
il Is dello atesao mese (X, p. 518 — 523). Qnesta provocö alcuni appnnti 
da parte di HrYGENs (lettera del 1" Ottobre 1(593; S, p- 534), <-h* 
ftirono rieonoBciuti giusti da colui al quäle erano atati rivolti (lett«ra rid 
21 Ottobre 1693; X, p. 5-141. Äggiungiamo ehe delle curve in diacoräu 
HrvfiEss ha Bcoperte notevoli costruzioni mect^aniche (lettera all' H<U'riA[, 
del 5 Novembre 16f3; X, p. 550, cfr. anche p 537) e ue detenninn nnn 
cuspide (v. X, p 555), rieultato quest' ultimo cbe il marcbeae de rHiiriT.u, 
ei affretti'i a verificare esatto (v, lettera del 25 Xovembre 1693; X. p. 565 1 

Giova qui OBaerrare come delle eurve la oui Buttangente y -j— valf 
x±.ff (la cui determinazione dipende, al pari di qaella delle cuTTe Ji 
Bernol'lli, da un' equazione differenziale omogenea) ai parli pift volle nelle 
lettere che Bi scamhiarüno U marchege d'Höi'iiAi. eLEtiiNiz; cobi nella lettera 
scritta dal primo il 12 Maggio 1693 (X, p. 448) ai legge una coKtruzione 
di quella la cai aiittangente e ^ j' + ,V; ^ cuneeguenza l'altro tentö indarnu 
la eoatruzione di quelle arenti per Buttangente t ^ y [lettera del 23 Lugliu 
1693; X, p. 460), di cui peri» otteune la quadratura (t. X, 478 — 480); 
tale eostruzione fu invece seoperta da THi^riTAL (v. lettera del 10 Ägostu 
1693; p. 481 — 482). Le curve ottenute aono sempre traacendenti di natura 
togaritmica; esse rappresentano, in certe modo, il caso eccezionale deUe 
curve deSnite dall' equazioue differeuziale y -j— =^ a.x -\- ßy, le quali di 
regola aono curve binomie (Ebene Kufven p. 267), algebriche od inter- 
soendenti, tranne quando aia x^l, ipotesi fatta appunto nei caai stadiati 
da THnriTAi. ed HrydESK, 

G. Trattrice e Sititrnttrice. 11 concetto di trattrice viene di cnnaaeto 
(cfr. Ebene Kurven p. 562) fatto riaalire ad un uiedico il quäle s'intereeBava 
di questioni scientifiche e ne propose la ricerca a Leibniz. Ma giustizia 
impone ai avverta cbe, non aolo al concetto, ma anche alle piü insigni 
prerogative di tale curva giunae per conto auo anche IlrviiENS, il quäle 
nell" importante aua lettera a Basna(ik de BKArvAL, da noi in parecohie 
occasioni giti citata, la nota come una di quelle ,4ignea courbee qui ayent 
cette propriete, que leurs longueur puisae se niesurer d'elles menies", 
(X, p. 408). Con tau parole Hvyoens intendeva, in ultima analisi. 



1) Solution d'un problime de ffeomitrte iju« l'mi 'i propoti depuit peu dan» le 
Joiirnnl de Z^iprie <Tiem. de r&Ciid. des scienceg 10, p. 234— S37). Iv! U loli 
^ enuncinta, ma la dimoBtraeione e ritnan<iftta a<l n 



lunMM 



Curve piane special i nel carteggio di C. Huygens. 279 

esprimere il fatto che tanto requazione della curva, quanto la sua retti- 
ficazione dipendono dalla quadratura dell' iperbola (cioe da logaritmi); 
descritia quindi la curva meccanicamente, con un procedimento da lui 
stesso inventatOy ne deriva un modo per quadrare ogni iperbola^ donde 
la ragione per cui egli considerava la curva in questione come una 
y^quadratice dell* iperbola". 

La via battuta dal nostro matematico per giungere alle proprieta 
della trattrice e tracciata in un brano sin qui inedito (X, 418 — 421), del 
quäle ci sia lecito tradurre in linguaggio analitico modemo i passi pii\ 
interessanti. 



si ha 



L'equazione della trattrice essendo 



y 
j ydx^ J ]/a^ — y^dij = y^Va« — y^-j. A_ arc tg -^ 



risultato che HrvoENS esprinie a parole per ottenrre un elegante metodo 
di quadratura della trattrice; in particolare Tarea compresa fra la trattrice 



e Tasintoto vale ö • II volume descritto dalla rotazione della trattrice 



o vaie 
e dato da 

2na* 
3 '' 



n^^^^^~yiydy = 2 

—ft 



n{n'-y^^ 



tale volume e, dunque, eguale al quadruple di quello della sfera avente 
o per diametro, come affer ma Huygens. II quäle aggiunge che la deter- 
minazione del centro di gravitä G della trattrice dipende dalla quadratura 
del cerchio; ed infatti detta g Tordinata di 6r, in forza del teorema di 
Pappo-Guldino si ha 

onde 

n 
S= in- 

Finalmente T area descritta dalla rotazione della trattrice attomo al 
suo asintoto vale 

+ a -\-a 



23t yds'=27i ady = Ana^, 



a — a 



e dunque eguale air area del cerchio di raggio 2a, altra conclusione che 
appartiene ad HrvoENs. 



281) 



U brono Buccitato ei cliiude con alcune notevolisBime fmei (X, p, 
le quali moatrano che Hi'ViiRNS ooneepi aiiclie liinalogfa curva in com 
nate polari p iie awerti la pruprietä di accostarsi asintoticAinent« a1 pol 

Ritomiamo nlla trattrice ordinaria per Dotare conie il nom<> di 
..tractoria'' si legga In una lettera diretta da HuTfiENS s, LeibXIZ ü 
17 Settemhre \ÜV3 (X, p. 510) ed in qaell' articolo degü Acta erndi 
turnm (Settembre 1G93; cur. X, p. Ttl2 — 515) che giä citammo a prnposit 
delle curve per cui e oostante Ü rapporto fra tangent^ e suttang^nto; 
täte articolo vanno notate le applicazioni pratiche d«Ila curva in questicm^ 
le quali attiraroDO l'attenzioDA di Leibniz. Questi, iiella sua lettera ad 
HliVßENS del 1/U Ottobre 1693 (X, p- 538— 543). avveHi tosto la possi- 
liilitä di generalizzare la definizione di trattrice, nel modo ehe risulta 
dalle parole seguenti; „La construction des ügnes que vous appellee 
Tractorias est d'importance. J'appelle ainsi plustost la conBtruction qoe 
la ligne, car toute ligne peut estre conatruite de cette fai;on, prenant 
touGJours dana la Tangente un point dont la distance du point de la 
coorbe soit donnee, ce qui iera une nouvelle ligne, Je long de la quelle 
un bout du Sl estant mene l'autre deerira la courbe donnM'". In tale 
definizione, di cosl notevole geueralitä, h evidentemente compresa quella 
della sintrattrice (Ebene Kurven p. 56()), cnrva di cui uno studio mctodico 
Tenne fatto nel See. XVm da Vincenzo Beccäti/) in seguito a riceri 
del POLENi*), curva che appunto da lui ricerette U nome che porta. 






IICO 



Se si volesse che la presente rassegna rieultasse assolutamente c 
pleta converrebe ancora richiamare ratteuxione dei lettori aopra una 
curioea curva algebrica di urdine non inferiore a II}, concepita da 
TscHIKMiArsKN e di cui s'ignora e desidera la definizione (IX, p. 15"»)^ 
inoltre far menzione dei molteplici passi in cui si parla delle curve i 
fuochi di TscHiBNHAiSEN (IX. p. 154, 159, Itll, IKl, 185) o delle i 
dagini di HrytiEKS Bulla eatenaria (IX, p, 500 e &(I2 — 510)*), 



1) De natura tl proprielatibu» quarundam eumiTUM, qun^ gimiil eunt tractoria ' 
genernntiir, qunqae protnile tyntrnctortn (imni'(in{>i(nlii>' (De BonoDienei scient. et 
artium inst, ntqiio scad Commen tarii. 8, 1755. p. 479— S03). Notiano chf, 
nelle prime pa);ine di questi lavoro, viaae etabiltta requattione differeniiala dell* _ 
evoluta della trattrice: bastAva ege^Dirf* la (piadratura ivi indicRta ]ier concludfrp o 
tale curva e une oatsnaria [Kltne Kiin'rn p. 565) 

2) Epütotnrum tiKitbrmaticiiram fiisc.culHK, Venetiia 1729. 
8) Ch I/intermediaire des matliematicions t. 1!H)2. p. 172, e 1 

p. 1!)- t] probaliile cho la curva iii qiiegtiono «i posea delineare msccanicament« < 
mo*imeoto di o«Tchi die rotolano Boprn altri. 

4) V. KoBTKWKO, La snlutimi de rBtisTiAt/^- HrriFs» rfii probiime ih h cJmini 
(.Bililioth. Hathem. Ij, 1900, p. 97— 108). 



ClirTe plane spcciali nel carteggio di C. Huygens. 281 

costrozioni dei flessi della concoide (v. Ebene Kurven p. 131), solle 
caustiche (X, p. 73 e 543), ecc. 

Ma il sin qui detto sembraci piü che sufficiente a dimostrare quäle 
preziosa fönte di notizie intomo al calcolo infinitesimale (in se e nelle 
sue applicazioni alle curve piane) sia il carteggio di Hityoens, del quäle 
la Societa olandese delle Scienze ha da poco felicemente compiuta la 
pubblicazione. I tremila articoli sparsi nei primi dieci volumi delle 
Oeuvres completes de Chr. Uuygens contengono tale somma di osservazioni 
geniali, di notizie interessanti e di documenti inoppugnabili, che dovranno 
essere incessantemente consultati da chiunquare voglia fedelmente ritrarre 
quel fortunoso periodo storico nel quäle Tanalisi modema, benche tuttora 
in fasce, con vagiti robusti faceva prevodere il rndioso avvenire che la 
Sorte le riserbava. 



Kleine Mitteilungen. 

Eletne BemerkungeD zur zweiten Anflage von Oantors „Vorlesungen äti 
Geschichte der Mathematik". 

Die ernte (fette) Znhl bezeichnet den Bnnd. die stweite die Snite äer „Vorleaiim 
UM = Xibliotliecti Mathemntica. 
1 : 12, sielie BM lg, l'JOU. S. 265. — I : IG, siehe BM Ha, 1902, S. 823. — 
1 lit, 2», tM, Biehe BM I3. t9l)0, S. 265-266. — 1:311. fiJ, oieha BH 3s, 1902. 
a. 137. — 1 : 10», siehe BM Ij, läOO. S- 263. — 1:133, siehe BM lg, 1900, S. 266-, 
33, 1902. S. 137. _ 1 : U4, 135, IG», ITl, siebe BM Sa, 1902. S. 137— 13». — 
I : 1S9— 1»0, siehe BM I3, 1900, S. 2G6; 63. 1905, S. 101. — 1 : IV2, 1U3, siehe BH 
6s. 1905, 8. 101-102. — I1I95, Biphe BM S3, I9Ö2, S. 58; «a, 1905. S. 102. — 
1 : 106— 19T, siehe BM 1^, 1900, S. 266^ 63. 1905. S. Iti2— 103. — ) ; 1»8, siehe BH 61, 
1905, S. 103. — I i-iOH, siehe BM Is. 1900, S. 266. — 1 : 307, »ieha BM 4-,, 1903. S. 283 

— 1:226, 23J, siehe BM H3, 1902, S 1^8 — l:2r>3, «dehe BM Ss, I9o2, 8- 238.— 
1:213, siehe BM 43. 1903. S. 3116; 63. 1905, S. 322. — 1:283. siehe BM I3, 1900. 
S. 499. — 1 I 284, »21, siehe BM I3, 1900. S. 266 -267. — 1 : 333, siehe BM 6s. 
1905, S. 305. — I : 370, siehe BM I3, 190O. S. 319. — 1 i 3H%, giebe BM la, 1900, S. 267. 

— 1:S86, siehe BM Sg, 1904, S 407. — 1;395, siehe BM Ss. 1902. S. 323. 

— 1:100, siebe BM l», 1900, S. 267.— 1:429, siehe BM 3s. 1902, S. 324.— 
1:432, siebe BM I3, 1900, S. 267. — I : 4.14-435, siehe BM 43. 1903, S. 39S 
-897. — 1:436, »iebe BM 3^, 1902, S. 13». — 1:437, 44», siehe BM li, 
1900, S. 267. — 1 : 4.'>7, siehe BM ».,. 1902. S. 238. — l:4i;3, siehe BK »^ 
1903, S. 139, 324. — 1:466, siehe BM 4^. 1903, S. 397. — I ; 467. siebe BM I3. 
1900, S. 267. — 1 :4K8, siehe BM 7:i, 1906, S. 203. — I : 46«, siehe BM 1». 1900. 
S. 267. — 1:475, siehe BM I3, 1900. 8. 267-268; 3», 1902. S. 139: 4^, 1903. 
S. 283 — I ! 476, siehe BM 1,, 1900. S. 268. — I : 479. siehe BM 73, 1906, S. 80. 

— 1 : 480, siehe BM. 73, 1906, S. 80—81, 204. — 1 : 4N1. aiehe BH 7«. 190<s 8. 81. 

— 1 t 308, siebe BM S3, 1904, S. 68. — 1 : SlO, siehe BM 1a. 1900. S. 314. — 
1-S19-520, siehe BM S3, 1902, S. 239. 



1 : 524. In betreff der Bedeutung der hier augefährten Stelle aus der 
PosTEi.schen anonymen Schrift vom Jahre 1540, siehe unten S. 289 die Ge- 
merkuDg zu 2: -365. Die Berufung auf Appor.Bträ in zwei um 1500 ge- 
druckten Rechenbüchern mit dem Titel Algorithmus ImeiUis bat meiner Ansicht 
nach ebeneowenig Bedeutung, dn ihre Quelle unbekannt ist, und die Zu- 
vor! lissigkeit derselbeo also nicht kontrolliert werden kiknn. BekaDollicb be- 
hauptete man am Anfange des l)i. Jahrhunderts auch, daQ Appuleiits eine 
Schrift über die Coss(l) aus dem Gnechischen überaetzt hatte (vgl. ÄhbHndl. 
zur Gesch. der inathem. Wissenach. 13, 1902, 8. 449). 

G. ENEfiTRÖM. 



1:525. Über die Bedeutung des Ausdruckes: , Du rechnest n 
siehe die Bemerkung zu 1:400 (BM lg, 1900, S. 2(>7). 



3 NiKOKAcm 



Kleine Mitteüuust 
: .137, Biehe BM Is, 1900, S. 268. 



1:539 — 540, Über Boetius als Zahlen tlieoretik er bemeikt Herr Caotok: 
ist kein ebenbürtiger Bearbeiter, der sich an deo griechischen Zahlen- 
tfaeoretiker [Nieomachos] gewagt hat. Grade den feinsten arithmetischen 
Dingen ist er aus dem Wege gegangen. Sein Griechisch reichte ans Kur Über- 
setzung, seine Mathematik nicht'. Diese Bemerkung begründet Herr Camtor 
dadurch, daB , unter den weggebliebenen Dingen jener Satz des Nikomac^hoh 
enthalten ist, der von der Enlstehung der Kubikiahlen aus der Summe un- 
gerader Zahlen handelt, und ebenso der SatK, daß die wecksKohl von der Seite 
r und die Dreieckszahl von der Seite r — 1 zusammen die (w + IVckszabl von 
der Seite r bilden'. Aber in Wirklichkeit hat Boütius gerade die von Herrn 
Cantor envilhnten .feinsten arithmetischen Dingen* in seine Arithmetik auf- 
genommen und zwar sind die betreffeuden Sätze 11:3!* und 11:19 (siehe De 
inslitttlione arithmeüca liliri duo. ed. 0. Frieoletn, Leipzig 18t;7, S. 1S<), 103 
— 104; vgl. B. BoNCOMPA«si, BuUett. di bibliogr. d. sc. raatem, N, 1875, 
LÜS — 54). Als Beleg bringe ich hier unten die zwei Slltze vollständig zum Abdruck. 
XXXVIIII. Ipsi vero cjbi, qui quarnquara tribus intervallis sulluti 
sint, tarnen propter aequalem niultiplicationem participant imrontabiüs 
substantiae eiasdemque naturae sunt socii, non aliorum quam inpariuni 
coaeervatione producuntuv, imraquiira vero purium. Kam si omnes ab 
unitate inpares disponantur, iuncti figuras cjbicas explicabunt. 
I. III. V. VII. Villi. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. XXI. 
In his igitnr qui primns est, potestate et virtute primum cybum 
faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et qainitrias, 
secundum efßcinnt cybum, qui est oetonariua. Iuncti autem tres, qui 
sequuntur, septenarins, novenariasque et .XI. cybum facient, qui .XXVII. 
Dumero continetur, qui est tertiua. Et sequentes quattuor quartum, et 
ijui sequuntur quinqtie <[uintum, et ad eundem moduni quotus quisqoe 
cybos efncitur, tot coniunctione inpares apponuntur. Hoc autem dili- 
gentius subiecta descriplio docet. 

i.|m.v.iVii.Tim.xi. xra.xv.xvii.xviiii. xxi.xxiii.xxv.xxvilxxviui. 

I.|VU1.| XXVII. I LXJIli. I cxxv. 

XVIIII, Hi vero omnes, si ad latitudinem fueriut oomparati, id 
est trianguli totragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis 
Tel hi rursus eptagonis, sine aliqua dubitatlone triangulis sese supeta- 
bnnt. Nsm si ternarium triangulum quateruario, vel quateroarium 
tetra^ODum quinario. vel quinarium pentagonum senario exugono, vel 
seunrium septenario eptagono compares, primo se trinngnlo, id est sola 
transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel bic contra 
,SII. vel hie contra .XV., vel qnindecim contra .X. et -VIIl., pro in- 
veniendis differentüs coraparentur, secundo se triangulo, id est ternario 
superabunt. .X. vero ad ,XVI. et .XVI. ad .XXII. et .XXII. ad 
-. XXVIII. et .XSVIII. ad .XXXIIII. si componas, tevtio se triangulo 
Vincent., id est senario. Atque boc i-ite notabitur in aliis cunctis se- 
quentibuE sese perspectum omnesque se triangulis antecudent. Quare 
perfeete, nt arbitror, demonstratum est, onininm formarum pvincipium 
elementiimque esse triangulnm. fi. KsE^TKi'i«. 



2S4 I": Knf..t«ö,,. - 

l:5J0, 543. Bieba UM Is. 1900, S. 268. 
— IsfilS, siehe BM «j. Ia05. 8. 306-3 
8 Uli. — I : ASS, siebe BU 63. 1905. S. 394. 
1:661, aiehe BM I3. luOO, 8. 499. —1:66; 
8. 1»!l. — 1 1663, »ehe BM Sa, 1902, S 405. . 



- 1 : 551), siehe BM 7s, 1906. S. 20t, 
T. — 1:632, siehe BM Sj, 1901, 
-1:641, EieheBHSa, 1902, 8. 139,- 

eiehe BH I3, 1900, S. 499i Sj. I90i. 

- 1 : 671, siehe BH Is, 19U0. £ ' ' 



;. 408. 



:(t71, »ehe BM 7i, 



1:677. Wie Herr Cantor richtig heryoihebt, gibt Ai.kdwarizmi niis- 
drücklieh an. d«ö die Gleichung .r* + r = fcjc awei Wurzeln halieii Irnno. 
Auf der anderen Seite hat L. Rodet in seiner Abhaudlung I/algcbre d'Ai- 
KuÄRtziti et les mithodes indienm et. grecque (Journal asititiqne II,. 1B7S; 
siehe S. 90 — 92 des Sonderabzuges) darauf hingewiesen, A&& Ai-khwarixiu bei 

dem Beweise der Richtigkeit der Lösung nur die Wni-zel r = — — V 7 ~ '' 
in Betracht zieht, und am Ende des Beweises ganz beiläufig bemerkt, ancli 
n- = ^ -|- V-j — T sei eine LCsnng der Gleichung; in der vod Libri ver- 
öffentlichten mittelalterlichen Ühersetxung fehlt sogar diese beiläufige Bemerkung 
ganKÜch (siehe Libri, Sistoirc des sciences malhemaligues en Jlalie I, S. atiS). 
Koch dazu lenkt Rodet die Aufmerksamkeit darauf, da8 ALKtiWAUtzut ztvar in 
der Theorie zwei Wurzeln der Gleichung j:* -f- c ^ bx anerkennt, aber in ük 

Praxis aav die Wume! — Vj — c anwendet; in der Tat acheint die von 
Herrn Caktor zitierte Stelle die einzige zu sein, wo Alkhwariismi auch die 
größere Wurzel erwfihnt (vgl. Libri, a. a. 0. S. 278, 2«0, 281, 282. 2831 
Freilich kann dies auf der Natur der bebandelten Probleme beruhen (die zwei 
Wurzeln repräsentieren bei Alkhwarizmi immer die Teile einer gegebenen Zahl] 

U. GnbstuÖu. 



1:687-689. siehe BM 83. 1901, S. 143—144; 4a. 190.1. 8- 205— 20 
siehe BM I», ItlOO, 8. 499; 4». 1903, S 284; «3, I9o5, 8. 103. — 1 : 699, aiehe BH 
1906, S. 205. — l:i04, 706, 7U8, siehe BM Ig. 1900, S. 499— 500. — 1:712. 
BM 73, 1906, S. 81-82. — IjiU, siehe BM Is, 1900, 8. SOO. — 1:733, 
BM 63, 1905, 8. 307. — 1:733, 736, siehe BM lg, 1900, 8 500. 






1 : 736 — 737, Wer der Erfinder der hier auseinandergesetzten Näherungs- 
methode, uiu sin 1° aus sin 3" zu berechnen, ist, dürfte zur Zeit nicht mit 
Sicherheit ermittelt werden können. A. vos BitAUNMihii. t^Vorles. über Otsrli. 
der l'rigonom.i, Leipzig 18U9, S. 72 — 73) vermutet, dsJJ sie viel Alteren 
Ursprungs ist, weil die Drei teil au gsgleichuug schon von Abu'l DscHmi (etwa 
1000) aufgestellt wurde, und diese Gleichung für die exakte Berechnung der 
Sinustabellen von großer Wichtigkeit ist. Dies ist jn möglich, aber ebenso 
möglich ist es, duQ man sich vor dem 15. Jahrhundert underer N&hetungs- 
methoden bediente, Zeutues (GeschifliU der Miifhemntik im XVI. und 
XVII. Jahrhundert, Leipzig 190^, S, 82) bemerkt, daß es kaum berechtigt ist, 
aus ÜLua Begs Kreis besonders den Arzt AL-KAäcm als Erfinder der Methode 
herauszugreifen , Aber wenigstens scheint Mir\m Tschei.ebi die Methode ganz 
bestimmt dem von ihm genannten Atab-Edpin DsfHAMsniiD zuzuschreiiben, 



Kleiao .Mitteil uti geil. 



285 



^ioiLLOTBube Übersetzung (De Valgihre chee les antbes; Jouvunl 
a biatiqae 2^, lS5ä; in der Soadernnsgiibe fiadet sich der Pbssub 6. liO — 31) 
der betieffeiiden Stelle lautet; ,ätab-Eddin Djemsciiiu . . . a röduit finalement 
ce probl&me & ceci, iiue 45 öleve uns fois, inultiplianl leB chosea, sont equivnlent 
du cube et da norubre .... Et afin d'obteoir cette raeine, lautHur se sert d'un 
artifiue iDgänieai pour iotroduire le cube de la cbose daua In divisioD*. Nou 
hat Miit.\)i 'ffiCHBLEHi an einer voran gaben den Stelle {Si^Idillot. a, a. 0. S, 16) 
in betreff dieser Methode gesagt: ,Nous en dounerons les d^nionstrations d'aprfis le 
conuneotaire des tables d'ÜLOUo-BEG par Ar.A-EuDm-Au-KoscuDJi, et l'opnscule 
qui a öte compoaS sur le m6me objat par le savant Cadiii Zadkh-el-Bumi'. 
.Der Verfasser' muß also entweder Ai.-K.\a<.'in oder Kadisadeh ei,-Biimi sein, 
und jeuer aber nicht dieser ist von Mihak Tscuei.ebi an der voo mir /.uei'st 
zitierten Stelle genannt. Denn daß Atabeddin DscHAMSfmu mit Al-Kabcui 
identisch ist, hat mau meines Wissens keiaen Aulaß zu bei^weifelD. 

Der Verweis S. 736 auf Wlkpi-ke, Fassagts relatifs ä des sommationa de 
siries de cubes (Rome 1864), S. 22 — 25, sollte ergilnzt werden, weil es in 
Wirklichkeit zwei sokhe Sonderabxüge gibt. Der erste, der liier nicht gemeiut 
iat, hat den Titel: Pitssages relatifs ä des sommnlions dt series de cubes 
cxtraits de trois mnnuscrils arabes inidils de la hibliothrque impirialc de Paris 
i-otia n™ 95I2, 95I3 et 052 du suppliment arabc (ßome 1864) und ist ein 
Sondei'ttbzug aus den Annali di matematicaS. 1863, S. H7— 181. Der xweite 
Sooderabmg hat den Titel: Passages relatifs ä des sommations de ah-ies de cubes 
ea-traiis de deitx manuscrits arabes int-dUs du British museum de Londres 
cotva «"* CCCCXriII et CCCCXIX des manusrrHs orienl'iux («■" 7469 et 7470 
des manuscrits addilionels) (Rome 1864) und diese Abhandlung erschien in der 
Annali di malematica 6, 1864. S. 225—248. U. Enebtköm. 



1 : 740, 748, siehe BM lg, 1900, 8. 500. — 1 : 74», «{ehe BM Ig, 1900, S. 2Sd. - 
:T52, «ehe BM 63. 1905, 8. 104. — 1 : 7S3, siehe BM 63. 1904, S. 408—409. 



1 :754. Der Cod. 65 (14. Jahrb.) der Bibliothek in St. Florian (Ober- 
Östeneicb) enthillt nach dem Werke Au*iUSTiNS ,de magistro' folgendes 
aEpitapbium AuGUsriNi super Gepulehrum Aueodati": 
^_ 8i quantum visit tantom visisset itemque 

^Hb Tantum tnutiqne dimidium super hoc, 

^^V Dimidium quoque dimidii, centennis hie esset, 

^^r In Am Hanriner A|[RirsTiNUsaaagabe findet sich dieses Epitaphium niuht, 
ar der Sohn des äuoüstini'p. A. Stuk-v. 



1:;64, siehe BM 5», 1904, S. 409; 63. 1905, S. 104, 308; 7», 1906. ü. 2ÜG. — 
1 : 76«, liehe BM I3, 19DÜ, S. &00; 6». 19Q5, S. 308. — 1 : 75;, 767, aieho BM I3, 
1900, S, 500--501. — 1:794, siehe BM Sg, 1908. 8. 13». 



1 : 796. Wie schon ßnuNOV [Gerberti Opern muthcmntica. Berlin 18i>9, 
S, 2Ul) hervorgehoben bat, ist die Bemerkung (Z. 26 — 28): ,0h über das 
Kecbnen mit ganzen Zahlen Anweisungeu bei Abbo gegeben sind, lHÜt sich aus 
den veröffentlichten Musterstücken nicht nachweisen* nicht ganz richtig, denn 
die von Chmst mitgeteilten Auszüge aus der Schrift Abbos enthalten (8. 14«) 
Anweisungen über Multiplikation von 6 und 600 (.dum sexagies sexageuos 



G. KkesthÖu. 



perquiris, sexies seaos XSXVI esse invenies, ubi sunt tre articnli et sex digili, 
qai ostenduDt sexngies eeiagenos esse fll DC*). Aus den von Bubnov (a. i. 
0. S. 202 — 204) veröffeutlicfaten weiteren Ausziigeii ersieht maD. daB Atiso 
ancb MaUiplikittion vou einem ,arti<.'ulus' mit einem .numerus com|>aeitm' 
gelehrt hat. Dagegen fehlen bei Aiibu, wenigstens in den von BcDXOV be- 
nutzten Handschriften, Anweisungen über Multiplikation von zwei .nnmeri 
compositi", und über Division giebt Adbo gar keine Aaskuoft. 

G. Bkeström. 



1:H04, 805, 807, SOS, HU, dehe BM I3, 19D0, S. 268—269. — 1 1 81«, liehe 
BM 73. 1906, S. 82—83- — 1:823, siehe BM I3. 1900, S. 2f>9. — 1:S25. »leht 
BM 7g. 190R. S, 206. — 1 : 836, «iehe BM T,, 1 906, S. 83. — 1 : 848, siehe BU 7i, 
1906, 83—84, 206-207- — 1 : 852, aiohe BM Is. 1900, 8. 269. — 1 : 853, siehe BM Ii. 
1900, S. 201. — 1:854, siehe BM I3, 1900, S- 501; 3s, 1903, S. 324; 4^, IBOS. 
6.206; «,, 1905, B. 104. — 1:855, siehe BM I3, 1900, S. 501; 7^, 1906. S. gl - 
1 : 856, siebe BM 63, 1905, ä. 309- 

3i5. Eh ist wohl nii;ht ganz richtig zu sagen, daß wir den Namen des 
Vaters von Leosabdo Pisano nicht kennen, denn iius einem von 0. Milasew 
1867 veröffeul liebten Aktenstücke aus dem Jahre 122(> (Documenlo tnedUa e 
sconosriuto inlorno « Ljonardo Fibosacvi; Giornale arcadico Sij, 1667: 
der Soiiderabzug enthalt 10 Seiten) scheint deutlich hervorzugehen, daß der 
Vater Guülielmo hieß. Der betreffende Passus lautet: , Baktholomevs ijuoudsiD 
A1.BKRTI BoNAcii vendidit et tradidit Leosardo biuollo tiuondaia GurUELio. 
procuratori et certo uontio Bosaccinghi germani sui quondam suprascripli 
GfiuELHi'. Daß BoNACcio ein spöttischer Beiname des Vaters war, ist kaoiu 
anzunehmen, da Im Aktenstücke 7.wei andere Personen mit diasem Beinamen 
genannt werden, nämlich der damals verstorbene Albekto BoNArno und sein 
Sohn Bartoloueo Bosaccio. G, EseetrÖm. 

S : 7, siehe BM 2», 1901. 8. 351. — S : 8, Eiehe BM 1», 1900, 3. 501 ; 63, 1905, 
S. 309. — S:IU, siehe BM Ig, 1900, S. 502. — S:14-15, siehe BM 23, 1901, 
S- 144; Ss, 1904, S. 200; 6.,, 1905, 8. 208—209. — «;20, siehe BM Ig, 1900, S. 502; 
»3, 1902, S. 239. — S : 25, siebe BM I3. 1900, S. 274. — « : 30, siehe BM 63, 1905, 
S. 105. — 2:31, fliehe BM 23, 1901, S. 351—352; 33, 1902, G. S39— 240i 6g, 190S, 
S 309—310. — S::i2, siehe BM 63, 1905, S 105. — 2:34, eiehe BM 2s, 1901, 
S. 144; 63. 1905. S-SIO. — 2:37, siehe BM I3, 1900, S. 502; 63, 1905, S. 105. — 
2:38, siebe BM 83, 1901, S. 352. — »:39, siebe BM I3, 1900, S. 502; 63. 1905. 
S. 209. — 2:41, siehe BM 83, 1901, S. 352. — 2:51, eiobe BM 63. 1905. S. 106. -> 
2:68, fliehe BM S«, 1904. 8. 201. — 2:57, siehe BM 83. 1901, S. 352 — 2:3«, 
siebe BM 7j, 1906, 8.207-203. — 2:59-60, siehe BM Ij, 1900, S. 502; «3, 1905, 
8. 310-811. — 2:61, siehe BM 73, 1906. S. 85-86. 208—209. 



2:tJl. Der 38. Satz des 9. Buches Am Arithmetica Jordaxi exsiktM einen 
Passus, der für die Geschichte der mathematischen Terminologie von einem 
gewissen [nteressa ist. Dort wird erst nach Nikomachos (Inlroductiortis arith- 
meticae libri II, ed. B. Hoche, Leipzig 1866, S. 51) und Boetiub {De insti- 
iiUione arilhmeticu Ithri duo, ed. G. Friedlein, Leipzig 186T, S. 53) eine 
Tafel mitgeteilt, die ganz wie das gewöhnliche Einmaleins aussieht, obgleich sie 
wie bei Nieouachos und Boirrii's einen zahlen theoretischen Zweck hat; dann 
wird in der Lef»': vre sehen Ausgabe bemerkt: .Formata ergo hac mensula 
PvTHAaoRE", und wenn diese Bemerkung wirklich von Jordakus selbst her- 
rührt, so scheint daraus hervorzugehen, daß die gewönlicbe ÄDnabme (vg). 



Kleiue MilteiluogeD. 



2»7 



i[aihemalische Beiträge eum Culturlchen der Völker, Halle 1863, 
Sl 205) in betreff der Entstehung der Beneunung .Meusa Rvthauorab' za mo- 
difiziereo ist. Nach dieser Annahaie beruht die Benennung auf einer irrigen 
EinBchultucg des Einmaleins an einer Stelle der Geomelrin BcEr;i, die von dem 
Rechenbrett handelt. Aus der zitierten Stelle des Jokdanvs könnte man da- 
gegen folgern, daß eine Tafel, die sich nur in beti-eff der Anwendung von dejn 
Einmaleina unterscheidet, im Mittelalter unter dem Namen ,menEuIa Pythagouae* 
bekaont war, und nnter solchen umstünden ist es ja leiubt zu verstehen, warum 
das Einmaleins denselben Namen bekam. 

Bührt dagegen der Ausdruck .Mensula Pythaoore* von LefM're her, so 

Kman jedenfalls, AaS ersehen im 15. Jahrhundert angewendet worden ist. 
G. ESEBTRÖM." 



^^ It-.m, fliehe BM 43. 1903, &.'. 
9:70, iiehe BH U, 1900, 8. 417. 
»ihS, eiebe BM I3, 1900, S. 503: 
I9O0. S. 503. — £ 
1905. 8. 395—396. 



■ Ä ! 61, «iehe BM »s, 1906. S. 209-210, — 

: T3, 82, 8T, siehe BM I3, 1900, S. 502. — 

1905, 8. 395. — le ; 89, 90, siehe BM Ig, 

siehe BM Ig, 1900, S. 503^ 5», 1904, S 409-410; «a, 

ft t 97, eiehe BU 3s, 1902, 8. 406. — 2 ; «8—9», siehe BH ly, 



1900. S, 269-270; «3, 1905, S. 106—107; Tg, 1906, S. 210. — ÄilOO, siebe BM 3s. 
1902,8. 140. — 8:101, siehe BM 3», 1002,8.325; 6«, 1905, S. 396. — B: 104-105, 
siehe BM Ig, 1900, M. 503; 43. 1903, S. 397—398. — Ä:lll, siehe BM Äg, 1901, 
S. 352. — «:110, siehe BM 33, 1902, 8. 406. — 8:117-118, siehe BM 63. 1905. 
3. 107, 311, — je-.l'ii, siehe BM I3. 1900, S. 50^—504; «3. 1905, S. 397. — 
2 : 136, siehe BM 3<). 1902, S. 406; «3, 1905, S. 210. — 3 : 127, siehe BM 3g, 1902, 
S. 406, — 8:138, siehe BM I3, 1900. S, 504. 



2 ; 12!', Hier stellt Herr Cantor die Frage: ,Wer sind die Alten, 
t-eteres, welche Ores.me hier unzweideutig als seine Vorgänger bezeichnet?". 
In betreff dieser Frage ist zu bemerken, daß es noch nicht sicher ist, ob bei 
OitESHB überhaupt das Wort veleres vorkommt. Herr Castor zitiert nach M. 
Cubtze: ,('<>[■' jmnginatiouem veterum vel meam . . .', aber an der zitierteu 
Stelle erwähut Cuktkü vier Hundschriften, von denen zwei; .Cum ymaginationeui 
meftm . . . .* und eine: ,Cum ^maginationcm veterum . . . .* haben. Die 
vierte Handschrift hat allerdings nach Cun'r/.B: ,Cum ymaginationem veterum 
Tel meam ....*, aber Curtke hat nicht selbst diese Handschrift gesehen, 
sondern beruft sich auf aus Frankreich fibersendete Notizen, und es ist höchst 
wahrscheinlich, daß die Worte .veterum vel menra" von dem Verfasser dieser 
Notizen herrührt Von den vier Handschriften haben also zwei nicht das Wort 
amt«re8', and in einer Handsubi'ift ist die Lesart unsicher. G. Eke»tröu. 



Ia:l32, siehe BM I3, 1900, 8.515—516. — 9:143, siehe BM I3, 190O, S. 504. 



2:145. Da Campakus eine in vielen Abschriften aufbewahrte Theorien 
platietarum verfaßt hat {siehe z, B. Houzeau et Lancaste«, BiUioijraphie 
ginirale de l'astronomie I, Bruieiles 1887, S. 504), so ist es wob! anzunehmen, 
da6 Ai.bert von SArnsEN an der von Herrn C.«-'tor (Fußnote 3) zitierten 
Stelle diese Theorica meint, besonders als die betreffende Bedeutung des Wortes 



,i}uadratura* auf eine astronomische Schrift hin 
dir g enannten Abhandlung findet sich Bl. 172 — 193 der ■ 
■Kr oben (S. ItO) erwlthnl^n Cod. Üasil, F. H. 3». 



icheint. 
1 Heri 



Abschrift 
u Cantur etwas 
Eneström. 



28» 



(J, lDsE^T1lfi>l. 



2:150 — 151. Die Regel der Qaudratwtintelaasziefaiitig der Geomtlria 
Cubnen^ stimmt in betreff der Berechuang der gamen Zahl grS Utensils wQrtlicIi 
mit der entsprechenden Stelle des Algoristnus des Sackobosco aberöin, wie aus 
der folgendeo ZusammeusteHiuig hervorgeht. 



Geomelrin Ciilmensis. 
Sub nitima flgura inpari loco poaita 
ioveoiendus est quidam digitus, tjai 
dnctus in se qusdrate deleat totum 
snperposituiD, vel iu quantum viciiiiuä 
polest . . , Si nihil est residuum, constnt, 
i|Uod niimeriis pioposituB fuit quadratus, 
si Tero illiquid est residaum tunc nu- 
merus invenlus fuit proxima radix sub 
illo numero contenta, saltem in integris. 



Sackobosco. 
Sub ultima figara in impaii loco 
posita inveniendus est quidam digilui 
qni duotns in se deleat totum sibi super- 
posiluni respecto sui, vel in ciuantum 
vicinius postest . . , . Si nicbil fest 
residnuni], constat, quod nnmerus pro- 
positus fuerit quudratus . . . si vero faerit 
aliquid residuum, . . , digitus ultinio 
inventus cum subdnplo Tel subduplis 
tunc est radix mnxinii quadrali seh 
numero proposito cootenti. 
Dagegen feblt bei Saciiobom<.'D der Zusatz der Qeomelrin Culmcnsis: 

De numero autem residuo sie Facies: numerus, qui uou potuit integrum 

coiistituere, Jd est qui fuit residuus, sit numerator parciam, et rndix 

inventa dnplieata erit pro denominatore. 

Freilich war dies Verfahren im Abecdlnnde schon vor Sacroboscü bekatnt 

(vgl. Liber algorismi de pradca arjsmefrire, ed. Boniomimgni, Roma Ibbl, 

S. 76), und vielleicht hat der Verfasser der Geomelria Cultnensis alles wus 

er über Quadrat wuizelauszieliung lehrt, wUrtlich aus irgend einer Bearbeitung 

des Algoriamus des Sacrobosco entnommen; solche Bearbeitangeu waren im 

Bpilteren Mittelalter gar nicht selten (vgl. M.Curtze, Cent ralbl. rürDibttotheks- 

wesen lö, 1S99, S, 285—286). G. Esestböm. 

«:155— löfi, siehe BM 5g, 1904. S. 410—411; 7ä. 1906. 8. 86-87. —2:157, 
taS, siehe BM 83, 1901, S. 3b2. — «:160— 162, siehe BM 63, 1905, S. Sil— 312; 
Ta. 19U6, S. 87-88 — «jlC3, siehe BM Is. 1900. S. 504; 63, 1905, S. 312. ■ 
X ; IßJ, siebe BM 63, 1905, S. 313. — ü x 16fi, siehe BM 1$, lAOü. S. 504. ' 
siehe BM äs, V.m, S. 140. — 8:206, siebe BM 63, 1905. B. 313- ~ S: 
BM 2^. 1901, S. 352-853. _ 8:318, dehe BM 4», 1903, S. 284. — S; 
BM Kj, 1901, S. S9ä. — K:2SS, siebe BH 6», 1905, S. 397- 398. — 8 
siehe BM I3, 1900, S. 504— 5Ü5. — S:S48, siehe BM 1,, 1900, S. 505; 
S, 398. — 8 i 893, siebe BU 83, 1901. S. 353. — 8 : 273, siehe BM Is, 1900, 
8i2T4, siehe BH Sg. 1902, S. 325. ~ 8;-281. siehe BM Ss. 1904, 8. 411. - 
283, siehe BM I3. 1900. S. 506; «g, 1901, S, 363— 354. — 8 ! 2S4, 286, 287, 
291, siehe BM Is. 1900. 8.506—507.-8:29(1, siehe BM »s, 1901, 
8:305. siehe UM 7g, 190», S. 88. — 8:313, siehe BM I3. 1900, S. 507. 



■ 8 : 175, 
:2I0, siehe 
21 B, siehe 
: 23t>, 242, 

Gg. 1905. 

S. 505. — 
— 8:382, 
, 289, 290, 
S. 854. — 



2:314. Aus dem ö. Tractate der 2. Distinctio der Summa kann man 
einen kleinen Beitrag zur Vorgeschichte der Differenzenrecbnung entnehmeo. 
Am Ende des Traktates (Bl. 44*) gibt FaciüOlo n&mlicb einen Satj: an, der m. 

moderner Bezeichnung laulet 

«n "0 ^ JM| + Jhj + . . , + .Jh„, 

Er selbst spricht den Sat2 auf folgende Weise aus: ,äe saranno dis[ 
qnanli voll nuineri. In che proportione se vogliano pur che el secondo aauim 
el primo el terzo auanzi el secondo el quarto aaanzi el terzo el quinto nuanzi 



er i^^^ 



Kleine Mitteilungen. 



l qnsrto. Et sio in iDfinitum: e qnelli eicessi: euer differentie sieno in quäl 
proporlione si voglia: e per qnanto si voglJa che con t» caso: e volere sspere 
subito coD prestezza quaiita sia la summa de tatte loro differentie dal primo 
lin u lultimu sempre: caua el pi'imo termino: ouer uumero de lalUmo el 
rimiuiente sempie sera 1a summa de ditte differentie: ouer excesBi: quod est 
nota dignuni'. ti. Eneström, 

K:3I7, siehe BM 5», 1904, 3.69. — 8:330, siehe BM 7$, 1906, 8.83—89. — 
a:3SS, Biebe BM «g, 1905, S. 399. — 2:323, siehe BM 63, 1905. 3. 313— 3U. — 
S:338, liehe BM 3», 1902, S. 140; 4a. 1903, S. 285. — S:334, «ehe BM I3. 1900. 
S, 50T. — 8:»ai, siehe BM «3, 1905. S. 399. — 8:353, siebe BM lu, 1900, 8.507; 
4s. 1903, 8. 87. — Ä : 355, 857, aiehe BM «». 1905, S. 399-400, — »:35S, 360, 
Bieha BM 43, 1903, 8. «7. — 8:371, siehe BM «;,. 1905, S. 314. — 8:87», 3S0, 
sieh© BM «s. 1905, 8. 400-401. — 8:381, siehe BM I3, 1900, 8. 507. — 8: 385, 
■iahe BM 3», 1902, 3. 81; 4». 1903, S. SOT. 



2:385. Meines Wissens hat tnun keinen Oruiid zu bezweifeln, daS die 
von Herrn Cantou hier erwäiiut*. 1 540 anonym herausgegebene Schrift wirklich 
von G. PoKTEi, herrührt. An der von Herrn Cantou zitierten Stelle sagt 
VdsmI's ausdrücklich: .factum id scimus, etsi in titulo praetereatur, a Guii.lbl.mo 
?<iSTEi.i,o" und dieselbe Angabe haben alte anderen Verfasser, die ich zu Rate 
gezogen babe; der Titel der Schrift scheint Ciympftidium de qualluor mathe- 
nuiticia disctplinis ex Cjs.-iioüoro zu sein, 

Um so zweifelhafter ist es, ob die von Herra Cantor aus dieser Schrift 
angeführte Stelle über AppULEJua wirklich wichtig ist. In seiner Abhandlung 
Xcs siffnes numirauj: et l'<a-Ühmilifjtic chex les peuphs dt Vanli'juile et du 
mogen-ägc (Annali di matem. 5, 1863, S. 2i»8) bemerkt Th. H. Maktih 
in betreff dieser Stelle: .Postei, reproduit iufid&lement la phrase de Cab«iodorf,, 
cn y ajoutant des traits de son invention, et en couseillant la lecture du livre 
d'ApiTi.iiE, corame s'il existait eaoore'. Auch für mich ist es höchet unwahr- 
scheinlich, daß P.:>si'EL allein eine sonst unauffindliche Arbeit gesehen hatt«. 
Der aus der fraglichen Stelle des Postei. gezogene Schluß, ein Rechenbuch 
des Ai'pn.Eiva müsse sich bis zum Anfange des XVI. Jahrhunderts erhalten 
haben, wird also meines Erachtens hinfällig. U. Enestiiöm. 



8 : 88«, Hiebe E 



, 1900, 



;. 507; 5s, 1904, S. J 



2 : S88. Da das Buch von Ntji<'Ez: Libro (nicht .livro*) de algebra en 
(nicht .ein') arilkmetii-a y (nicht ,e') geomelria (Antwerpen 1567) jetzt eine 
grofle bibliographische Rarität ist, und da Herr Cantob nur im Vorübei'gehen 
einen von Stevin zitiei'ten Passus des Baches erwähnt, aber sonst gar keine 
Auskunft über dessen Inhalt gibt, bemerke ich, daß Cii, HurroN in seinen 
Trotts on mathemiitical and philosophicul subjecls (II, London 1812, S, 25iJ 
—252) ein gntea Referat des Buches gebracht hat. Daraus geht hervor, daß 
NuKE2 ausgiebig die Arbeiten von pAcn^OLb, Caudano und Taktaglia benutzt, 
aber kubische und bi quadratische Gleichungen nicht behandelt. Auf der anderen 
Seit« scheint Nlnex die mathematischen Schriften seiner deutschen Zeitgenossen 
nicht gekannt zu haben. G, £)n>;stiiöu. 



BibliflUiMa Halhemi 



290 '■'■ axK»tK<">"- 

4:410 DieZeicben für 1, 10, lOO, 1000, 4. 40, 400, 4000, die Hm 
Cakto» J. Bboskhorst zuschreibt, siüd vermutlich aus Heilbronkeb nnd 
Nesbelmann entnomraen. Indessen hat Friedlbin an Hn von Herrn Cxxna 
selbst zitierten Stelle darauf aufmerksam gemacht, Anü Bronkuorst io Wirklidt- 
keit nur Zeicbeu mit wagrecht liegendem Gruodstricb benutzt, also wie in d«r 
Figur 36 der Mathemalischen Beilrüge tum CuUurUhen der Volker. Die Riolitig- 
keit der Angabe von Fkiedlein wird auob durch die Schrift von 0. Fiuzeö: 
De numeris libri dito authore Ioax.'-e Non-'HAoo esposti ed illHSlrali (Veroiw 
1901, 8, 62 — 63) bMtätigl. Die Kenntnis der Zeichen verdankte BftONKnoBflr 
nach seiner eigenen Aussage seinem Landsmann Rodolphl's pALUDANt's, und 
soweit bekannt ist, bähen alle Verfasser, die die fraglichen Zahlzeichen erwllfanen, 
aus Bbonkhorst geschöpft. Aber wenn kein anderer als Paludaül's die ZeiduD 
gesehen hat, müssen sie sebr wenig verbreitet gewesen sein: man kOuote sog«r 
versucht sein zu vermuten, daß sie wesentlich von Paludanus selbst herrähren. 
Jedenfalls hat man meines Erachtens gar keinen bestimmten Grund anEonehmeo, 
daß sich der von Bronkhorst angewendete Ausdruck; ,Chaldei et Astrologi 
quemlibet nnmerum . . . describant" auf spätrömiscbe oder mittelalterlicÄB 
Sterndeuter beziehe; ans der Angabe von Bkonkhorbt kann man hdofasteoa 
folgern, daß einige Sterndeuter des 16. Jahrhunderts die Zahlzeichen gebranefct 
babeiL G. Enestrüu. 

8 : 411, 41'i, siehe BM Ts, 1906, S. 89. — X : 425, «ohe BM 1». 1900, S. 507. — 
« : 437, siehe BM 9», 1905. 8, 314—315. — S ! 429, siehe BM Ss, 1904, 8. 20I-2Ü2, 
— 2:430, aielie BM Sa, 1901, S. 145. — »:440, siehe BM 4a, 1303, B. 285. — 
X:443, siehe BM Sg, 1902. S. 325. — « : 440, siehe BM 3a. 1902. S. 140. — 
* : 45-1, »ehe BM 3}, 1902. S. 242. — S : 474, siehe BH 3^. 1902. S. 140-141. 

2:479—480. Herr Cantor lenkt die Aufmerksamkeit darauf, daS in einer 
englischen GncyklopSdie dem lt. Hbcorde das Verdienst unrichtig zugeschrieben 
wird, die Quadratwurzelausziehung aus algebraischen Ausdrücken zuerst gelehrt 
zu haben, und fügt hinzu, daß es sich hei Bbciikde nicht um anderes handeln 
kann als um Ausdrücke, welche aus Summen von mit bestimmten Zahlen verviel- 
fachten Potenzen der Unbekannten bestehen. Herr Cantor hat durchaus Becht, 
und die Quelle der unrichtigen Angabe ist vermutlich die F^ilosophi^ul 
and mathematical diclioniiry von Ch. Hütton, wo (siebe New edition 1, 
London 1815, 8. 85; vgl. Oh Hutton, Tracls on mathematical and philoao- 
fAical subjccts II, London 1812, 8. 245) bemerkt wird: ,He (Rbcorde) gives 
also many examples of extracting the roots of Compound algebraic quantities . . . 
whioh is the first instaucc of thia kind that 1 have observed* und als Beispiel 
V25 J-« + 80xS ^^26"^"— ~T44iS + 81*5 =5x^+8x^ — 9x angegeben wird. 

Herr Cantor bemerkt noch: ,In anderen Ländern haben wir viel fr&her 
als 1356 Quadratwurzeln aus Ausdrücken ziehen sehen, welche aos Summen 
von mit bestimmten Zahlen vervielfachten Potenzen der Unbekannten bestanden*, 
aber leider gibt er nicht die Stellen an, wo die Vorlesungen Aufschlüsse 
hierüber geben. Ich habe vergebens die Sticbwörler .Quadratwurzel* and 
.Wurzel* des Registers zu Kate gezogen, um die Stellen aufzufinden, and 
sonst kenne ich nur einen (im Register nicht veraeichoeten) Passus, der sich 
auf den fi-aglicben Gegenstand bezieht, nämlich S. 442, Z. 2 — 5 t u. des 
2. Bandes der Vorlegungen. Hier erwähnt Herr Cantor ganz beil&ufig, daß 



Kleine MitteiluuHen. 



291 



^RTKL in der Arilkmetiea integra Gleichnngeu 4. Grades durch Wur^el- 
Basziebang aaf qiiodratisdiH Gleiuhuagen reduziert hat. Aber Deutschland ist 
ja trar ein Land, und 1544 kaum viel früher als 1556, so daß ein Verweis 
auf S. 442 kaiiiu geiiügt, um als Beleg zur Bemerkung des Herrn Cantor 
benutzt zu werden. Selbst kenne ich vor 1556 nur ein anderes Heispiel der 
WarzelsasKiebang bus algebraischen Polynome», nümlich das von den Herren 
Trbdtleik {Die deutsche Coss; Abband), zur Gesch. der Mathem. 2, 1879, 
8, 42) nnd Tropfke (Geschichte der Elemcniar-Malkematik 1, Leipzig 1902, 
S. 213^ aus der SxiFBLschen Ausgabe (1553) von Rudolffs Schrift Die Cosa 
(S, 161}'' — ITl*") zitierte. Etwa gleichzeitig behandelt« Tartagi.ia den Gegen- 
stand im 6. Teile des Gcnernt trattato di mmeri i misiiri (Bl. 13''— 14>>), 
aber dieser Teil erschien bekanntlich erst 1560. 



a:4ftO, siehe BM Sa, 1902, 8, 141. — 2:4B1, siehe BM lg, 190O, S. 508. — 
:483, siehe BM I3, 1900, S. 508; »3, 1901, 3. 854; »3, 1902, 8. 240; «s, 1905, 



2:4SÜ. Hier könnte erwähnt werden, daß sich Scipionb dei, Fkiiuo auch 
mit dem Bation almachen des Nenners des Bruches 
1 

JTTWTW 

bescbaftigt hat, welche Frage ohne Zweifel im Anfange des 16. Jahrhunderts 
als ziemlich scbwierig betrachtet werden konnte. In der üegtd'i Aliea des 
Cakdano tindet sich nHmlich (S. 33 der Originalausgabe, Basel 1570) folgender 
Passus: ,Et ita si uolo diaidere per li cu ip : R cu Sp : H ca 2, ut docuit 
Scipio Terms (!) Bononiensia* {„Terrus' ist offenbar Druckfehler fiir Fbkkeus). 
Cahdano gibt als Lflsung der Frage (ich habe den offenbaren Druckfehler 
4199645 der Jiegula AUta in 419904 p: verbessert) 

{\i + \:i + fä) (Vle + V9 + V"4 - t'i2 - 2^/6) 

X (81 + y419904 4- Vl72392) = 81, 
Tarmotlich ist dies genau dio Lösnng des SciPiONE dkl Femto. 

G. Enestköu, 



I 

^■^ 2: 



2 : 407. In betreff des Zuiiatnens Tartaulias bemerke ich noch, daß es 
am Anfange des 16. JahrlmnderiB wirklich eine Familie Tartaolia gegeben 
£Q haben scheint. Im Jahre 1524 reichte ntlralicb ein Architekt Giovanni 
Tj^KVAtiiAA dem Uai'chese di Mantova ein Gesacb ein, für gewisse Arbeiten 
'1-50 Lire zn bekommen (siehe A. Bebtolotti, Architetti, ingcgneri c mnte- 
»natiri . . . nei seeoU XV. XVI c XVIT, Genova 1889, 8. 25—2«), Sollte 
Vielleicht Tartaulias Angabe, seiu Zuname sei ursprünglich ein Spottname ge- 
Vcesen, eine Erfindung seines phantasic roichen Gehirns sein? 

G. Ekbstrom. 
19" 



1J92 



G. 1^» 



2:50a. Ans gewisseu Umstünden schließt Herr Cantok mit lieubt, dxt 
dia Ars magna ohne Zweifel dos 10. Buch des von Cardano getilaoten OpV 
perfectum ist, aber za diesem Resultate kommt man direkt, wenn mui du 
Titelblatt der Origiualxusgabe vom Jabi-e 1545 der Ars magtta eiusiehL 
Dort sieht nämliuL: Artis magtiae, stve de regulis algebraicis hb. unus, qni ü 
iotius operji de Arilhmelica, quod Opus perfectum inscripsü, est in ordtne 
Decimus. G, Eubstböu. 

2:505. In betrefi* des 18. Kapitels der Ars magna liebt Herr CAinttii 
iiIb einen ungeheueren Fortschritt heiTor, daß Cardano für gewisse speciell« 
kubische Gleichungen drei Wurzeln angegeben bat Aber dieser ,tingeh«ii«it« 
Fol täcb ritt* lindet sieb schon im ersten Kapitel der Ars mugnti, wo Cakuako 
teils im Vorübergehen bemerkt, daß die Gleichung x* ~{- 12 ^ Tx* vitr 
Wurzeln hat, nfimlieb 2, — 2, 1 3, — V3, teils ausführlich anseiaandersetiL 
unter welchen Bedingungen eine kubische Gleichung zwei oder drei Wnrielii 

haben kann. Für den letzten Fall gibt er richtig die Bedingung - u t - ^A 

an, wenn die gegebene Gleichung j;^ -f '' ^ *** '^^- ^^^' umstand daß Cabwsu 
in erster Linie auf die vier Wurzeln der Gleichung a:* + 12 ^^ 7 x' htnwei)!, 
scheint mir von Interesse zu sein, weil er andeutet, daß Cardano Tielleiebt 
dnrch bi quadratische Gleichungen dieser Art im seiner Entdeckung, daO «tu« 1 
Gleichung mehr als zwei Wurzeln haben kann, geführt ist. Hinsichtlich iet 
von Herrn Cantor erwähntem Uück Verweisung auf das 1. Kapitel, bin ifb 
nicht ganz sicher, ob Herr Cantou dieselbe richtig gedeutet hal. Meines Ec- 
uchtens kann steh die Verweisung wenigstens ebensogut aaf § 8 des 1. Kaiutek 
beziehen, wo Cardanh angibt, daß in betreff der Gleichungen j;^ -{■ "'' = '' 
und a;' + t = ((,T* immer die Differenz der positiven uud der negativen Wnnel" 
dem Koeffizienten von z* gleich ist, denn dies bedeutet ja, daß die algebrai'cb« 
Summe der drei Wurzeln diesem Koeffizienten gleich ist 

G. Enestköh. 

fttäW, BiebeBM I3, 1900, S. 270, 509.-8:510, siehe BMla, 1900, S.509. " 
»thli, «ieboBM 33, 1902, Ü, Ul. — Ä:öl4, 51«, 517, siebe BM la. 1900, S. S09. ^ 
9e:524, 529, siehe BU 7^, 1906, S. 90-91. — X : »SU, siebe BM £3, 1901, 8.1 
—355; 33, 1902, S. 141. — «:581, »ehe BM 7«, 1906, 8. 212. ^ 



2:532. In betreff des Opus novum de proporlionibus kann bem 
werden, daß es gerade das 5. Buch des von Cardano geplanten Optis perfeä 
ist. Am Anfange der ersten Seit« der Originalausgabe vom •lahre 1570 f 
n&mlicb: Hi&ronvmi Carda>'i ... de proportionibus, seu Operis perfectl I 
(|uintns*. Au^lligerweise hat das Titelblatt die unrichtige Angabe: Opt^^ 
novum de pruportionibux . . . in V Ubros digestum, obgleich es leicht e^ 
konstatieren ist, daß die Arbeit gar nicht aus fünf Büchern besteht, und nbec::^ 
dies am Ende (^S. 271); ,Libri de proportionibus finis" steht. — Die Ittgul---- 
Alixa ist entweder das letzt« Buch des geplanten Opas perfectum oder ein Ai^^ 
hang desselben, denn auf dem besonderen Titelblatt der Originalausgabe vo^^ 
Jahre 157(1 steht: De Alisa regiila Hbetlus, hoc est Operis pcrfedi . . . nece^^ 
stiria roronis. G. ENraxRÜM. 



^^H Klebe MiUeiluDgen. 293 

^^^ «!583, SS5, sielie RH Ij. 1900, K, 509, — Ä:58«, üiehe BM 7s. 190«, 8.212 
■ -213- 

2 : 539. Als die weitaus bedeutsamsle Bemerkung (Jes Werkes Ars magna 
arHAmetirne beMichnet Herr Castou die folgende: ,Cam fuerint denomioBtiones 
extremse aeqnsles exiremis, semper aequntio erit uns tantuiu et casus possibilis, 
c|uot((uot fuerint denominationes. Cum vero denomiDalioaes iDtermediae faeriat 
aeqanles extremis taue semper erant plures aequntiooes in quaesito et casuR 
poterit ODm hoc etiam esse iroposaibilis", uud etwas weiter unten gibt Herr 
Cantok die zwei Behauptungen auf folgende Weise wieder; .Falls eine Gleicbung 
M-ten Grades auf Null gebracht nur einen Zeichen weclisel der Glieder wahr- 
Debmeu tttßt, ist immer eine und nur eine positive Wurzel vorhanden; zwei- 
maliger Zeichen Wechsel ist das Kennzeichen mehrerer positiver oder lnuter 
imaginärer Wurzeln; auf vollstjUidiges Vorhacdensein der Gleichnngsgliedvr 
kommt es nicht an". 

Hierzu bemerke ich folgendes. 

1) Die von Cardaho beispielsweise angelührten Gleichungen sind 2'°", 
3"° und 4"*" Grades und meines Wissens hat sich Cardano nur einmal ganz 
im Vorübergehen, und zwar mit sehr wenigem Erfolg, mit Gleichungen höheren 
Gndes beschäftigt. Es ist also nicht ganz genau, hier von einer Gleichung 
nten Grades zu sprechen. 

2) Es geht nicht ao, den Ausdruck , casus iinpossihibs' des Cardano mit 
, lauter imaginäre Wurzeln' ^u übersetzen, und dies um so weniger, weil da- 
durch seine zweite Behauptung unrichtig wird; in der Tat hat ja z. B. eine 
Gleichung von der Form ^^ + «, ^ a^x^ -\- iijX (a^, «,, «j positive Zahlen) 
immer eine reelle negative Wurzel. Mit .casus impossibilia" bezeichnet Cardano 
Dulürlicb (vgl. die Bedeutung des Ausdruckes .casus possibilis*) den Fall, in 
dem alle Wurzeln entweder negativ oder imaginllr sind, 

3) Es acheint mir, als ob mau bei der Wiedergabe der Behauptungen des 
Caodaso besonders hervorheben sollte, daß das Zeichen des letzten Gliedes eine 
(lauptsltch liehe Rolle spielt. Aus diesem Grunde erlaube ich mir, folgende 
i^oriDulierung derselben vorzuschlagen: 

a) Wenn in einer Gleichung 2'*°, 3*"" oder 4*"" Grades dos letzte 
Glied negativ ist, und wenn nur ein negatives Glied oder nur eine 
zusammenhangende Folge von negativen Gliedern vorkommt, so gibt es 
eine und nur eine positive Wurzel; 

b) Wenn in einer Gleichuug 2'«'', 3^<^ oder 4*»" Grades das letzt« 

■ Glied positiv ist, und wenn nur ein negatives Glied oder nur eine zu- 
sammen hängende Folge von negativen Gliedern vorkommt, so gibt es ent- 
weder mehrere oder keine positiven Wurseln; 
c) Der Ausdruck .zusammenhUngende Folge* bedeutet, daß die Differenz 
der Exponenten zweier suc<:esiver Glieder überall ^ 1 ist. 

4) Will man das Wort .Zeiohenwechsel' benutzen, wäre es am Platze 
Viesondert; anzugeben, daß Gabdamo eigentlich keine Gleichungen mit mehr als 
%wei Zeichen wechseln in Betracht zieht. Für die Gleichung .r' — a,a;' + dj« 

Og •= paSt also keine seiner zwei Regeln, obgleich er wirklich im 

"Voröbergehen eine Gleichung dieser Form behandelt bat, und dabei bemerkt, 

Kdie Gleichung drei positive Wurzeln haben kann. ^^M 

G. ExErtTR^M. ^H 



294 



0. Es. 



■ C. ft« 



»:S4I, 54S, siehe BU I3, 1900, S 509—510. — 2 : M«, riebe BM I3, 1900. B 510: 63. 
1905, S. 401 — S : 550. siehe BM Sg. 1901. S 365. — 2 : 534, tiehe BM I3. 1900. S. Slü 
— « : 5&5, siehe BM 43, 1903, S. 285: 63, 1905. S. 322. — « ! 5ßl, siehe BM 7». 1906, 
S. 91. — Ä : 5fl5, 561, Bfi8, «iebe BM 4a. 1903. S. 285— 286. — Ä ! 569, siehe BM I,, 1900. 
S. 510. — «J57a— i73, «ehe BM la. 1900, S. 610; 8a, 1902. S. 141. — «: 57«, rieh« 
BM 8b, 1901,8. 855— 35e. — Ä!579, siehe BM«a, 1901, 8. 145. — »: 590— 5S1, siehe 
BM 43, 1903, S. 207. — X : 582, siehe BM la, 1900. S. 510. — 8 : 583, siehe BU It, 1900. 
S. 270; Sg, 1901, S. 356. — S : 3>i5, siehe BM Ss, 1904. S. 69—70. — S : S93, sieh« 
BM %at 1901. S. 14fl. — X : 594, «lebe BM la, 1900, S. 270. — S : .>97, siebe BM I3, 
1900, S. 270; Sj, 1901, S. 146. — «:399— MW, siebe BM »». 1901, S. 146. — 
«i602, siebe BM 1». 1900, S. 270. — 2 : 6»!t-n04, siebe BM I3, 1900, §.270—271; 
6s. 1905, S. 108. — S : 611, riebe BM «», 1901, S. 356-357. — S : 613, siebe BU I3, 
1900, 8. 277; »3, 1901, 3. 146. — «:612-fil3, riebe BM 7s, 1906, S. 91-92. — 
ie:613, siehe BM £3, 1901, S. 357; Sa, 1904, 9. 306. H 



2:6t3, Da eigentlich gar keine biogTsphischen Notizen über GriuAtn^l 
GossELiN vorliegen (vgl. H. Bosmans, Bibliotb. Mftthem. 7s, 11^06, S. 44) 
erlaube ich mir bier einige, treilich nicht unbekannte Zeiten aus der ,Epistol3 
ad lectorem' der BACHETschen DiorANTOs- Ausgabe (Paria 1621) noch einma! 
tarn Abdruck zu bringen: „Cardinatis Pbrrokiub . , . mihi saepe testatus est, 
Sä codicem manuscriptum habuisse , . . quem cum Gciliei.mo Goshelixo conciTi 
ano, qni in Diopfaktum commentaria medilabatur, perhnmaniter more sno ei- 
hibui&eet, paula poat accidit ut Gosselinus peste correptus iuterirel^*. Dieser 
Paasos, der schon von Nesselhann {Die Algehin der Griechen, S. 256) 
BoHCOMPAGNi {BuUett. di bibliogr. d. sc. matem. 2, 1869. S. 4Ö4) und 
P, Tannerv (Diofhaxti Opern omnia II, ö. XXXIV) fiir einen anderen Zweck 
zitiert worden ist, könnte vielleicht der Ausgangspunkt f(ir Nachforschungen 
Qber Gosseuks Todesjahr sein: gewöhnlich wird ,ia angegeben, daS er etwa 
1590 starb. G. Eseström. 



ftxMi, riebe BM Sj, 1902, S. 141. — « : 617, All), siehe BM 83, 1905, 
—109. — «:620, siehe BM 33, 1902, S. 141. — «:621. siehe BM Is, 
S. 277; «a, 1901, S. 146; «3, 1905, S. 402; 7„ 1906, S. 214. — Ä : 623, 
BM I3, 1900, S. 277; Sj, 1901, S. 146-147. — 2 : 632, siehe BM 6», 1905. 8. 
%:634,K3T, siehe BU A3, 1905, S. 315- 316. — 8:63^ siehe BM 83, 1901, 

— S:&J2, 643, siehe BM I3, 1900, S. 271. — S : 644, siehe BM 63, 1905, 
-403. — 8:655, siehe BM Sa, 1901, 8,357. — 2:656, siehe BM 43, 1903, 

— «:»59, 660, siehe BM 83, 1901, 8. 147—148 — « : «61, siehe BM 63, 
S. 403, — S : 6Ü5, siehe BU 1», 1900. S. 271. — 8:669. si<'be BM »3, 1904, 

— 8:670, siehe BM 63, 1905, S. 403. — 8:674. siehe BM 4», 1903, S. 
8t6S3, siehe BM 83, 1901, S. 148. 



S. 147. 

S. 402 

8. 286, 

1905, 



2:687. Die Cydomathia des Leotai^d erschien 1663 (nicht 1662). I 

0, Grökblad.1 



2:693. Das faier erwähnte 4. Buch der (im Jahre 1657 erschienenen) 
ExercUationes mathcmalicae des Francibc«s van SnioorE-i wurde schon früher 
als selbstündiges Werk verüffentlicbt unter dem Titel: De organica conicarvm 
sedionum in piano descriplione Iraduliis . . . Cui subnexa est appendix dr. 
mbicarum aequiUionum resoliitione. Lugd. Batavor, 1646. Aus diesem Grunde 
ist auch dag Vorwort des 4. Buches der Exerdfationes vom November 1fr 
datiert, — Der Appendix der älteren Arbeit findet sieb ; 



ember IM^^ 
1 den £m|^H 



Kitationes, warde aber betcsnnUich vom Verfasser in die zweite Auflage seiner 
lateiniEchen Ausgabe der CARTESioDiscben Oeometrie aufgenommen. 

C. Grökblad, 

2:6»3, siehe BM 43, 1903, S. 2ST. — % : 700, 701, '(03, 701, 703, siehe BU 
1,, 1900. 8. 271-273. — «:71S, »iebe BM Ss. 1904, S, 412, — «!710. »iehe 
BX 6a. 1905, S. 404. — «!717, 718, siebe BM Ts, 1906, 8. 92—93, — « : 719, 
■iahe UM «g, 1901, e<. 3ä7. — X:720, xiobe BM 43, 1903, S. 287; 63, 190.^, 
& 404. — »•.'ni, aiehs BU lg, 1900, S. 273: 63, 1905, 3. 404—405. 



2 : "41. Dos bier im Vorübergehen erwähnte Supplemcntitm chilüidiä 
toffttrilhmorum continens praerepta de eorum usu (1625') tou Keplgk bietet 
unter aaderem auch einen kleinen Beitrag zur Vorgescbichte der Exponentiol- 
reihe. I" betreff des Anfsuchens einer Zahl, deren Logarithmus nicht in der 
TaCal steht, lehrt Kepleb nämlich ein Verfabreo, das zu der Formel 

f'-i+. + j 

filhrt, so daß die drei ersten Glieder der Eiponeulialreihe richtig angegeben 
rind. KePLBRS Regel findet sich im 6. Kapitel als .praeceptum III* und 
limtet {Opera tmma, ed. C. Fihhch 7, Fiaokfurt am Main 1868, S. 372): 

Dato logarilhmo proxime majorem eiscribe ex Chiliade cum nnmero 

absolute rotundo respondente, factaque Gubtracfiono dati ab exscripto, 

residuum duc in absolutum execriptum ut multiplicantem . , . Sed ijuia 

ei [= DUmero justo] adbuc deest aliqiiid, corrigetnr sie, si facti curtnti 

dimidiuni colloces loco ulümarum cyphrarum maltiplicationis et ninlti- 

plicationem repetas. 

Setit man den gegebenen Logarithmus gleich k, die Zahl der Tafel, deren 

Logarithmus dem gegebenen am n&clisten kommt, gleich n, log » — k gleich ö, 

und die gfsnchte Kon-ektion gleich x, fo daß log('i -|- x) = h, kann man die 

KspLEBSCbe Hegel auf folgende Weise ausdrücken: 

Nun ist \ i) 

rt = log o — t = log n — log {rt -j- a:) = — log 1 1 + ^ j, 
*»l80, wil die Grundunhl der Kp.Pi.EHBchen Logarithmen gleich e~ ist, 

(c - ') = 1 -I- '^, oder ? = e' — 1, 
ich " " 

e'-l_i(« + ^)6_* + |", oao.'_l+«+r 

8elbstverst!Lndlicb hat Kepler selbst diese Folgerung nicht gezogen, und 
Siracheinlich bat er die von ihm angegebene Bflgel aus dem Sals 26 der 
s Demonstratio structuroe logaritbmoruni * (a. a. 0. S. ^i39) hergeleitet. Dieser 
^aU betagt, daß 

I^ logo-log(a + ») I . 

„^ (fl + a)-« ^ a-\-x' 
bUo ist nn n ah erungs weiss 

I log g- log (<i -j-it) _ 1 

X a + ix 






G. Enehthöm. 



;T«, üehe BM Ij, 1900. S. 273; 3s. 1903, S. 142. - 



- X : :4A. «ieli« BH f 



1900, S. 273. — S!?«, i-iche BM I3, 1900, S. 173; Sa, '901, 8. 225. — «:;49, 
ai«he ÜH 43. 1908. S. BS-. ~ 9:1tiH. siehe BM S3, 1902, 8. 142: &n, 1M)4. 8 412 
—413. — )e:7G7, tiebe BM Sg, 1901, S. 148, 357—358. — 8:770, siehe BM 4«. 
1903,8.208. — a:772, 775, siehe BH «3, 1901, S. 358-3.S9. — »: 777, siehe BM «i, 

1901, S. H9-, »3. 1902, S. 204. — S : 7S3, siehe BM »3, 1901, S. 359: 4,, 1903, 
S. Sä— 89. — S:?»<4, »eha BM »3, 1901, S 148. 



2:787. Als Ergänzung einer früUevcn Notiz (BM. 6,, 1905, S. iü'O 
über KlanimerD nis Zeicheu der ZuGiUnniengpbOngkfit verschiedener Ausdruck« 
lum Zwecke der Ansführuag einer neneu Operation, beineike ich, dnli meinem 
Wisaena gewöbniiche (runde) Klammern für diesen Zweck zuerst von Taktaclia 
im 2. Bmide (ir<ä6) seines General trallato di nuutcri e misure angewendet 
worden sind. Sehr oft kommen solche Klammern bei Wurzeln aus zusammeu- 
gesetzUn Ausdrücken vor (vgl. Bl. 167^^ leS»-, 170^ 174\ 17;« usw.); so 
*. B. drückt Tartagua (81. lö?*) |Y28 _ yiÖ auf folgende Weise ans; 
!pT. (p 28 men ß 10); ^ v. bedeutet .radii universnlis*. Ausnabrasweise be- 
nutzt Tartagua (ßl. 168'', 169*) die erst« Klammernhat ft« um zu beceicbnen. 
daß zwei vor einem Minuszeichen stehende Monome als ein einziger Term be- 
trachtet werden sollen; so x, B. bedeutet (Bl. 163*'): meu (2'2 men ^6 nicht 
— 22 — ye sondern — (22 — y'6}. Dagegen hat TAnTA«uA iiieiuea Wissens 
die Klammern nie als Multiplikationszeichen gebraucht. G Snestrum. 



» : 787, 791, siehe BM «3. 1905, S. 405. — » : ;9S'794. siehe BM S», 1904, 
S. 307; 63. 1905, S. 816—317, 405—406. — Ä!7»5, siehe BM' ba. 1905, S 317. — 
8:797-798, siehe BM S3. 1904, S. 307; 6ii, 1905, S. 317. — S;?»», siehe BM 5,. 
1904. 3. 307. — ftiSm, «iebe BM 43, 1908. 8 208. — S:S12. idehe BM 4,. 1903, 
S. 37. — 2:820, siebe BM 83, 1901, 8. 148; S3, 1904, S. 3Ö7. — S:82ä, siebe 
BH »3, 1901, ä. 148. — S : S82, siebe BM S3. 1904. S. 203-204; 6^. 1905, 8. 211. 
— a ! 840, siehe BM 83, 1901, S, 148-149. — 8 : 843, siehe BM 3», 1902, S. 328, — 
X:850, siehe B.M 63. 1905. 8.109-110. — 8:83R, 865, siehe BM 8:1, 1901. S. 14», — 
«!87fi, 878, 879, siehe BM I3, 1900. S 511.-8:891, siehe BM I3, 1900. S. 278.— 
8:897, siehe BM 63, 1905, 8. 406. — 8:898, siehe BM 4], 190:!, 8. 37. 208. — 
8:001. siebe BM l», 1900, 8. 511. — 8: »1», ei.-he BM Ss, 1904, 8. 204. — 
S:Vai (Vorwort), siehe BH Sg, 1902, 8. 142. — 8:IX, X (Vorwort), siehe BM Ij, 
1900, 8.511—512. 



8:14 — 15, Hier finden sich einige Zeilen über N1C01.AS de MAit^ziEi: 
(lf!50 — 1727) und die Elhnens de giometrie de M. le duc de Bourgngne, 
welche Schrift Herrn Cantok niabl zuganglich gewesen zu sein scheint, da ev 
über deren luhiilt iiHcb dem Keferate in der Histoire de l'acadeiuie des 



Kleine MittuiluD^'ei: 



297 



lanüeB [de Paiis] 1727 berichtet Herr Caktok erwähnt aach uiiuh Herrn 
LoRiA das in Tadna 1713 erfiohienene Buch: Serenissimi Uurgundiae dueis 
£lemenla geomelrica ea> gallico sermone in latinum IransUtta, otid fügt, hinzu, er 
wisse nicht zu Bttgen, ob zniscbeu diesem Buche und den Elemens de giomUrte 
ein Zasainmeuliong besteht. 

In betveff der letzteu Frage kanu Eofort bemerkt werden, daß das Bucb vom 
Jabre 1713 la Wirklichkeit eine genaue Übersetzung der EUmcns de tfiomctrir 
ist. Nun geben ja die Bibliographen im allgemeinen an (siebe z, IJ. CJiTh^itARü, 
La France Utiiraire 5, Paris 183:], S. 464), daß die letzte Schrift ; 



183;], 

1715 herausgegeben wurde, und da teils die .Licen/a* der Übersetzung \ 
3. September 1712 datiert ist, teils eine Itezension dieser Übersetzung im Giornale 
de" letterati d'Italia 14 (1713) erschien, kann die Jahreszahl MDCCXIII 
nicht verdruckt sein. Auf der anderen Seite ist die Überoutzung nieht nach 
einer Abschrift des Originals sondern nach der Druckausgabe desselben ver- 
fertigt, denn am Anfang der Übersetzung findet aicb eine .Praefatiö gallica 
latine reddila', die aus der Ui-uckausgabe des Originals entnommen worden 
sein muß. Die gewöhnliche Angabe, daß diese Ausgabe zuerst 1715 erschien, 
kann folglich nicht richtig sein, und in der Tat ist das Buch schon in den 
Acta Ernditorum 1707, S. 92— Sa auge/.eigL Dort steht als Druckjahr 1705, 
und dasselbe Druck jähr hat auch Muriiaud {LiUeratur der mathemulischen 
Wissenschaften 1, Leipzig 1797, S. 248), der durch ein Sternchen angibt, 
daQ er selbst ein Esemplar des Buches eingesehen hat. Es ist also sicher, 
daß das Buch nicht 1715 sondern 1705 erschien. 

Über den wirklichen Verfasser der Elhnens de giometrie gibt das Vorwort 
ganz bestimmte Auskunft; dort wird nämücb ausdrucklieh hervorgehoben, daß 
der Inhalt des Buches wesentlich von A. Aknauld herrührt, freilich so, daU 
Beine Nouveaux ilemens de ghmilrie an einigen Stellen abgekürzt, an anderen 
Stellen ergänzt worden sind. Der Passus (S. 14): ,Mal£zieu verfaßte für 
seinen Zögling Elhnens de gHometrie' , soilte also auf folgende Weise modifiziert 
werden: ,Mali5zieu benutzte bei seinem unterrichte die NouveaiiX elhnens de 
giometrie von Abnäi;i.d, und der Prinz redigierte auf Grund des mündlichen 
Unterrichts die später gedruckten Elcmens de giomUrie de M. le due de 
Bourgogne". Dagegen röhren vielleicht von Maliuzieu die algebraisch gelösten 
Probleme am Ende des Buches her, — Herr Loria bat schon darauf hinge- 
wiesen, daß die Elimvns de geomelrie in betreff eines mathematischen Sat;ies einen 
Beweis enthält, der von der Herzogin von Majni<: herrührt, Es handelt sich 
durum, zu beweisen, dali ad = he wenn a : h = c : d, und dies gelang der 
Herzogin, als sie nur sechzehn Jahre alt war. Ich gebe hier den Grund- 
gedanken des einfachen Beweises wieder. Sei (t ^ /ta und a : it = c : (i, so 
muß offenbar d = fic sein, also ad = a(ftc) =^ ftac, und ebenso bc^(_fta)c 
^ fiac, folglich aiJ^ 6c. Die Herzogin führte den Beweis für a = 2, b = 4, 
c^3, d =' 6, fi^ 'i, durch. G. Eneström. 

3: IT, Hiebe BM I», 1900, S. 512. — 3:22, siebe BM I3, 1900, S. 512; 43. 



8:23. Herr Camtou bemerkt hier, daß Carlo Kenaldwi eine gewisse 
angenäherte Kreisteilung 16ti8 ,in seiner Schrift De reaolutione. et composHione 
mathemalira veröffentlicht haben soll, und fügt hinzu, daß die erw&bate Schrift 



298 fi- EsanKHu. 

nur der wiederholte Abdruck eines AbschnitteB eines bereits 1655 als 
mnlhemritirvm erscbieaeoes Werkes war. In betreff der ersten BemerkuDg kuin 
das Wort .soll* obue weiteres geetricfaen werden, denn Renaldixi hat tAtsScblich 
die fragliche Kreisteilung in der Schrift De rcsdutione dk composUione maütematicn 
libri dm {Patavii MDCLXVIII) angegeben, und zwar S 367—368: .Aactoris 
methodus ad geceralew poljgonorum omuiuni oi-dinatoruin inscriptionetn in 
circulo". Daß bei TieNALDiNi der Punkt C der CANTOitschen Figur 5 nicht 
Scheitelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks, sondern Schnittpunkt zweier Kreise, 
die mit dem Halbmesser A B bzw. um Ä und B bescbrleben werden, ist, hat 
ja gar keine Bedeutung. 

Dagegen ist die zweite Bemerkung des Herrn Cantor meines Erachlens 
unrichtig. DaQ sie zum mindesten bCcbst verdächtig sein muQ, kann ninn aus 
BicCARDis Biblioteca motemotica italiana (1:2, Sp. 317) entnehmen, denn dort 
wird erw&bnt, daB die 16<)8 erschienene Schrift &25 Folioseiten entbnlt, während 
der einzige von BrccAüXit verzeichnete Teil des Opus maihem(tficum ein Quart- 
band von 475 Seiten ist, und noch dazu als .Pars prior Numerorum algebram 
complectens' bezeichnet wird. In der Tat ist das 16ö5 erschienene Opu3 
malhematicum als die erst« Auflage des im Jahre 1665 veröffentlich ten eist«n 
Teils der großen Arbeit Ars analylirn malhemutum anzusehen, und hat gur 
nichts mit der Schrift De resolutione el rompositione mathemati<a su tun. Nun 
könnte es ja möglich sein, daß es wiihlicb einen zweit«n Teil des Opus mathc- 
miiticum gUibe, und daß die Schrift De resoliiUone el composUione tnathennttira 
ein Abdruck dieses Teils w&re. In der Tat lautet der Titel des 16Ö5 er- 
schienenen Buches; Cariiu Rf.xai.I'isii. . . Opus miithtmaticum in quo ntrnque 
algebra, vdus srilicet el nova li se in opere, hnr de re pridem edilo, perlrarUtlu 
nwis prneccplis; novis^e demonslrationibus iUuatratur. Melhodus quoque 
rest?lulionis et compositionis mathemntiaie langt copiosiits, quam ibidem, ad 
iibstntsiora IheoremiUa, et problematn enodundn dedaralur. Pars prior Ntime- 
roaam algebrnm compkclens, und 8. 12 wird unter .Synopsis eorum quae in 
hoc Tolumine conünentur* auch .Traclatus ... de resolutione et compoaitione 
roathematica' aufgeführt; es ist also sieber, daß Resaldini im Jahre 1655 
einen solchen Traktat zu veröffentlichen beabsichtigte. Auf der anderen Seite 
hat weder Kiccahdi noch irgend ein anderer mir bekannter Bibliograph oder 
Historiker der Mathematik die .Pars posterior' des Opus mithemnfirum er- 
wähnt, und meine eigenen Versuche ein Exemplar derselben aufzufinden sind 
erfolglos geblieben. Bis auf weiteres betrachte ich also die Angabe als nu- 
ricbtig, daß die Schrift De resotutione et compositione matltemalica BBNAi.i>iiaa 
vor 1668 erschienen ist. Die Schrift selbst enthält weder auf dem Titelbl 
Doch im Vorwort eine Andeutniig, daß eine frtibere Ausgabe existiert hat. 

G. Enestböm. 



3 : 34, siebe BM 4», 1903, S. 209. - 
3 : 20, siehe BM 9:), 19i)I, S. 359. — 3 : « 
49, 50, Biehe BM 1^, 1900, 8. 512—513. 



3 : 36, siehe BM 43, 1903, S. 209, 399. — 
i, siehe BM Oq. 1905, ^ 407. — 3 : 4i>— IS 



3:57. Hier wird angegeben, daß die von N. '. 
rithmotef^nia (1668) ausgeführte Division 

_L_,_„ + „«_„. + . 



3 Mittel lungBD. 



29Ö 



damnla neu war. Anf der nndei'en Seite bat bekanntlich Newton selbst be- 
Imuptet, daQ Wallis ,in Opere süo Aritbmetii-'o, publieato A. D. 1657. Cap. 3;[, 
Prop. 68, reduiit fractionem T-—ji per perpeluam Divisionem in seviera 
A + ÄR + AB^'-i-All^ + AJi^ + eta.' (siebe z. B. Commcrrium epislolicum 
J. C'itUNa et ntiorum, 6d. Bior et Lefort, Paris 1M56, S, 9), und die CANTORscbe 
Angabe ist ja unvereinbar mit der NEwroKscben Behauptung, deren Richtigkeit 
meines Wissens bisher nicht in Abrede gestellt worden ist (vgl. z. B. Ch. Hcttok, 
Trai-Is on mitUiematiatl nnil philosophical subjects 1, London 1S12, S. 416). 
Dntersncht man indessen naher die von Newton zitierte Stelle (JfHAX/fi.i Wau.ish 
Mathesia universalis sive nrilhmelirum opus integrum, Oxonii 1657, S. 302 — 304), 
so findet man, daß in Wirklichkeit die von Wa.i.U8 ausgeführte Division, nicht 



l — S 



^A+An + AB^ -}- AJi^ + AR* + . 



Ali- ■ 



. A -\- AR + ARi + .. 



) t eine beliebig große ganze Zahl bedeutet. Der Unterschied ist jn von 
n Gesichtspunkte aus nicht besonders groD, aber dennoch kann man wobl 
sagen, daß die NEWTONsche Bebnuptung nicht ganz genau ist. Auf der anderen 
Seite wäre es für die Leser der Vorlesungen angenehm zu erfahren, anf welche 
Weise Mbrcator, in betreff der von ihm ausgeführten, von Heim Cantor als 
sDeu* bezeichneten Division, in Wallis einen Vorläufer gehabt bat. 

G. Eneström, 

3:0:1, siehe BM 7<i. 1906, S. 93-94. 



S ; fiß, Hinsichtlich der NEWTOs'schen Abhandlung Analysts per aequaltanes 
numero terminorum infinitas wird bemerkt, daß sie, soweit sie Erfinderrechte 
begründet, als 1669 bekannt gelt«n muß, wenn der Druck auch erst im 
XVlll, Jahrhundert erfolgte. Da nun HeiT Cantor etwas weiter unten (8. 107) 
erwähnt, daß die in der Analysis per tiequntioncs vorkommenden Gleichongs- 
auflösungen ihre erste Veröffentlichung im Drucke in der Algebra von Wallis 
(1685) fanden, wäre es auch am Platze anzugeben, daß das wesentlichste der 
lleihenlehre der NEwroNSchen Abhandlung ebenfalls 1665 in der Algebra von 
Wallis veröffentlicht wurde und zwar im 95. Kapitel (S. 341—347). Dort 
wurden z. B. die Reihen für e*, sin X, noex (eigentlich sin versar, d. h. 1 — cosa;) 
und arc ain x zum Abdruck gebracht. G. Eneströ.ii. 



3 t ;0, siehe BM 8», 1901, S. 860. > 
3:1(KI, liehe BM «3, 1901, S. 149. 



3:^-2, fliehe BM 5», 1904, S. SOS. — 



8: 100. In betreff des LEiBNizsehen Beweises des Satzes, daß die Fläche 
eines lationalen rechtwinkligen Dreiecks nie ein Quadrat ist, kann bemerkt 
werden, daß Leibniz diesen fand, nachdem er den FRENiL'LB'schen Beweis ge- 
sehen hatte. Sein Beweis ist nämlich vom 29. Dezember 1678 datiert und 
im Dezember 1678 schrieb er (afo(ÄeBwfe''Äe&firi/Yen,herBn8g, von C.L Gerhardt, 



G. Enestrüh. 

I S. 185) an 0Ai,r.ov8 „J'aj demoasträ 1e tbeoreme de Mona. Fmancrjt (dtJ 
l'impossibilif« d'un triangle rentangle i]odI I'aire est <|narr^i>) par tme 
dilfereiite de la sieoDe, el bien meilleure, puis<tu'eHe dnnne nne infinite d 
tbeoreniea plas generaui Cependant tes plus faabiles rnathematicieDS out chprchi 
inutilement une demonstration differente de celle de M. Fresici.k' 
deatang seines Beweises hat Leiidmz offenbav übersch&kt, denn dereelW ist ] 
kaum wesentlich von dem PRENiCLESchen verschieden, G. Enkstrüji, 



3:103, eiebe l'IM &). 1905, S. SIS. 



ft:102. Da Herr Gamtor weiter aaten (S. 578) aus einer AbhaodloDg 
TOn DE QvA entnommen bat, daß Pbebtet einen, wie dieser selbst oacbni«l6 
9;ugesta)id, mißglfickteu Versacb eines Tnduktionsbe weises der DESCARTESscheo 
Zeicbenregel gemacht batte, gebe ich hier nähere Auskunft über diesen Pnnk^» 
Dtir betreffende Beweis Gndet sich S. 363 der ersten Auflage (Paris ISTä) deV 
Elemena des maOicmatiques des Prf^tbt. Zuerst weist dieser darauf hin. da0~ 
(i— 2) (x—S) [X— 4) (x+ö) = a;*— 4«» — 19«»+ 106 « — 120, 
(«+ 2) lx + 3) (x + i) lx—5) = x* + 4x3— 19x^—106 x~\2fi. 
so daB die zwei Gleicbangen 

,4_4^3_ 19, s _|, ]06a: — 120 = 
iE* + 4 a:' — 19 arä — 106 a: — 120 = 
beKw. drei pasitive und eine negative, drei negative und eine positive ^^''a^7e^ 
besit/.ten, während auf der anderen Seite in den Gleichungen bezw. drei Zeichen— :** 
Wechsel und eine Zeichenfolge, drei Zeichenfolgen and ein Zeichen Wechsel vor — ^"^ 
kommen. Daß es sich hier tim eine allgemein gültige Regel handelt, begrunder ^^ 
Pkestei' auf folgende Weise: ,x qui a toüjonrs -f-, et chaque vray« raciu^ -^^ 
toüjours — , muttipliaut alternativ ement une troisiönie grandenr, distribuent auÄ^^-*^ 
Urmes de l'egalit^ compos^e an cbangement alternatif de + et — . Mais au con ^c^' 
traire, x et les fausses racines qui ont toüjours -f-, multipliaut alt^mativeraenf ^^ 
une troisi^me gi'andeur, elles distribuent alors deux fais de snit« aux termejjK- ^^ 
de l'ßgalil^ composöe, an mfime signe +, si la troisierae grandeur a +, ou 1^^ • 
raeme signe — , si cette grandeur a — ', 

Dieser offenbar ungenügende Beweis fehlt in der zweiten Aallage (Nau- — ' 
veaux elemena des mathimatiques Paris 16S9) der PßESTETschen Arbeit, uii<^^^ 
der Verfasser begnügt sich zu sogen (11, S. 353 — 354): ,0d pourra feindre ot^^* 

s'iniBginer que l'^galite proposee renferme autant de racines qu'oUe a de dimen 

sions, et qn'ectre ces racines il y en a autant de vraies, qu'il j a de variation^^ 
des signes + et — dans les termes, et autant de fausses, qu'on y troave de^ 
fois deux mf^mes signes +, ou deui mfimes signes — , qui s'entre-Buivent iinmä— ' 
diatemeut'. Noch dazu schaltet Prestet weiter unten (S. 362 — 865) einen. 
Artikel ,De quelques reflexions de l'academie royale des sdences sur une regle- 
d'aualjse de Monsieur Descartes* ein, worin er, unter Bezugnahme aaf einen 
Aufsatz im Journal des Sfavans 16S4 S. 250, die Sichtigkeit der Des- 
CABTEsschen Zeichenregel verteidigt, freilich ohne auch nur einen Versuch za 
machen, die Regel zu beweisen. Diese neuen Aasführungen von Prestet wurden 
übrigens unmittelbar nach deren Veröffentlichung von M. Rolli: {Traiti <rai^e6r(U^H 
Paris 1690, S. 268—270) beanstandet. G. EKRaxRÖH. l^M 



Kleiiie MibtoiliiQgeiu.l 



3:122. Die Angabe: ,Ebea die Zahl /i, deren Kntstebung' wik' kenuea 
gelernt haben, ist auuh als eine Hypothese, und zwar ala EogeDFiuüte große 
Hypothese zu benutzen, während der Wert C> die kleine Hypothese lieiSf 
ist irreleitend, denn da Herr Cantok unmittelbar vorher die Gleichung 8x^ — 
5a: — 2=0 vermittela des Wertea fi = 2 in die Gleichung 8a:'' — 27a: + 
20^0 transformiert hat, rauS der Leser nonehmen, daß entweder für 8 x^ — 
5l— 2=0 oder für 8x*— 27a! + 20=O die zwei Hypothesen und 2 sind, 
Ab«r iu Wirklichkeit benutzt Rolle die Hypothesen nur für soluhe Oleiuliungen, 
deren Glieder wechselnde Vorzeichen baben (siehe 8, 124; .L'on supposa icy que 
r^galit^ propoE6e . . . ait veceu . . . la quatrieme preparation dont on a parlä 
dans le Chapitre pröcedent*), so dafl die Gleichung 8 x^ — hx — 2 = gar 
nicht in Betracht kommen kanu; der Grund dazu ist natürlich, daß Null nur 
dann die kleine Hypothese sein kann, wenu die reellen Wuizeln sämtlich positiv 
sind. Auf der anderen Seite ist für die Gleichung ü x- — 27 a; + 20 =0 die 
große Hypothese nicht 2 soudorn ^ + — - -|- 1 = Ti, 

G. EsEÖTItÖM. 



3:123, In betreff der Bedeutung des Termes .Cascade* hei Rollb hat 
Herr A. von BuiuwMiJHi. (BM 4|i, 190a, S. 399) die CAuroKsehe Darstellung 
wesentlich verbessert, indem er darauf hinweist, daß die Substitution v ^x -\- z 
nur zur Bildung der Cuscadea dient. Man kann also nicht mit Herrn Caütok 
sagen, daß die auftretenden Koeffizienten der Potenzen von x einzeln verschwinden 
müssen, denn in den verschiedenen Cascaden bedeutet e nicht dieselbe Größe. 
Diesen Umstand bat t!ii. Beyneau, der im ersten Bande seiner Anuti/se de- 
montri-e (Paris 1708) die RoLLRSche Cascadeutheorie ausFQhilich auseinandersetzt, 
besonders hervorgehoben (S. 292): ,L'inconnue j: du produit [d. h. der Ab- 
geloitelen] pouvant ötre consideröe uomme uae indöterraiuee differente de x, 
<|iii est TincoDuue de la proposäe, et ätaut possible ijue rindäterinini^e x ait des 
vuleurs propres ä faire en sorte que le produit soit ögal ä zero, en supposant 
que X represente dans le produit ces valeurs-lil, il est Evident que le produit 
|)eut 6tre supposä dgal k zero*. 

Dagegen hat Herr Cantok wirklich Recht, wenn er behauptet, daß die 
Caecadea Gleichungen sind^ in der Tat sagt ItoLi.t: ganz bestimmt (S. 125): 
^Cfaacnne de cea egalitez s'nppellera Cascade*. Dieser Dmstand ist ja von 
t-intergeord neter Bedeutung, und vielleicht hUtte Rolle seine Darstellung deut- 
licher machen könneu, wenn er die Aigeleiliien als Cascaden bezeichnet hätte, 
ober hier handelt es sich nur um die Tateacbe selbst, nicht um eine Verbesserung 
der RoLLESchen Terminologie, G. GnestrSm. 



3:123. Die Bemerkung: .Rolle behauptet nun, die Wurzeln irgend einer 
<7ascade von der letzten anfangend und aufsteigend bis zur ursprünglich go- 
gebeneu Gleichung seien stets als Hypothesen in der Cascade nüchsthöheren 
Qrades zu verwenden. In unseren Tagen spricht man den Satz so aus: Zwischen 
zwei aufeinander folgenden Wurzeln x und ß der Gleichung /'(;) =3 kanu nicht 




G. EnestdÖu. 



mebr als eine einrige Wurzel von f{ii)='0 liegen' ist nicbt iinri<^1 
aber keine genauere Auskunft übei' Rollrs eigene Darstellung äes Satzes. 
Vorübergeben bemerke ich, daO es angebraobt wäre, vor .Hypothesen* 
Wort .mittlere" cinKufügen, um wenigstens anzudeuten, daß Koi.le anch 
der Anwendung aeiuer Cfiscadenmethode sowohl die .kleine" 
Hypothese benutzt. Wie es jetzt steht, ist es nicht leicbt 
welche Weise Rolle mehr als eine Wurzel der kubischen Gleicbuog bestii 
konnte, denn die Cascade hat ja nur zwei Worzeln in diesem Falle. 

Der Satz selbst lautet bei Rolle tß. 128): ,Lors qu'il y a des raumes 
effectives daos une cascade, les bypotheses de cette cascade donnent nltemative- 
ment l'une -j- et Tauti'e — ,• und den Siua dieses Satzes kann mun auf fol- 
gende Weise wiedergeben: wenn eine Uieichong /'(j)=0 nur reelle and un- 
gleiche Wurzeln hat, so liegt eine dieser Wurzeln zwischen zwei aufeinander- 
folgenden Wurzeln der Gleichung f{x) = 0. Ferner bemerkt Rolle (S. 130), 
daB, wenn in einer Uleichnng /"(x)^ keine Wurzel zwischen zwei aafeinander- 
folgenden Wurzeln der Gleichung f (x) ^ liegt, so hat die Gleichung 
/■(7)^0 zwei imaginäre Wurzeln, Noch dazu hebt er hervor (8, 130), daß, 
wenn die Gleichung f (x) ^^ zwei imaginäre Wurzeln bat, so hat die Oleichaug 
f(x) = wenigstens zwei solche Wurzeln. 

Dagegen kommt der Satu, der gewöhnlich als das RoLLESche Theorem be- 
zeichnet wird (vgl. BRAUNnriJm., BM 43. 1Ö03, S. 399), im TmUe d'algibre 
nicht vor, aber es ist nicht unmSglicb, daß dieser Satz, wenn auch nicht in der 
allgemeinen Form, spater von Rülle verGffentlicht wurde, u 
von Herr Castok erw&hnten Duodezbändchen, worin die C äsende nmethode 
wiesen ist. Diese Schrift, die auQerordentlicb selten zu sein scheint, ist 
leider nicht zugänglich, und ich kann nicht einmal den genauen Titel dersel 
feststellen. Herr Cantob gibt nach einem Zitate von Rolle selbst als " _ 
,Snr les effections geomätiiques* und als Druckjahr 1690 an; dagegen ver- 
zeichnet .1. Rouu (Handimcb der mathematischen Literatur, Tübingen 1680, 
S. 524) eine Schrift von Rolle: D^onstration d'iine mÜhode pour risoudre 
les egaiiics de (ous les degris mivic de deiu- autrea mSthodes, dont lapremi 
donne ks moyens de rhoudre ces mimes cgalHis par la glomrtrie et ta 
pour risoudre ptusieurs queslions de Diopbaxte. qui n'ont point 
reaolues. Paiis, Cnssons 1692, 12". Meine Vermutung, daß Rolle aach 
nach ihm benannte Theorem veröffentlicht bat, beruht darauf, daß es sich, freilich 
nicht in der jetzt gelBufigen Form, in der Analyse demontrie (I, Paris 1708, 
S. 290) von Ch. REVUEAtr, findet und dieser vorweist für seine Darstellung di 
Cascadenmetbode ausdrücklich auf Bolle. Reyneau drückt das Theorem ai 
folgende Weise aus: .Les racines d'une liquation, dost toules les racines soi 
i'^Iles, positives et inegales, sont les limites de l'equation nouvelle qui vienl 
de la multiplication de chaque terme de la premiere par le nombre qai tä 
l'exposant de l'inconnue de ce terme, et de aon demier terme par zero*. ■ 

G. Enesthöh. m 



n dem 
de 'i^^^H 
!;t q^^H 
rsell^^H 

n ver- 

1630, 
'^soudre 

rach M^^l 



3:123, Eiebe BM I;,. 1900. 8. 513; 43, 1903, S. 899 — 3 : m, siehe BH Sj. 
1902, 8. 407—408; 43. 1903, S. 40O, — 3:126, siohc BM 4«, 1903, 8. 288. — 
3:131, siehe BM 4:i, 1903, S. 210. — 3:l.il, siebe BM »3, 1902, S. 326. — 
. 3:11(7, 172-173, siehB BM 43, 190a, S. 400. — 3il7J, siehe BM Ä,, 1901. 
S. 149- UO. — 3 : 183, siehe BM U, 1900, S. 432. — 3 : ISH, «ehe BM 3n. 1908. 
f*. S4I. — S : SDT. siehe BM I3, 190O, S. 513. — 3 : im, siebe BM I3. 1900. 8. 519. — 



Kleine Milteilunii^eii. 303 

r:215. liebe BM 2^, 1901, S. ISO. — 3:21», siebe DM I3. 1900, S. 513. — 3:230, 
«iebe BM 3a, 1902, S. 326. — 3 : 22J, eiehe BM I3, 190O. S. 514. — 3 : 235, 228, 
«ehe BM 83, 1001, S, 150. — 3:230, siehe BM «3, 1905. 3. 211-212. — 3:232, 
•iehe BM 1», 1900. 8. 514; 6a, 1905. S. 212. 



^^^F 8:232. In betreff der Abhandlang von Johann Bbrsoulu Prmwjjia cal- 
^^eSi cxponentialium seu percurrentium (Acta Eruclitormn 1697, S. 125—133) 
erlaube ich mir hier eine kleine NoUz einzufügen, die freilich nur hiblio- 
graphisches loteresse hat, lu Poogendorffs Biographisch-lHerarischem Hand- 
teOrterbiich wird (I. Sp. 157) unter die Schriften von Johakn Bersoulu eine 
Dissertalio de calcuto ezponenliati (Paris 1725) aufgeführt, aber da diese Ab- 
handlung in den Opera omnia fehlt, babe ich immer die Poe iENDOitFF sehe 
Angabe als sehr verd&chUg betrachtet, obgleich es mir unmöglich war xu er- 
mitteln, woher er dieselbe entnommen hatte. Jetzt ist es mir gelungen die 
Frage zu erledigen. In der posthuiuen Arbeit von Vakigno» Eclairciasemens 
sur l'anaiyse des hifinitnent petita (Pan» 1725) istS. 101~107 Johann Beknouli.ie 
Abhandlung in den Acta Eruditornm 1697 zum größten Teil und nur mit 
einigen weniger wesentlichen Abweichungeu zum Abdruck gebracht. Freilich 
ist der Titel daselbst nur De calcvio txponenliali, aber im „Ävertisaement" 
auf Seite 100 wird die Abhandlung , dissertatioa * genannt. Daß SonderabzUge 
des Abdruckes vorhanden sind, ist ja nicht unmöglich, wenn auch wenig wahr- 
scheinlich. 

Offenbar beruht die Angabe von Wölfpinu {Mathematischer Bücherschah. 
Leipzig 1903, 8. 164), dnü exae Dlsscrlatio de calculo exponeniiali yan 3on.\ns 
Bkbnoolli in Paris 1825 erschienen ist, auf einem Schreibfehler; die Angab« 

Eluiiiaht sich ohne Zweifel auf den VAKiGNONschen Abdruck vom Jatire 1725. 
G. Enestköm. 
( : 244. Im ZusommeDhang mit den Angaben vou neuen Auflagen der 
ALschen Analyse des infinment petils könnte auch bemerkt werden, daÜ 
zwei Kommenlare dieses Buches besonders borausgegebeo worden sind, nllmlich 
Commenlaire sur l'analt/se des infinimeni petUs. Par M. Chdcias (Paris 1721, 
(3Ö) + 320 8. 4^ + 4 Taf.) und Eclaircissemens svr Vanalyst des tn/iniment 
peiUs. Par M. VAmonox (Paris 1725, (8) + 118 + 2 S. 4" -}- 6 Taf.). 
Da G. ViVANTi in seiner Schrift: B coficetto d'mfinitcsimo e la siia appUcaeionc 
aUa matematica. Saggio storico (Mantova 1894, S. 52, 119) nach Montücijv 
einen dritten Kommentar von Paulian zitiert, und noch in der zweiten Auflage 
J«oer Schrift (Napoli 11)01, S. 76) bemerkt, er kenne nicht den exakten Titel 
dieses Kommentars, mag hier darauf hingewiesen werden, daß der ,Commentaire 
des articles lee plus difficiles de l'analyse des infiniment petits' ein Anhang 
(8. 257—375) der dritten, von A. H. Paulian besorgten Ausgabe (Paris 1768) 
der Analyse des infiniment petits ist. Die Angabe von Poroendorfp {Bio- 
graphisch-literarisches HandieOrlerbtich 11, Sp, 379), daß Paulian in Paris 1768 
«inen ,Commentaire sur l'analyse des intiDiment petits de L'Häi'iTAL* ver- 
effentlicbte, ist also bibliographisch ungenau. 

; Sachkunde auf dem Gebiete der Infinitesimalrechnung tu 
;idx — xdy 



charakteris 



, genügt i 



i Beweis der Fomiei d 



erw&hnöD. Nachdem er richüsf bewiesen hat, daß ivenn — =#, so ist rf£= — — ^ 

dm " i ' 
filhrt er fort: also ist tU = — — xd (!), rolfjlich anch dz =a 



'- oder d[-\=.-^ 



dj/ als einen Faktorl 



' betrachtet also ji m 
G. ENsaTBÖu. 



ft:27t). Kb ist richtig, doQ Lcdiniz in seinem Briefe an J-juanx Bkb- 
HOHLLi vom 27. Jnni 170S auch den Jesuit Thomas Gouve als Gegner der 
Differentialrechnung nennt, aber diesen neben La Hire als SlüUse des Rolle 
innerhalb der Pariser Akademie zu bezeichnen, ist meines Erochtens nicht richtig. 
Als aolcba Stntzen nennt Leibniz ausdrückUch in seinem Briefe an Jobasn 
Beiucivi-li vom 23. Mfirz 1707 in erster Linie den AbbS Jean Gallois and 
in zweiter Linie La Hieu: (.binns illoe ex molevolis Rijlui iostigatoribos . . . 
et ego divinabo: ... in tnentera habes Galoisil'm et La Hirium, calcoli differen- 
tialis Bcerriinos hostes"). Vakigko?), der sicherlich die Sache am besten kannte, 
nennt sogar Gallois allein als Rolles Instigator in einem undatierten Briefe an 
Leibniz aus dem Jahre 1707 (siehe Leibsizküs Miithemalische Schriften 
herausg. von C. L Gbrbabdt IV, S. 108): ,1a mort de M. l'AbbÄ Gallovs 
a entiu redoit M. Rollr ä se taire: . . . il ne pense plus h rien dlre coutre 
lea infiniment petits .... II se plaind d'y avoir ^te engage par cet Abbe .... 
M. R1.1LLE allait au feu, ne pouvant (dit'il) i'esister aux soUicitations de t'aatre.* 



3:30;t, Hiebe UM Sg, 1901, S. 1S5. 



G. EnrstrÖn. ^^_ 

onomie am Gre8M^^^| 
äcb der Anfertig^^^^ 



3:30ti. Statt ,Jobk Machw war Professor der Astronomie 

College in London* lies: .John Machin wurde ein Jahr nach der Anfertif 

des Berichtes znm Professor der Astronomie am Gresbam College in London 
ernannt*. Ca, HuTroN gibt in seinem Philosophirol und mnthematical dicUo- 
narif (siehe New edition, London 1816, II S. 1) das Datum der Ernennung 
(11;. Mni 1713) an. G. Eneströu. 



3:330-331, siebe BM 3^, 1 



' 3 : 337, siebe BH S», 19(M, 



8:364. Die Angabe, daß John MAcniN eine zweckmäßige Umformq^ 
der GKEOORrschen Reihe gab und daß seine Berechnung der Zahl jc 1706 1~ 
W. Jones der Öffentlichkeit übergeben wurde, ist durchaus ricbüg. aber ij 
liegt sehr nahe, die Angabe so aufzufassen, daß in der Si/nopsts pttimaria 
matheseoa nicht nur die Berechnung vorkommt, sondern auch die MachinsI 
Methode wenigstens angedeutet wird (der Ausdruck des Herrn Cantor . 
Erläuterung" etwas weiter unten ist auch nicht vollstAndig deutlich), 



9 Milteiluu^eD. 



305 



vielleicht bat Hbtt Tsotfkb wirklich die Worte des Herrn Üantob auf dies« 
Weise aufgefaSt, da er {GcschicAle der Elementar-Malkemntik II, S. 130} sagt: 
, Machin veröffeatlichte aeiue BerM^bniiogsart 1706*. Um in Zukunft ein 
Ui 6 Verständnis vorzubeugen, drucke ich hiev den ganzen betreffenden Piissus 
der Synopsis piümariorwm maüitseos (S. 268} ab: 

In Ibe oircle, tbe diameter is to circumference as 1 to 



16 



1 1^ 

3" 5^ 



1 16 



- etc. = 3 , 14159 eUi. =. ji. 

Tbis seriea (aniong others for tbe same purpose, and drawn froni tbe 

sanie piinciple) I receiv'd from tba excellent anatyst, and my mucli eüteom'd 

frieud Mr. Jijhn SlAfHiN. 

Es scheint fast, als ob Jones absichtlich verbergen wollte, auf welche Weige 
Min Freund die Keibe hergeleitet balle, denn dieselbe kommt an einer Stelle 
vor, wo es sich gar nicht um die GimaoRvsche Reibe bandelt (diese wird von 
JOMES S. 243 erwUbnt). 

Etwa gleichzeitig mit dem Erscheinen der Synopsis gab J. Hkhmann in 
ainem Briefe an Leiüniz vom 21. August 1706 die Herleitung der MACHiKsuhen 
Reibe (siehe LEianuens Malhtmatische Schriften, herauag. von C. I, Gekuabdt IV, 
S. 303), und teilt« auch die Formel 



— ^ 2 ai'ctg -f 



- arctg -; 



1 



3::tr>S, siehe BM 7g. 19DS, S. 94. - 
3:870-371, Aehe BM Sa, 1904, S. 308. . 
3iSH Biehe BM ff,. 19U5, S 319. 



3:367, liehe BM Vg, 1906, S. 215. • 
. 3:3H2, liebe BM Gy, 1905, S, 213. ' 



in- 

^^K S : 39S. Nikolaus I B£aK')ii.Li war nicht der einzige, der im Jahre 1708 
^HEbb B' weis für die Richtigkeit des NewrüKscben Verfahrens zur Aufsuchung 
^^nn T'aktoren eines Polyuoius brachte. Einen solchen Beweis, der wesentlich mit 
dem BBitKOULLiBcben zusammenftllll, teilte J, Hermask fast gleich'zeitig Leibniz 
mit (siebe LEiBsiztns Mathematische Schriften, heruusg. von C. I. Gerhardt IV, 
Bftlle 1659, S. 328 — Stil), Mit derselben Frage beschäftigte sich auch Leibniz 
selbst uud gab in seinem Briefe an IIermans vom 6. September 1708 
(tt. o. O. 8. 335—339) Auskunft über eine andere Methode zur Aufsuchung 
Ton Faktoren eines Polynoms. Für diesen Zweck wird zuerst das gegebene 
Polynom durch lineare Substitution auf die Form 

a^j:" + a^^'—i + ... + »„ 
{^bracht, wo alle Koeffizienten positiv sind. Dann wird statt x eine Zahl h 
eingesetzt, die größer ist uls der grüüte der Koefßzienten, und alle Divisoren 
d«r ftuf diese Weise erhaltenen Zahl 

,.„/<" + «,/<"-'+-..+ «„ 

der fraglichen Divisoren auf die Form 
+ «,A'-' + -.- + ot. 
das transformierte Polynom nur Faktoren von 



>afgesncbt. Wird nun j 



I bracht, so weil 
Vporm 



■ + ' 



haben kaon, and daß immer -^ and — gaDze Zableo sein mÖEseu, Ferner w«ifi 
man aach, daS weun 

ein solcher Faktor ist, so mnß es unter tten aufgeaucbten Divisoren neben 
der ZM 

«0 /.' + =(, A'-' + ---+a. 
eioe andere Zabl 

«;*'•-'■ + «;A''-'^-i H 1- o^-r 

geben, die die Eigenschaft hat, daß {c^K^^a^, arr^n — r^An- U)ui kann 
also sofort alle ÜivUoren aosscbeiden, die nicht die genannten Eigenscbaften 
besitzen, und in betreff der übrigen erkennt man leicht durch Probiereo, ob 
ihnen wirkliche Faktoren des transformierten Polynoms eniGprecben. Hat man 
alle Faktoren dieses Polynoms ermittelt, so ist ea natürlich leicht auch die 
Faktoren des gegebenen Polynoms zu bestimmen. 

Die Haaptschwierigkeit des Verfahrens ist, wie LEmmz selbst hervorhebt, 
die Aufsuchung der Divisoren der Zahl 

wenn diese sehr groß ist. G. Enestböm, 



3: 408, eiebe BM «,. 1905, 8. 213. 



g:412, I^ mag sein, daß in betreff des Zeitabschnittes 1700—171 
die wirklich bedeutenden deutschen Mathematiker am wenij^ten Aigebraiber 
waren, aber auf der anderen Seite verdienen sicherlich andere deutsche Mathe- 
matiker als P. Hai.cke hier genannt zu werden. So z. B. hat sieb Leibku 
im Vorübergehen mit der D esc aktg sehen Zeicbenregel beschäftigt und den 
Beweis derselben auf den später von Seqner bewiesenen Satz, daß wenn die 
Gleichung 

aox" + «jx«- '+... + o„ =- 0, J 

nur reelle Wurzeln hat, so ist ^H 

> > S • ■ ■ ■ > J^' ™ 



I 



4>., . 

den Brief an Hermann vom 34. Juni 1707; MatkemcUisehe ' 
a I. Gekuakdt, IV, S. 316). Den Satr. selbst hat Leibniz 



zurückgeführt (sii 

Schriften herausg. 

freilich nicht bewiesen, aber er hat den Weg zur Erledigung der betreffenden 

Frage angewiesen. Denselben Gegenstand bat Leibniz fast gleichzeitig in einem 

Briefe an Chk. Wolff berührt (siehe die Ausgabe von Gerhardt. Halle 18G0, 

8, 64). Auch andere algebraJGcbe Fragen (vgl. oben) werden im Briefwechsel 

zwischen Letbntz und Heruann behandelt, G. Enestköm. 



St 447, 459, liehe 6H «s. 1901, S. 151. — 3:4;», siehe BM »«, 1901. 
8. 154— 1,55; 43, 1903, S. 401 — Si47T, 479, liebe BM £3, 1901, S. 151—152. — 
3 : 4»?, 49S, siebe BU S3, 1904, 8. 309. — 3 : 507, siebe BM Sg, 1904, S. 71—72. 
— 3:S21, siehe BM £3. 1901. S. 441. — 3:ää7, siebe BM 73, 1906, S. 95. — 
3:635, siehe BM 4». 1903, S. 401. — 3 : 5S6, eiebe BM Sg, 1904, S. 206. — 
3 : 560, siebe BM »3. 1905, S. 319—321. — 3 : 5«Ö, siehe BM 3:, 190S, 8. 326—327. — 
3:571, siehe BM%i. 1902. S. 327; 5», 1904, S- 72 —3 : 37», siebe BM 3», 1902, S. »27; 
53, 1904, S. 309. 



Kleine Mittoiluüßeii. 307 

Der vollstUndigä Titel der hier erw&hiiteii AbhaLcIluDg von Seqnbb 
lautet r Ad virum excelkntissiniam atque experienlissintum dominum QKORfiicM 
Erbakijcm HAXBERGERm, phil. et med. docl. in acad. lenena. med. prof. 
attrord. ac phil. prof. puU. med. prw. Saxo- Vinar. Diaserlatio episldica qua 
regulam Hahrioti de modo ex aequalionum aignis numerum ntäicum tarn vtra- 
rum suam spuriariim eas componentium, cognofcendi, demonslrarc, simulque 
ralionem slructurac instntmenti nom, seclionibus conicis secundi generis pleris- 
qite, ac omnibuB primi, describendis, upti, exponere eonatur Joaünes Asdkejm 
SEd.yEK. M. C. Jenae apud Uhristiaimni FranoiBCura Buchium (23 -(- (1) 
S. 4" + 1 Taf). Wie ich soliou in der BM 5s. 1904, S. 309—310 angegeben 
habe, erschien die Abhandlung im Jabre 1728, dagegen ist die divselbst vor- 
kommende Angabe. dalJ das Titelblatt als Druckjahr MDCCXVIII hat. dahin zu 
modifizieren, daö am Ende der Seite 23 das verdruckte Datum ,Die Vi I. Sept. 
Änni M.DCC.XVUl' steht. Vergleicht man den oben angeführten Titel mit dem 
von Herm Caktor weiter unten (S, 009) angegebenen, so ersieht man, daß im 
letzteren die Worte: ,tem verarum quam spuriarum" [d. h. sowohl positive 
wie negative] fehlen, welche Worte auf die Tatsache hinweisen, daß Segneu 
nur Gleichungen mit reellen Wurzeln behandelt. S. 4 gibt Seonbk an, er habe 
aus den Elementa matkeseos universae von Chr. Woi.fp entiiornnien daß die be- 
treffende Zeichenregel zuerst von Habbiot entdeckt wurde. Sein Beweis der 
llegel findet siüh 8, 4 — 13 der Abhandlung und ist, so viel ich sehen kann, 
wesentlich richtig, obgleich weder besonders klar noch sohön. Segnci« beweist 
zuerst den spAter von de Gua benutzten Satz, daß wenn die Gleichung 
(A) ao z" -f «1 1" ~ ' + «1 2i" ~ * + . . . + «, =0 

nur reelle Wurzeln hat, so ist 






■ > t;^- 



Dann multipliziert er die Oleichuilg (A) mit x - 
Betracht die Zeichen Wechsel für die Fälle 



und zieht besonder 



m'> —' 



'>m> -^ 



' f ^ > • 



Auf diese Weise findet er, daß durch die Multiplikation mit x — m immer ein 
Zeichen Wechsel hinzukommt, weist nach, daß dasselbe Verfahnin mit einer ein- 
fachen Modifikation angewendet werden kann, wenn nicht alle Koefßzienten 
positiv sind, und folgert daraus, daß jede Gleichung so viele positive Wurzeln 
besitzt wie die Zahl der Zeichen Wechsel. Zuletzt wird die Gleichung (A) 
mit X -i- m multipliziert, und dasselbe Verfahren benutzt, um den entsprechenden 
S»tt in betreff der negativen Wurzeln herzuleiten. ü. Enebtröii. 

^■'SiüSG, <>09, siehe BM 5:,, 1904, 8. S09-3I0. 



3:612. Es wäre vielleicht nicht ohne Interesse, inbetreff der £nLBB8Cheit 
Abhandlung De soluHone problemaium Dioj)hanlfforutn per numeros inlei/ros 
hiazuzufUgen, daß Eitler die von ihm gestellte Frage durch Zurückführung auf 
die gamraahlige I^sung der Gleichung 1 + op* ^ q'' erledigt. Dadurch be- 
kommt er Anlaß, auf eine Methode zu verweiseii, .qua olim jam uii sunt 

20* 



310 



BezensioneiL 

D* E. Saiitk« Hi«toij of modern inathematir« Fomtk cditioD. cnkigcd. 
>'ew York, Wiley l&t>6. 61 S. S». 1 döIL 

Die erste Auflage dieser Sclirift eRchioi 1S96 ^ letxies Kapitel (S. 508 
— 57^) der Arbeit Higfker maihewtotUs. A text-loot for dassical mmd emgimttnm§ 
cfAuges. EdUed by M. Meraimas amd B. 5. W*>jErWjutL^ und wurde in dar 
Bibliotb. Matbem. 1896, S. 84 — 69 besprochen. An sieh mafi es ja den Ter- 
facser sehr freaen, daß jetzt eine rierte erweiterte Anfiage als bcsondcrca Buch 
beraoägegeben wird, aber leider ist damit ein Umstand Terbundcii, der weder dem 
Verlascer noch den Lesern angenehm sein kann. Der Verleger bat nimlicli, 
wie aus dem Vorworte des Verfassen herTorgeht, noch for die rierte Auflage 
dit StertfAypplatten der ersten Auflage angewendet, so daß es Herrn Sian 
nnmJ!;glich war, seine Darstellung za Terbessem, sofern es sick niekt um gaax 
kleine Änderungen handelte, z. B. statt ,all^ (3. 24 Z. 8) das Wort «manj* 
za setzen. Nun ist es klar, daß die im Laufe der zelm ktiten Jahren er- 
schienenen mathematisch- historischen Arbeiten riel Material enthalten mOaseB, 
wodarch die ursprüngliche Darstellung des Herrn Sjctth zu modifiziereo oder 
wesentlich zu ergänzen ist, so daß schon aus diesem Grunde dne neue Be- 
arbeitung gewisser Stellen erwünscht wäre. Hierzu kommt noch, t^b daß der 
Verfasser seit 1896 seine mathematisch- historischen Studien eingehend fort- 
ge:setzt hat, so daß er sicherlich ohne Bezugnahme auf die neueste Literatur 
Tiele Verbesserungen yomebmen würde, wenn es ihm gestattet wftre, eine 
wirklich neue Auflage zu yeranstalten, teils daß gewisse Angaben, die 1896 
korrekt sein kooLten, jetzt unrichtig sind. z. B. der Verweis (S. 8) auf die 
erschienenen 26 (richtiger 2h) Bände der Fortschritte der Mathematik 
(bekanntlich sind jetzt 35 Bände erschienen) und die Angabe (S. 69), daß 
nur zwei Bände der HAGENSchen Synopsis der höheren Mathetmatik heraus- 
gegeben sind. 

Es ist natürlich, daß der Verfosser die Übelstande, welche die Beuntiong 
der ursprünglichen Stereotypplatten mit sich geführt haben, nur in geringem 
Grade durch die Zusätze (S. 70 — 77) beseitigen konnte. Abgesehen Tom 
Schlußkapitel (S. 74 — 77), das unter dem Titel ,€reneral tendmides* dne 
Übersicht der Hauptrichtungen auf dem mathematischen Forschimgsgebiete am 
Ende des 19. Jahrhimderts bringt, sind die Zusätze wesentlich bibliographischer 
Natur. Vermutlich hat es der Verfasser zwecklos gefunden, die historiaehen An- 
gaben nachträglich zu berichtigen imd zu ergänzen, auch an den Stellen, wo 
er offenbar selbst imstande war, Verbesserungen zu bieten. Unter solchen 
Umstanden ist es angebracht, von einer eingeheuden Kritik der Einzelbeiten 



Kloiue Mittoiluagea. 



3üy 



eompDoit*; Ende; .si muUo maior fuerit") der sieb im Cod. Vatic. Ottob. 309 
findet, wird in betreff der Bezeichnung gewöhnlicher Brüche bemerkt: 

Minucinm vulgarem scribes superins numeratoreni inferius denominatorem 
ponendo .... Est el.ism aliujj modus Bcribendi non peior predicto, tiidelicet 
icribendo numeratorem et denomiDatorera clextrorsum cum curtella lineuncula 
recte ipai denominatori superposita ut.3, quintas sie 3 5, siniiliter.i. 7 4 7. 
Vielleicht gab es im christlichen MitteluUer noch andere Weisen, die ge- 
wöhulicbeti Brüche ku bezeichnen, und für die Geschicbte der matfaematiauben 
Zeichensprache wäre jedenfalla eine nfiiete Uct«rancbung der Frage von Interesse. 



^Wbi 



G. Enesthöu, 



129. Über die AnfSnge der Benutsung von Ifoll als eine wirkliohs 
I8e. Fiii' die Entwickelang der Muthemiitik hat bekanntlich die Verallge- 
meinerung des Begrifi'ea ,GrCÜe* eine wesentliche Bedeutung gehabt. Wichtig 
ist die Binfübrung negativer Gr&ßen gewesen, aber kaum weniger wichtig die 
Erkenntnis, dati es zweckmäßig ist, die Null als eiue wirkliebe Größe zu be- 
trachten. 

Abgesehen von den indischen Mathematikern scheint diese Erkenntnis aua 
dorn 16, Jahrhundert herzustammen. Daü in dieser Zeit Gleichungen aufgestellt 
worden sind, deren rechtes Glied Null ist, war schon früher bekannt (vgl. 
Biblioth. Mathera. 3g, lö02, S. 145; 6», 19U5, S. 402—403; 7^. 1»06, 
58, 9J, 214). aber auch auf andere Weise wurde im 16. Jahrhundert die Null 
als eine wirkliche GrSBe behandelt. So l. B. hat Stifel [AfiÜvmetica integra, 
Nürnberg 1544, Bl. aiV") den Ausdruck .p* + 1 für einen gewissen Zweck 
unter der Form x" + 0^^ + Oj; + 1 gesehrieben. Ferner hat Tartaolia im 
2, Teile des General traltato di numeri e misitre (Venedig 1556, Bl. 89») 
Subtraktionsbeisptele von der folgenden Fo 



iih + 
Vs +8 
V2( 



V45- 
lÜO — 3 



-108) des 



Ebenso linden sich im De alixa rcgula libeUus (Basel 1570, S. 
CAfiPANo Gleichungen von der Form 

wo n und h Eucceesiv verschiedene Werte nach einer gegebenen I 

nod dubei werden auch die Fälle in Betracht gezogeu, in denen a oder b Null 

i»t. Beispielsweise schreibt Cardako 

1 cn Qp: 1 pos.| d. b. 3;' = + x, 
1 cu 2\e>p: pos. d. h. x« =• 216 + Ox. 
Man verlangt eine eingehende Untersuchung über die mathematiscbeit 
Scbriflen des 16. Jahrhunderts, wo Null als wirkliche Größe bebandelt wird. 
G. Enbström. 




310 Reienmonoi. 



Bezensionen. 

D. £• Sailtll« HiBtoij of modern mathemaüca. Fourth edition, enlarged. 
New York, Wiley 1906. 81 S. 8«. 1 doli 

Die erste Auflage dieser Schrift erschien 1896 als letztes Kapitel (8. 508 
— 576) der Arbeit Higher mujUkewMtics, A itsi-hook for dassical and engineering 
Colleges^ Edited by M, Merrimax and JR. & Woodward^ und wurde in der 
Biblioth. Mathem. 1896, S. 84 — 89 besprochen. An sich mufi es ja den Ver- 
fasser sehr freuen, dafi jetit eine vierte erweiterte Auflage als besonderes Buch 
herausgegeben wird, aber leider ist damit ein Umstand verbunden, der weder dem 
Verfiisser noch den Lesern angenehm sein kann. Der Verleger hat nämlich, 
wie aus dem Vorworte des Verfassers hervorgeht, noch für die vierte Auflage 
die Stereotypplatten der ersten Auflage angewendet, so daß es Herrn Smiih 
unmöglich war, seine Darstellung lu verbessern, sofern es sich nicht um ganz 
kleine Änderungen handelte, s. 6. statt «all'' (S. 24 Z. 8) das Wort ,many* 
zu setzen« Nun ist es klar, daü die im Lauf? der zehn letzten Jahren er- 
schienenen mathematisch- bist orischen Arbeiten viel Material enthalten müssen, 
wodurch die ursprüngliche Darstellung des Herrn Smith zu modifizieren oder 
wesentlich zu ergänzen ist^ so daß schon aus diesem Grunde eine neue Be- 
arbeitung gewisser Stellen erwünscht wäre. Hierzu kommt noch, teils daß der 
Verfasser seit 1896 seine mathematisch* historischen Studien eingehend fort- 
gesetzt hat, so daß er sicherlich ohne Bezugnahme auf die neueste Literatur 
viele Verbesserungen vornehmen würde, wenn es ihm gestattet wäre, eine 
wirklich neue Auflage zu veranstalten, teils daß gewisse Angaben, die 1896 
korrekt sein konnten, jetzt unrichtig sind. z. B. der Verweis (S. 8) auf die 
erschienenen Ji6 (richtiger 25) Bände der Fortschritte der Mathematik 
(bekanntlich sind jetzt 35 Bände erschienen) und die Angabe (^3. 69), daß 
nur zirei Bände der HAGENSchen Synopsis der höheren JlathewMtik heraus- 
gegeben sind. 

Es ist natürlich, daß der Verfasser die Übelstände, welche die Benatzung 
der ursprünglichen Stereotypplatten mit sich gefuhrt haben, nur in geringem 
Grade durch die Zusätze (S. 70 — 77) beseitigen konnte. Abgesehen vom 
Schlußkapitel (S. 74 — 77), das unter dem Titel , General tendencies* eine 
Cbersicht der Hauptrichtungen auf dem mathematischen Forschungsgebiete am 
Ende des 19. Jahrhunderts bringt, sind die Zusätze wesentlich bibliographischer 
Natur. Vermutlich hat es der Verfasser zwecklos gefunden, die historischen An- 
gaben nachträglich zu berichtigen und zu ergänzen, auch an den Stellen, wo 
er offenbar selbst imstande war, Verbesserungen zu bieten. Unter solchen 
Umständen ist es angebracht, von einer eingeheuden Kritik der ^»■»^Ibeit'M 



ftezensionen. 311 

der SMiTHSchen DarstelluDg abzusehen, da diese Kritik eigentlich den Verleger 
und nicht den Verfasser treffen würde. Nur einige kleine Bemerkungen, die 
ich ganz gelegentlich notiert habe, bringe ich hier unten zum Abdruck. 

S. 9. Wenn nur ein einziger Mathematiker des 1 7. Jahrhunderts genannt 
tverden soll, der zur Entwickelung der Algebra beigetragen hat, so kommt 
dabei kaum Harriot in Betracht, sofern man nicht mit Wallis in die Ärtis 
analyticae praxiS Sachen hineinliest, die gar nicht darin stehen. 

S. 11. Warum Viäte neben Backet und Fermat als Arbeiter auf dem 
zahlentheoretischen Gebiete hervorgehoben wird, verstehe ich nicht. Meines 
Wissens hat sich jener kaum mit der Zahlentheorie beschäftigt, denn seine Tafel 
der rationalen Lösungen der Gleichung x* -{■ y* = ^^ gehört eigentlich 
nicht hierher. 

S. 15. Schon vor Euler hatte Cotes (1722) eine Formel, die mit 
cos a; + ^ sin ic =a e** wesentlich zusammenftillt , angegeben (vgl. Biblioth. 
Mathetn. 23, 1901, S. 442). 

S. 16. Der Term .Richtungskoeffizient" wurde vor Uankel von M. Cantor 
{Grundeüge der Elementarmathematik , Heidelberg 1855) benutzt. 

S. 19. Der Grund, wai-um Herr Smith für die NEWTONSche Approximations- 
methode die Jahreszahl 1711 angibt, ist leicht aufzufinden. Die Methode 
wurde nämlich von Newton selbst in der Änalysis per aequationes numero 
terminorum infinitas auseinandergesetzt, und diese Abhandlung, die freilich 
schon 1669 fertig war, erschien im Jahre 1711. Auf der anderen Seite wurde 
die Approximationsmethode 1685 von Wallis im 94. Kapitel (S. 338 — 339) 
seiner Treatise of algehra veröffentlicht, und statt 1711 könnte also mit größerem 
Rechte 1685 gesetzt werden. 

S. 23. Die Angabe, das Giraro eine Formel für die Summe der Potenzen 
der Wurzeln einer Gleichung aufstellte, ist insofern ungenau, als Girard nur 
die Summen der vier ersten Potenzen {Invention nouveUe en Valgebre^ Amsterdam 
1629, Bl. F2*) angegeben hat. 

S. 33. Ich weiß jetzt ebensowenig als vor zehn Jahren (vgl. Biblioth. 
Mathem. 1896, S. 85), aus welchem Grunde Taylor als Urheber des Operations- 
kalkuls (ySymbolic method^) angegeben wird. Mit ebenso großem Rechte könnte 
wohl Leibniz als Urheber desselben genannt werden, wegen seines bekannten 
Hinweises auf die Analogie zwischen den Formeln für d^ (xy) und {x -{- y)''* 
(vgl. seinen Brief an Johann Bernoulli vom 16. Mai 1695; Commercium 
philosophicum et mathematicumy Lausannae 1745, I S. 46 — 47). Durch diesen 
Hinweis wurde Johann Bernoulli (siehe seinen Brief an Leibniz vom 18. Juni 
1695; a. a. 0, I S. 52) veranlaßt zu bemerken, daß man in gewissen Fällen 
die Differentiationszeichen d^y d\ d^y d^ etc. als algebraische Größen behandeln 
konnte, was ja gerade das Prinzip des Operationskalkuls ist. 

S. 50. Hier würde ich empfehlen, die zweite Fußnote (Eneström G., 
Review of Cantor, Bibliotheca Mathematica 1896, p. 20) zu streichen. An 
der zitierten Stelle bemerkte ich nur, daß die erste Auflage der Doctrine of 
chances im Jahre 1718 erschien, ein Umstand, der natürlich schon längst be- 
kannt ist. 

S. 68 — 73. Die hier mitgeteilte mathematisch-historische Bibliographie 
kann zu verschiedenen Bemerkungen Anlaß geben, da es zum Teil eine Ge- 
schmackssache ist, was man dabei erwähnen oder stillschweigend übergehen soll. 
Meiner Ansicht nach sind einige der wirklich aufgeführten Schriften kaum er- 



3 1 2 Rezensionen. 

wähneuswert, uud auf der anderen Seite sollten wenigstens einige der von der 
Deutschen Mathematiker- Vereinigung veröffentlichten Berichte genannt werden. 
Unter den übrigen Arbeiten, deren Titel ich hier venuisse, nenne ich nur die 
zweite wesentlich erweiterte Auflage des LoRiAschen Buches H passcUo ed ü 
presente delle principali teorie geometriche (Torino 1896) und die Vorlesungen 
über Geschichte der Trigonometrie (Leipzig 1900 — 1903) von A. von Braunmühl.. 

S. 75. Hier wird der internationale Philosophen-Kongreß in Paris 1900 
erwähnt, aber nicht der von mathematisch-historischem Gesichtspunkte aus weit 
wichtigere gleichzeitige Kongreß für Geschichte der Wissenschaften, dessen 
Präsident Paul Tannert war und dessen Verhandlungen von ihm heraus- 
gegeben sind. Dieser Kongreß ist der unmittelbare Vorgänger des von Herrn 
Smith erwähnten Kongresses in Rom 1903. 

Von den nicht besonders erheblichen Druckfehlem der urspi'ünglichen 
Stereotypplatten sind nur wenige verbessert worden. Von unrichtigen Namen 
finden sich noch «Le Sceur* (S. 24) statt Tu. Le Seur oder Lesueur, , Francis* 
(S. 33) statt J. F. FRANgAis, , Hersei • (S. 64) statt J. F. Ch. Hessel; neu 
hinzugekommen ist der Fehler „Segr^* (S. 75) statt C. Segre. 

Das Buch ist mit einem Index versehen, der aber nur Sachregister, nicht 
Namensregister enthält. 

Es wäre erwünscht, daß die vermutlich recht bald nOtige fünfte Auflage 
wirklich eine neue Bearbeitung und nicht, wie die bisherigen Auflagen, einen 
Abdruck der Stereotypplatten der ersten Auflage brachte. 

Stockholm. G. Eneström. 



Neuersohienene Schriften. 





bedHUIet, daS die belrefTende Sobrlft der Eedaktion u 








Antoriüi-Begister. 




Ahrena, 18, 11. 




Eoler. .^7. 


Kftpteyn, 4. 








FaviTO, 40, 41, 4'i,4:t, 


4. Klebitts, S7. 


Mttllet, Folii, 17, M. 


Appell, 'loa.' 




Febr. 32. ' ■ 


KUlner. 11- 


Nftu, 31- 




0»lilei, 40. 


InvVBr, 4, 6*. 


Piiurd, 7. 


B>llUud, TT. 








Kotob, SS. 


B^l, IB, 




aj^'so, *51. 


orte weg 4, H. 


acbmldt, H. C. P . 24 


Bw'-HiibrwsM, 31. 




ÖSr«d.aM. 


rimeT.-i6? 




Beoediat, :IT. 




Onlnnä, 54. 




SobS?"«.' 


Bemonlll. D.. bl. 




GraTelanr. 28. 


lanip.; ei. 


BbE&riiitii, 10, 


BonoU. 8, 7B. 




Orsllscb, 8. 


Lampe; 3. 74. 


Simon, ai. 








LBlbnii, 54. 


Bon^l!'77.* 
BurkElrft. 81. 




Uiilin»Su, 81. 


.orii, i. M. 


Sinilb, ao, 36. 




Nardcutle, 76. 


.Beohner, 18. 


SDlBii, 84. 


Bnttarfteld, Ifl. 




HkrEur, 3). 


acBS de Pesloilaa, 69. 


Cuitnr. 1 / 




HefniUolU. 79. 


UbrUD«. 63. 


Cmtu», 45. 




»tiltluB, 25. 


Tuinerjr, J., 70. 


Utnber.SS. 




HermitB, 77, 




VriM. 4- 


Dslffig^. lOO. 




H.ll, 96. 


MO an,' SS.* 
»Ih6, te. 


Togl. 30. 
Vori, 83. 


DuhfiD.W, 13, H. 29,47. 


HunWh, 38. 


Djrek. 101. 




HoyEens. 48, 49. 
JoDi3ain, 75. 


Di vre, &9. 


WebBr, W.,61. 


Knsjtröm, 1.32,57,65,99. 


MODTS, 2i. 


WBIMdk, lOi. 



8) ZettsoIiriftSQ. AIlKamelnes. 

Bibliotbeca Mathematica. Zeitflcbrift fili' 

Geschiebte der mathemati scheu Wiiseu- 

Bohaften. HorauBgegebeD von Li. Enk- 

STBöM. Leipzig (Stockholiu), S". [1 

7, (1906) : 2. 
BoUettiuo di bibliogiafia e storia delle 
Bcieuze matematiche pubblicato per cara 
di G. LoBiA. Torino (Genüvft). S". [2 
1806:3. 

Jahrbuch über die Fortschritte dar Mathe- 
matik, berauBgegeben von E. L*>irE. 
Berliu. 80. [3 

36 (19041 ; 3. 
KeruB semestrieUe des publications matbä- 
matiques, rädif;äa bous leg auspicee de 
la BDciütä matb^matique d'Amsterdaio 
par H. i>K V..U«. D. J. K.iBrKWEo, J. C. 
Kllvveb, W. KirTRS, P, H. Schoiie. 
Amsterdam. 6°. [4 

14 : 3 (ocWbre l905-ȴiil 1906i. 
Verbandlonunn du drittflD iDlemntionalen Hatfae- 
'" Br-KoDgreBsee, liaraiueegebsn 
u [1905). lEewmsion^ forlo.JLcad. 



m>tiker-l 






L 



Canttr, ■., Vnrli^aDneen über Qeschichte dar 
Hathenattk, — l>>(ltlM).[KletnBBemei'kuDsen:1 
Blbtiotb. Hatbem. 7,. idOG, VM—Jff!. (O. En- 
BTunii.) — 2* (190OI. [Sleine BemurkimBsn :] 
Bibllotb- Mnthem. 7,, 190», 207—214. (». K^i- 
»tiIVh. H RniHAiB.) » Si (1901), [Klein« Ge- 
Bibliath. Xatbem. T,, tWiS, 91.5. 



(G. 1 



".) 



*4ilre]lua1i, 8., Zur Quadratur des Kreises. 
St. Paul 1906. 18 

: hiitarisctie 



B", 42 8. — Gymnasial Programm 
Abhandlnns. — IRezenaion:] D( 
ratuvK. 17, laOG, 1846. 



B Lite- 



Bonol«, R., La geometiia noo-euclidea. 
Espoaidone storico-critica del buo sti- 
luppo. Bologna, Zanichelli 1906. [9 

B», (2) + VI + 12) + 213 1- (1) 9. - [5 lire-! 

'SbeArman^ A. T., Decelopment of aym- 
bolic logic; a oritical-historical stiidj 
of the lagical calculu«. Ijondon, WUliams 
& NoTgate 1906. [10 

120, 254 S. - |5 sb.] 

'Kistner, A., Geschichte der Phvsili. 
1-a. Leipzig. GOseben 1906. [II 

9», 117 + 13fi 8. - [1.80 Mk.l - Sammlung 
GbeabBD Nr.293~-294. — [Reieniioti :] Dentacbs 
Litenlnra, 27. 1906. 25'J5. 



3U 



Neuen cbienene Schrillen. 



Dakem. P.. Les origiDes de la ■tstii)ue. 1 (1905). 
ItlcicDkioD :1 DcDiaclie Hathsm.- Verein., Jahra- 

W. li. IV». ÜSa — Kl. (F. BlHMTKIK.t — 

N«lurB 73, IWÖ^IX [So*. 30], — Revue gtn«r. 
a. WS, 17, 1SU6. iM— 2». [1] 

Duhemf l',, Les oiigiaes de Ib Btatique 
Ifiu). [13 

Braxellci, So«. Bdent., Hevue dn quut> wUnt. 

10,, IM», 65—109. 
■»■kau, P., Db l'acc£l«iatian prodtait« pai nu« 
rorce coDslajite. notai poac >«rvir ä l'biBloirii 
de la dynamliiDS (ISOä). !BeieiiBion ;] Bruxcilts, 
See. BGieDt., Koine dee natat, «clest. 1U<, 19Cll>, 
3«. [14 

*BnUerHeld, A. D., A biatory of the detei- 
mination af the fignre of the eartb from 
the meftsuremeDt«. Worcettet 1906. [15 

SD, 5 -)■ 168 ä. — [1.U doli.: 
* LSsulincr, 11>, fiber SooneuuhreD, Bei- 
ti^ge zu ihrer Gescbicbte und Kou- 
struktioD. Graz, Leuischer 1905. [IS 

B", IM 8, — i.S MH.I — rRereiuifon:] DeaUolie 

LiMnturz. 37. IM», "iiC^. 
HHIler, F.. Veneicbuia älterer mathe- 
mattBcber Werke aus der im BeBJti der 
Jacobeoc schule »u Seesen befiudlichen 
WertheiniBcheu Bibliothek, [17 

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1279 par Grägoirc AboulfatSig, dit Bai~ 
HebiaeuB, pablie pour 1a premi^ foii, 
d'apre« les manuacrila de Paris, d'Üt' 
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Bibliotb. HaUuuu. 7„ 19bG, 120—1 



ra onnähemd^^^ 



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(l'Adrien Borna in aur l'Blgebre 
de Mahumed heu Mucil el-Cbowürezmi. 

\m 

Bruxtthi. San. acienl., AnniLles 3Ü:2, 1HJ6,2I S, 
Le opere dl Galu.eu Gai.ili:]. Ediziono 
nftzioDale solta gli auapicii di bub maesta 
ü le d'ltalia, Volume XVll — XVIII, 
FIreQze, Barbe» 19U». |40 

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.incat. sclont. 10,. 190B, 343. \i7 

OsuTTcB complfrtea da CBiitTiius Hütsui pa- 
hli^ea pu la^aocieu ballaudi' 



.0 J 



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und mit Aumeikungeu versehen. Wien 
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8". vm + BS K, — Bonderiioft der ,Vei- 
aleberuDgawisaeiiBchaftUobBn MiltelluuKaii". 
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Weicher 1Ü06. [86 

»■.30 + i2)S. 4- Porträt- [1 Mfc.]— Huiatr 
der Wuaenscbart, Heft 6. 
Vier Briefe von GauBB und Wilhelm Weber 
an Fries. [67 

Abbandlungen der Prlei'nchaii Siibnle. Nene 
Feine. UetL 3 (l'JOÜ). 4ät-Ma. 
U^rard, L,, Un cbapitre de rhistoiie des 
math^inatiques. [6g 

Ballet, d. 8C. malb«m. »Ument. II, I9C6— 
191.«. US— H7. 
LacBi de FMlaiaa, €b.. K. H. Abel IlSUri>. IIU- 
zenalon:] Blblioib, Halbem. 7„ ISOd, -^17—21». 
lö. BiTKiiTBöi..) - |laTbeai> 6,, 1906. 218-217. — 
Periodlcu dl maUui. iS, I9W, *S-n. (E ) 169 

TannerT, ]., Manuscrite et papiots in^ 
diu de Gatuis. [TU 

Bullet, d. au. maIb«to. XU,, 1UU6, ■iX-'24f. 



Neu erschienene Scbril 



ESil«alt*rgcr , J„, Carl tiustftv J>cab Jacebl. 
FaaUcbrift ilfti4) [RÜuiBioD:] BIblloth. 
ll»tbem, 7„ 190G. 217-219. (Q KmurHO«,) — 
JoDm. desMvanUlSUS. IIZ-ISS. (P. Ari-».!..! I 
- Revne fi^nftr. d, M 17, 1806. i«. |71 , 

AbreoB, TV., Ein Ueitrftg Kar Bi(%iaipliie 
C. G. J. JaeobiB. (72 i 

Biblioth HUlinii. Ti. I90A. IS7— 192. I 

Mlllfr, F , Kul BabellbKta <1SD6), IHciienilan :] j 
Bruxrilfi, SoB. aciBnt., It«vne deaqD-st. wient 

IDj. 19CM, 27-1—^6, >H. Bo<haii9 ) — Deutsche | 

Liroimtnra. 27, 1506, 2199-2190. iE Liirs.) |73 i 

Lnmpe, E., DirEchlet sIb Lehrer der All- ' 
gemeinen KriegBBchnle. [74 

Naiurwiu. Handschaa 21. 1906. 483—485. 

Jourd&in, Pli, E. B., The deielopment of 
the theorv of tranBÜnite numbers, 1. [75 | 

Aroh. der" Mathem. Ifl,. IBOS, 2M— 2B!. 

Mardcnstle, Frniices, Report ontheiheor; ' 

of point-p-onpe. 11 -IV. [76 I 

Britisb MSDoUtloD. Bepart 12 (lB(ß|,Sl-S3: 1 

73 11BU3|, 05—77; 74 (1904) . SO— 39. ' 



?-3 I1M&. [Kai 

A, sc matem. 9. 

aittaf-m gBEetre 3. ! 



i:] BoUett di biblloR 



Helniholtif H. tob, La vie et les traTaui 
dB H, Berti. »[TS 

Ruvne e«n6r d. «c. 16, ItMß. 1094—1029. 
NsDb einem nucbgelBMeoeit Ar' ' 



BonoU, R., 

Buperticie a 

Bollett. di b 



e) NekrolOKe, 

Emft Abbe (1840—1905). [82 

ifanckm. AkBd. d. Wi»., Stumngiber. S6, 

1905, aiB-asÄ. (C, VoiT.i 
Davide BeMO (1S45?-19061. [83 

Penodicg di miileui. 33, 1906, 48. 

LudwJK Bottzmann (li-44— 1906). [84 

NatarwiH. Randschia 31, 19(K, E£I^a.U, 



(A. L 

Ernetto Cesiro (1859-1906). 

Mathoais Cj. !»>% a)l-SK. 

tialpb Coperand (1837—1905). 

Kkture 73. ItMfi, 3-i. 



[SS 



Naturwira. Kandscbau 21, 19Dd. 413-tIS 
iF. KiiBiii) 
tViedrich Hnltsch (IB33— 1906) [Se 

Bericht über die 19Ufi abKchalUne JakXB- 
versammlung drs «4ch«ischen OjrinnisW* 
lebrervereina (Laipäg ISOtt), 94— 3S. 

Charles Jasper loly (lSf!4— 19061 [i'l 

Naton 73, IdW, 3}»-Z74. 
Samuel Pierpont Langley (1834—1906) [90 
N'alur« T3. I9üi<, 443-444. 

GaBtoo de Longchainpi (1842—1906) [91 

MalbeaU Ai, 1906, KU. 

Gabriel OllTBMare (1816—1906), [92 

L'xaaeiRneineDl uiatb^m. S. 19DG. 'Si9—«2. 

(tl. FXRX ) 

JoBef petival (1807—1891). [n 

Arcb. der Halbem, II], IMG. 115. 

Otto Stoli (1842-1905). [Jl 

GaceU d< matem. 4, IMG, 92. 

Joseph de Tllly (1837—1906). [% 

Bnatlita, Sofi.soient., Revne dei qnest. iclCBL 

lUj, iBi«, asa-aei + Fonriit. iP. Mj.Mtn..i 

— Hatheaüi ö,, 1906, 261. 

Robort TBCkeP (1832—1905). [96 

Loiiilan. MHtbera, na.. Prooeedlngs 1,. OOb. 
Xll-:tX. IH.J.H Hti.i..) 

Walter Friedrich WIelIcenus (1859- 190.^1 

Nalore 73, 190ä. 57-SS. (9" 

fj Aktuelle PraKfli). 
Enqaele sur la mfthode de trsrail Jm 
math^maticiens. V. [98 

L'enaeiimemeBt nutb^ni. H, 1906. 333— SIO; 

aa»-ae5 w, lohuj. 
EDestrOm, 6., Cber Bearbeitnng tod 
BaDdre^iBtem zu malhema tischen Zeit- 
Bchrifteu oder Sa mmel werken. [99 

Biblioth. Mathem. 7,, 1906, IKt— 202. 
Dalwigk, F. T., I)eiträ(;e lur Frsge dei 
Unterrichts in angewandter Uathematik 
an der Cniveraität. [100 

Uenlache Hntbeni.-'VerdD.. Jahreabnr. IS, 
lUOe, »49—176. 
Djrck, If. von, Die uaturwiBBenachaft- 
licbe Hochschnlbilduiig, [IUI 

Die Kultur der OeseuTaii, brrauBg. tob f. 
HiisKBKEO l;l. 1306.312-346. 
Appell, P., L'enBeignement scientifiqn« 
B, l'universit^ de Paria. [102 

L'enseieiiADieDt malbem. S. 1906, Xii-iÜ. 

[Deutliche Mathematiker-VersaminluDg in 
Stuttgart 1906] [103 

DeuUche Mathem. ■ Verein. , Jahrpsbir. 15, 
I1I06, .S27-äaä. — NaCurwtM. RDodKbad 21, 
1906. 576-S78. (E, Wöli 




Duscbnltlicbu l.'brüuik. 



Wissenschaftliclie Chronik. 



ErDennnDgen. 
L. D. Akkü in Columbia zum 
Pi«reaBor der Hatbematik aa der Uui- 
versität vou MtBBouri daaelbat. 

— C. Bouhi.b;t in pBjia zum Profeaflor 
der dantellendoD Geometrie am „Conger- 
vatoire dee orts et m^Lie»' in Paris. 

— P, P. BovD zum Professor der Mathe- 
matik am Hanover College, Indiana. 

— Profeaflor K, W. Bhown in Haverfotd 
■um Professor der Mathematik an der 
„Tale universilj' in New Ha^en. 

— Miß JUiiKT, CmsK Kum Professor der 
Ph;aik am „Mount Uolyoke College" in 
South Hadley, Mass, 

— „Inetructor' H. L. Coah in Urbana znio 
Professor der Mathematik am „Marietta 
colie^" in Marietta, Ohio. 

— Dr. H. L- CouKK in Cambridge (Eng- 
laudl tom Professor der Physik an der 
Universität in Princeton. 

— Privatdozent I. FaEiiaoLM in Stock- 
holm zum Professor der Mechanik und 
mathematiechen Physik an der Universität 
daselbst. 

— Privatdozent T, Oodlewski in Lera- 
berif zum Professor der Physik an der 
T«cb nie eben Hochschule daselbst. 

— Dr. C. G. GaovB zum Professor der 
Mathematik am pllamütoti oolloge" in 
ainton, N- Y. 

— Privatdozent J. Ghünwau) in Wien 
mm Professor der Mathematik an der 
deuteeben Universität in Prag. 

-- Dr. GiiTTOH in Nancy «um Professor 
dor Physik au der Univaraität daselbst. 

■ — Professor (!. B. Halbtei« in Gambier 
^Um Professor der Mathematik an der 
> State normal scbool of Colorailo' in 



— Dr. J. IvKv zum Professor der Mathe- 
matik und Astronomie an der „Tulane 
.i.henit,-. 

— Privatdozent A. EitnLiLiiNi: in Heidel- 
berg zum Professor der Physik an der 
Techuiacben Hochschule in Danzig. 

— Professor G. LANusDiaio in Breslau 
zum Professor der Mathematik an der 



sität 



I Kiel. 



— Privatdozent H. Machk in Wien zum 
Professor der Eiporimentalpbjsik an der 
Cniversitat in Innsbruck. 

— Professor Tu. E. McKihnkv in Marietta 
zum Professor der Mathematik au der 
„Weslejan university". 

— .Instructor" B, MAciNüiT an der 
„Lebigh university" lum Professor der 
Physik daselbst. 

— H, D, MiHuiiiM in Rocheater znm Pro- 
fessor der Physik daselbst. 

— J, MiiR in Glasgow zum Professor 
der Physik am .Technical College' daselbst. 

— W, J. Nkwi-ot zum Professor der 
Mathematik und Philosophie am „Am- 
borst College'. 

— „Instructor" J. H. Oobuhn an der 
.Lehigh uniTersity' zum Professor der 
Mathematik und Astronomie daselbst. 

— Professor H. ÜKiHitNiin in Berlin zum 
Professor der Mechanik au der Technischen 
Hochschule in Aachen, 

— Dr. 0, W. BicHABDfloN in Cambridge 
(England) znm Professor der Physik an 
der Universität in Friuceton, 



— Dr J, T. RooD ZI 
Mathematik am „Un 
Collegerille, Pa. 

— Professor H. Khub 
Professor der Physik i 
daselbst 



Professor der 
M College" in 



31H 



WiascusühafUicLe Obionik. 



— Profsssor W, H. Salmon zum ProfesHOr 
d« I'hjsik an der UniTprsität von New 
BniBswick. 

— ProfesBor ß, SfurrFERs in DannBtodt 
zum Profe«iar der -MatbemBitik ao der 
TecbniEchen Hochscbute in Beriin, 

— ProfBBBOr H. Schönk in Königsberg, 
UerBDHgeber der EEuoNechen , Metrieft* 
juiD ProfeeBOT der klBBsischen Pliilologie 
an der Univereit&t in Basel. 

— PrivfttdoEenl W. Seitk in Würzburg 
zum Dozenten der Physik an der Tonh- 
nischen Hocbscbule in Aachen, 

^ ProfeBBor A. Somuebfeld in Aachen 
zum PiofesBDi der Pbjsik an der Uui- 
Teraität in München, 

— Professor J. Stein in Katwijk (HoUand) 
EDm Obserratoi an der Vatikanischen 
Sternwarte in Rom. 

— Prol'eiBor Fk. Stbeistk in Graz inm 
Professor der Physik an der TechniBChen 
Hochschule daselbst. 

— J. M, TncimiTü-i zum ProlesBor der 
Mathematik au der Tniversität tod West- 
Virginia, 

— Professor A. Teowdbiiioe au der Üni- 
Tersilät von Wisconsin zum ProfeBsor der 
mathematischen Physik an der Univei'sit&t 
in Prineeton. 

— Professor H. ür Viues in Delft zum 
Professor der Mathematik au der Cni- 
Tersität in AmBteriiam. 

— Professor R. WAinsMiTTi in Berlin 
z\xta ProfeBBor der EiperimentalphyBik an 
der Borgakademie dasei bst. 

— Miß M H, WiLnuii-QK luin Professor 
der Mathematik und Physik am .Wells 
College" in Aurora. N, V. 

— Priratdozent K. Webeb in Heidelberg 
zum Professor der Physik an der Uni- 
versität daselbst. 

— Professor A. Wehbelt in Erlangen 
zum Professor der theoretischen Physik 
an der llBiversität in Berlin. 

— Professor K. Zhiuu-isdv in Prag zum 
Professor der Mathematik an der Tech- 
nischen Hochschole in Wien. 

TodesflUle. 

— DAvrDK Bebbo, früher Professor der 
Maljiemalik an der Universität in Modena, 
geboren 1845(?), gestorben zu Prascati 1906. 

— LvDwia BoLTziuKH, ProfcBBOr der 
Physik an der UniTorBität in Wien, ge- 
boren in Wien den 20, Februar 1844, ge- 



storben KU Duino bei OOrs den 6, Ssp- 
tembor 1906. 

— JosKi-u Fius^ois Bossebt, Astronoffl 
an der Sternwarte in Paris, geboren in 
HInndy den 30. November 1851, gestorben 
den 21, Juni 1906, 

^- Erüesto CEsiito, Professor der Mathe- 
matik an der Universität in Neapel, ge- 
boren inNeapeldenl2. März IS59. gestarben 
in Torre Anuunziata den 1*2. September 1906. 

— P*tL llaiiiE, Professor der Physik 
an der ÜniTersität in Berlin, geboren in 
Bmunachweig den 12, Juli 1863, gestorben 

j in beriin den 5. Juli 1906. 

— TiiüUAa Baerisün, Ertber Professor der 
[ Mathematik an der Universität in New 
' Brunswick, gestorben den IS. September 

1906, 68 Jahre alt. 

— Gabton Auieut Goiiierbe CK Xiu^m- 
cnAHrs, Examinator an der MilitDreohale 
in St, Cjr, geboren in Aleufon den 1 . Man 
1842, gestorben in Paris den S.Juli 1S06. 

— S. N. Mah.i.ar», Professor der Mathe- 
matik an der ^Faculte des sdences* in 
Poitiers, gestorben 1906, 61 Jahre alt 

— Antonlvo Mascabi, Assistent au der 
Sternwart« in Catania, gestorbeu den 18. 
Oktober 1906, 44 Jahre alt. 

— Lldwio MATTnii:sflK», Irüfaer Professor 
der Physik an der Universität in Roatock. 
geboren in Fisaau bei Eutin den 22. Sep- 
UmberlS30,geBtorbendeDl5,0ktoberl9U6. 

— Georges Aktoik« Ravet, Professor der 
Astronomie an der Universität in Bordeaux, 
geboren in Bordeaai den 12. Desember 
tS39, gestorben 1906. 

— Kakl Juhaün K.jiiBAi. Bklmiehti, Pro- 
fessor dar Geodäsie an der Techniachcn 
Hocbschule in Hannover, geboren in Xanten 
(Rheinprov.) den 19. Juni 1859, gesturben 
den 22. August 1906. 

^ JoSErHiJETiT.i.v, Generalleutnant, friiber 
Direktor der ,Ecule militaire' in BrÜBsel, 
geboren iu Ypres den 16. August liiil, g»- 
storben in Schaerbeek den 4. Auguat 1906. 

— Pall Woli^kehl, früher I'rivatdoEont 
der Mathematik an der Teohniscben Hoch- 
Bchule in Dannstadt, geboren in Daim- 
Btadt den 30. Juni 1S56, gestorben den 
13- September 1906. 

UemnSchst «rscbelneode matbemaUach- 
lltcrarlsch« Werke. 

— Eine zweite, wesentlich erweiterte Auf- 
lage der Arbeit des Herrn R. GruuBÄm: 



WiaseDBcbuftlicIie Chriinik, 



319 



,Lm nkthämBtiques en FortugHl', Hören 
erste Auflage im Jahre 1900 erschien, ist 
jetzt unter der Freiae, und etwa 20 Uog'en 
sind schon gedruckt. 

— Der Druck der „Einfübning in die 
matbematieehe Literatur" des Herrn Felix 
MfiLLKH (Tgl, Biblioth. Mathem. 5a, 
1904, S. 94—95) hat jetzt begonnen, 

HalhematlscIi-hlHtorisL'he Arbeiten 
In Torbereitimy. 

— Der noch auBstelieude Uand (Ueachicht« 
der Physik) der Sammlung Geschichte drr 

I WissensiAüften in Deutschland, mit deeeec 
Abfassung zuerst O. Kaiuten und daun 
A, H£i.i.En betraut wurde, ist aeit einiger 
Zeit yom Professur E. Geri^vi> in Klaus- 
thal in Angriff genommen und wird Tor- 
aussichtiicli bis Ostern 1909 druckfertig 
vorliegen, 

Vorlesungen Über ßeschiclitn dei- 
nifttheniatlBchen Wlssensc haften. 

— An der CniTersitäl in Berlin hat Pro- 
fessor W, FCasTfoi für das Wintersemester 
1906—1907 eine aweistüudige Vorlesung 
Über Geschichte der mittelalterlichen Astro- 
nomie ui gekündigt, 

— An der Universität in Greifawald hat 
Privatdnzent Bkru für das Wintersemestoi 
1906— 1907 eine Vorlesung über GoBchichto 
der neueren Physik angekündigt, 

— An der Technischen Hochschule in 
Darmstadt hat Professor ¥. Gkaefe für 
das Wintersemester 1806—1907 eine Vor- 
lesung über Geschiebte der Mathematik 
angekündigt. 

— An der Universität in Königsberg bat 
PriTfttdoient Schuhit für das Winter- 
Bemester 1906 — 190T eine Vorlesung über 
Die großen Physiker und ihre Leistungen 
angekündigt. 

^ An der Universilit in Neapel hat 
Professor F. Auui.e'> für das Winter- 
•emester 1906—1907 eine vierstündige 
Vorlesung über Geschichte der Matho- 
iBstilE 1200— ISOO angekündigt. 

— An der Universität in Fadua bat 
Profesior A, Favabo für das Wintersemester 
1906—1907 eine dreistündige Vorlesung 
CÜtei Geschichte der italionischen Matha- 

^^^^^k im 16. Jahrhundert angekündigt. 
^^^^fcAn der Universität in Straßburg bat 
^^^^Kuor M, SiHiiN für das Winterseincsler 



I 1906—1907 eine aweistündige Vorlesung 
' über Geschiebte der Mathematik im Alter- 
tum in Verbindung mit Kulturgeschichte 
I angekündigt. 

Gekrtinte Prehschrirten. 

— Die preußische Akademie der Wissen- 
schaften in Berlin hat Herrn F. Mekiens 
in Wien einen Preis für sein Werk über 
zyklische Gleichungen zuerkannt. 

Preisfragen gelehrter Gesellscbaften. 

— Acadiviie de Selyiq'it ä Sriixelles 
Entre les elements de dem formes du 
aocoud ordre (deux systt^mes plans non 
superiioscs, un sjet^me plan et une gerbe, 

[ deux gerboa de aommets diSerents), on 
ätablit une correspondance quadratique 
(.Verwandtschaft xweiteu Grades' dans lo 
Bens de Heye, Geometrie der Lage, vol. II, 
ohap. XXll), Studier lea aystömes d'eb'- 
nients qu'on däduit par jonctiou ou par 
intersection des couples d'elements bomo- 
loguea des deux formes du aecund ordre. 

Hstfaematlker-Ters&mmluiigen Im 
Jnhre l»Oe. 

— Deutsche Malhemntiker-Vfreinigiing. 
Die Jahresveraammluug 1906 der Deutsehen 
Mathematik er- Vereinigung fand zn Stutt- 
gart 16. — 20. September statt. Vorträge 
wurden von den Herren 0. Blühknthal, 
A. PüiNiiauKiM, G, Fakeh. O. PEnnos, F. 
Uabtogs, P. Stäckkl, D. Hildeiit, E. Eild, 
H. Kbaiisk, P, Kokbk. W. Fb. Mevki., P. 

SCBAFBBITI.ni, A. S<.'I1ÖHFLIE5, 0. HeSSEN- 

iieko, G. Lahdsbbbo, K. Ruun, C, Juki., 

Tr. Scumn. II. MüLLEfl, H. WlENEB, C. 

RuHOB, B. Mkuuke, A.Waiiknhanm gehalten. 
Zwei Mitglieder der Vereinigung wurden 
beauftragt, mit der GOttinger Universitäts- 
bibliothek zu verhandeln, ob und unter 
welchen Bedingungen die Bibliothek be- 
reit wäre, Manuskripte und Briefe ver- 
storbener Mathematiker, welche ihr von 
der Deutschen Mathematiker- Vereinigung 
übergeben werden, aufzubewahren. Es 
wurde femer beschlossen, auf der nächsten 
Jahresversammlung eine Sitzung dem An- 
denken Eixins XU widmen. 

^ Miiihrmalic.1 ot Ihe Briliih nsKOcialiim 
t'JOG. l'he British agaocintion for tbe od- 
vaneement of suience mct nt York 1906, 
August S: the malheinationl Session was 



320 



WissenschafÜiohe Chronik. 



held under the presidency of Mr. E. H. 
Griffiths. Mathematical papers were read 
bj 0. Hknrici, A. C. Dixon, A. Gunnino- 

HAM, A. R. FORSYTH, P. A. MaC MaHON, 

H. HiLTON, T. J. Va Bromwick, A. R. 
RicHARDsoN and A. Lodoe. 

YemiisGlites. 

— Vhistoire des maihematiques et Ten- 
seignemetit secondaire en France. Les 
modifications apport^s an plan d^^tudes 



des Ijc^s et Colleges dA 
1902 (arret^ des 27, 88 
tembre 1905) contiemiiBl 
coQseil suivant k propo« dt Vi 
mathdmatiqne: 11 ert 
maitre d*introduiie dam 
quelques notions 
pourra parier de la m^ttiod» 
chez les anciens (EdüudBi 
donner quelques d^tuls . i 
du calcul diffdrenüel et 



r.. 



"x 



VeritQ »an B. e.TEUBHER (n LEIP2I8. 



Henri Poincap^i 



I 



Wissenschaft und Hypothese. 



AuUnitiorte denlscbe AuigKbo niit crtftDtomdeD ADiu»rlniii(;i 
viin F. imd L UndSnUlD ü< UUniiliiiii. 

,1... VMrl-^.-crtfl Aun«(f«, [VI (t. nie :-M " \'A<n h. L.ii.v. ui.t -r 





er feiert der Wissenschaft. 

£. Wtiliör. 





Die philosophisclwn Grundlagen der Wissenschaflen. 

VorlesiiBgaD geliftUen an der UoivemiUit Berlin 
von 

Prorasaor Dr. B. Wetnitein. 

[XIV a. M> R.l w lOOS In teicwnud c^b 1 Mnk. 




Verlag von B. 8. TEUBNER in LEIPZI& 



Abhandlungon 2ur ßöftchrchto der mathnniatiBchen WinaRBOhaflen 

mit Etnaciilufl liirer Anwendungen. Bugriindet von Moritz Caator. 

XXII. HefL 

Briefwechsel 
zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jac 



i 



Dr.W.Ahrtos 



JUtlBUdulMOL [XXa.anB.] gr.U. IMT. s«lt.U( «M, loL«lii*ulfli 

UnlnMiUiltt SanM itt •nun -■. ' 
■üb Mih ^tm hih>nHt« KmI«»'>. 

«rrKh» iheHkhr MI«»B, a«rf J. 



M.U_Jh<>»J, t 



C. G. J. Jacobi als Politiker. 

Ein Bultraj) zu «ttlnsr BJograjihl«. 
Von Dr. W. Ahrens 



Mathematische Annalen. 

HeraiMgegtlian von f. Kitin, Mf. v. Dyok, D. Hliborl, 0. BlunenUi 

Neudruck der vergriffenen Bände. 

Dur(A anattatischen NeiKtruck der seither vergritT« 

Bände 3, 4, 5, 6, 7, 31, 32, 33, 50, 51. 52, 53, bin 16*1 

wieder In der Lage komplette Serien liefern ;u können. 

Der Elnzelpralt für diese Bände beträgt je 28 Mark. 

Lelpiig. B. 6. Teubner.l 



Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG. 



FRANZ NEUMANNS 

GESAMMELTE WERKE. 

Honuitgt^abaQ run iwiam SfiliSI&ni. 
IL Bind. 

Ut iliBliB !!s .c Ui'tlu/niTillv 



VerlBg Ton 1!. i).TKi:iiNEK in LEIPZIG. 



Qiitt Loria: 

Spezielle algebraische und transzend 
ebene Kurven. 

Tlioitritt iinii (Jnncbirthte. 

Alllanlneit«, Ktch änt itAllntllili"!. Mi.ljui.l.üiir t-«(i .iuntrrli- A 




BIBUOTB£OA KATHEHATICA. 

, SSITSCHHtFT ftm ÖBSCBICHTB DIB »ATE BK AI 13 CHX» VISSBRBCHAnq 
PRIMI t*u*ia. 

BtJwmgtBBtuiB von 0. EnwIHlBi Is BtockboliB, QreftuMfmtaa 77^ 
Dnici nnd Vedud nm B. 6. Tenbaer in LeipiiK, PcxtotnBa % 



r AU* OrOlm Badakllur 



adat Ml dJa V<rl>**buuliii>' 



11 B*sdiu>(*n rSrt44^ MAainkrfpto. lUniiii 
"'"ru*(*b^ dar BlbUDthAoa **-"■——■■ 

L ij««oict 1>1 



a cvtiamiM, ■« <lan Bnnt«Iln&v>ir i 

■l^ Jadar Itoail dar DthUnÜinoa MathamaUa« luofB"' 
" ^ »alt auiitidui ulirK aln Sand ■»apw*b«a wanlvii 
D Bo«MUa&aKi an. 



1 
I 




J L. HtiKkK.^ uijJ H. G. Zeih 



e Schrift üoe Aruliimeiiee. 



Eine neue Schrift des Archimedes. 

Von J. h. HEiBEiin und H. G. Zeithen in KfibentavD. 

Im vorigen Sommer habe ich im Metochion (in Konatantinopel) deB 
Klosters des h, Grabes in Jerusalem eine Himdaehrift untersucht, die unter 
einem Rucbologion des 13. Jahrhunderts Schriften des Ahchimeden ent- 
liält in Bchüner Minuekel dee lü. Jahrhunderts, die nur abgewaschen, nicht 
ausradiert, und mit der Lujie einigermaßen lesbar ist. 

Die Hb. do. 3Ö5, 4'", aus dem Kloster des h. Sabba bei Jerusalem 
stammend, ist bescbriebei) von PAPAiirii'fi.os Keüameus, ' IeqoOoAv/iitiki) 
ßtßJUodtjKtj, IV Ö. 329.') der eine Probe der unteren Schrift gibt; daraus 
war es mir sofort ersiehtlich. daß der alte Text äkciiimeues ist. Es sind 
in der Hb. große Stücke von JIcq/ iÄbujij' und IIeqI aipaigag nai 
KvXivdi)ov erhalten, kleinere von 'EmneÖLiv /aoggrmiui und KitkAou 
/itV^iyrtfi,-, die ich verglichen habe und für eine in AngriiT genommene 
Neubearbeitung der Werke des ÄRCiimEnEü verwerten werde; der Ertrag 
ist übrigens nicht groß. Wichtiger ist es schon, daß die Hs den griechischen 
Text von Uc^ii dyot'/w.Vtoi' fast vollständig enthält, wovon man bisher nur 
die lateinische Übersetzung Wii.liEUis von Moekhek besaß;^) ihre vielen 
Lücken und schweren VerderbniBSc lassen sich jetzt vollständig heilen. 
Aaßerdem findet eich der Anfang einer Abhandlung über das tnofiäj^ov, 
wovon SiTER (Abhaadl ■/.. Gesch. der Mathem, 9, 1H99,S, 4113— 499) ein 
Hnderes, nur arabisch erhaltenes Kruchstück veröffentlicht hat; es ist der 
„loculus Archimedius". eine Art „chinesischen Spiels". ■*) 

Bei weitem die wichtigste Bereicherung, die uns durch die Ha. auteil 
wird, ist aber ein großes Stück einer Schrift mit dem Titel: 'ÄQj^ifii/iöoog 
jofii T&v /iij^tviKCti' ÜBMQrjfmnov irgög 'Egaroodh^jv itpodog Es ist das 

1} Hiemii' loachte mich Prof B. Sciiöme aufmerkBaiD. 

2) DaS ilfts i^rierbiocbe Prai^nieDt Ah<'hihbiiik fljiera 11, S. 356— 35ti unecht igt, hn- 
rtitigt aicb jetzt 

9) Durch deu ^{ciechi Beben Titel erledigt «ich die Erklärung Sliehs von dem 
arabJBcbeD i(i)toniftBchiun. Sio/täx^oi' bedentot nach einer EcharrsinnigeQ V'mmiituDg 
meine« Koliei;eii A.n. UtiiiuuAiiii; Nock^^pio! (worüber m*DBicb Ärgert); vetgl. Btomacbari, 

Blbliothau UUhduftUoft. UI. FolE*. Vit. 21 



k 



322 



.1. L. Ubl 



laA H. G. Zeitue.1. 



'EtfodiKftv, fias TilEODOSios koiumeDtieit hatte und Hekos mehi 
zitiert (MeTQiKd ed. Schöne S. 80, 17; 84, 11; 130, 15, 25). 'la im 
Satz über dea Flöclieiiiiihalt eines ParabelsegmentE, den Heron zitiert, ist 
nur der mechaniHche Beweis erhalten, der versprochene geometrische (der- 
selbe als in der erhaltenen Quadratiira parabolne) ist mit dem Schluß des 
Werks verloren gegangen. Dasselbe Schicksal hat den von Hekos S. 130, ?ö 
itngeftihrten Satz betroffen, woron keine Spur erhalten ist. Dagegen Ist 
von den Beweisen für den anderen von Heron erwähnten Satz (vom 
Rauminhalt eines (.jlinderhufs) so viel erhalten, daß eine vollständige 
Herstellung inhaltlich möglich ist Überhaupt sind die noch Sbrigen 
Lücken im erhaltenen Teil nur selten für den Inhalt von Bedeutung. Im 
iihrigen lasse ich die Schrift für sieb selbst sprechen. 

Der hergestellte griechische Teit mit mehr philologischem CommenUr 
wird im nüchsten Heft des Hermes erscheinen. Hier lege ich den Mathe- 
tnutikern eine genaue Übersetzung vor. Was icli ergänzt habe, 
in [ ]; inhaltlich absolut sichere Ergänsungeo sind nicht bezeichnet, 
offenbare Schreibfehler habe ich stillschweigend berichtigt. 

J. L. Hkiiierg. 



1 



Des Abcbiuedes Methodenlehre von den mechanischen Lehraäti 

an Ekaxosthenes. 

ÄRriiiHEDES grüßt den Eratostiienes. 

Ich habe dir früher einige der von mir gefundenen Lehrsätzi 
sandt, indem ich nur die Siitze verzeichnete, mit der Aufforderung, 
vorläufig nicht angegebenen Beweise zu finden. Die Sätze der dir 
geschickten Theoreme waren folgende: 

1. Wenn in ein recbtstehendes Prisma mit einem Parallelogrami 
als Grundfläche eiu Zylinder eingeschrieben wird, der die Grondflächen in 
den gegenstehendea Parallelogrammen') hat, die Seitenlinien aber auf den 
übrigen Ebenen des Prismas, und durch den Mittelpunkt des Kreises^ äer 
Grundfläche d^s Zylinders Ist, und einer Seite des in der gegensteh enden 
Ebene gelegenen Quadrats eine Ebene gelegt wird, so wird diese Ebene 
vom Zylinder ein Stück abschneiden, das begrenzt wird durch zwei 
Ebenen, die schneidende und die. worin die Grundfläche des Zylinders 
liegt, und durch die zwischen den genannten Ebenen liegende Zylindi 
fläche, und das abgeschnittene Stück des Zyhnders ist '/« des 
PriBmae, 



i 



1) Muß helBeB^ Quadrat. 



Scbi'il't de« Archiuiedei. 



323 



2, Wenn in einen Würfel ein Zylinder eingeachrioben wird, der die 
Oruodäächen in den gegen steh enden Parallelogrammen') hat und mit der 
Zylinderfläche die übrigen vier Ebenen berührt, und femer ia denselben 
Würfel ein zweiter Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in 
zwei anderen Parallelogrammen ') hat und mit der Zylinderfläche die vier 
übrigen Ebenen berührt, so wird der von den Zylinder flächen eingeschlossene 
Körper, der in beiden Zylindern enthalten ist, '/s des ganzen Würfels sein. 
Diese Lehrsätze sind von den früher mitgeteilten wesentlich ver- 
schieden; jene Körper nämlich, die Konoiden und Sphäroiden und ihre 
Hegmente, verglichen wir mit dem Rauminhalt von Kegeln und Zylindern, 
aber keiner derselben wurde einem von Ebenen umschlossenen Körper 
gleich gefunden; von diesen Körpern dagegen, die von zwei Ebenen und 
Zylinder flächen umachlosBen sind, wird jeder einem der von Ebenen um- 
BCbloBsenen Körper gleich gefunden. Die Beweise dieser Lehrsätze schicke 
ich dir also in diesem Buche. 

Da ich aber, wie ich schon früher sagte, sehe, daS du ein tüchtiger 
Gelehrter bist und nicht nur ein hervorragender Lehrer der Philosophie, 
sondern auch ein Bewunderer [mathematischer b'orschung], so habe ich 
für gut befunden dir auseinanderzusetzen und in dieses selbe Buch nieder- 
zulegen eine eigentümliche Methode, wodurch dir die Möglichkeit geboten 
werden wird, eine Anleitung herzunehmen um einige mathematische Fragen 
durch die Mechanik zu untersuchen. Und dies ist nach meiner Über- 
zeugung ebenso nützlich auch um die Lehrsätze selbst zu beweisen; denn 
manches, was mir vorher durch die Mechanik klar geworden, wurde nach- 
her bewiesen durch die Geometrie, weil die Behandlung durch jene Methode 
noch nicht durch Beweis begründet war; es ist nämlich leichter, wenn 
man durch diese Methode vorher eine Vorstellung von den Fragen ge- 
wonnen hat, den Beweis herzustellen als ihn ohne eine vorläufige Vor- 
stellung zu erfinden. 8o wird man auch an den bekannten Lehrsätzen, 
deren Beweis EiiKixos zuerst gefunden hat, nämlich von dem Kegel und 
der Pyramide, daß sie '/a sind, der Kegel des Zylinders und die Pyramide 
dsB Prismas, die dieselbe Grundfläche und gleiche Höhe haben, dem 
Dehokritos einen nicht geringen Anteil zuerkennen, der zuerst von dem 
erwähnten Körper den AuBBi)ruch getan hat ohne Beweis. Wir sind aber 
in der Lage auch den Jetzt zu verötfentl ich enden Lehrsatz |in derselben 
Weise] früher gefunden 7,u haben und fühlen uns jetzt genötigt, die 
Methode bekannt zu machen, teils weil wir früher davon gesprochen 
haben, damit niemand glaube, wir hätten ein leeres Gerede verbreitet, teils 
in der t berzeugung, dadurch nicht geringen Nutzen für die Mathematik 



ij UuB heieou «Juailiat. 



324 



J. L. I 



za stiften; ich nehme nämlich an, daß jemand von den jetzigen cM^H 
künftigen Forschem durch die hier dargelegte Methode aoeh andere l4^^| 
sutze finden wird, die uns noch nicht eingefallen sind. ^^| 

Zuerst legen wir nun das dar, was uns auch zuerst klar geworä^^ 
durch die Mechanik, daß ein Parabel segment */j ist des Dreiecks, das die- 
selbe Grniidfläche und gleiche Höhe hat, darauf aber der Iteihe nach die 
einzelnen durch die genannte Methode gefundenen Lehrsätze; und am 
Schluß des Buchea legen wir dar die geometrischen [Beweise der genannten 
Lehrsätze] j Voraus schicken wir folgende Satze, die wir be- 
nutzen werden:] 

1 Wenn tou [einer Größe eine andere Größe weggenommen wird, 
die nicht denselben Schwerpunkt hat, findet man den Schwerpunkt des 
Rests, wenn mau die Gerade, welche die Schwerpunkte des ganzen und 
des weggenommenen Teils verbindet, nach der Seite hin, wo der Schwer- 
punkt des ganzen liegt,] verlängert und auf ihr eine Gerade absetzt, die 
zur Geraden zwischen den genannten Schwerpunkten sich verhält wie das 
Gewicht der weggenommenen Größe zum Gewicht des Kests [De plaii- 
aeqitil. 1 8|. 

2. Wenn die Schwerpunkte einer beliebigen Anzahl von Größen auf 
derselben Geraden liegen, wird auch der Schwerpunkt der aus allen zu- 
sammengesetzten Größe auf derselben Geraden liegen [vergl. ih. I. 5}. 

3. Der Schwerpunkt einer Geraden ist der Mittelpunkt der Ger« 
[vergL ib. I 4], 

4. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, worin die von den 
VVinkelspitzen des Dreiecks v.u den Mittelpunkten der Seiten gezogenen 
Geraden sich schneiden [ih. I 14). • 

5. Der Schwerpunkt eines Parallelogramms ist der Punkt, worin die 
Diagonale sich treffen [ib. 1 10]. 

Ö. Der Schwerpunkt [eines Kreises] ist der Mittelpunkt [des Kreises]. 

7. Der Schwer[punkt eines Zylinders ist der Mittelpunkt der Achse. 

8. Der Schwerpunkt eines Kegels teilt dessen Achse so, daß das Stück 
am Scheitelpunkt] dreimal so groß [ist als das Stück an der Gmndfläche]- 

[Dies alles ist schon früher] veröfi'entlicht. [Außerdem beantze ich 
noch den folgenden Satz, der leicht zu beweisen ist:| 

[Wenn in zwei Reihen von Größen die der ersteren Reihe paarweise 
der Ordnimg nach mit denen der zweiten proportional sind, ferner] die 
Größen [der ersteren Reihe |, entweder alle oder einige von ihnen, [zw 
denen einer dritten Reihe] in einem beliebigen Verhältnis stehen, und die 
der zweiten zu den entsprechenden [einer vierten Reihe] in demselben 
Verhältnis, so steht die Summe der Größen der ersteren Reihe zu 
Summe der aus der dritten Reihe genommenen in demselben Verhall 



F.iat oeue ScliriPt dea Archimedeg. ^5 

f die Snmiiie derjenigen der zweiten Reihe zu der Summe der uns der 
■vierten Reihe genommenen [De conoid. 1], 

1. 
Eb sei [Fig. !( ȧy ein Farabeleegment umachlossen von der Geraden 
fcy und der Parabel %ßy. xy sei in <^ halbiert, ößc dem Dnrchmeaser 
parallel, and es seien «ß, ßy 
gezogen. Dann wird das Seg- 
oLßy *J3 des Dreiecks 
fßy sein. 

Man ziehe von den Pnnkten 

^y «f U öße und die Tangente 

I verlängere \y ß nach k und 

tache 1(0 = ;' k\. Man denke 

' ida eine Wagestange 

feit dem Mittelpunkt k. und ft^ 

i eine beliebige Gerade 1| f (V 

Da nun yß« eine Piirabel ist, 

y S eine Tangente und ;' d 

^eiae Ordinate, so ist €ß=*ß{i; 




Fig. 1. 



IM wird nämlich in den Elementen bewiesen {d.h. der Kegelschnittlehre, 
rgl. Qttadr. parah. 2J. Aus diesem Grunde und weil i« und n§ \ eA, 
auch ßv = j-c, .C = "«• Dnd weil j'a : x^ ^ /*^ : fo (dies 
rd nämlich in einem Hilfssatz bewiesen |vergl. Quadr. parah. 5]), 
: -.aig = yx: ttv. und yx = ki?, bo ist Ök : KV = /t^ : ^o. Und weil i" 
hwerpunkt der Geraden fi^ ist, da fit' = v^, so wird, wenn wir rtj 
"=> ^o setzen und ff als deren Schwerpunkt, so daU tO = öi/, die Gerade 
TÖi; in Gleichgewicht sein mit /i^ an der Stelle, wo sie ist, weil /fy in 
umgekehrtem Verhältnis geteilt ist zu den Gewichten r»/ und /t^ und Ök : xv 
^ /j^ : tjT; also ist k Schwerjiunkt des aus beiden zusammengenetztnn U»* 
Wichte. Ebenso werden alle Geraden, die im Dreieck C"/ | ' ^ gezogen 
werden, an der Stelle, wo sie sind, in Gleichgewicht sein mit ihren durch 
die Parabel abgeschnittenen Teilen, wenn diese nach i> versetzt werden, 
so daß K Schwerpunkt ist des aus beiden zuBammeugesetüten Gewicht!. 
Und weil aus den Geraden im Dreieck y^x das Dreieck y,^x besteht and 
aus den im Parabelsegment der <ieraden ^o entsprechend genommenen du 
Segment aßy, so wird das Dreieck ^xy an der Stelle, wo i-n ist, im 
Punkte K in Gleichgewicht Bein mit dem ParabelBegment, wenn dit» noch 
d als Schwerpunkt versetzt wird, so da& k Schwerpunkt ist des aus beiden 
lammengesetzten Gewichts. Nun »ei yx in ;>' so ;;eteilt, duB yx ■=- 3 x^; 



^^^■Uammenge 



diinn wird '/_ Sflliwerpunkt des Dreiecks a,Cj' aein; ilemi i 
Gleiohgewicbtslehre bcwiPsen (vergl De plan. iieiiuH. I Ifi p 186, 3 mit 
EuTOKins S. 320, r)ff.|. Nun ist das Dreieck ,C«;' an der Stelle, wo es 
ist, im Puntte k in Oleiehgewicht mit dem Segment ßat}', wenn dies naeli 
i) als Schwerpunkt versetzt wird, und Schwerpunkt des Dreiecks ^ay ist^; 
also ist A «.Cj' - Segm. vfiy na^-h if als Schwerpunkt versetj'.t = 9k 
Eb ist aber ök ^ 3 k^; also auch -ä «.C;* = 3 Segm. xßy. Es ist 
anch -Li C*^ = 4 (li «^ßy, weil ,s»f = k« und afl = A/: also ist 

«ßy^ *li A "ßy. Dies wird klar werden 

Dies ist nun zwar nicht bewiesen durch das hier Gesagt*; es deutet 
»her darauf hin, daß das Ergebnis richtig ist. Da wir nun sahf^o, daß es 
Dicht bewiesen ist, aber vermuteten, daß das Ergebnis richtig sei. so haben 
wir selbst einen geometrischen Beweis ersonnen, den wir schon friil 
veröffentlicht haben und auch unten anbringen werden. 




habMi^^H 
rrÜlM^H 

IS der 

thalV 
eth<4M 

Kugi^H 



Daß die Kugel viermal so groß ist als ein Kegel, ilessen linuidHäf 
dem größten Kreis der Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Radius der 
Kugel, und daß ein Zylinder, dessen firundfläche dem größten Kreis der 
Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Durchmesser des Kreises, anderthalV_ 
mal so groß ist als die Kugel, läßt sich durch die genannte jUetho< 
folgendermaßen einsehen. 

Ea sei fFig 2] eine Ki 
deren größter Kreis eußyÖ, zwei 
auf einander senkrecht« Durch- 
messer »y, ßö; es sei in der Kugel 
um den Durchmesser ßd ein Kreis 
senkrecht auf den Kreis xftyd, 
und auf diesem senkrechten Kreis 
sei ein Kegel errichtet, dessen 
Scheitelpunkt ot, und nachdem 
dessen Mantel verlängert ist. sei 
der Kegel durch y von einer der 
lirundääche parallelen Ebene ge- 
'i" schnitten; sie wird folglich einen 
auf ay senkrechten Kreis hervor- 
bringen, dessen Durchmesser sei 
Kreis sei ein Zylinder errichtet, dessen Achse ^ xy, die 
Man verlängere;'« und mache %if=ya und denke 
leren Mittelpunkt a; ferner sei eine beliel 



Fig. 2. 

ef. Auf dieei 

Settenlinien eA und 

sich yd als eine Wagestangi 



bigs^H 



Eine d 



e Schrift dee ArchimedeB. 



327 



II Ufflfäde fiV H ßÖ gezogen, aie aehneide den Kreis y.ßyfi in / und o, den Durcli- 
messer %y in a, die Gerade rtc in ;r und 2^ in Q, und auf der Geraden 
fiv sei eine Ebene senkrecht auf o^y errichtet; sie wird also hervorbringen 
als Schnitt in dem Zylinder einen Kreis mit dem Durchmesser /tv, in der 
Kugel a.ßyfi einen Kreis mit dem Durcbmesser §0. in dem Kegel aet; 
einen Kreis mit dem Durchmesser ng. Weil nun ;'* X «0 = /'O X öJr 
(denn ety ^ Oft, na ^ na), und y ^ >:. oto = a^' = ifö- + On*. so ist 
«ö X ö;r = j?ö* -f- ö;rl Femer, weil ya. : xo = fta : (in und ya. = m?, 
so ist ö« : Kö = /lö : ö;r = //0' : /^O X Oti Eb wurde aber bewiesen 
§a* + ört*^ /iö X on; also otö : aa = /lö' : ^0* + an*. Eb ist aber 
fta^ : ^ö' + on* ^ /(v' : f o' + jzq^ = der Kreis in dem Zylinder mit 
dem Durchmesser fiv : der Kreis in dem Kegel, dessen DurchmesBer 
ng, -f- der Kreis in der Kugel, dessen Durchmesser §0, also üt : ^ß ^ der 
Kreis in dem Zylinder : der KreiB in der Kugel + der Kreis in dem Kegel. 
Also wird der Kreis in dem Zylinder an der Stelle, wo er ist, mit den 
beiden Kreisen, deren Durchmesser ^o, ng, wenn aie nach 1) so versetzt 
werden, daß Ö der Schwerpunkt beider ist, im Punkte « in Gleichgewicht 
sein. In derselben Weise kann bewiesen werden, daß, auch wenn eine 
andere Gerade im Parallelogramm t^X J| e^ gezogen wird, und auf ihr eine 
Ebene senkrecht auf a/ errichtet wird, der im Zylinder hervorgebrachte 
Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkt r mit den beiden in der Kugel 
und im Kegel hervorgebrachten Kreisen, wenn sie versetzt und auf der 
Wagestange im Punkt d so angebracht werden, daß ö der Schwerpunkt 
beider ist, in Gleichgewicht sein wird. Wenn also Zylinder, Kugel und 
Kegel von den genommenen Kreisen ausgefüllt werden, so wird der 
Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkt a mit der Kugel und dem 
Kegel zusammen, wenn sie versetzt und auf der Wagestange im Punkt d 
80 angebracht werden, daß der Schwerpunkt beider ist, in Gleieh- 
j^ewicht sein. Da nun die geuEinnten Körper in Gleichgewicht sind, der 
Zylinder mit k als Schwerpunkt, die Kugel und der Kegel versetzt, wie 
gesagt, mit ö als Schwerpunkt, so ist i?z : wk = Zylinder: Kugel + Kegel 
Es ist aber da. = 2 xk. also auch der Zylinder = 2 X (Kugel + KegelV 
Eb ist aber auch der Zylinder = 3 Kegeln lEi^Ki.ii), Eiern. XII K']- also 
3 Kegel = 2 Kegeln + 2 Kugeln. Wenn die 2 Kegel auf beiden Seiten 
abgezogen werden, ist also der Kegel, dessen Achsendreieck «ef, = 2 Kugeln. 
Es ist aber der Kegel, dessen Achsendreieck s'-tf, = 8 Kegeln, deren 
ÄchBendreieck xßd, weil cf :^ 2^(1, also die genannten S Kegel = 2 Kugeln. 
Folglich ist die Kugel, deren größter Kreis oißyö, viermal so groß als der 
Kegel, dessen Scheitelpunkt a, die Grundfläche aber der Kreis um den 

^^^nrchmesser ßd senkrecht auf ixy. 



328 



. Hkikex 



lud H. l 



Durch ß uiitl A ziehe man im l'arallelogramm x.C II aj' ilie Oiradeii 9>/f 
und n'Au) und ßtelle sich einen Zylinder vor, dessen Grundflächen die Kreiae 
um die DurchmeSBer q'y. /fo, die Achse aber ^y. Da nun der Zylinder, 
dessen Achsenparallelogramm ^tu. doppelt so groß ist als der Zylinder, 
dessen Achsen paralfelofn'a mm fpö, und dieser letztere dreimal so groB ist 
als der Kegel, dessen Achsendreieck «/iö. wie in den Elementen bewiesen 
ist (Elklid, E(em. !ül, 10], so ist also der Zyliuder, dessen Achsen- 
parallel ogramm yw, sechsmal so groß als der Kegel, dessen Achsendreieck 
xßft Es wurde aber bewieseu, daß die Kugel, deren größter Kreis xßyd, 
viermal so groß ist als derselbe Kegel; folglich ist der Zylinder ^ j der 
Kngel; was zn beweisen war. 

Durch diesen Lehrsatz, dtiB eine Kugel viermal so groß ist als der 
Kegel, dessen Gruudtläcfae der größte Kreis, die Höhe aber gleich dem 
Radius der Kugel, ist mir der Gedanke gekommen, daß die OberSäche 
einer Kugel viermal so groß ist als ihr größter Kreis, indem ich von der 
Vorstellung ausging, daß, wie ein Kreis einem Dreieck gleich ist, dessen 
Grundlinie die Kreisperipherie, die Höhe aber dem Kndius des Kreises 
gleich, ebenso ist die Kugel einem Kegel gleich, dessen Grundßäche die 
Oberfläche der Kugel, die Höhe aber dem Radius der Kugel gleich. 

m. 

Durch diese Methode läßt sich auch einsehen, daß ein Zylinder, dessen 
Orundtläche dem größten Kreis eines Sphäroids gleich, die Höhe aber der 
Achse des Sphäroids, anderthalbmal so groß ist als das Sphäroid, und 
wenn dies erkannt ist, ist es klar, daß, wenn ein Sphäroid von einer 
Ebene durch den Mittelpunkt senkrecht auf die Achse geschnitten wird, 
so ist die Hälfte des Sphäroide doppelt 
so groß als der Kegel, dessen Gmnd- 
tläche die des Segments ist und die 
Achse dieselbe. 

Es sei nämlich {Fig. 3| ein 
_B Sphäroid von einer Ebene durch die 
Achse geschnitten, und in seiner Ober* 
_j, fläche sei eine Ellipse 3c^/6 entstanden, 
deren Durchmesser <ty. ßö, der Mittel- 
punkt K, und es sei im Sphäroid ein 
Kreis um den Durchmesser ßö senk- 
recht auf ay^ femer stelle man sich 
einen Kegel vor, dessen Grondfiäche 
„. „ der genannte Kreis, der Scheitelpunkt 



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e f^cUrift >Iea Arcbimede« 



329 



■* werd 
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^^* iBmiB 



nnJ na^bdeiii soiii Maut^l verlüug«rt ist., sei der Kegel von einpr 
Ebene durch j' der Grundfläche piimllel geBchniiten; der Schnitt wird also 
Kreis sein senkrecht auf x}' mit c^ als DurdiineaBer; femer denke 
tnan sich einen Zylinder, dessen Grundfläche derselbe Kreis mit dem Üurch- 
'Inesser f,C, die Achse aber a;*; es sei ;•« verlängert und ad = ya; 
^y denke man sich als Wagestange mit dem Mittelpunkt « und ziehe in 
dem Paralielogramm X^ eine Gerade fiv || f,C, und auf /'»' 8«i eine Ebene 
errichtet senkrecht auf tty; sie wird also als Schnitt in dem Zylinder einen 
Kreis hervorbringen, dessen DurehmeBser fiv, in dem Sphäroid einen 
Kreis, dessen Durchmesser ^o, und in dem Kegel einen Kreis, dessen 
Durchmesser ng. Weil yx : aa = €x : xti = i.tii : an, und yx = aö, so 
ist öa : «o = iin : an. Es ist aber /xa : on ^ fia^ : fia X it und 
fiax. an=7tO^-\- a§^; denn afix "J't oc* = «k X Ky:Kß^ = aK*:Kß* 
(denn beide Verhältnisse sind gleich dem Verhältnis des Durchmessers zum 
Parameter [Atoi.i.onios, Con. I 21J) = «cJ* : ön^, also ad^ : xö X. oy =^ 
ffO^ : ö^ ^ = OJT^ : ön X Jr^, folglich /d X nö = o§-. Man addiere auf 
beiden Seiten ;rö^; dann ist /iö X 'Itt = n-ö' + ö^'^. Also dct-.xa=^ 
fia"^ : 7to" + ö^^. Es ist aber fta^ : n^^ -f mr^ = der Kreis im Zylinder, 
dessen Dorchmesser fti; : der Kreis mit dem Durchmesser §o -{- der Kreis 
tnit dem Durchmesser itg\ also wird der Kreis, dessen Durchmesser fiv, 
der Stelle, wo er ist, im Punkte a. in Gleichgewicht sein mit den beiden 
tisen, deren Durchmesser §o, ng. wenn sie versetzt werden und im 

mkte der Wagestange so angebracht, daß tf der Schwerpunkt beider 

iet; und 9 ist der Schwerpunkt beider Kreise zusammen, deren Durch- 

leeser f o, ng, wenn sie versetzt werden, also da.: xo = der Kreis mit 

sm Durchmesser ftv : die beiden Kreise, deren Durchmesser §o, nQ. Auf 
ieselbe Weise kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade 
fai dem Parallelogramm ^f || e.C" gezogen wird, und auf der gezogenen 
eine Ebene errichtet wird senkrecht auf i^y, wird der in dem Zylinder 
hervorgebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkte a in Gleich- 
gewicht sein mit den beiden Kreisen zusammen, dem im Sphäroid und 

im im Kegel hervorgebrachten, wenn sie nach dem Punkt i3 der ^Vage- 
ige so versetzt werden, daß Ö der Schwerpunkt beider ist. Wenn also 

'linder, Sphäroid und Kegel von den genommenen Kreisen ausgefüllt 
'den. wird der Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkte a in 
lißleich gewicht sein mit dem Sphäroid + dem Kegel, wenn sie versetzt 
werden und im Punkt 9 auf der Wagestauge so angebracht werden, daß 
ö der Schwerpunkt beider ist. Nun ist v. der Schwerpunkt des Zylinders , 
d aber, wie gesagt, der Schwerpunkt des Spbäroids und des Kegels zu- 
ummen; also ist fla : a« ^ Zylinder : Sphäroid + Kegel. AheraÖ = 2a)(. 



330 



S. h. Hkibcbh und H G. Zbctiies. 



also auch der Zylinder = 2 X (Sphäroid + Kegel) ^ 2 X SpH 
+ 2 X Kef^el Ks ist. über der Zylinder = 3 X Kegel, also 3 X Kegel 
^ J) X Kegel + 2 X Sphäroid. Man ziehe auf beiden Seiten 2 x Kegri 
ab; dann ist der Kegel, dessen Achsendreieck «c^, = 2 X SpLäroid. 
Derselbe Kegel ist aber = Ü Kegeln, deren Achs endre leck xßd; also 8 
sok^he Kegel ^ 2 X Sphäroid, 4 X Kegel ^ Sphäroid; folglieh ist das 
Sphäroid viermal so groß als der Kegel, dessen Scheitelpunkt 
flrundfliiuhe alier der Kreis um den Durchmesser ßA senkrecht auf / 
und Va Hphäroid doppelt so groß als der genannte Kegel. 

Man ziehe durch die Punkte ß, d im Parallelogramm A^ \\ *;' die 
fieraden fx, H'*-) and stelle sich einen Zylinder vor, dessen Grund&äclien 
die Kreise um die Durchmesser <p^>, /co, die Achse aber xy. Da nun d^| 
Zylinder, dessen Ac h sen parallele gram m ^oi. doppelt so groß ist als d« 
Zylinder, dessen Achsenparallelogramm g)d, weil ihre Grundtlächer 
sind, die Achse aber doppelt so groß als die Achse, und da der Zylinder, 
dessen Aehsenparallelogramm <pt\ dreimal so groß ist als der Kegel, dessen 
Scheitelpunkt a, die Grundfläche aber der Kreis um den Durchmesser ßÖ 
senkrecht auf a/. so ist der Zylinder, dessen Achsen parallelogramm tpuif 
sechsmal so groß als der genannte Kegel. Es wurde aber beniesen, daß 
das Sphäroid viermal so groß ist als dersell>e Kegel; also ist der Zylinder 
anderthalbmal so groß als das Sphäroid W. z. b. w. 

IV- 

Daß ein Segment eines rechtwinkligen Konoids abgeschnitten dnrc 
eine auf die Achse senkrechte Ebene anderthalbmal so groß ist als da 
Kegel, der dieselbe Grundfläche und Achse hat als das Segment, kann mal 
durch die genannte Methode einsehen folgendermaßen 

Es sei [Fig. 4] ein rechtwinkliges Konoid, und es sei geschnitten v 
einer Ebene durch die Achse, die in der Oberfläche als Schnitt eine Parabel 
xßy hervorbringe; es sei auch von einer 
anderen Ebene geschnitten senkrecht anf 
die Achse, und ihre gemeinsame Schnitt- 
linie sei ßy; die Achse des Segments sei 
da, sie sei verlängert bis ö, und 
ö« = D(A; man stelle sich öd als Wa^ 
sttinge vor mit dem Mittelpunkt a; Gn 
fläche des Segments sei der Kreis 
den Durchmesser ßy senkrecht auf scd; 
stelle sich einen Kegel vor. dessen 
Grundfläche der Kreis mit dem Durcl 



so 8 

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Fig. 4. 



es sei ^^1 

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t S<^rif1 iIm Arrliiinede«. 



331 



■ ßj: d« S<*lieit?IiiaDkt aber 3. ^ wi «neb pjn /vlimier, dessen 
Omiidiläche der Kreis mit dem Doroliiuesser ß;; dw Acb»^ aber aä, und 
im Parallel Dgramm sei eine <ierade fiy gezogen , ßj', ond ntif itr sei eine 
Ebene errichtet senkrecht auf sd; sie wird also als Schnitt berTorbringen 
in dem Zjlinder einen Kreis mit dem Durchmesser »r und in dem Segment 
des rechtwinkligen Konoids einen Kreis mit dem Durchmesser ^0. Da 
nun ßay eine Parabel ist, 3.6 ihr Durchmesser imd ^O, ßA Ordinaten. ^o 
ist [Quadr. parah 3] öt -. xö = ßä' : gtJ- Aber As = xd, also iJ« ; ao 
^ fio- : o^-. Es ist aber ;<o' : ö_c* = der Kreis im Zylinder, dessen 
Durchmesser hv,: der Kreis im Segment des rechtwinkligen Konoids, dessen 
Durchmesser cf>. also da ; 7fl ^ der Kreis mit dem Durchmesser f- : der 
Kreis mit dem Durchmesser /o; folglich ist der Kreis im Zvlinder. dessen 
Dnrchmeseer /*»■, an der Stelle, wo er ist, im Punkt x in Gleichgewicht 
mit dem Kreis, dessen Durchmesser ^o, wenn er versetzt wird und auf 
der Wagestange in so angebracht, dnß d sein Schwerpunkt ist. Und 
der Schwerpunkt des Kreises, dessen Durchmesser /iv, ist o, der des 
Kreises, dessen Durchmesser ^o, wenn er versetzt wird, d, und es ist in 
umgekehrtem Verhältnis öot : ota = der Kreis mit dem Durchmesser 
fiy : der Kreis mit dem Durchmesser §0, In derselben Weise kann be- 
wiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade im Parallel ogramni 
£y fl ßy gezogen wird, der im Zylinder hervorgebrachte Kreis an der Stelle, 
wo er ist, im Punkte x in Gleichgewicht sein wird mit dem in dem 
Segment des rechtwinkligen Konoids hervorgebrachten, wenn er auf der 
Wagestange nach Q so versetzt wird, daß Ö sein Schwerpunkt ist. Wenn 
also der Zylinder und das Segment des rechtwinkligen Konoids ausgefüllt 
»erden, so wird der Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkte x in 
Gleichgewicht sein mit dem Segment des rechtwinkligen Konoids, wenn 
es versetzt wird und auf der Wagestange in so angebracht, ilaß 
Ö »ein Schwerpunkt ist. Und da die genannten Größen in se in Gleich- 
gewicht sind, und h der Schwerpunkt des Zylinders ist, wenu ocA in k 
tialbiert wird, 1? aber der Schwerpunkt des dahin versetzten Segments, so 
iet in umgekehrtem Verhältnis i)ot : äk == Zylinder : Segment. Es ist aber 
'Ök ^ 2stK, also auch der Zylinder ^ 2 X Segment Derselbe Zylinder ist 
aber dreimal so groß als der Kegel, dessen Grundfläche der Kreis mit dem 
Darchmesser ßy, der Scheitelpunkt aber a; es ist also klar, daß das Segment 
auderthalbmal so groß ist als derselbe Kegel. 

^^^^Daß der Schwerpunkt eines Segments eines rechtwinkligen Konoids, 
das von einer auf die Achse senkrechten Ebene abgeschnitten wird, auf 



V. 



332 



J. L. HxinEBü und H. 0. Zkuthek. 



der liRrndAii liegt, die Achse des Segmente ist, bo geteilt, daB das 
am Seh fitelp unkt doppelt so groü ist als das übrige, lüSt sieh durch 
Methude folgendermaßen einaehea. 

Ein Segment eines recht winkligen KonoidE, von einer auf die Achse 
fieokrefihten Ebene abgeschnitten, sei von einer anderen Ebene durch die 
Achse geschnitten, uud diese bringe hervor [Fig, 5] als Schnitt in der Ober- 
^ fläche die Parabel xßy, die gemeinsame 

Schnittlinie aber der Ebene, die das 
Segment abgeschnitten hat, und der 
schneidenden £bene sei ßy; Achse des 
Segments und Durchmesser der Parabel 
a.ßy sei ad; man verlängere ö«, mache 
xd = xö und stelle sich t^i? als Wage- 
stange vor mit dem Mittelpunkt *; 
femer sei ein Kegel im Segment ein- 
geschrieben mit den Seitenlinien ßx, %y, 
und in der Parabel sei eine Uetade /o 
gezogen Q ßy; sie schneide die Parabel 
^y in /, o, die Seitenlinien des Kegels 
in n, ß. Weil nun in einer Parabel ^o, 
ß 6 senkrecht auf den Durchmesser 
gcKogcn sind, ist Öa ; äö = ßA'' : ^o* [Quadf. parab. 'X\. Es ist aber 
Aa : lö = /?A : ;t(J =^d» : ^Ö X JTfl, also auch )9Ö= : ^fö' = ;9ö* : /9Ö X -ffö. 
Folglich ^a^ = ßö X Jio und ^6 : ^ö = §o:aa, also ßd::io== |ö- :ö;r' 
Es ist aber ßö : irö ^^ öa : xa ^^ ^a. : «ff, also auch ö« : «o ^ (?"': öw^. 
Auf §0 errichte man eine Ebene senkrecht auf ad; sie wird also im Segment 
des rechtwinkligen Konoids einen Kreis hervorbringen, dessen Durchmesser 
^o, in dem Kegel aber einen Kreis, dessen Durchmesser jrg. Weil nun 
iD« : aö = §a- : Oji-, und §ö^ : an'^ = der Kreis mit dem Durch- 
messer ^o : der Kreis mit dem Durchmesser ji(t. so ist dx : o(ö=»der Kreis, 
dessen Durchmesser §o, : der Kreis, dessen Durchmesser n(i. Also wird 
der Kreis, dessen Durchmesser ^o, an der Stelle, wo er ist, im Punkte i 
in Gleichgewicht sein mit dem Kreis, dessen Durchmesser nQ, wenn dieser 
auf der Wagestange nach ö so versetzt wird, daß i? sein Schwerpunkt ist. 
Da nun ö der Schwerpunkt ist des Kreises, dessen Durchmesser §o, an 
der Stelle, wo er ist, ö aber der des Kreises, dessen Durchmesser JtQ, wenn 
er versetzt wird, wie gesagt, und in umgekehrtem Verhältnis dx : x(f^ der 
Kreis mit dem Durchmesser ^o : der Kreis mit dem Durchmesser jro, so 
sind die Kreise in Gleichgewicht im Punkt %. In derselben Weise kann 
bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade in der Parabel 




1 



s Scbrtft des Axcbiniedee 



333 



togen wird || ßy und auf der gezogenen Geraden eine Ebene errichtet 
senkrecht auf aÖ, wird der im Segment dea rechtwinkligen Konoids hervor- 
gebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkt ot in Gleichgewicht 
sein mit dem im Kegel hervorgebrachten Kreis, wenn er versetzt wird und 
auf der Wagestange in d so angebracht, daß iS sein Schwerpunkt ist. 
Wenn also das Segment und der Kegel von den Kreisen ausgefüllt wird, 
Bo werden alle Kreise im Segment an der Stelle, wo sie sind, in Punkt et 
in Gleichgewicht sein mit allen Kreisen des Kegels, wenn eie versetzt werden 
und auf der VVagestange im Punkt Ö so angebracht, daß ö ihr Schwer- 
punkt ist; also wird auch das Segment des rechtwinkligen Konoide an der 
Stelle wo es ist, im Punkt a in Gleichgewicht sein mit dem Kegel, wenn 
er versetzt wird und auf der Wagestange in i? so angebracht, daß -0 sein 
Schwerpunkt iat. Weit nun der Schwerpunkt beider Größen zusammen- 
genommen a. ist, der des Kegels aliein aber, wenn er versetzt ist, d, so 
liegt der Schwerpunkt der übrigen Größe auf xd nach a hin verlängert, 
wenn auf ihr a« abgesetzt wird derart, daß ad : dlk =^ Segment t Kegel. 
Das Segment ist aber ■'/ä X Kegel, folglich a.d = ^{^rtK, und k, der Schwer- 
punkt des rechtwinkligen Konoids, teilt nfi so, daß das Stück am Scheitel- 
punkt des Segments doppelt so groß ist als das übrige. 

VI. 

[Der Schwerpunkt einer Halbkugel liegt auf deren Achse so geteilt,] 
daß das Stück aji der Oberfläche der Halbkugel zu dem übrigen Stück 
sich verhält wie 5 : 3. 

Es sei [Fig. 6] eine Kugel von einer Ebene durch den Mittelpunkt 
geschnitten, als Schnitt in der Oberfläche sei der 
Kreis aßyö hervorgebracht, ay und ß^ seien zwei 
unt«r eich senkreühte Durchmesser des Kreises, auf ßd 
sei eine Ebene errichtet senkrecht auf a/. femer 
stelle man sich einen Kegel vor. dessen Grundfläche 
der Kreis mit dem Durchmesser ßd, der Scheitelpunkt 
aber ac, die Seitenlinien ßx. ad; es sei yx verlängert 
und xd ^ yix; man denke sich die Gerade äy als 
Wagestange mit dem Mittelpunkt x und ziehe in dem 
Halbkreis ßad eine Gerade §o \\ ßd; sie schneide den 
Umkreis des Flalbkreises in c, o, die Seitenlinien des / 
Kegels in ji, q und %y in e\ auf <?o sei eine Ebene er- 
richtet senkrecht auf «£; sie wird als Schnitt hervor- 
bringen in der Halbkugel einen Kreis mit dem Durch- ~y^ 
§0, b dem Kegel einen Kreia mit dem Fig. i 




334 



J. L. HiuiEn<i uu<] H G. Zei 



Durchmesser 7i(j. Weil nun ti.y : xe ^ §*'■* : a£^ und §0:^ 
und af = en, so iet a^ : «e = §e^ + f;r* : £;r'. Es Ut aber ^e- + en* : £ä* 
= der Kreis mit dem Durchmesser ^o + der KreiB mit dem Durch- 
messer JtQ : der Kreis mit dem Durchmesser jrg, und yx = <x&, also 
dx : ai = der Kreis mit dem Durchmesser §0 + der Kreis mit dem 
Durchmesser it(j : der Kreis mit dem Durchmesser Trtj. Also werden die 
beiden Kreise, deren Durchmesser §0, tiq, an der Stelle, wo sie sind, im 
Punkte a in Gleichgewicht sein mit dem Kreis, dessen Durchmeaser 7X(t. 
wenn er vereetzt wird und in d so angebracht, daß d sein ächwerponkt 
ist. Da nun der Schwerpunkt der beiden Kreise, deren Durchmei 
^o, XQ, an der Stelle, wo sie sind, — — — — — — — 



VIL 




mcM|^H 

iebigeg 

le aiek^g 

be MM 

e WB^^H 

;en i^M 
Durol^l 



[Durch diese Methode] läßt sich auch einsehen, [daß ein beliebiges 
Kugelsegmentj zu dem Kegel [mit derselben Grundfläche und Höhe 
verhült, wie Radius der Kugel + Hohe des Gegensegments : Höhe 1 
Gegen Segments]. — — — — — — — — — ■ — — — — ^- 

und [Fig. TJ auf fiv errichte miin eine Ebene senkrecht zu a/; 

also als Schnitt hervorbringen I 
Zylinder einen Kreis, dessen Di 
messer fiv, im Kiigelsegment 
Kreis, dessen Durchmesser §0, im 
Kegel, dessen Grundflüche der Kreis 
um£'.; als Durchmesser, der Scheit«!- 
punkt aber a, einen Kreis, dessen 
Durchmesser jtq In derselben 
Weise wie früher kann nun be- 
wiesen werden, daß der Kreis, dessen 
Durchmesser /if, au der Stelle, 
er ist, in a in Gleichgewicht ist 
den beiden Kreisen, | deren Dui 
messer ifo, n(i, wenn sie versefll 
werden und an der Wagestange 
in d angebracht. Und dasselbe 
kann von allen entsprechenden 
Zylinder, Kegel und Kugelsegment 
sn wird auch der Zylinder 
setnj mit Kegel + Kugel- 
Wagestange in 



^ 



Fig T. 
Kreisen bewiesen werde: 



Da 
von den betreS'enden Kreisen ausgefüllt werden, 
an der Stelle, wo er ist, [in r in Gleichgewicht 
Segment, wenn sie versetzt werden und iin 1 
gebracht Man teile aer; in ip und ^ so, daß «^ = ^'/ und av"= ä?"/ 







Eine neue Scfaiifl de« AichiiuedM 



335 



ä X (i«!" Schwerpunkt des Zj-linders Bein, well Mittelpunkt der Achse aij, 
\ip aber der des Kegels]. Weil nun die genannten Körper in x in Gleich- 
gewicht sind, 80 wird sein Zylinder : Kegel mit dem Dnrchmesser der 
^^hjDtdfläche £i + Kugelsegment ßrö ^ dr : k}(. — — — — — — 



vin. 



man Terlängere (Fig. S] xy und mache xi? = «;• nnd y§ = dem Radius der 
Kugel: yd stelle man sich als Wagestange vor mit dem Mittelpunkt x, 
und in der das Segment abschneidenden Ebene 
beschreibe man einen Kreis mit dem Mittet- 
ponkt »y und dem Kadius ^ ut?/, auf diesem 
Kreis sei ein Kegel errichtet mit dem Scheitel- 
punkt X, und die Seitenlinien des Kegels seien 
af, «5; femer sei eine Gerade «/ gezogen i £^\ 
sie schneide den Umkreis des Segments in 
•K, A, die Seitenlinien des Kegels a£,C in ^, o 
und «/ in 31, Weil nun xy : aL3t= «k* : xjfi 
und K%* ^ «TT* + xk'' und a;r* ^ ffo^ (da 
auch *»J* = erj^), so ist ^a : kä = kx^ + 
n^o* : ox*. Es ist aber xjt* | ttu^ : ;ro* = der 
£rei8 mit dem Durchmesser kä -\ der Kreis 
mit dem Durchmesser oq : der Kreia mit dem "pr 

Durchmesser oq, und /« ^ «iS; also ö« : otJi 
= der Kreis mit dem Durchmesser kä -\- der 
Kreis mit dem Durchmesser oq : der Kreis mit 
dem Durchmesser o^. Da nun der Kreis mit Fig. 8. 

dem Durchmesser kA -4- der Kreis mit dem 

Durchmesser oq : der Kreis mit dem Durchmesser oq ^ ^d : n«, so sei der 
Kreis mit dem Durchmesser oq versetzt und auf der Wagestange in ö so an- 
gebracht, daß d sein Schwerpunkt ist; also ist Öa : aw^ der Kreis mit dem 
Durchmesser kX -f der Kreis mit dem Durchmesser oq an der Stelle, wn sie 
sind, : der Kreis mit dem Durchmesser 00, wenn er versetzt wird und auf 
der Wagestange in 1) so angebracht, daß 1? sein Schwerpunkt ist; also 
sind die Kreise im Segment ßrtö und in dem Kegel «e.C in Gleichgewicht 
mit dem in dem Kegel xf C in 1. Und in derselben Weise sind alle Kreise 
im Segment ßrö und im Kegel v.e^ an der Stelle, wo sie sind, mit allen 
Kreisen im Kegel 7.Ef^, wenn sie versetzt werden und anf der Wagestange 
in )9 so angebracht, daß li ihr Schwerpunkt ist, in Gleichgewicht im 
; also sind auch das Kugelsegment f.ßö und der Kegel ac£^ an 




der Stelle, 



. nuJ H-G.Zlii 



■ sind, mit dem Kegel i 



wird 



tm er versetzt 
auf der Wageetange in ö so angebracHt, daß d sein Schwerpunkt ist, 
in Gleichgewicht im Punkte a. Es sei der Zylinder /iv gleich dem 
Kegel, deeeen Grundfläche der Kreis mit dem Durchmesser c^, der Scheitel- 
punkt aber a., und xtj sei in <p so geteilt, daß ai; = iq>ti; also ist <p der 
Schwerpunkt des Kegels ck.C; denn das ist vorher bewiesen. Ferner sei 
der Zylinder /iv durch eine senkrecht schneidende Ebene so geschnitten, 
daS der Zylinder ,« mit dem Kegel ex.^ in Gleichgewicht ist. Da nun 
das Segment a^ßö + der Kegel cx^" an der Stelle, wo sie sind, mit dem 
Kegel cvl:, wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in t) so an- 
gebracht, daß d sein Schwerpunkt ist, in a in Gleichgewicht sind, und 
Zylinder fiv ^ Kegel colC, und die beiden Zylinder y -(- v in ö angebracht 
sind, und uf mit beiden Körpern in Gleichgewicht ist, so wird auch der 
Zylinder v mit dem Kugelsegment im Punkt * in Gleichgewicht sein. Und da 
Kugelsegment ßx ö : der Kegel, dessen Grundfläche der Kreis mit dem Durcli- 
meeser ßö, der Scheitelpunkt aber «, = §>i : ijy (dies ist nämlich vorher 
bewiesen [De sph. et cyL 11 2 coroll.|) und Kegel ßat.d : Kegel £a,C = der 
Kreis mit dem Durchmesser ßö : der Kreis mit dem Durchmesser c^ 
=3 ßij- : j/t^, und ßij^ = yij X </«, ';£* = »/«^ und yij X '/« : >jx* = 
yij : ijx, 80 ist Kegel ßxö : Kegel f a,C = /'i : tjx. Wir haben aber \m- 
wieaen Kegel ßctö : Segment ßxd = yij : i/f; also öi' loov Segment 
^ÄÖ: Kegel eai = ^C'/: f/a. Und weil a;^ :^?j = r^a | 4<j;- : xf/ -J- 2fj^, 
Bo ist umgekehrt /// : ^T« = ^y>t + »J« '■ 4>'V + '/* *^^ durch Addition 
»/« :a^= G;'iy + 2);a: : t}% -f4j/;'. Es ist aber ;y^ = '/* (t^'J/ + 2i^k), 
^^ ^ 1/^ (4/y^ -j- t^*); denn das leuchtet ein ; also ist r^a : a^= ^»y :p'y), 
folglich auch v ly : »y* = ^f/i :/«. Es wurde aber bewiesen, daS auch 
§1] : fjx ^ das Segment, dessen Scheitelpunkt », die Grundtläche aber 
der Kreis mit dem Durchmesser ßf>, : der Kegel, dessen Scheitelpunkt a, 
die GrundÜäche aber der Kreis mit dem Durchmesser f^; also Segment 
ßoLÖ : Kegel £x^ = yip : ^x. Und da der Zylinder /< mit dem Kegel ex^ 
in a in Gleichgewicht ist, und i^ der Schwerpunkt ist des Zylinders, ^ 
aber der des Kegels esi.C, so ist Kegel c«.v - Zylinder fi = Ox 
=1 yx -.xtp. Eh ist aber Zylinder nv = Kegel ca.C; also durch 
traktion Zylinder /i : Zylinder f ^ x<p : yfp. Und Zylinder /( >■ = K< 
rät,C; also Kegel f «.C : Zylinder i' = ^a :^(/y = Hx i yp. Es wurde aber 
bewiesen, daß auch Segment ßxd -. Kegel £«,1^ = yip : /k ; also di' loov 
Segment ßxÖ : Zylinder »■ = ,C« : »/■ Und es wurde bewiesen, duß 
Segment ßxd mit dem Zylinder v in Gleichgewicht int in x, und d ist 
Schwerpunkt des Zylinders v; folglich ist auch Punkt ^ Schwerpunkt 
d«B Segments ßxÖ. 



s Schritt den Archlmedes 



IX- 
In (ierselben Weise wie dies läßt sich auch einsehen, daß der Schwer- 
ikt eines beliebigen Kugelsegments auf der Geraden liegt, die Achse 
des Segments ist, so geteilt, daß das Stück derselben am Scheitelpunkt 
des Segments zu dem übrigen Stück sich verhält wie die Achse des 
Segments + das vierfache der Achse des Gegen segmenta au der Achse 
des Segments + dem doppelten der Achse des Gegessegments. 






Ferner läßt sich durch diese Methode einsehen, daß [ein Hyperboloid* 
lent zu dem Kegel], der dieselbe Grundfläche hat [und gleiche Höhe, 
;1\ verhält, wie die Achse des Segments + das dreifache] des Achsen- 
Zusatzes : die Achse + das doppelte des Zusatzes [De cotioid. -5],') und 
nuch manches andere, das ich beiseite lassen will, da die Methode 
durch die vorher gegebenen Beispiele klar gemacht ist. um nur noch die 
Beweise der oben genannten Theoreme mitzunehmen. 



I fltoh 



XJ. 



Wenn in ein rechtstehendes Prisma mit quadratischen Grundflächen 
Zylinder eiogeschriehen wird, dessen Grundflächen in den gegen - 
stehenden Quadraten liegen und dessen krumme Oberfläche die 4 übrigen 
l'arallelogramme berührt, und durch den Mittelpunkt des Kreises, der 
fjrundfläehe des Zylinders ist, und eine Seite des gegen stehenden Quadrats 
eine Ebene gelegt wird, so wird der Körper, der durch diese Ebene 
[vom Zylinder] abgeschnitten wird, ',o des ganzen Prismas sein. Das läßt 
sich durch diese Methode einseben, und wenn es so bewiesen ist, werden 
wir zu dem geometrischen Beweis dafiir 
übergehen. 

Man stelle sich ein reclitstehendes 
I'risma vor mit quadratischen Grundflächen 
lind im Prisma einen Zylinder in besagter 
Weise eingeschrieben. Das l'risma sei , 
durch die Achse von einer Ebene ge- 
schnitten senkrecht auf die Ebene, die das 
Zylinderstiick abschneidet; der Schnitt im 
Prisma mit dem Zylinder sei [Fig. 9| das 
Parallelogramm aß, die gemeinsame Schnitt- ' 
linie aber der Ebene, die das Zvlinderstfick 



rf 


; 


/ 


f 




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') Vielleicht atanil 
U^rjierb loid«egiiieii tB . 
Blblldtbeca HaUiematica 



hier DORh dor SftU ^ 



Fig. ». 

Lage doB Suhwerpunkt» « 
88 



^ 



33B 



J. L. IIeibeiii) 



Dd n ti. i.M 






abschneidet, nnd der durch die Achse gelegteu Ebene senkrecht auf 
Zyliuderetiick abschneidende sei ßY\ Achse des PrismaB und des Zyliuih 
sei yb. die von f^ unter rech teu Winkeln halbiert werde, und auf e 
eine Ebene errichtet senkrecht zu j'ö; sie wird also im Prisma ein Quadrat, 
im Zylinder einen Kreis als Schnitt hervorbringen. 

Es aei nun [Fig. 10] der Schnitt des Prisnias das Quadrat fiv, der 
des Zylinders der Kreis ionQ, und es berühre der Kreis die Seiten des 
o Quadrats in den Punkten |, o. tt, q: gemein- 

same Schnittlinie der das Zylinderstflck ab- 
schneidenden Ebene und der durch eiT gelegten 
senkrecht auf die Achse des Zylinders sei KÄi 
^ sie wird von Jrd^ halbiert. Man ziehe im Halb- 
kreis OJTQ eine Gerade ör senkrecht auf ff;f, auf 
öT errichte man eine Ebene senkrecht zu ^;r und 
verlängere sie nach beiden Seiten der Ebene, 
worin der Kreis §oitq: sie wird also im 
^i^. 10. Tlalbzylinder, dessen Grundfläche der Halbkreis 

•ing, die Höhe aber die Achse des Prismas, 
als Schnitt ein Piirallelogranim hervorbringen, dessen eine Seite ^ ot, die 
andere = der Seitenlinie des Zylinders, und im Zylinderstück ebenfalls 
ein Parallelogramm, dessen eine Seite = ot, die andere ^ vu; and vi> 
wird demnach im Parallelogramm de ]| ßto gezogen sein und et ■= nj^ 
abschneiden. Weil nun ey ein Parallelogramm ist nnd vc [| ^y, und f 9, ßy 
die Parallelen schneiden, so ist eO : ifi = ojy : yv = ßio : vr. Eb iet 
aber ;5(u : 'i'i- = Parallelogramm im Halbzylinder : Parallelogramm im 
Zylinderstück ; beide Parallel ogramme haben nämlich dieselbe Seite or; 
nnd eI) = On, iD = %&; und da nd = d§. so ist '">§ : (S^= Parallelo- 
gramm im Halbzylinder : Parallelogramm im Zylinder stück. Man denke 
sich das Parallelogramm im Zylinder stück versetzt und in if so angebracht, 
daß if sein Schwerpunkt ist, femer denke man sich nS; als eine Wage- 
stange mit dem Mittelpunkt 0% also ist das Parallelogramm im Halbzylinder 
an der Stelle, wo es ist, im Punkt I) in Gleichgewicht mit dem Pari 
logramm im Zylinder stück, wenn es versetzt wird und an der Wagestj 
in ^ so angebracht, daß / sein Schwerpunkt ist. Und da / der Schwer- 
punkt ist des Parallelogramms im Halbzylinder, § aber der des Parallelo- 
gramms im Zylinderstück, wenn es versetzt wird, und §(t : d;^ = Parallelo- 
gramm, dessen Schwerpunkt / : Parallelogramm, dessen Schwerpunkt if, 
so wird das Parallelogramm, dessen Schwerpunkt ;>•, in fl in Gleichgewicht 
sein mit dem Parallelogramm, dessen Schwerpunkt ,^, Auf dieselbe Weise 
kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade int BalbkreiE 



inder 
ralk^y 

iwer-" ' 



Eiue a 



Sehrin dea ÄrchiEi 



339 



wQ senkrecht auf jtiS gezogen wird, und auf der gezogenen Geraden eine 
Ebene errichtet wird senkrecbt zu jrD und nach beiden Seiten der Ebene, 
worin der Kreis §onQ liegt, verlängert, wird das im Hui bzv lind er hervor- 
gebrachte Parallel ogra mm an der Stelle, wo es ist, im Punkt 'f in Gleich- 
gewicht Bein mit dem im ZvlinderstÜck hervorgebrachten Parallelogramni, 
wenn es versefzt wird und an der Wagestange in 5 eo angebracht, daß c 
Bein Schwerpunkt ist; also werden auch alle Parallelogramme im Halb- 
zylinder an der Stelle, wo sie sind, im Punkt D in Gleichgewicht sein mit 
iiUen Parallelogrammen des Zylinders tu cks, wenn sie versetzt werden und 
im der Wagestange im Punkt ^ angebracht: folglich wird auch der Halb- 
zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkt If mit dem Zylinderstnok in 
lileichgewicbt sein, wenn es versetzt wird und an der Wagestinge in f 
BO angebracht, daß ^ sein Schwerpunkt ist. 

XIL 
Es sei [Fig 11] das auf dte Achse senkrechte Parallelogramm \fiv filr 
sich gezeichnet mit dem Kreis ^onQ und dessen Durchmessern ^x, OQ. 
Man ziehe] Dfi und U ») und errichte auf ihnen 
zwei Ebenen senkrecht zu der Ebene, worin der 
Halbkreis o:tq liegt, und verlängere die ge- 
nannten Ebenen nach beiden Seiten; es entsteht 
so ein Prisma, dessen Grundfläche ein Dreieck 
wie Of^ij, die Höhe aber gleich der Achse des 
Zylinders, und dieses Prisma ist | des ganzen 
Prismas, das den Zylinder umschließt Im Halb- 
kreis OT(Q und im Quadrat ,»»■ ziehe man zwei , 
Geraden kX und rv in gleichen Abständen von ^ig. 11, 

xg-^ sie schneiden den Umkreis des Halb- 
kreises 07tQ in den Punkten h, t. den Durchmesser nQ in o. ,C, die Geraden 
Dij, O/i in <f,^. Auf «>i, TV errichte man zwei Ebenen senkrecht zu oq 
und verlängere sie nach beiden Seiten der Ebene, worin der Kreis ^oxq 
liegt; sie werden also als Schnitte hervorbringen im Halbzylinder, dessen 
Grundfläche der Halbkreis o^tq, die Hohe aber die des Zylinders, ein 
l'arallelogramm, dessen eine Seite ^ ua, die andere aber gleich der Achse 
des Zylinders, und im Prisma Dij/i ebenfalls ein Parallelogramm, dessen 
eine Seite = A/, die andere aber = dar Achse, und in derselben Weise 
im Halbzylinder ein Parallelogramm, dessen eine Seite = r^, die andere 
»|)er =' der Achse des Zylinders, und im Prisma ein ParaUelogramm, 
dessen eine Seite ^ vif, die andere aber = der Achse des Zylinders. 



e5 




Kig- 12. 



Eb aei ein rechtßtehendes Prisma mit qaadratiBchea (jnindflächen. 
eine seiiier GrvmdfläclieD sei [Fig. 12] das Quadrat aßyö. im Prisma aei ein 
ij Zylinder eingeschrieben, und seine lirundfläche 

"x^x c BPi *'«'■ Kreis f,s'/'', der die Seiten des Parallelo- 

vTv \ i*' gramnifi nßyü in f, ^, t/, Ü berührt; durch seinen 

Mittelpunkt und die der Seite /(i entsprechenden 
- ,•■ Seite des dem (juadrat aßyö gegenstehenden 
Quadrats lege man eine Ebene; sie wird also von 
dem gonseu Prisma ein anderes Prisma ab- 
schneiden, das \ des ganzen Prismas sein wird- 
' und es wird umschlossen sein von 3 Parallelu- 
grammen und 2 einander gegenüberstehenden 
Dreiecken. In dem Halbkreis f>'/ beschreibe 
man eine Parabel, deren 'inindlinie i]r, die Achse aber k^, und im 
Parallelogramm 6)j ziehe man ftv || KjT: sie wird also den Umkreis des 
Halbkreises in s sehneiden, die Parabel aber in X, und "i'X v/. = v^ 
(denn das ist einleuchtend |Ai*oi.LOXio.s, 6'on. I 11|). Daher ist fiv : vX 
^ rjK^ : Xö^. Auf /'V sei eine Ebene errichtet senkrecht zu fij; sie wird 
in dem von dem ganzen Prisma abgesehnittenen Prisma als Schnitt ein 
rechtwinkliges Dreieck hervorbrigen, dessen eine Kathet« fiv. die andere 
aber eine Gerade in der Ebene auf yfi senkrocht zu yö in i' und gleich 
der Achse des Zylinders, die Hypotenuse aber in der schneidenden Ebene. 
Sie wird femer in dem Stück, das vom Zylinder abgeschnitten wird tod 
der durch ctj und die der Seite yö gegen steh ende Quadratseite gelegten 
Ebene, als Schnitt ein rechtwinkliges Dreieck hervorbringen, dessen eine 
Katbete /if, die andere aber eine in der Zylinderffäche senkrecht auf die 
Ebene k v gezogene Gerade, die Hypotenuse aber — — — — — 



und es werden sein alle Dreiecke im Prisma : alle Dreiecke im ZylindergtQck 
= alle Geraden im Parallelogramm Ö»/ : alle Geraden zwischen der Parabel 
und der Geraden uj. Und aus den Dreiecken im Prisma besteht das Prisma, 
ans [denen im Zylinderstück das Zylinderstück, aus] den Geraden im 
Parallele gram ni <ljr||K,>r das Parallelogramm dij und aua den von der 
Parabel und der Geraden eij abgeschnittenen (ieraden das Parabelsegment; 
also ist Prisma : Zylinderstück = Parallelogramm /;d : Segment c,C'/, das 
von der Parabel und der Geraden p»/ umschlossen wird. Es ist aber das 
Parallelogramm i>;/ f^ J^ des von der Parabel und der Geraden ei/ 



I 



^^^^^^^^m Eine neue Bchtm des Archimede«. 341 

ecUossenen] Segments; dies ist nämlich in dem vorher entwickelten he- 
wiesPo; also ist auch das Prisma = ^ Zylinderstück. Wenn also das 
ZylinderetÜck = 2. ist das Priama = 3 und das ganze, den Zylinder 
umschließende Prisma = 13, weil es 4 mal das andere Prisma ist; also ist 
das Zvlin der stück ^ i PriBma. W. z. b, w. 

Es sei ein rechtsteheudes PriBuia mit quadratischen Grundflächen 
[und darin eingeschrieben ein Zylinder; es sei geschnitten von einer Ebene 
durch den Mittelpunkt der Grundfläche des Zylinders und eine Seite des 
gegenstehenden Quadrats], Diese Ebene schneidet also vom ganzen Prisma 
ein Prisma ab und vom Zylinder ein Zylinderstück. Es läßt sich be- 
weisen, daß das vom Zylinder durch die Ebene abgeschnittene Stück 
j des ganzen PrismaB ist. Vorher wollen wir aber beweisen, daß es 
möglich ist im Zylinderstück eine körperliche Figor einzuschreiben und 
eine andere zu umschreiben aus Prismen zusammengesetzt, die gleiche 
Höhe haben und als Grundflächen ähnliehe Dreiecke, so daß die um- 
schriebene Figur die eingeechriehene übertriflt um weniger als jede be- 
liebige Größe. — — — — — — — — — — — — — — — 

Es wurde aber bewiesen, daß das von der schiefen Ebene abgeschnittrae 
Prisma < -| des im Zylinderstück eingeschriebenen Körpers. Nun ist das 
von der sehiefen Ebene abgeschnittene Prisma : der im Zylinderstück ein- 
geschriebene Körper = Parallelogramni öi/ : die Parallelogramme, die 
eingeschrieben sind in dem von der Parabel und der Geraden f»/ um- 
schloBsenen Segment: also ist Parallelogramm öt/ ■< | der Parallelogramme 
in dem von der Parabel und der Geraden o/ umschlosHenen Segment. 
Das ist aber nniiiöglich. weil wir anderswo bewiesen haben, daß das 
Parallelogramm ö>] l ist des von der Parabel und der Geraden £</ um- 

schlnsaenen Segments. Folglich ist — — — — — — — 

— — — — — nicht größer 

Und alle Prismen in dem von der schiefen Ebene abgeschnittenen 

t Prisma : alle Prismen in der um das Zylinderstück uoischriebenen Figur 
^ alle Parallelogramme im Parallelogramm A*/ : alle Parallelogramme in 



342 .1 I- UK...MI.. im<l H (l.ZKniiKi., 

der Figur, die iimBtrliriebt'n ist um das von derParaltpl uiiil riei 
eij uiiiächluaseneu Segment, d. h. das von der scliiefen Kbene ubgescbnitteuf 
Prisiim : die um das ZvLinderstUck unis(?Iiri ebene Figur = Pur!i)lelof!;mnim 
fitj : die von der Parabel und der (ieraden ri) uniBchloBBeiie Figur. Eb 
iBt ftber das vim der schiefen Ebene abgeschnittene Prisma > | der um 
das ZjlinderstUek umBchriebenen körperlichen Figur — — 



Kommentar. 

Herr HKiiiRiii; hat mich freundlichst gebeten seine l'berBetzung 
von ihm gefundenen Schrift von Ar(.'H[J1KDKS mit einem Kommentar kQ 
begleiten. Diese Schrift, wo Aechimedes, der sonst nur fertige Sätze und 
fertige Beweise gegeben hat, in seine mathematische Werkstatt hineinsehen 
läßt, wird dadurch sowohl sehr leicht zu lesen als außerordentlich reich 
an Belehrung über Akciuheuks' Arbeitsweise und ganze Aoffassung 
und dadurch über die antiken mathematischen Auffassungen überhaupt. 
Sie bringt auch wichtige, rein historische Aufschlüsse über die Arbeiten 
von AbcHIMEDES und von seinen Vorgängern. 

Da AltC-'lltAtEDK.'' diesmal seibat die leitenden Gesichtspunkte 
klaren Sprache, wo hüchatens die antiken Umbildungen der Proportioi 
dem modernen Leser fremdartig vorkommen werden, darlegt, wird es 
wo der Text vollständig vorliegt, keiner Erklärung bedürfen. Eine solche 
würde vielmehr nur dem Leser den Genuß nehmen, selbst der schönen 
Darstellung des Archimedes zu folgen In meinem Eomraentar werde 
ich daher immer auf den Text selbet hinweisen, und nur, wenn es für dl 
Überblick notwendig ist, den Inhalt referieren oder in die moderne Zeicl 
spräche umschreiben. Durch das Lesen wird ÄKCiUMEUEs' Gedanken] 
sich 80 klar darbieten, daß kleinere Lakunen fast, mit voUBtändiger Sicht 
ausgefüllt werden, und daß selbst die wahrscheinlichen llauptzüge einii 
ganz verlorener Beweise sich erraten lassen. 

Dagegen läßt der Platz, den diese Schrift chronologisch in der Beih« 
der bekannten Arbeiten von ARniiMEüEs einnimmt, sich uicht mit voll- 
ständiger Sicherheit festsetzen. Nur erfahren wir am Schluß von I, daß 
ihr die an Dositheos in Älexandria gesandte Schrift Über die Quadratur 
der Parabel, wo er zum ersten Male dieselbe mechanische Methode wie 
hier benutzt und nachher einen davon ganz verschiedenen geometrischen 
Beweis gibt, vorangegangen ist. Noch älter als die genannte Schrift waren 
die an Konon in Alexandria gesandten Aufgaben und Lehrsätze, die später 
in der Einleitung zur Schrift, über die Spiralen wiederholt sind. In 



^fl 



olche^^ 

LÖnen 

verde 
ir dfl»^f 
>ich«i^H 

>erha^H 



(ta^i 



Kin. 



^ Sohrift dea Archiraedss 



343 



ersten dieser Änfgaben wird es verlangt, eine ebene Fläche zu finden, die 
der Oberfläche einer gegebenen Kugel gleich ist. Diese Aufgabe war, als 
die Sehrift über die Spiralen erBchien, schon in dem ersten Buche über 
Kugel nnd Zylinder gelöst, und daran weiter die Bestim raun gen der krummen 
Oberfläche eines Kugelsegnients und der Rauminhalte einer Kugel, eines Kugel- 
sektors und (im 2, BucbeJ eines Kugeiaegmenta geknüpft Ebenfalls waren die 
nachfolgenden Aufgaben schon im '2 Buche über Kugel und Zylinder gelöst. 
Außer den eben zu beweisenden Sätzen über die Spiralen nennt AKCiiiMEiiios 
noch unter den an Kokon geschickten Lehrsätzen die Bestimmung des 
Rauminhaltes eines Segmenta eines Umdrehungsparaboloids. Diese hat er 
später in der Schrift über „Konoiden und Sphüroiden" bewiesen und noch 
dazu die Rä um in halte der Segmente eines zwei sc hau gen Unidrehungs- 
hrperboloida und eines Umdrehungsellipsoids gefunden. Zur Beurteilung 
des wahrscheinlichen Platzes der jetzt vorliegenden Arbeit in Beziehung 
auf die hier genannten drei Schriften, von welchen diejenigen über Kugel 
und Zylinder und über Kounidea und Spbäroiden teilweise dieselben Fragen 
auf ganz andere Weise behandeln, liefert sie uns verschiedene Beiträge, 
die wir, um nichts vorzugreifen, erst am Schlüsse dieses Kommentars be- 
leuchten werden. 

Der Anfang der Vorrede zeigt, daü die Schrift an den bekannten 
lielebrten Ekatosthenes in Alesandria geschickt ist, und daß ArchimKIJes 
ihm schon vorher die am Schlüsse der Schrift bewiesenen Lehrsätze'), die 
er aus khir ausgesprochenen Gründen als besonders interessant betrachtet. 
gesandt hatte. Er sagt auch, daß er früher Sätze über den Rauminhalt 
von Konoiden (d, h, Umdrehungsparaboloiden und hyperbolischen Um- 
drehungshyperboloidenl und Sphäroiden (UmdrehungselUpsoiden) mitgeteilt 
habe. Da die Mitteilung an Koxon — soweit wir sie kennen — nur 
solche vom Paraboloid enthält, muß er also entweder in einem andern 
' Schreiben an einen Alexandriner mehr darüber mitgeteilt haben oder ihnen 

schon die „Konoiden und Sphäroiden" gesandt haben. Obschon AfirniMEUEfi 
alles, was er vom EUipsoid wußte, auch von der Kugel wissen mußte, 
sagt er doch nichts von der Kugel, waa wir schon hier ben'orheben, 
Waren doch die Eigenschaften der Kugel zu wichtig, um aie nur als 
Spezialfälle derjenigen des Ellipsoids zu betrachten, eine Betrachtungsweise, 
die überhaupt den antiken Darstellungen ganz fem lag! 

EArchimkdes spricht demnächst von der eigentümlichen, mechaniflcfaen 
Hothode, die, neben den geometrischen Beweisen der zwei Hauptsätze, ein 



1) DftS eben diese Satze in iler au 

i (chon BUB Hekon« vor kurzem gefu 



I geluudeuen Scbrift bewiesen i 
idaneii Meli'Kit. 



, truSte 



344 



J. I.. Hmi 



Hauptgegenetand der gannen Mitteilung ist. Sie iet nützlich üur Airi 
findimg geometriaplier Satze uud ihrer Beweise, wenn auch die dailureh 
erreichte Herleitung nicht selbst als geometrischer Beweis gelten darf. 
Als Beispiel der Nützliclikeit solcher heuristischen Methoden nennt er, 
daß Dkmokkitos die Lehrsätze über die Rauminhalte einer Pyramide 
und eines Kegels gefunden hat, wenn sie auch erst von Ei'üo.vor bewiesen 
würden. Da natürlich Dk.mokhitms nicht ganz ohne (irund solebe richtige 
Sätze aufgestellt hat. erfahren wir dadurch, daß er ihr wirklicher Ent- 
decker ist, daß seine Beweisführung aber nicht die später aufgestellten. 
exakten Anforderungen befriedigte. Es wird auch hestiltigt. daß El'DOXik 
der Erfinder der exakten Beweisführung der genannten Sätze ist. Wie 
wir aus 11 296, H — 12 und 23 — 25 ') eraehen, geht seine Erfindung darauf 
aus, daß er, statt von unendlich kleinen (irößen zu sprechen, die Beweise 
auf dem Postulat beruhen läßt, daß eine gegebene Grüße immer so vielnial 
wiederholt werden kann, daß das dadurch erreichte Multiplum eine andere 
gegebene Grüße übertrifft. Bekanntlich stützt sich die Lehre von den 
Verhältnissen inkommensurabler Größen im ."). Bache der EiKi-ruiscben 
Elemente anf dasselbe Postulat {Tfei. 4), und durch die Vermittelung des 
daraus hergeleiteten Satzes 1 des ll>, Buches, gilt dasselbe von den Be- 
weisen im 1 Ü. Buche der eben genannten, von Demokrito.s gefundenen, Sätze*) 
In allen seinen anderen Schriften stützt Akciiimkdes seine exakte 
Begründung (Erhauationsbeweis) der Sätze infinitesimaler Natur auf das- 
selbe Postulat (Lemma), und trie steif man damals an die Forderung einer 
solchen Beweisführung hielt, ersehen wir aus seiner Vorrede zum 1. Buch 
über Kugel und Zylinder, wo er, ohne Demokrtios zu nennen, die eben 
zitierten Sätze als ganz unbekannt vor Eimoxos betrachtet. In der neu- 
gefundenen Schrift erlaubt er sich aber selbst, in I ein Dreieck und ein 
Parabelsegment aus Reihen paralleler Sehnen bestehen zu lassen, in II 
Zylinder, Kugel und Kegel durch Reihen paralleler Kreisschnitten auszu- 
füllen, und ebenso in den feigenden Sätzen. Dadurch gelingt es ihm auf 
wenigen Seiten eine große Anzahl von Sätzen herzuleiten, indem er sich 
selbst und seinen Lesern die Mühe weitläufiger Exh aus tions beweise i 
spart. Beweise, die sich jedoch überall ohne Schwierigkeit nach den ( 



1; Diese Zitat« iind ähnliche im folgcnJcMi liexiehoa lich nuf Hkiberg« Auig«b» 
der Werke dea AacuiMEDEa. 

rreleitead, DaiueoUicb auch fBr A»t Verständnia der 
man dieses tcboa von A BiaTOTKLE» (266 iij; liebe Heibebr: 
; Abhandl. zur Gi-ach. derma tliew. Wia«. 18. 1904. 
lAHciiiuepiscbe Axiom' aennt, {Siehe lueiaen Vortng 



2,1 Es igt daher gam; i 
EiKLiDischen Elemente, wenn : 
MathematUeha zu Akistotfleh 
S. 23i aitierte Postulat dai , 



1 Heidelberger Kongreß 1Q04, Bericht (1905) S. S41.) 




wMnIidva Regds avcbddm lieBen. wir «r fe selbst schom in ^ Sei 
■her htaM^judiatar (ör den Bewäs in I ^eUn hmtu Aber « batet 
aidi abcraU woU dsTor. die ge^bene AndeotoBg enm Bevetse« ab Bewns 
m betraft« 

Xoel) der Vomd« nennt Archtxedes. neben eiiteni HUtsati «Igebn- 
itcker Xstttr. die statiscbm Voraassetzungra, die er in m&er meeluuiischeii 
Methode benntMo muB. Iliesp «erden also ti,U den Leeem bekauint be- 
tne&tet, md BtsB maß annehrn«!. dafi sie in einem danuls bekannten Boehe 
zn fiaden waren. Für die Mehnahl diesw Voraassetzangen, die die t^wer- 
packte ehMier Figoren betreffen, li«^ es nahe an Ari'HimeDGS' etgenea 
erstes Boch über das fileichgeiricht ebener Figuren ra denken, wo eben 
solehe Fragen behandelt werden. I>er erste Hilfsatx scheint anch nach 
den erlultenen Überresten fast würIlicJi mit dein Satx 8 des genanaten 
Boches ra stimmen Von demselben Hilfsatz wird ein Teil litiert in einem 
Stücke des nun gefundenen, griechischen Testes der bydrostatiMheti Schrift 
rmt Akcuimtdes, das eine Lakone der bis jetzt allein gekannten lateiniechen 
Übenetzong ausfüllt (11 S 377. 14\.') Dort wird gesagt, daß er in den 
Elementen der Mechanik i ^v roAr oroij^itM^ rör fti^MK(7iy\ bewiesen ist. 
Sollte dadurch das erste Buch Tiber das (tleich gewicht ebener Figuren be- 
>et werden, und dasselbe Buch auch in der hier vorliegenden Schrifl 



m 



Auf letzteres deuten die zwei folgenden Hilfsätze nicht. 8ie beßnden 
flieh weder anter den Postulaten noch anter den Sätzen des genannten 
Buches, wo sie jedenfalls besondere Beweise fordern würden, der let/.tere 
z. B. einen mit demjenigen für die Bestimmung des Schwerpunktes eines 
Parallelogrammes analogen Beweis Zitate des Buches in seiner uns Über- 
lieferten Gestalt siad sie also jedenfnlla nicht. Dagegen sind sie ein- 
fach genug nm anzunehmen, daß sie in einem Vorläufer der exakt-geo- 




I> Wie Hl. Ueibkbo mir gOti'gst milgeteiU hat, Uutel ditiea Atumilungniaek tc-, 
^vnd von « werde irf |{ »o ^lOgeD; also halbiert x^ 10; denn dies iat in der Lehro 
D den Kef^plichnitten bewieeen. Maa teile «qo so, daß >f! " ^^T> ""<' >'0 >" Q ">• 
daß of = 2fv Dann iet q der Schwerpiiokt de» grOOeceD Segmeote, jJ de^euige 
de« Segments ixoa; (teoa es ist in der Lebte Tom Gleichgewicht {tr talg laeffonlmi^ 
bewiesen, daß der Schwerpunkt eines Paraboloid Segments die Achse so teilt, daß das 
Stock am Scheitel das Doppelte des rbenesta iit. Wenn mau dann daa Segment ino; 
Tom ganzen Segment abzieht, liegt der Schweipuukt de» Lberrestes in gy; denn in 
den Elementen der Mechanik (iv rois Btoiifioi; täv /irnavnAy) ist ee bowisBCu, daÜ, 
wenn man eine GiOBe, die einen anderen Schwerpunkt als das Ganie bat, abliebt, 
der Schwerpunkt des Cberrest» auf der Geraden liegt, die die Schwerpunkte des üaniou 
nnd des abgesogeDeu Teile verbindet, nach derselben Seite verlängert, wo der Schwel^ 
^^^kt des Ganxen liegt. 



i und H. G Zruthkk, 



Integrale jx^ili (md jxdx anwenden würde,') reichen, wie man es eben 

uns diesem Vergleich ersieht, nicht so weit. 

Wir haben hier schon in Verbindung mit der Vorrede die yon ABnii- 
SIEDKS an Satz I geknüpften weiteren Bemerkungen benutzt. Solche finden 
sich auch am Schluß vom Satz II und lehren uns, daß Ari'HIMEUES den 
Rauminhalt der Kugel früher als ihre Oberääche erkannt hat. Die darauf 
gegründeten weiteren Folgerungen aber schieben wir bis auf den Schluß 
dieses Aufsatzes auf 

Seine Methode erklärt Akchimedes nur durch die in den Sätzen I — X 
enthaltenen Anwendnugen. die auch zu diesem Zwecke genügen. Von I 
haben wir hinlänglich gesprochen. In II wird der Rauminhalt einer Kugel 
dadurch bestimmt, daß, wenn sie zusammen mit einem gewissen Kegel 
ßfj im Punkte d eines in a unterstützten Hebels aufgehängt wird, diese 
Körper mit dem an der Stelle bleibenden Zylinder r^'l^- in Gleichgewicht 
sein werden. Nachdem man II gelesen hat, wird man ungefähr die nach 
demselben Muster unternommenen Bestimmungen der Rauminhalte eines 
Umdrehungsellipaoids (III) und der durch Ebenen senkrecht auf die Achse ab- 
geschnittenen Segmente eines Uuidrehungsparaboloids (IV), einer Kugel (VII) 
und eines Umdrehungshj-perboloids (X) nachmachen können Die dabei 
hervortretende Übereinstimmung der Aufgaben ist dieselbe, die sich uns jetzt 
dadurch zeigt, daß die (ileichungen der Meridiankurven aller dieser Flächen 
die Form y'^ ^ p.r ~\- qx^ haben, wo q ^ 0. Eine entsprechende t'ber- 
einsfimmung findet man unter den Bestimmungen des Schwerpunktes eines 
Paraboloid Segments (V), einer Halbkugel (V'I) und eines Kugelsegments 
in VIII und IX. Sie werden alle dadurch bestimmt, daß die an der Stelle 
bleibenden Körper mit gegebenen Körpern in gegebenem Abstand vom 
Unterst atzungsp unkt in Gleichgewicht sind. Man wird anch, wenn Aechi- 
MEDES in X von anderen Anwendungen derselben Methode spricht, in 
erster Linie an die anderen Segmente ähnlicher Natur (Inhalt und Schwer- 
punkt eines Ell ipsoid Segmentes, Schwerpunkt eines Hyperboloidsegmentes) 
denken. Bekanntlich hat Archimedes in der Schrift über Konoide und 
Sphäroide die Sätze über die Rauminhalte aller dieser Körper, auch dann, 
wenn die Segmente schief abgeschnitten sind, geometrisch bewiesen, nicht 

1) Dies bftbe ich im 20. Absülinitt <!ea eben zitierten Buclies tm eiiizelcen nsch- 
gewiesen. Auf diesen konsequenten Gebrauch der Methnden gründe ich die Bo- 
üBebtigung, iie als „Integrationsmethoden* tu bezeichnen, eine Benennung, die vielleicht 
wenigec bestritten sein wird, uacbdcm man aus diesem Buche ersehen hat, diB 
infinitesimale Betrachtungen in ABcniMEt>iü<' eigener Darstellung unverscbleicrt t 
treten können. 



^^^^^^H Rine neue Si^hrifl ^tei Ari-himede-i 347 

trMhtAn Bin lt. sn weit gefriebeu hat, daU er selbst iu der Snhrift Tilier liie 
l'urubMquiidriitur, wo er dieser Herleitang die exakte Komi eiufs Kx- 
linuatiousbe weises gibt, es doch für notwendig hillt, damuf eine eigentlich 
geometrische Beweis fü hr im g folgen zu lassen. Diese würde gitnz natürlich 
sein, wenn seine eigene exakte Begründung der Statik im I. Buche Über 
das Oleicbgewicbt ebener Figuren damals noch nicht vorlag, und er also 
auf einer älteren, weniger genauen Mechanik bauen uiufite. In diesem 
Falle veratebt man auch seinen Wunsch, nachher seiner neuen Methode 
eine bessere Grundlage zu geben, und besonders die bei der l'arabel- 
qitadratnr benutzte Bestimmung des Schwerpunktes eines Dreiecks mit der 
in der Geometrie verlangten Genauigkeit zu beweisen. Aber auch wenn 
sowohl die uoch erhaltene Schrift über Gleichgewicht als die soeben als 
möglich angenommene Fortsetzung damals vorlagen, und der Schwerpunkt 
in diesen zum ersten Male hervorgetreten war, konnte AitciittiKnES diesen 
Begriff als zu neu betrachten, um zu hoffen, daß andere den darauf ge- 
gründeten Beweisen eine geometrische Sicherheit beimessen würden. 

In beiden Fällen versteht mau, daß ÄRCiiiMEnES in der vorliegenden 
Schrift sich die Mühe erapart, den meebanisehen Herleitungen die Form 
von Exbaustionsbeweisen zu gehen, was ihm doch gar keine wirkliche 
Schwierigkeiten verursachen konnte; dies würde nämlich nicht genügen 
um die Beweise exakt zn machen. 

Ehe wir die mechanischen Voraussetzungen Terlaesen, ist noch zu 
bemerken, daß die Benutzung des Schwerpunktes eines Kegels, dessen 

BeBtinimung durch Integration die Kenntnis des Integrals ]x^dx vor- 

aassetzt. dem Akchimedes erlaubt auch andere Bestimmungen auszuftihreu, 
die für uns auf dusaelbe Integral führen würden, ganz wie bei der Parabel- 
quadratur die Kenntnis des Schwerpunktes eines Dreiecks die Integration 

Ix^dx ersetzt Von seiner Hand kannte man bis jetzt nur eine Be- 
stimmung, deren Schwierigkeit durch unseren Gebrauch des Integral 
^x^ilx sich angeben läßt, nämlich diejenige des Schwerpunktes eines 

Parabelseginents, die im 2. Buche über das Gleichgewicht ebener Figuren 
durch ganz besondere Hilfsmittel ausgeführt wird.') Seine in den Anfangen 
der Schriften über die Spiralen (11, 4U_) und über die Konoide und Sphä- 
roide (I, 2(<C>J aufgestellten direkten Methoden, die er in den genannten 
Schriften mit völliger Konsequenz tiberall da anwendet, wo man jetzt die 

I) Siehe mein Buch: Die Lelire i'oii den Kegelsclmitttn im AlUrtam, S. 438 (tu 
(Unlieben Ausgabe S. 2S3), wo ich eine l.a.klIn(^ der BpweisITihrung misfQJIe. 



I 



J. L. Heibercj and H. G. Zicrnsti. 



Integrale ^x^dx und ^xdx anwenden würde,') reichen, wie man es ebi 

aus diesem Vergleich ersieht, nicht so weit. 

Wir haben hier schon in Verbindung mit der Vorrede die von Arcri- 
MEDKS an Satz I geknüpften weiteren Bemerkungen benutzt. Solehe finden 
sich auch am Schluß vom Satu II und lehren uns, daß ArihihEDES den 
Rauminhalt der Kugel früher als ihre Oberfläche erkannt hat. Die darauf 
gegründeten weiteren Folgerangen aber schieben wir bis auf den Schluß 
dieses Aufsatzes auf. 

Seine Methode erklärt Akchiuedes nur durch die in den Sätzen I — X 
enthaltenen Anwendungen, die auch zu diesem Zwecke genügen. Von I 
haben wir hinlänglich gesprochen. In II wird der Rauminhalt einer Kugel 
dadurch bestimmt, daß, wenn sie zusammen mit einem gewissen 
ae^ im Punkte d eines in k unterstützten Hebels aufgehängt wird, dii 
Körper mit dem an der Stelle bleibenden Zylinder f>';Ä in Gleichgewicht 
sein werden. Nachdem man II gelesen bat. wird man ungefähr die nach 
demselben Muster unternommenen Bestimmungen der Rauminhalte eines 
UmdrehungselUpsoids (III) und der durch Ebenen senkrecht auf die Achse ab- 
geschnittenen Segmente eines Umdrehtmgsparaboloids (IV i, einer Kugel (VII) 
und eines Umdrehungshyperboloids (X) nachmachen können. Die dabei 
hervortretende Uberem Stimmung der Aufgaben ist dieselbe, die sich uns jetzt 
dadurch zeigt, daß die (ileichungen der Meridiankurven aller dieser Flächen 
die Form y^ = px -f- 9^^ haben, wo g ^ 0. Eine entsprechende l ber- 
einstimmung findet man nnter den Bestimmungen des Schwerpunktes eines 
Paraboloid Segments (V), einer Halbkugel (VI) und eines Kugelsegmenta 
in Vni und IX. Sie werden alle dadurch bestimmt, daß die an der Stelle 
bleibenden Körper mit gegebenen Körpern in gegebenem Abstand vom 
UnterstutKungspunkt in Gleichgewicht sind. Man wird auch, wenn AüCBl- 
HEDEä in X von anderen Anwendungen derselben Methode spricht, 
erster Linie an die anderen Segmente ähnlicher Natur (Inhalt und Seh' 
punkt eines Ellipsoidsegmentes, Schwerpunkt eines Hyperboloidsegmentefl) 
denken. Bekanntlich hat Archimedks in der Schrift über Konoide und 
Sphäroide die Sätze über die Rauminhalte aller dieser Körper, auch dann, 
wenn die Segmente schief abgeschnitten sind, geometrisch bewiesen, nicht 



«gel „I 






1] Dies babe ich im 20. Absdiuitt des eben litierten üuchea im eiuielueu nach- 
gewiesen. Aur diesen konsequenten Gebrauch der Methoden giünde ich die Be- 



techtigung, sie als „iDtegralionsmethoiIeii 
weniger beattitteii eeiu wird, i 
infiuitegimftle BetrschtUDgeu in 

treten können. 



u hezeicbneu, eine Benennung, die rielleifht 

lan aue dieeem Boclie ersehen hat, daß 

eigener Darstellung unvertcbleiert an^ 



d 



^^^^^^^1 Eine neue ^clirift des ArchimedoH. 349 

aber die Sätze über ihre Schwerpunkte, deren ßeBtimmung durch die 

Integralrechnung teilweiae vom genannten Integral jx^ilx abhängen würde,*) 

Die Über ein stimmende Behandlung der Sätze I — X macht auch die 
wenigen, diese Sätze betreffenden Laliunen recht bedeutungaloa für das 
VerBtändnis des Inhaltes. Dies ist doch erat dadurch erreicht, daß dieselbe 
l bereinatimmung und der ganze Zusammenhang achon von Herrn UEiisEßn 
benutzt sind, um das schwierige Manuskript zu lesen und die Figuren zu 
rekonstruieren. Von VIll fehlt noch die ProtaaiB oder die Aussprache dea 
Hatzes neben dem ersten Anfang des Beweises, Dieser Anfang hat jedoch 
nur einen Teil der Beschreibung der Figur enthalten. Die Fortsetzung 
zeigte im wesentlichen wie dieae. übrigens in völliger t bereinatimmung 
mit den Figuren 6 und 7, zu rekonstruieren war. und der Beweia euthäJt 
faktisch eine vollständige Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen 
Kngelaegmentes. Wenn jedoch demnäcbat IX angibt, daß der Schwerpunkt 
einea .beliebigen' Kugelsegments in derselben Weise beatimmt werden 
kann, muß VIII zwar eine gewisse Begrenzung enthalten haben. Die VoU- 
atändigkeit der Beweisführung zeigt jedoch, daß dieselbe nur etwa in der 
Angabe bestanden haben kann, daß das Segment größer (wie es in der 
Figur 8 des Herrn HüiBHitfi vorausgesetzt ist) oder kleiner ala eine Halbkugel 
sei. eine Begrenzung, die nötig war um eine bestimmte Figur zu haben 
Abgesehen von der kleinen Abänderung der Figur darf Archimedes dem- 
nächst in IX mit vollem Recht sagen, daß der Beweis im anderen der 
genannten Fälle in derselben Weise wie in VIII geführt werden kann. 

1) Disjenigeo vou allen dienen BealimmuQgen, die aicbt io ähcrihede«' Qbrigen 
Schriften erhalten Bind, hat erat Lrr* VALKni'i (1552—1618), der iich in hervoc- 
rageuder Weiäe Am uixkoes' Arboitsweigo angeeignet hatte, niedergefunden (in seinem 
1604 ausgegebenen Buche: De caitro giuvil-ilk soUdoram). Ohne im einzelnen dem- 
Bel))en Weg wie AKriTiHFiiiEn zu falgen (siebe Note S. 35\), gelangt auch er bo weit durch 
Benutxnng des Schwerpunkts eines KegeU, den er durch vorangehende Bettacbtimg 
desjenigen einer dreiseitigen Pyramide gefunden hatte. 

OieB war jedouh nicht nOti^ um die Hiobtigkcit der aus der hj'droatatiacbeu 
Subrift des Abchimkdeh zu entnehmenden Angabe über die Lage des Schwerpunktes 
eines ParüholoidBegments in beweisen; sulche Beweise waren auch vor Valerio ge- 
funden. In Der Lehre von den Kegeltchnüler im Allertimi (S. 285 der dänischen 
und S, 451 der deutschen Ausgabe) habe ich ~ wie es sich jetzt zeigt, richtig — 
enateu, daß Agcuiueues bei lUeaer Bestimmung die Jetzt vollatändtg vorliegende, 
tuecbanische Methode, die damals allein durch die Anwendung in der Schrift über 
die Parabelqttadratur bekannt war, angewandt hatte. Da noch kein Vorbild für die 
Anwendung aut Bestimmungen von Schwerpunkten vorlsg,'abe ich jedoch unter den ver- 
■ohiedenen möglichen Formen einer aolchen Anwendung nicht genau des ABi-niMEnea' 
>ehr einfache und schüne Herleitung getroffen, die jetzt in V vorliegt. 



I 



riud U G- Zu. 






Dieselbe Teilung eines Salzes über Kugebegmente findet Etch 
und XLllI des ersten Buches über Kugel und Zylinder Vom Beweißi 
YI. Satzes über den Schwerpunkt einer Halbkngel fehlt der Schluß 
Gang des Beweises geht jedoch hinlänglich aus dem erhaltenen Teil herv 
Es wäre selbst möglich das Fehlende mit Ausdrücken, die von Ai«'[ii.«t:nf> 
selbst benutzt sein könnten, zu rekonstruieren Denn die Bestimmungsweii 
ist ganz dieselbe, die AncHlMKi'KS nachher in V'III auf ein beliebjj 
Kugelsegment anwendet. Um den Schluß von VI zu haben, würde e4 
genügen in dem entsprechenden Teil von VIII das Segment durch 
Halbkugel zu ersetzen, woraus folgt, daß e und ,C mit ß und d, der Ki 
fixC: mit dem Kegel ßxÖ zusammenf^t, was eben auf der Fignr t 
schehen ist. Außerdem werden andere Vereinfachungen davon herrühren, 
daß die im Beweise benutzte Bestimmung des llauminhaltes einer llalb- 
kugel einfacher ist als die des Hauminhaltes eines willkürlichen Segmentes. 
Letztere Bestimmung ist aus Satz VII entlehnt, wo sie ganz in der- 
selben Form gegeben ist, worin sie in VIII benutzt wird. Vielleicht hat 
Arciiimkdem den VU. Satz, der sonst seinen natiirlichen Platz unmitteltutr 
nach der Bestimmung des ÜAuminhaltes einer Kugel <II) haben will 
nur darum unter die Beispiele seiner Methode mitgenommen, weil er 
Resultat in VIII benutzen wollte. 

Die Bestimmung des Haurainhaltes eines Kugelsegmentea wird in V'II 
ganz durch dieselben Betrachtungen ausgeführt, die in II zur Bestimmung 
des Rauminhaltes einer Kugel dienen. Eben dadurch ward es möglieb 
aus den l'berreBten des Beweises den Satz selbst und die Figur zu rekon- 
struieren, wie auch einige kleine Lücken im Beweise auszufüllen. Dem- 
nach muß femer der Schluß des Beweises folgenden Hauptinhalt gehabt hal 
Da nun a/=^^city und y-ti^oLy, wird der dem Kugelsegm« 
gehörige Zylinder : Kegel a f ,C -f- Kugelsegment ßxf)=xy:\'z>j 
«/': \ % ij.xy. Nun ist Zylinder: Kegel a c ^C^ ot j'-: J « i^ 
wird Zylinder : Segment ^ a /* : J et jj . « / — \ xij- sein. Ferner 
Zylinder : Kegel a ^ (i mit derselben (inindfläche ßö und Scheit«I 
wie das Segment = a/^ : ), tjß'. Also wird Segment w /i ö : Ki 

x/i»>=i ^./ «;'-i»'/'U'/^-- "der da ^r-'iß=>tP-'ty 

Segment «/!d: Kegel a^ö= Haj«^ aj^ : (^j'oder= l a^ + »;/: ijj 
was zu. beweisen war. [Verlängert man den Durchroesser at/ flh( 
hinaus um den Halbmesser bis zum l'unkte, der in VIII ^ geni 
ist, Pf> wird man eben den in VIII benutzten Ausdruck ^ri-'iy ha! 

Die Bildung und t'sibildung der Proportionen ist jedoch hier kfli 
gegeben, als AK('niMKl>l'> es getan bfihen wird. 

Durch diese II) Beispiele bat Aulhimkde» seine Methode so gut 



i 



! Schrift des ArchimedsB. 



351 



IilSrt, daß man vollständig sieht, nicht nur wie er sie hier anwendete, 
sondern auch auf neue Au%aben, z, B. auch auf die beiden neuen in der 
Vorrede genannten Hauptsätze, anwenden konnte, Beror wir uns an diese 
wenden, haben wir jedoch noch zo fragen, ob die Fruchtbarkeit der Methode 
nur durch die in die Äugen springende, glückliche ZuBamraenstellung ver- 
Bchiedener Bestimninngen, nämlich von Räumen und von Schwerpunkten, 
erlangt wird, oder ob sie auch auf die Einführung ganz neuer infinitesimaler 
Begriffe beruht. In der Tat begegnet ans ein solcher in der Bestimmung 
des Schwerpunkts durch die Größe, die wir jetzt das statische 
Moment eines Körpers in Beziehung auf eine feste Ebene nennen, 
und der Auffindung dieser liröße durch die unendliche Teilung 
des Körpers mittels paralleler Ebenen. Zwar hat Archimkdes keine 
eigene Benennung fiir das Moment. Überall in den Beispielen kommt 
aber ein Raum vor. der nach Multiplikation mit einer konstanten Größe, 
genau dem Momente gleich ist. 

Hat eine beliebige der mit der festen Ebene parallelen Ebenen den 
Abstand x von ihr, und macht sie im Körper den Schnitt u, wird das 
Moment |a^«rfj: oder « — «rf j: sein. Bringt man nun den Körper ohne 
seine Lage zu ändern auf einem in seinem Schnittpunkte mit der festen 
Ebene (x-^O) unter stützten Hebel an, wird er mit einem auf der anderen 
Seite der Ebene an dem Hebel im Abstände a aufgehängten Körper von 
der Größe l — «dj- in Gleichgewicht sein. Nennen wir diese Größe V, 
den Itanminhalt des vorgelegten Körpers Ui^^udx) und den Abstand 
des Schwerpunktes dieses Körpers f, hat man U: V=a:§. U ist in den 
Beispielen des Archimedes bekannt; mittels der Proportion bestimmt er 
demnächst entweder V durch § oder umgekehrt. 

Da die vorliegende Schrift in der neueren Zeit bis jetzt unbekannt 
war, bemerken wir, daß AKCUiHBnKS doch auf die moderne Bildung des 
Begriffes des Momentes ebes Körpers Einfluß gehabt hat, nämlich durch 
ihre Anwendung in der Schrift über die Parabel qu ad ratur (vergl, den vor- 
liegenden Satz I). Da kommt jedoch nur das Moment einer ebenen Figur 
in Beziehung auf eine Gerade vor.') 

1) Luci Valebid'b Lösung äec von AKtMiuEpBa beb&ndeltfln Aufgalien (sialip Notü 
8, 349], weicht von der Torliegeaden namentlich dadurch ab, daS er nicht die Momente 
in hervot treten der Weise benutzt. Ohne dies zu tun, kaiin or den Scbwerimokt oineii 
PHmboloidaegnionts finden. Der jetiigen Gleiehunggform t/' ■= /ix + qj:' der Meridiun- 
kurve enlsprscbend , eitid die übrigen Segmente Summen oili^r Differenzen eine« 
Pftiaboloidiiegments imd eiues Kegels, Auch Ahchimi-.iikb benuliit dio»o ZtinftuiuiBu- 
setzung, aber so, daB er niubt »uf dag in V für das ParaboloidsegiuGDt gewonnene 



J. L ÜElBKII'i 



[. G. Zbiti 



Nachdem ÄBCHl»lEüE^ in den Sätzen I— X seine Methode rd 
erklärt hat. geht er za den Sätzen über, die er im Anfange seines Schreibens 
an Eratosthexes besonders hervorgehoben hat. Die Behandlung des 
ersten umfaSt sowohl eine Herleitung durch die mechanische Methode 
(XI — Sil) als einen in Xlli vorbereiteten, geometrischen Beweis, dessen 
in XIV erhaltene Trümmern zeigen, daß er eben so vollstiindig gewesen 
ist als die Beweise in AuciidiedEn" anderen Schriften. Die Behandlung 
des zweiten Satzes fehlt ganz im Manuskript. Es ist doch kaoin zu be- 
zweifeln, daQ sie eben so vollständig dagewesen ist. 

Der erste Satz gibt den Rauminhalt des kleineren Teils eines in ein 
rechtstehendes IMsma mit quadratischen lirundflächen eingefichrieheoen 
Zylinders an, der von einer Ebene geteilt wird, die durch eine Seite der 
einen und den Mittelpunkt der anderen tirundfläche des Prismas geht. Um 
diesen Rauminhalt durch ^eine Methode zu tinden. zeigt AitciiiMEDES zuerst 
in XI, daß das genannte Zylinder stück, wenn man es mit seinem ge- 
sammelten Gewicht in dem Punkte, der in der Fig. 9 jT und in Fig. 10 / 
genannt wird, an einen im Mittelpunkt des Prismas unterstützten Hebel 
aufhängt, mit dem auf seinem Platz bleibenden im Keehteck ößioy und 
im Halbkreise i»JTO projizierten^^ Halbzjlinder in Gleichgewicht sein wird. 
Um dadurch die (iröBe des Zylinderstücks zu finden, muß man das Moment 
des Halbzylinders in Beziehung auf die iayö und ^o projizierte Ebene be- 
stimmen. Diese Bestimmung, oder die damit gleichgeltende des Schwer- 
punktes des Halbzylinders, wird daher in XH auBgefiihrt. Man findet, duß 
der Halbzyliöder, dessen Querschnitt nun in Fig. 11 der Halbkreis o^q ist 
auch mit dem Prisma, dessen Querschnitt das Dreieck i]tffL ist und das die- 
selbe Höhe als das gegebene Prisma hat, in Gleichgewicht ist, wenn sie 
beide anf ihrem Platze bleiben und i? der feste Punkt des Hebels ist. Dann 
wird das Zylinderstück gleich \ des letztgenannten dreiseitigen Prismaf 
sein, das selbst \ des ganzen gegebenen, vierseitigen Prismas ist. Der 
Schwerpunkt des PrismaB liegt nämlich auf ^ Ö im Abstände | ^ ö von Ü. 

Zwar liegt dieser Beweis nicht vollständig vor, aber der erhaltene 
Anfang zielt eben auf diese Beweisführung so bestimmt ab, daß man 
sicher auf den Inhalt der Fortsetzung schließen darf. Wenn man in Xk 
eine Ebene senkrecht auf die Ebene der Figur errichtet, wird der Schwer 
pnokt des an enthaltenden Schnittes des Halbzylinders der Mittelpunkt 

RMultat binweiat, eondem jedesmal aiife oeue ilen Kegel einf&hrt, der in Gleicli- 
gewicbt mit dieeem ist. Er will nämtich ebeu deo Oebr>ach der Moment« 
leigen. Bei den Itauiubeatimmungen benutzt Vai.lui» dieselbe ZuEammenaetiuDg. 
1) Die >'i};ureo 'i und 10, welche die im Anfaug der Bewcisl^bruog «od XI 
geufuinteu Schnitte dorBtellen, gewähren in lier Tut ilensolbeu Nutten 
PiojektioDen des KCrpere. 



1 



i Schrift dn Archimedot, 



353 



VlB OK Eeiu, und der Schwerpankt des A^ enthaltenden Schnittes des 
dreiseitigen PrismaB der Mittelpunkt von 2/, dessen Abstand von o die 
Größe 1 (o*i -\- o/) hat Um zu beweisen, daß dieae Rechtecke auf einem 
Uebel mit dem festen Punkt o sich in Gleichgewicht halten, ist's also nur 
nötig, zu beweisen, daB 

Da J.j(^oA — a^, a/^aH und dX^ dem Halbmesser des Kreises ök ist, 
wird die Richtigkeit dieser Proportion daraus folgen, daß öa"^ + ok ^ '= öj(^ ist. 

Diese Schlußreihe wird AiiCHraEDES jedoch in umgekehrter Ordnung 
aufgestellt haben. Demnächst wird er wie gewöhnlich in der vorliegenden 
Schrift den Halbzjlinder und das dreiseitige Prisma als aus solchen ebenen 
Schnitten wie die hkr betrachteten bestehend aufgefaßt haben. Indem er 
weiter in irgend einer Weise — die sich eben, weil Arcuimkdes sich in 
der vorliegenden Schrift freier als sonst ausdrückt, nicht mit Sicherheit 
wieder herstellen laßt — die Symmetrie in Beziehung auf ^Jt benutzt hat, 
wird er bewiesen haben, daß das dreiseitige Prisma an seiner Stelle, wie 
früher das ZylinderstUck in ;; angebracht, an dem in D unterstützten Hebel 
mit dem Halbzylinder in Gleichgewicht ist. IVaglich ist es nur, ob 
AitCHLMEiiES als ein Zwischenglied der Untersuchung auch den Schwer- 
punkt des Halbzylinders bestimmt hat. 

Unabhängig davon, was Ahcuimedes selbst davon bemerkt haben mag, 
dringt sich hier eiu Zusammenhang mit anderen Untersuchungen auf. 
Der hier bestimmte Schwerpunkt des Ilalbzyl Inders ist mit demjenigen 
Beines Querschnittes, des Halbkreises o;r^, identisch. Wegen des später 
im Altertum gekannten, sogenannten PAPFi;s-Guu:iiNschen Satzes, dessen 
Richtigkeit für die einfachsten Spezialfälle natürlich Irüher bemerkt war, 
ist die hier genannte Bestimmung wieder mit derjenigen des Rauminhaltes 
der Kugel, auf welcher ottq ^ ein größter Kreis ist, wesentlich identisch. 
Daher müssen auch die Beweise, die man, jeden für sich, für diese Be- 
stimmungen führen k ann, ganz von selbst miteinander übereinstimmeu. 
Die hier benutzte Bestimmung des Schwerpunktes, oder genauer des 
Momentes, eines Halbkreises ojrg in Beziehung auf den Durchmesser uq 
entspricht dann ganz genau derjenigen Bestimmung des Rauminhaltes der 
Kugel mit dem größten Kreis ojtq§, die darin besteht, daß man, durch 
die Betrachtung ebener Schnitte senkrecht auf dem Durchmesser oq zeigt, 
daß der umgeschriebene Zylinder /' i' die Summe der Kugel und der durch 
die Umdrehung der Dreiecke öofi und Oqi) um op erzeugten Kegel ist. ') 

1) Diese BetraclituoK veTwendet I.ui.'a Vai-ksio in Hinem schon Bitierleo Bucije 
ao«obl nm die ttAuminbalte «lei Eugel und ihrer Segmente ili um die Schwerpiiukte 
denelben Körper eu tinden. 

BIbliollieu MmlianiBtir». 111. Fulge. VII. 'iA 



354 



J. L 



und H. n. ZiCTHKs, 



Ifl, 

ei- 

Ib- 



In Xm stellt AlK'HiUKDES den Gedankengang des geoi 
Beweises dar, doch noeh ohne den infinitesimalen Betrachtungen die Form 
eines ExhanstionsbeweiseB zu geben. Es fehlt zwar hier ein Teil de« 
Textes, es ist aber eben soviel übrig geblieben, als zur Erkennung des 
ganzen Beweises nötig ist. nämlich erstens die Konstruktion (Fig. 12) der 
Parabel i;ef und demnächst der Gebrauch dieser Hilfskurve. Eb fehlt 
also nur der leichte Beweis für die Richtigkeit dieser Anwendung. 
Aki'HIuüiue.s hat schon in dem erhaltenen Anfang des Beweises aii! der 
Hanptei gen Schaft (Gleichung) der Parabel eine Proportion hergeleitet, die, 
da 7]K^ ft y, so geschrieben werden kann 

juv IVA ^= fiv* : Äa^ 

Nun schneidet die durch fi v gezogene, auf der Ebene der Figur senl 
rechte Ebene das von ARiHiMEDES im erhaltenen Text beschriebene drei 
seitige Prisma mit der Seitenfläche tj ö und das gesuchte, auf dem Halb' 
kreise f^ij stehende Zylinderstück in Dreiecken, die sich wie /tv*: 
verhalten. Da nun ft§* = fiv^ — xa', leitet man ans der obigen 
Portion her, daß , ., , 

und demnächst findet man, wie es im letzten der erhaltenen Textstlicke 
gesagt wird, daß das dreiseitige Prisma sich zum Zylinderstück verhält 
wie das Rechteck öij zum Parabelsegment f.C'/. Die gesuchte Kubatur 
ist also auf die bekannte (Quadratur der Parabel zurückgeführt, und daraus 
hat Arciumkoks schon hier das Resultat hergeleitet. 

Man sieht, daß die Parabel nur als analytisches Hilfsmittel auftritt. 
Jetzt würde man, wenn man die Seit« der Grundfläche des gegebenen 
Prismas 2 a nennt, seine Höhe b und den Abstand x/i des betrachteten, 
ebenen Schnittes vom Mittelpunkt der Grundfläche durch x bezeichnet, 

das Zylinderstück durch das Integral s 6 I la — — ) rfa; ausdrücken, 

der Ausdraok wub — ^— völlig der IVoportion entspricht, durch weldl 
Akchimeden den Schnitt des Zylinderetücks bestimmt. Wir machen es, 
weil wir den Wert des Integrals kennen. AunilMKiiRs wendet die ent- 
sprechende Umbildung iin, weil er denselben Wert kennt, nämlich in der 
Gestalt des Ausdruckes der Fläche eines Segments der durch die Gleichung 

y =*a (oder durch die entsprechende Proportion) bestimmten Parabel 

Wie man es in der Renaissance tat, benutzt Akcüimedes also die i 
gewonnenen Quadraturen statt unserer Integrale. 

Von XIY fehlen große Stücke. Es würde uns aber gewiflsermal 
genügt haben, wenn Abcbihedes nur nach XIII gesagt hätte: Dieser Bew 



t ScJirin des ArchimedeB 



355 



1 m einen ExhauationBbeweis umgestalteD. Denn der Baa dieser 
Beweise ist so festen Regeln unterworfen, daß jedermann, der z B die 
Beweise in der Schrift über die Konoide und Sphäroide kennt, selbst die 
ünigestaltong ansHibren kann Die CberreBte des Beweises XIY zeigen, 
daß Akchimedes in der Tat einen mit XIU übereinstimmenden Exbaustioas- 
beweis in der Oberlieferten Form geführt bat. 

Ans dem ersten BmcbBtUck sehen wir, daß Akcuimede», nach einer 
Teilung des Zylinderstücke durch äquidiatante, auf ijf (Fig. 12) senkrechte 
Ebenen, anf den Schnittea rechtstehende Prismen konstruiert hat, die 
außerdem von der einen oder der anderen der benachbarten Ebenen be- 
grenzt sind, und daher zwei Ileihen bilden, die beziehungsweise das Zvlinder- 
stUck umsehließen und von ihm umschlossen werden. Weiter hat er, 
wie er sagt, bewiesen, daß es — natürlich durch Teilung der Gerade et) 
in hinlänglich viele Teile — möglich ist zu erreichen, daß „die umschriebene 
Figur die eingeschriebene um weniger als jede beliebige Größe Ober- 
trifift"') Nach diesem Beweise muß Ahciiimedes versucht haben voraus- 
zusetzen, daß das gesuchte Zylinderstüek >■ | des von derselben (schiefen) 
Ebene abgeschnittenen dreiseitigen Prismas (mit der Seitenfläche öij) sei. 
So wäre es möglich, daß — wie es im niichsten erhaltenen Stück beißt 
— das Prisma •< ^ des im Zy Lind erst f ick eingeschriebenen Körpers sei. 
Die Unmöglichkeit davon wird gexeigt durch Anwendung derselben Pro- 
portion, die in XUl für das Zylinderstück und das ParaI>elBegment vor- 
läufig aufgestellt war, auf den in das Zylinderstück eingeschriebenen Körper 
und die entsprechende in das Parabelsegment eingeschriebene Summe von 
Rechtecken. Daß sie fiir diese gilt, erhellt aus den in XIII bewiesenen Pro- 
portionen, muß aber auch in dem vorher fehlenden Stück von XIV vollständig 
begründet gewesen sein. Nach der nächsten Lücke, wo die Annahme 
versucht sein muß, daß das Zylinderstück <C l des dreiseitigen Prismas 
sei, folgt nämlich der Schluß des entsprechenden Beweises dafür, daß die- 
selbe Proportion für den umschriebenen Körper und die Summe der ent- 
sprechenden größeren Rechtecke gilt. Der Gang des ganzen Beweises 



1] Dieae Au Bdrucks weise benutzt AncniUEDEii nicht nur hier, Bciudeni auch in 
mebreTen aeinei frQher bekäDutea ExhauttioDsbeweiBe (Siehe t. B. 1 BT4, 17; SSO, 4), 
Wenn ich also, mit Bexug dusuf, daB man diesem uder jenem VerfsBger in der 
neueren Zeit die Erfindung dieBCü Au»<irueks für einen eialtteu Grenz Übergang lu- 
Kbieibt, in meiner Gtichichte der Mitthtmalik im X VI. und X Vll. JaJtrhumUrl 
(S. 882 in der däniscbnn und S. 274 in der deutschen Ausgabe) anssptoche . daß der 
hier hervorgehobene Ausdruck ,in der Tat nur besagt, was schon im Kihaustiuus- 
l>eweise der Alten enthalten ist," habe ii;h den Alten noch kaum alles, was ihnen 
gebührt, Kemeben. 



356 



J. L. TIeibeb« und il. G. Zei 



läßt flieh also roHetäudig verfolgen, und muß mit dem vorläufig iu xftl 
Bufgestellten Schluß enden, daß das Prisma = i des Zylinderetücks iet 

Wie dem Ex ha u st iona beweise XIV die vorläufige infinitesimale Be- 
trachtung in XUI vorausgeht, und wie auch die kürzere Beweiafiihrung 
in 1 dem in der Schrift Aber Parabel quadratur früher mitg«teilt«n Ex- 
haustionsbeweis für die mechanische Quadratur entspricht, ao wird es nun 
erlaubt sein, überall, wo Akchimedk.s Exhaustions beweise benutzt, voraus- 
zusetzen, daß er vorher durch Ähnliche infinitesimale Betrachtungen dieselben 
Sätze gefunden hat') ärchimeoes wendet zwar auch nicht in diesen 
Betrachtungen das in der früheren griechischen Mathematik viel gebranchte.-t 
aber später wegen Mißbrauchs verpönte Wort änt/Qo^; an. Seine Äiis- 
druckaweise kommt uns heute noch schlimmer vor als ein solcher nocb 
im 18, Jahrhundert geltender, leichtsinniger (iebrauch des Worte, „an- 
endlich", wenn er nämlich Flächen und Körper als aus Geraden und ebenen 
Figuren zusammengesetzt betrachtet. Die Hauptsache ist aber, daß er 
diese Worte nur da gebraucht, wo er voraussieht, daß seine Räsonne- 
ments sich nachher durch einen Exhaustionsbeweis ratifizieren lassen 
Dann werden seine Betrachtungen dieselbe Gültigkeit haben, wie diejenigen, 
die sich jetzt auf (.'auchv's Infinitesimal begriff stützen. 

ÄRCHIMEDES hat durch die Beispiele I — X und durch die Anwendung 
zur Auffindung der ersten seiner neuen Hauptsätze seine mechanische Methode 
so vollständig erklärt, daß es dem aufmerksamen Leser nicht schwierig sein 
kann selbst den letzten seiner Sätze durch dieselbe ^lethode und im genausten 
AnschluBse an ihre früheren Anwendungen herzuleiten. Wir werden eine 
solche Herleitung zeigen, und werden nachher untersuchen, ob andere, 
von dieser wesentlich verschiedene Herleitungen gut denkbar wären. 

Der Satz, der herzuleiten ist, betrifft den Kauniinhalt, der von zwei 
Zylinderflächen, die beide in einen Würfel eingeschrieben sind, umschlossen 
wird. Jeder Zylinder hat seine Grundflächen in zwei entgegengesetzten 
Seitenflächen des Würfels, während die Zylinderfläche die vier anderen 
berührt 

Unsere Bestimmung dieses Raumes wird sich ganz genau an die Be- 
stimmung des Hauminhaltes einer Engel iu II anschließen. Wir können 



1} Da der EiliftustioDBbewei« nur dssii geeignet ist, sclion gefandent Ergeboine 
zu btwtiatn, iBt eiue solche Annkhiue wohl den meiatOD ganx natürlich vorgekommea. 
Sie IBt jedoch in der neueren Zeit vou llenru C Ft. Willn^a in verschiedenen .Artikeln in 
die«er Zeitschrilt (siehe besoaderBr Über dit Entstehung dt* Grenibegriffg, Bibüoth. 
Hatbem. i 3, 1»03, S. 246) bestritten worden. 

2) Siehe Akihtütelr» 208>> IT, 204 > 34, 207 b 10 (HßBEBii, MathemalisiAa iH 
>^; AbhkDdl. zur Geich. der mathem. Wi«i. 18, 1904, y 



I 



Kine neue Schrift des Archimwlee 357 

zu dieselbe Figur (Fig 21 benutzen. Nur soll jetzt die Eltene der 
Figur die durfih den MittelpuuktdesWflrfels senkrecht auf die Achse des einen 
Zylinders gelegte Ebene sein, der Kreis xßyt'i der Schnitt dieses Zvlinders, 
yijD^w der des Würfels. Wenn die übrigen Geriiden wie in il konstruiert 
werden, wird i: ^ rj Ä der Schnitt eines Prismas sein, das dieselbe Höhe 
xy als der Würfel bat, während die GrundUäche ein Quadrat ist, dessen 
Seiten (f £) doppelt so groß als die Kanten des Würfels sind. « e ,C ist 
der Schnitt einer Pyramide mit derselben Höhe und derselben (irundfläche 
als dieses Prisma. 

Eine mit den Achsen der beiden Zylinder parallele Ebene schneidet 
den gesuchten Körper in einem Ui«i<li'at, dessen Seiten die Große i?o haben, 
das Prisma in einem tjuadrat, dessen Seiten = /.t v sind, die Pyramide in 
einem Quadrat, dessen Seiten = :rQ sind. Aas der in II bewiesenen 
Proportion ad:xö = /iy^:§o''-\-n-Q'^ folgt nun, daß Körper + Pyi"amide, 
iu aufgehängt an dem Hebel mit dem Unterstützungspnnkt x, mit dem 
an seiner Stelle belassenen Prisma in Gleichgewicht sein werden. Die 
Pyramide ist ^ des Prismas, und der Mittelpunkt k ist der Schwerpunkt 
des Prismas. Also ist der gesuchte Körper ^ £ Prisma, und da dies 
= 4 Würfel ist, wird der Körper =- f Würfel sein, wie in der Vorrede 
angegeben. 

Bis in alle Einzelheiten könnte dieser Beweis wie derjenige in II 
formuliert werden: es genügt, die kreisförmigen Schnitte in II Überall 
durch Quadrate zu ersetzen. 

Andere Beweisführungen würden kaum durch Akciiimei'Es' Method« 
möglich sein, ädchimede.s benutzt nämlich immer die in parallelen Ebenen 
enthaltenen Schnitte des gesuchten Körpers. Wenn man im vorliegenden 
Falle dazu andere Ebenen als die mit den Achsen der beiden Zylinder 
parallelen nähme, würden die Schnitte, im günstigsten Falle, von Geraden 
und Kreisen umgeben sem, und also gar nicht für die vorliegende Unter- 
suchung geeignet sein, 

Daraus darf man weiter schließen, daß — was bei dem vorhergehenden 
Satze nicht der Fall war — auch im geometrischen Beweise, der wahr- 
scheinlich der uiechanischen Herleitung folgte, dieselben Ebenen benutzt 
sind^), und dann muß dieselbe Übereinstimmung mit einem geometrischen 
Beweise des Satzes über den Rauminhalt einer Kugel, die uns bei der 
mechanischen Herleitung begegnet ist, sich auch hier ganz von selbst dar- 

I) Herr Prof. C. JtET, hat mich darauf aufm erkg&m gemacht, daß der hier hetiachtet« 
KOrpei auB S ZjUnderrtückeD toq der im Torigeu Hauptsatz behaii<!olteD BeBchalfeD- 
heit iuBammeiigeBet::t ist. Wie die S&tie jeder für licli aufgestellt siad, bat ABniiHLuu 
lie doch gewifl auch unahh&ugig yo nein an der behandelt. 



3B8 



J. L Heibeho und K. G. Zbi-vhen. 



geboten haben. Eben daher ist der Verlust des geometriHchen Beweise! 
besonderB zu bedauern. Wir wisaen nämlich au§ dem SchlnsBe von II, 
daß der Rauminhalt der Kugel Archimedes früher als ihre Überfläehe bekannt 
war, und daß er also urspriinglieh nicht, wie im 1. Buche über Kugel 
und Zylinder mittels dieBer bestimmt ist. Hat er auch zueret diesen In- 
halt durch seine mechanische Methode gefunden, wird er es nicht Ter- 
eäumt haben selbst dieses wichtige Resultat gleich' auch durch einen 
geometrischen Beweis zu sichern, wenigstens bevor er die darauf be- 
ruhenden Aufgaben an Konon sandte. Auf einen solchen muBte die bei 
der mechanischen Herleitung in II benutzte Teilung durch parallele Ebenen 
ihn leicht führen, selbst ohne daß er noch die in der Schrift über Konoide 
und Sphäroide zur Kubatur des EUipsoids benutzte besondere Integrations- 
methode, die also auch auf die Kugel anwendbar war, erfunden hatte. Er 
konnte aber dabei auf verschiedene Weisen verfjihren, unter welchen man 
also raten muß. Wegen der Übereinstimmung mit der in XII gegebenen 
Bestimmung des Schwerpunktes eines Halbkreises liegt es doch am nächsten 
an LucA Vai.erio's Bestimmung des Rauminhaltes einer Kugel (Note S. 3r>3) 
zu denken. Diese wird dadurch erreicht, daß in Fig. 11 ein Kreis mit dem 
Halbmesser nÄ der Humme zweier Kreise mit den Halbmessern n« und 0/ 
gleich ist. Faßt man nun Fig. 11 so auf, wie wir eben Fig. 2 aufgefaßt haben, 
und vertauscht man diese drei Kreise mit Quadraten auf ihren Durchmessern, 
wird man ganz in derselben Weise ersehen, daß der Würfel mit dem 
Schnitt /'t' der Summe des gesuchten Korpers und der zwei Pyramiden 
mit dem Scheitel und denselben Orundflächen wie der Würfel gleich ist. 

Den hier versuchten Beweisen für die zwei Raum b est immungen kann 
man leicht die Gestalt eines Exhaustionsbeweises geben. Kannte Aschimedes 
einen dieser Beweise, würde der andere sich von selbst darbieten. 

Unsere Restitution der mechanischen Herleitung und des geometrischen 
Beweises des letzten Hauptsatzes stützt sich zwar hauptsächlich darauf, 
daß nun einmal solche Beweisführungen existiert haben müssen, und daß 
dazu keine andere brauchbare Hüfsmittel vorlagen als die von uns be- 
nutzten. Doch haben wir dabei auch mit AitrHiMEDE.s' durch seine vielen 
Untersuchungen gewonnener Übung in derartigen Betrachtungen gerechnet, 
und namentlich mit seinen auch hier hervortretenden Bestrebungen seine 
Entdeckungen auf verschiedene Weise zu begründen und mit seiner Fähig- 
keit die Ergebnisse einer Untersuchung auf eine andere zu übertragen. 
Von letzterer Fähigkeit zeugt die Methode selbst, die ja eben auf einer 
solchen t' bertragung beruht. Wir können hinzufügen, daß er kaum ohne 
diese Übung und diese Fähigkeit zu besitzen, die zwei Hauptsätze 
gefunden haben würde. Als den Vorzug dieser Sätze hebt er nämlich 



I 



Schrift des ArohiraeileB. 



1: Vorrede hervor, daß es möglich Ist nur von Ebeiien begrenzte Körper 
zu konstniieren, die den hier untersuchten Körpern gleich sind. Um ganz 
oder teilweise von krummen Flächen begrenzte Körper zu entdecken, die 
diese Eigenschaft besitzen, htit er sicher zuerst die Kubutur anderer Körper, 
die sie nicht hatten, versncht. und dann einen Blick dafür gewonnen, 
welche Abänderungen der Korper nötig waren, um sie zu erreichen. Wir 
nahmen ja besonders an, daß die Entdeckung dieser Eigenschaft bei dem 
suletst untersuchten Körper durch eine Abänderung der Bestimmung dea 
Kagelinh&ltes gewonnen ist. — 

Zuletzt werden wir die Untersuchung über den Hang der Entdeckungen 
der der Kugel gehörigen Rauminhalte und Oberflächen wieder aufnehmen. 
Bisher haben wir sie aufgeschoben, indem wir doch jeden einzelnen Beitrag 
zu einer solchen Untersuchung, der in der Schrift vorkommt, hervorge- 
hoben haben. 

Aus dem Schlüsse von 11 haben wir gesehen, daß die Kenntnis des 
Kaum Inhaltes einer Kugel der ihrer Oberfläche vorausging, und daß 
Archimedes in der Tat die Größe der Oberfläche aus der dea Raumin- 
haltes durch dieselbe Betrachtung hergeleitet hat, deren umgekehrte An- 
wendung in seiner Schrift über Kugel und Zylinder von der Oberfläche 
auf den Rauminhalt führt. Letzteres ward ihm nur dadurch möglich, 
daß er einen ganz neuen Beweis der Größe der Oberfläche erfand. Seine 
Ausdrucksweise in II deutet darauf hin, daü er damals noch nicht diesen 
neuen Beweis erfunden hatte, und daU also die vorliegende Schrift der- 
jenigen Über Kugel und Zylinder vorausgegangen ist. Dies werden wir 
daher, wenigstens vorlituflg, annehmen. 

Daß jedoch Akcuimkdek nicht erst jetzt auf den Gedanken gekommen 
ist, daß die Oberfläche einer Kugel viermal so groß ist als ihr größter 
Kreis, ersehen wir aus der ersten der früher an Konon gesandten Auf- 
gaben iß. 342), welche die Konstruktion einer der Kugeloberfläche gleichen 
ebenen Fläche verlangt {U, 4, 9). Jetzt erfahren wir aber, daß AiicuraEDE«' 
damalige Lösung dieser Aufgabe auf seiner Kenntnis des Rauminhaltes 
der Kugel beruhte. Ebenso beruhen die Lösungen der folgenden Auf- 
gaben (U, 4, 15 — 6. 7), welche Akchihedes später im zweiten Buche über 
Kugel und Zylinder mitgeteilt hat, alle auf der Kenntnis der Kauminhalte 
der Kugel und ihrer Segmente und auf der, wie wir jetzt wissen, von 
diesen abhängigen Kenntnis der Oberflächen derselben Körper; sie be- 
treffen ja eben diese verschiedenen Großen. Auch die hinzugefügten ^'exier- 
aufgaben (II, H, 10— », 8) beziehen sich auf die noch übrigen Aufgaben, 
die im zweiten Buche richtig gelöst sind. 

Schon damals mußte Akchiuedes, der gewifi die von ihm gestellten 






3«0 



I lind B. G Zbi'tdkh. 



Aufgabfin selbst lösen konnte, den in dem genannten zweiten Buche h^ 
handelten Stoff wesentlich beherrsf^hen, also namentlich mit der DarBtellung 
der Bnuminhalte der Kugel selbst und ihrer Segmente durch ihre Ver- 
hältnisse an Zylindern und Kegeln ganz vertraut gewesen sein. Wie wir 
eben gesehen haben, konnten direkte, geometrische Beweise dieser Sitz« 
ihm auch nicht fern liegen. Daß er sie jedoch in den zwei Büchern über 
Kogel imd Zylinder ganz anders, nämlich durch Benutzung der Größen 
der Oberflächen, bewiesen hat, läßt sich dadurch erklären, daß er nach 
der glänzenden Lösung einer ao ganz neuartigen Aufgabe als die Plaoi- 
fikation krummer Oberflächen die gewonnenen Resultate mögliebst viel 
benutzen wollte. Dadurch wird die Kinheit der Behandlung in diesen 
Büchern gewahrt, und ärchimedes befriedigte seine Lust, dieselben Fragen 
von verschiedenen Seiten aus anzugreifen. 

Beachtet man, daß die ganze Grundlage aller der an KoKOK gesandten 
Aufgaben über Kugeln die Kenntnis der Rauminhalte der Kngel und ihrer 
Segmente ist, wird es ziemlich auffällig, daß keine dieser Aufgaben sich 
auf dieses Fundament selbst bezieht. Man kijnnte vielleicht denken, daß 
Arciiime[>f:.s dadurch die Aufgaben fast unlösbar für andere als ihn selbst 
machen wollte; er würde sich aber dann dafür aussetzen, daß andere eben 
die von ihm verschwiegenen, wichtigen Sätze aufstelten. Außerdem macht 
er in den folgenden Aufgaben über die Spiralen und das Paraboloid eben 
das Umgekehrte, indem er die Lehrsätze selbst zum Beweisen vorlegt. 
Die Aufgaben machen vielmehr den Eindruck, daß er voraussetzt, daß auch 
seine Leser die genannten Rauminhalte kennen. J 

Derselbe Eindruck wurde bei mir durch die Lektüre der neu ^M 
fuodenen Schrift hervorgerufen. Wenn der Rauminhalt einer Engel, dev 
AttCHiMKDES selbst, wie wir eben sahen, jedenfalls schon voraus kannte, 
hieo: zum erstenmal veröfl'entlicht würde, sollte man glauben, daß er eine 
ao wichtige Entdeckung in der sonst recht ausführlichen Vorrede genannt 
hätte. Er verweist dagegen auf frühere Mitteilungen über den Rauminhalt 
eines Ellipsoids, der offenbar, wie es auch in der vorliegenden Schrift 
geschieht, durch Verallgemeinerung der Untersuchungen, die auf den In- 
halt der Kugel geführt haben, gefunden sein muß. Jedenfalls wird jeder- 
mann, der seine Bestimmung des Bauminhaltes des Ellipsoids verstanden 
hat, selbst daraus denjenigen der Kugel erschließen können. Da A 
MEDB8 sicher nicht ein so wichtiges Resultat auf diese indirekte W« 
preisgeben würde, m u ß er früher den Rauminhalt der Kugel und di 
wahrscheinlich auch die sich daran unmittelbar anschließende Bestimmung 
des Rauminhaltes eines Segments mitgeteilt haben, entweder ohne Beweis 
oder mit einem von der erst jetzt vorgelegten Methode unabhängigf 



^^_ 



^^1 Eine neue Schrin den Arcliimedee. 361 

geometrischen Beweis. Sonst müßte man annehmen, daß diese Raum- 
inhalte schon vor ARfiilMEDES bekannt waren. 

Eine solche Möglichkeit darf man nämlich nicht ohne eine nähere 
Untersuchung verwerfen. Nachdem wir erfahren haben, daß ARCiiiMEDEfi die 
Entdeckung der Oberfläche der Kugel auf seine frühere Kenntnis des Haum- 
inhaltes gegründet hat, wiirden alle Zeugnisse der späteren Literatur dafür, daß 
er auch den Uauminhalt gefunden hat, hinfällig. Arciiimedek' Schrift über 
Kugel und Zylinder ward nämlich bald die Quelle der Kenntnis der beiden 
Größen, und da geht die jedenfalls dem AiK'iiiHKDii:» gehörige Entdeckung 
der Oberfläche voraus. Man mußte also mit Sicherheit annehmen, daß der 
itauminhalt nicht früher gekannt sein konnte. Der Einfluß, den Archimedes 
durch seine Anordnung des Stoffes auf die ganze folgende Mathematik 
ausgeübt hat, ist so groß, daß man noch in vielen Lehrbüchern demselben 
Weg folgt und mit der schwierigeren Bestimmung der Oberfläche anfängt. 
Es würde doch einfacher und daher pädagogisch besser sein, zuerst den 
Raum z. B. so zu bestimmen, wie der auch von Auen im E des' anderen 
Schriften (namentlich von derjenigen über Konoide und Sphäroide) an- 
geregte LucA Valerio es tut, und man kommt dann jedenfalls ARCniMKiiES' 
eigenem Weg der Erfindung näher. Unter diesen Umstunden sagt es auch 
nichts, daß man später Arciiimede.s' bekannte Monument auf die beiden 
Entdeckungen bezogen hat. Die große Entdeckung der Oberfläche ge- 
nügt um dieses Monument zu rechtfertigen. 

Dagegen müssen wir alle Aufklärungen suchen, die in Archimedes' 
eigenen Scbrilten zn finden sind. Dann flndet man in der Vorrede zum 
1. Buch über Kugel und Zylinder eine Zeile, die ihm ausdrücklich die 
Entdeckung des Rauminhaltes zuschreibt, nämlich 1, 4, 3—4: oiiVöi; 
re t)fii6Xi6£ ^oziv tF/s fKpxiQxg, Kxi. Er legt hier die Sätze dar, die „nicht 
früher bewiesen waren". Er nennt zuerst die Sätze über die ganze Ober- 
fläche und über eine Kugelkalotte. Demnächst sagt er von dem um eine 
Kugel umgeschriebenen Zylinder, daß er sowohl selbst | der Kugel 
als '), seine ganze Überfläche f der Ku geloher fläche ist Dagegen nennt 
er hier nichts über die auch in demselben Buche gefundene Größe eines 
Kugelsektors. 

Wenn dieses an und für sich ganz klare Zitat uns nicht ao völlig 
überzeugt, daß wir gleich jeden Zweifel fallen lassen, ist der Grund, daß 
es der Kachwelt nicht fern liegen konnte die hervorgehobene Zeile zu 

1j DrD Abvhihkdfji hier sagt, daß er im Buche über Kugol und Zjlinder zum 
eisteuta&l diesen Satz beweist, streitet uicht daf^egen, daß er iu der vorliegeudeu 
Schrift denielben öat« hergeleitet hatte. Die Ilorleitung durch die mechanigche Methode, 
will er uKmlich ausdrücklich nicht alü einen Beweii heUauhtet hnben. 



3li2 



J. L, HniHKiKt und H. G. Zeuthiib. 



interpolieren.') Die beiden Sätze über die Kugel und den u 
Zylinder sind nämlicb in demselben Korollar I 146, 13 — 17 vereinigt, i 
da man, wie schon bemerkt, gute (iriinde hatte zu glauben, daB der ( 
uacb dem zweiten gefunden sei, mußte man ihn anch als ebenso i 
ansehen und daher auch beide in der Vorrede vereinigt denken. 

Auch einige AuBerungen in der Vorrede zur Schrift über die Par 
qaadratur U, 29fi, 12 — 23 deuten bestimmt darauf, daß ÄRCinHKDES der 
erste Entdecker des RanrainhalteB der Kugel sei. Hier, wo er zum ersten- 
mal den Exhaustionsbeweis benutzen will, nennt er die Anwendungen, die 
man schon früher von dem Poatnlat, auf welchem diese Beweisführung 
beruht (S, 34-1), gemacht hat. Er weiß aber nur dieselben Anwendungen 
zu nennen, die wir aus ErKi,n> kennen. Die rege wissenEchaftliche Tätig- 
keit in Alezandria. wo auch Akciiimrdks das beste VerBtändnis seiner 
großen Entdeckungen suchte, hat also seit Ei'Kun in bezug auf die 
infinitesimalen Untersuchungen gar keinen Fortschritt' gemacht. Die 
strengen Anforderungen an genaue Äusformung des Exhnustionsbe weises, 
von denen Archtmp:i>1':s sich nur in der vorliegenden Schrift loszusagen 
wagt, sind also nur durch Hchuliibungen an den Eunoxos-El'Ki.miBchen 
Beispielen erhalten! Hut Archimedes hier wirklich alle früheren An- 
wendungen von Et'iioxris' Postulat genannt, so bleibt kein Platz für eine 
frühere Kugelkuliatur übrig. 

Wir haben hier sowohl die Gründe angeführt, die für eine frühzeitige 
E^ntdeckung des Rauminhalts der Kugel sprechen, und anch dafür, daß 
auch andere als ARi'RniKDEi) recht frühzeitig davon wußten, als diejenigen, 
die es wahrscheinlich machen, daß doch Arcriuede-s selbst der Entdecker 
ist. Bestimmter wagen wir uns nicht darüber auszusprechen. Mehr würden 
wir wahrscheinlich wissen, wenn wir noch zwei Mitteilungen von Akcht- 
MEDES kannten. Die eine ist die, welche, wie in der Einleitung bemerkt, 
die die Konoide und Sphäroide betretfenden Resultate enhalten hat, und, 
wie es anzunehmen ist, auch die Deiinitionen dieser in der Schrift selbst 
nicht detinierten Flächen. Dasselbe Schreiben mußte auch, wenigstens 
indirekt durch die Angaben über EUipsoide, etwas enthalten über die 
der Kugel gehörigen Kauminhalte. Eine andere Mitteilung — die doch 
möglicherweise schon während seines Aufenthaltes in Alexandria mündlich 
abgegeben ist (?) — scheint dem Briefe an KONOX vorausgegangen zu 
sein; denn die schon berührten Vexieraufgahen in diesem Brief nebst der 
etwas bittem Motivierung ihrer Aufstellung (11 4, 2—4) rühren sicher von 
Mißgebrauch seiner früheren Mitteilungen her. Seine Absicht mit diesen 
An^gaben ist nämlich: diejenigen, die sagen, daß sie alles finden können. 

l) Ein« lotcbe Intcipolktioii hält Herr Ueueho doch filr 




Rm 



a Schrift dea ArchimeileB 



3R3 



ine doch Beweise dafür yorbringen zu können, dadurch zu Überföhren, 
daS sie auch falsche Sätze gefunden zu haben vorgeben. Sollte man ihm 
eben früher die Entdeckang der Rauminhalte der Kngel und der Kugel- 
Begmente streitig gemacht haben? Wir wissen es nicht und wagen es 
hanm als Hypothese aufzustellen. Eine solche Annahme würde jedoch 
alle die hier besprochenen Schwierigkeiten beseitigen. Ebenfalls würden 
dann die Erweiterung bis zu Flächen zweiter Ordnung, die Entdeckung 
der OberSäcbe und die rom Rauminhalte unabhängige Bestimmung dieser 
Oberfläche in steigendem äfaße seine Überlegenheit in dieser Sache dar- 
gelegt haben. 

Wie schon gesagt, haben wir die an den Satz II zugeftigte Bemerkung 
so verstanden, als ob sie eine Beetimmung der Oberfläche der Kugel, die 
noch auf keine andere Weise begründet war, betrifft, und daher die neu- 
gefundene Schrift derjenigen über Kugel und Zylinder vorangehen lagsen. 
Ich weiß aacb, dafi Hr. Heiberg den griechischen Text ebenso verstanden 
hat. Denken wir uns doch die Möglichkeit, daß diese Auffassung un- 
richtig sei, und die Anmerkung zu II nur angebe, wie Alten iMt:iiB.s den 
in der damals scko» veroffenÜichten Schrift anders bewiesenen Satz über 
die Kugelober fläche euerst gefunden hatte. Die in der Vorrede besprochenen 
früheren Mitteilungen über Konoide und Sphäroide sind dann vielleicht auch 
diejenigen, die in der ausgegebenen Schrift von diesem Namen sich finden. 
ArchimedkS erklärt dann in I — X nur, wie er seine schon lange gekannten 
und bewiesenen Sätze euerst gefunden hat, und die an die Schrift selbst 
geknüpften historischen Schwierigkeiten würden also wegfallen. 

H. G. Zeuthen. 



Toimo Hnuui. 



Zur Frage abendländischer Einflüsse auf die japanische 
Mathematik am Ende des siebzehnten Jahrhunderta.w 



Von YnsHio Mikami 



i Tokio,") 



In seinem Artikel über Die e.rakten Wissetischaßen im alten Japan'') 
hat Herr P. Harzer aucL die Frage behandelt, auf welchen Wegen die 
abendländische Mathematik im 16. Jahrhundert nach Japan gebracht 
sein könnte, und ob der Aufachwung der japanischen Mathematik am 
Ende des genannten Jahrhunderts wirklich auf abendländischen Einflüssen 
beruhte.*) Die folgenden Zeilen haben den Zweck, einen kleinen Beitrag 
zu dieser Frage zu biet«n; freilich sind die Beaultate, wozu meine Unter- 
Buchnngen geführt haben, wesentlich negativer Art. 

1. Herr HAJizHK macht auf eine Stelle der zweiten lateiniachen 
Ausgabe von Dk-scarths' Geometrie aufmerksam*}, wo in einem 
posthumen Traktate von F. vä\ Schootkn bemerkt wird: .placuit . . 
theorema . . . verificare . . ., pront ad hoc me instigavit praestantissimus ac 
undequaque doctifisimus juvenis D. Petui's HARTSiNfiri'S, Japonensis quon- 
dam in addiscendis Mathematis, discipulus meus solertiBsirnua". Herr Harzer 
erwähnt auch, daß sich im „Album Studiorum Academiae Lugdonensis" tinter 
dem 6. Mai 1669 folgender Eintrag finde: „Pgtris Hartsinoh's Japonensis, 
31, M. Hon. C." und daß nach einer Mitteilimg des Herrn D. Kortewe*; 
die Zahl das Lebensalter, M. das Studium der Medizin bedeute. Hart- 
siNGius war also etwa 1638 geboren, und hat neben Mathematik auch 
Medizin studiert Nun wird von einem japanischen Arzt Namens Hatono 
SÖHA, der 1697 in Osaka im Älter von hl Jahren starb, berichtet, daß er 
etwa 1658 in Nagasaki mit einem Holländer bekannt warde, dann mit,- 
einem holländischen Schiff nach „Namban" (d. h. Portugal, Spanien t 
Holland) fuhr und unter einem Professor PoSTÖ (oder POSTOW oder BosTO« 

1) Eesume eiDer Hoiführlicben HittotluDg. 

2) r. HiazEE, Bit exakten Witgetigdta/ien im allen Japan; JuiiT 
deutichen Mftthematikei-Vereinigung H, 190&, S. 312— 3S9. 

S) A. a. 0. S. S25— 334. 
4) A. •. 0. S. 3^8, 



Zur Frage abendländiacher GinflQHce auf itie japaniBche Mstlietnatik i 



365 



Ifamo ist watrscheinlicli nicht der Zuname sondern der Vorname 
des l'rofesBors) Medizin studierte, worauf er nach Japaji zurückkehrte und 
dort als Arzt his zu seinem Tode wirkte. Könnte man nicht geneigt sein 
zu Temiuten, daß der Arzt Hatono mit dem Mathematiker und Mediziner 
HAitT«iNOirs identisch ist, und daß dieser also nach Japan zurückkehrte? 
Und wäre es nicht möglich, daß der japanische Mathematiker .Skki gerade 
durch Haktsixgics die europäische Mathematik kennen lernte, so daß die 
Methoden des Seki nicht selbständig erfunden worden sind? 

In betreff dieser Fragen soll zuerst bemerkt werden, daß die Gleichheit 
der Namen Hatono und Hartsisijiu« durchaus zufällig ist, denn jener 
hieß ursprünglich Nakashisia Chözabl(EÖ und erst nach seiner Zurück- 
kehr nach Japan bekam er später aas einem ganz besonderen Grunde 
den neuen Namen Hatono. Femer scheint sich Haixino gar nicht mit 
Mathematik beschäftigt zu haben, und es ist höchst unwahrscheinlich, daß 
er, auch wenn er Mathematiker gewesen wäre, irgend einen Einfluß auf 
Seki gefiht haben könnte. Dieser hatte nämlich schon 1674 eine Arbeit 
Hatsuhi SanipO verfaßt, worin Resultate seiner neuen Methode zu erkennen 
sind, und damals waren Hatono und Seki sicherlich nicht zusammen- 
getroffen, denn Hatoxo war bis 1681 in Nagasaki wohnhaft, und es ist 
unmöglich, daß Seki eine ao lange Reise gemacht hat, ohne daß man 
davon Kenntnis hätte. 

Wenn es also höchst unwahrscheinlich ist, daß Pktris HAitTHiNfJius 
mit Hatono identisch ist, so ist es dennoch möglich, daß Hartsincüus 
wirklich nach Japan zurückkehrte und mit Seki zusammentraf. Es ist 
auch möglich, daß um dieselbe Zeit oder etwas später ein anderer Japaner 
in Europa Mathematik studiert hat und bei seiner Rückkehr nach Japan 
die Kenntnis der abendländischen Theorien verbreitet hat, aber alle 
solche Annahmen sind wenigstens zur Zeit durchaus unbelegt. Ebenso 
ist es unbekannt, ob japanische Mathematiker am Ende des 17, Jahr- 
hunderts im Besitz von europäischen mathematischen Arbeiten waren, aus 
denen Seki seine Methoden entnommen haben konnte. 

2. Herr Harzer hat auch untersucht, ob die Methoden des Seki 
wirklich auf europäische Einflüsse hinweisen, und er ist zu dem Resultate 
gelangt, daß solche Einflüsse kaum nachweisbar sind,') Ich bin wesentlich 
derselben iVnsicht; will man ermitteln, inwieweit die japanische Mathematik 
selbständig gewesen ist, muß man meines Erachtens die chinesischen 
Arbeiten untersuchen, die am Ende des 17. Jahrhunderts in Japan zu- 
gänglich waren. Daß Seki wenigstens bis zu einem gewissen Grade ein 
Schiller der Chinesen war, geht schon aus der Weise hervor, wie er 



^^ElTi" 



1) 1. 1. 0. S. 334—336, 



366 YosHio MiKAMi : Zur Fnge abendländiscber EinflÜBse auf d. Japan. Matttematik ufw. 

seine algebraischen Operationen Yomahm, ein Umstand, den auch Herr 
Harzer im Vorübergehen erwähnt hat. Besonders scheint Seki die 
chinesische Arbeit Suang-hsiao Chi-meng benutzt zu haben^ von der 1658 
und 1672 neue Ausgaben in Japan erschienen. Vielleicht wurde er gerade 
durch diese Arbeit, wo u. a. die Auflösung linearer Gleichungen gelehrt 
wird, angeregt, sich mit algebraischen Untersuchungen zu beschäftigen. 
Eine weitere Stütze meiner Ansicht finde ich darin, daß in einer Schrift 
Taisei Sankyö, die wenigstens zum TeU von Seki herrührt, die sogenannte 
schachbrettartige Multiplikation gelehrt wird. Dies Verfahren, das bekannt- 
lich auf die Inder zurückgeht^), hatte Seki sicherlich aus dem chinesichen 
Werke Suang-fa tung-Tsung entnommen, das aus dem Ende des 16. Jahr- 
hunderts herrührt und etwas später auch in Japan nachgedruckt wurde. 
Auf der anderen Seite ist es höchst wahrscheinlich, daß Seki in betreff 
seiner wichtigsten Entdeckungen, z. B. des Ereisprinzips, von seinen 
chinesischen Lehrern unabhängig war. 



1) Vgl. M. Gaktob, Vorlesungen Über QeschiefUe der Mathematik 1\ S. 571. 



^ Tbe correBiiondencc of Brook Tajlur. 



The correspondence of Brook Taylor. 

By H. Bateman in Liverpool. 

My attention having been cailed to the fact thst a eonsiderablc piirt 
of Bkook Tavloh's correspondence with contemporary mathematiciaue is 
in a State of preservation, I haye thought it worth while to give a brief 
acconnt of the contents of sonie of the lettere.') 

The bulk of the correspondence consists of lettera from IIkmoni» 
DE MONTMORT and belongs to the period 1717^1723, but there are a few 
written by TArLOR himaelfand ooe of these wbicb is dated July 2li"' 1712 
containe an enunciation of tbe tbeorem which bears bis name. 

This letter, a copy of which is given below (p. 308 — 371), indieatea 
th&t Taylor bad diaeovered the theorem at ieast three years before tbe 
pnblication of bis book MeOtodtts incremeniontm directa et inversa (1715), 
it also enables ua to foUow to sonie extent tbe train of thonght which 
culminated in tbe diseovery of tbe theorem. 

The two note books, wbicb bave been preaerved olong witb tbe letters, 
contain solutionn of a number of geometrical and dynamical problems 
and also descriptions of experinients on capillarity, but do not throw any 
light lipon tbe unsettled questlon whetber Taylor hnd applied bis tbeorem 
to the actual development of known functions in aeries. 

Taylor is also known to the raathematical world as tbe diacoverer 
of a Singular Solution of a differential equation.*) In bis Melhodtis 
increfnentorum he dJacuBses the question 

mentioning that it poaBesBea a aingular Solution, but be does not enter 
into a general theory of tbe aubject. 

In a lemma (p. 17, lemma 1), he also discussea the equation 

1) The lettera ue in tlie posseisioD of M'' Ebsebt TirLon of Bounie PUce, 
Bnah«;, Herta. I un deeply grAtifol to bim Tor tbe kiod ksBistuice he gave nie in 
the prepftration of this psper. 

■2) Sm M Cant.iii, i'ortesunijeti über GencliichU drr MathemnUk 8^ p, 460 



368 



H. Batou», 



obtainiDg the singular solutioa x := 1, althoiigh he makeB » mieUksj 
cxlculatiiig the actual inte^raL 

1 have carefolly exatniued lii^ lett^rs and note books in the hopt 
finding some further deTelopments of this subject, but without 

TUe other letters are concemed chiefly with problems in integration 
and the summation of Beries. In one of them (dated Not. 14"' 1716) 
MoNTMORT attributeB the well kntiwn expaneion 



;=i + 



M0 + « 



6(6-f (0(6 + 2 rf) 



+ ■ 



to infinity, 



J 



to Taylor, the letter is apparentlj in answer to one of Tavlou' 
inay possibly have obtained the result troni one of Taylor's publieati< 

The pnblieationa of Montsiort and Taylor forni the aubject 
of some of the letters. In one letter he answers a request of Mostmokt'b 
for a criticisni of Gonie papers he is about to pubiish, and the no half- 
hearted way in whii'h Taylok accomplishes hts task may be taken as an 
Illustration of the help which he generonsly gave to his brutber 
matheniaticians. Anotber letter from MoivitE calls for an alteration in 
the wording of one of Tavldk's problems. This letter is almost worthy 
of publieation because the writer arrives at an aninsing paradox in his 
discuBBion of the problem. 

Änother letter of some interest ia one from (.'hevalier Hahsav, ia 
which be describes the attitude whieh some of the Frencb seientiste 
took towarda Newtons theory of gravitatlon. 



Letter from Brook Taylor to John Maohio. 

Mr. John Machin. 
. 1 think justice gives you a title to what a hint [from] you was 



oecaeion of my discovering; and therefore I now present you with wtii 
have beeu able tu do towards the Solution of Kei'LEr's I*robIem in a mörä" 
useful manner than bas yet been done for making tables. Tho' I must 
own tliat my deaire to exehange letters with ao ingenious a person as 
Mr. Machin made me the more inclined to bestow some time upon this 
subject. 

I remember once at Child's Coffee house you shew'd me something 
of a method you had of doing this by finding the true center of the 
circle whicb Dr WAiiri supposes to be tbe other focus, whoae radiua 
describes iingtes proportional to the elliptical spacea described by 
from the Sun to the Planet. 



I 



I 



The corresj^ondence of Brook Taylor. 



369 




Fig. 1. 



If you would proceed that way 
ABDP [Fig. 1] being the semi El- 
lipsis, C the center, G the Focus, CP 
«= 1 == I the greater aiis, CB = b 
*= ~ the lesser axis, and the angle 
DFG be[mg] to 2 right angles, ae 
the Segment PGDP is to the semi 
EUipsis and CG = e, DE = be and CE » x. 

Then will EF 
= bx-j-bc-\-bxc^-^bx^c' + bxc* -{■ bx^c^ -^bx'c^ -j-bx^c^ 

+ i be^c^ — ^ bxeh*+^be*c^ + \bxe^c^ + lbx''e^c^' 

+ Ä bxeU'^ + ^ bg*c' 



> &c. 



But, to me the following method seems to be the most-convenient. 
Let PQBA [Fig. 2] be the semi-EUipsis (whose greater axis is AP, 




Fig. 2. 



half the lesser axis CB, and its focus S, and center C,) which is required 
to be divided by the ray SQ-^ so that the Segment SQP may be to the 
whole semi Ellipsis in a given proportion. 

With the center C and radius CP describe the circle PRDA^ and 
draw QG perpendicular to CP, cutting the circle in B, Then will the 
Segment PBSP be to the semi circle, as PQS is to the semi Ellipse. 
Wherefore if you take the arch PT in the same proportion to the whole 
semicircular arch PDA, as the segment PQS is to the semi Ellipsis the 
diflEerence TiZ, between PB and PT will be = to the perpendicular Sp 
from the focus S to the ray CB. For the segment PSBP=PCBP 
— A iSCÄ= segm: CPTC, wherefore CBTC = ^ CSBC, &c. 

BibUotheca Mathematica. 111. Folge. VII. 24 



370 H- Batkmam. 

Now suppose that by some means or other, you had got the point 
r, very near to -R. Then making CP=1, CJB=6, CS«=c, rt = r, 
Ci = X, Tr = üj s = the sine of the onknowii arch rR = t?, and y 
its cosine. Then will RG = jery -f- xs, and Sp = CJgy + ca:5 = TiJ 
= a + t; (as I have just now proved). But by Sir I. N/s series's 

y = 1 - Y+ 24 - 720^' and 5 =t; - y+ Y2Ö &c-, 
wherefore, (putting these values into the aequation), 

a + t; = c^ + ca:t;--2 e" + 24 + 120 " 72Ö *^^ 

Whence (by D"^ Halley's method of extracting roots, which is in the 
Transactions, and at the end of S^ I. N.s Algebra) 

1 + cx , \/\ — cx\^. o 2a! ^ 3 I *** . ^ ji ^9 
c^ ' r cif I cz \ 3« ' 12 ' bO-sr 360 

But when ce <i a (the point r being between B and -4), then it will be 

1 — ex 



V 



cz 



1/1 — cx' ^ , o 2a , xt?3 IT* xv^ « 



And when r falls on the other side oi D, in the quadrant DAy then the 
form will be 



^^-1-cx , l/l +CX * , Q 2a 



cxr ■ » er 

Or, when ce •< a, 



' r er ' C2: ; ' 3r ' 12 60^ 






2 



ear , ^ 2a 
c-gr r C2r ; "" cz 



X m . X^ , Xt7* o 



And if for the first supposition you take a '=b c X TV, one correction, 

XV" 

by the terms g- &c. will give you v beyond the extent of the common 

tables. And in the Orbits of all the Planets excepting y you may con- 
veniently enough take a = 0, and £ = TV, and a: = C F. Or if you 
take anv point r and suceessively take T, first near r, and then further 
from it towards P, the point R moving at the same time from between 
r and A through r til[l] it comes to some distance between r and P; the 
same quantities £ and .r may serve for several degrees together. And the 
motion of the point R in the compass of a few degrees being very near 
the same with that of T, the quantity v as well as a will be formed by 
the contini u]al addition or subtraction of a degree, near enough for forming 

the terms o ? i« &c- ^^ ^^ ^^ g®^ ^' ^7 one extraction of the Square 



The correspODdence of Brook Taylor. 371 

root^ as far as the extent of the common tables of eines. In this method 
too there is this further advantage^ that having got the arch TR, that 
divided by c is the sine RG, and that again mnltiplied by h is the 
Elliptical sine QG, by which the point Q is determined. Tho', near the 
Quadratures it is best to make use of the cosine CG, which is easily 
found by the tables^ when once you have TR. 

This is the best method I can think of, to render this calculation 
easy If there be any better, nobody is more likely to find it than 
Mr. Machin; and if he has such a one he will oblige me very much by 
giving me some account of it. 

While I was thinking of these things I feil into a general method 
of applying Dr. Halley's Extraction of roots to all Problems, wherein the 
Abscissa is required, the Area being given which, for the Service that it 
may be of calculations, (the only true use of all corrections) I cannot 
conceal. And it is comprehended in this Theorem. 

Theorem. 

If a be any Compound of the powers of e and given quantities 
whether by a finite or infinite expression rational or surd. And ß be the 
like Compound of p and the same coefficients, and e^=^p -{- x, and p = 1 = f 

Then will 

.. • * " 

— ^ OC "21^'] ** /rA St 

~~i^~ r^^ "^ iTO^' "" 1.2 3.4^ *^- 

Where a, ä, & &c. are formed in the same manner of JSf und the given 

quantities, as ß, ß, &c. are formed of p. &c. 

So that having given a, ß, and one of the abscissae e or p, the other 
may be found by extracting x, their diflference, out of this aequation. Or 
you may apply this to the invention of a or ß, having given z, p and x. 
But you will easily see the uses of this. 

When i is a finite expression, then will all the quantities i, ä &c. 

and ß, ß &c. be so to[o ]. 

I have sent M^ Keil what I have done in the Refractions, which 
I desired him to shew you, upon condition that you would oblige me with 
a sight of w*: you have done in that matter, which favor I hope you won't 
deny me. 

Bifs[ons| near Cant[erburyJ, 26 July 1712 



24» 



372 ^- Enbstböm. 



über Bildnisse von Leonhard Euler. 

Von G. Eneström in Stockholm.^) 

Folgende Bilder von Euler sind mir bekannt: 

A) Ölbild von E. Handmann, gemalt 1756, in der Lniversitätsknnst- 
sammlung in Basel. 

B) Pastellbild von E. Handmann, gemalt 1 753, auch in der Universitäts- 
kunstsammlung in Basel. 

C) Ölbild, erwähnt von P. H. Fuss in der Correspandance nuithe- 
matique et physique 1 (St. Petersbourg 1843), S. XXV und nach 
seiner Angabe von Küttner gemalt. Nach den unten genannten 
Reproduktionen sollte das Bild dagegen von Darbes herrühren. 

Ein Wachsfarbebild, von A. Lorgna im Jahre 1787 verfertigt, besitzt 
die Akademie der Wissenschaften in Paris. 

Ein Brustbild von weißem Marmor findet sich im Sammlungssaal der 
Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg. 

Wenigstens zwei Medaillen scheinen zu existieren. Die eine, mit der 
Unterschrift: „Rächet f(ecit) 1781*', ist im Besitze der Akademie der 
Wissenschaften in Paris; die andere, von Abranson verfertigt, besitzt u. a. 
die Universitätsbibliothek in Basel. 

Von A) oder B) sind mir folgende Reproduktionen bekannt: 
1. Fast ganze Figur mit der Unterschrift: 

Handmann pinxit 1756. J. Stknolix sculp. Petropoli 1768. 

Ein Exemplar in der Universitätsbibliothek in Basel. Reproduziert im Jahres- 
bericht der deutschen Mathematikervereinigung 16 (1907), Heft 3—4. 

2 Brustbild mit der Unterschrift: 

Leümi. Eulku. 

Gebr. (!) zu Basel, 1707. 

Gest. zu St. Petersburg 1803 (!). 
Ein Exemplar in der Sammlang des Herrn D. E. Smith in New York. 

3 Brustbild mit der Unterschrift: 

Leomii>. El lkr. Nat. Basileae MDCCVII. Mort. Petrop. MDCCLXXXIIL Ad 
Prototypum artiüce Em. Handmanni Basils. manu pictum Inque Honorem 

1) Viele Notizen verdanke ich den Herreu J. Bernoi lm in Bern, H. Bbocard 
in Bar-le-Duc, Funz Bi rckiiakdt in Basel, H. Fkiir in Genf und D. E. Smith in 
New York. 



l'ber Bil,)ni 



1 Lee 



ihard Suler. 



373 



it Tili Bibliothecae publicae AmpliBeimi M&giBtratuB BasileensiB juasn 
illatiim. Aere eipresait Patriaeqne dicavit Chbibt. h Mbohel Chalcogr. Basih, 
Ein ExempUi In der gcbweizerischen Landrablbllotliek in Bern. Repiodiiziurt in der 
Sohrin, I.i:»siiiiit. Ei^LKR von 8. Hcimtji-Eti.BB Cb"ranttait «. M. IBW). 

4. Brustbild mit der Unterschrift: 
Leona»i> EiiLin< 

E. Haxdmanü pini. T. Cook aculp. 
Publiebcii bj W, lient, London, 1787, 

Ein Exemplar in der SnminlnDK des Heira D. E, Shitd in N«w York. 

5. Brustbild mit der Unterschrift: 
N. pinx. Landon diroxt. 

Ein Exemplar in der ScIiwcizeiiHuhon LundnabiUliothek in Bern. 

6. Halbfigur mit der UuterBchnft: 
Em, Hanoha.is BasiL piniit. Fiiidr. Weueh Bmü. Bculpait, 

LsoxtKi» Ei'i.KHi BasiliensiB imoginera »oii incidendftm curavit 
RTiita CiTitflfl MDCCCLL 
Dieser Stich findet aitrli ferner als Titelbild in den Opera posthuma 
(Petropoli 1862). Er ist mich für das Titelbild dieses Bandes benutzt 
(Bildnis links). 

Von I') sind mir folgende Reproduktionen bekannt. 
1. Brustbild mit der Unterschrift: 

J. Daiüik« pinxit. S, lii;rTMOT(?) sc. 1780. 
Nwih elusr HitUilung dirs Uemi U. PuriK. 

2 Brustbild mit der Unterschrift: 
LEoicnARi) Ei'LKn 

Dahbeb pinx. C. DARcnow sculp. Berolini I7S2, 

Ein Emnplnr In il«t Sammlaiig dea Herrn D. R. RutTii in New York. Aurdei Rllck- 
Mita des ExempUre« ist mit Bleistift noliert^ .AU> Allg. D BJbllolIi, B .'<3 St. 1. 
Berlin 1783-. 

3. Brustbild mit der Unterschrift: 
C. T. RiBDBi. sc. Lips. 

Ein Rxeniplu in der äi^bweixetiMben Lxndeabibllntbek In Bern. ItfjH'odnEierl von 
.1, BiilBK in »einer Jlialoirc i/ei miMr'jn.iliqaet (Piris 191X1), s. 172. 

4. Brustbild mit der Unterschrift: 
J. Chaphan aculpt. 

Lkokahii Eui.Kn. 
London, l'ublished aa tbe Act directs. Ocf. 13«' 1804, l.y ,1. Wilkcs. 

Ein Exemplar in der .Sanuulnng ilea Herrn D, E. Shitii in Nr» York. 

5. Brustbild mit der Unterschrift: 
Darbeb piuxit. 

Ein Exemplar in dur DniTe